1 章节题目 第十节 方程的近似解
内容提要 求方程近似解的方法
重点分析 隔离区间的确定
利用二分法、切线法求方程的近似解
难点分析 二分法、切线法求方程的近似解的实质
习题布置
备注 2 教 学 内 容
一、问题的提出
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法．
求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围——根的隔离．
间．称为所求实根的隔离区区间区间内的唯一实根．使所求的根是位于这个确定一个区间],[],[baba
点的大概位置．轴交出它与的图形，然后从图上定如图，精确画出xxfy)(
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根．
常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
二、二分法
区间．即是这个根的一个隔离，于是内仅有一个实根在＝０，且方程上连续，在区间设],[),()(0)()(],[)(babaxfbfafbaxf
作法：
).(2],[11fbaba，计算的中点取；，那末如果110)(f
,,)()(1111bbaaff同号，那末取与如果
);(210)()(111111ababbabfaf，且，即知由
,,)()(1111baabff同号，那末取与如果
);(211111ababba及也有
总之，);(211111ababba且时，可求得当１
);(21)(21],[2222211211ababbababa且时，可求得复上述做法，当作为新的隔离区间，重以 3 ).(21,ababbannnnnn且可求得次如此重复
．小于的近似值，那末其误差作为或如果以)(21abbannn
例１：.10,04.19.01.1323使误差不超过的实根的近似值用二分法求方程xxx
高数三的知识点总结
1. 多元函数的导数与偏导数
多元函数的导数是指一个多元函数在某一点处对某个自变量的变化率。对于一个n元函数，其导数是一个n维的行矢量。偏导数是指多元函数在某一点处对某个自变量的变化率，但是其他自变量保持不变。偏导数的计算方法和一元函数的导数一样。
2. 多元函数的微分
多元函数的微分是用矩阵表示的，多元函数的微分与导数的关系是微分是导数在自变量的增量上的线性逼近。微分是对于函数的局部线性化近似。
3. 隐函数与参数方程
隐函数是指多元函数中存在的关系式，一般是用两个变量表示的函数。参数方程是指用参数表示的函数关系，参数方程可以将曲线或曲面参数化。
4. 向量的导数与微分
向量的导数是指向量值函数的导数，微分是对于向量值函数的局部线性化近似。
5. 多元函数的极值
多元函数的极值是指在某一点附近的一阶、二阶导数条件下函数取得的最值点。求多元函数的极值需要利用偏导数与二阶导数的判定方法。
6. 凹凸性与拐点
凹凸性是函数在某一点附近二阶导数的正负决定的，凹凸性是判断函数的局部极值的一个重要条件。拐点是函数在某一点处凹凸性的改变点，是函数的凹凸性改变的标志。
7. Lagrange 乘子法
Lagrange 乘子法是求多元函数在给定条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘子，将带条件的极值问题转换为不带条件的极值问题。
8. 重积分及其应用
重积分是对多元函数在给定区域上的积分，重积分在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
9. 曲线积分与曲面积分
曲线积分是对向量场沿曲线的积分，曲面积分是对向量场或标量场在曲面上的积分。曲线积分与曲面积分是研究力场、电场、磁场等科学问题中的重要工具。 以上是高等数学三的知识点总结，希望对您有所帮助。
高数3知识点总结大一
在大一的学习过程中，高等数学3（简称高数3）是一个非常重要的课程。高数3主要包括微积分方面的内容，对于理工科学生来说，掌握高数3的知识点对于未来的学习和研究是至关重要的。下面将对高数3的知识点进行总结，希望能帮助大家更好地掌握这门课程。
一、导数与微分
1. 导数的定义和性质
在高数3中，我们首先学习了导数的定义，即函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)等于函数f(x)在点x=a处的切线斜率。导数具有一些重要的性质，如导数的线性性、乘积法则、商积法则等，这些性质对于求导数的过程非常有帮助。
2. 微分的概念
微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点附近的变化情况。微分的计算方法包括差值法、中值定理和一阶导数的近似计算等。
3. 高阶导数和导数的应用
除了一阶导数，我们还学习了高阶导数的概念。高阶导数描述了函数的变化速度的变化情况。导数在实际问题中有着广泛的应用，比如求函数的最值、判断函数的单调性等。
二、积分与定积分
1. 不定积分的概念与性质
在高数3中，我们学习了不定积分的概念与性质。不定积分是求解函数的原函数的过程，它与导数是互逆的关系。不定积分的计算方法主要包括换元法、分部积分法和有理函数的积分等。
2. 定积分的概念与性质
定积分是对函数在某一区间上的积分，它表示了函数在该区间上的累积。定积分的计算方法包括定积分的性质、换元法和分部积分法等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式和定积分的应用 牛顿-莱布尼茨公式描述了定积分与不定积分之间的关系，它是微积分的基本定理之一。定积分在实际问题中具有广泛的应用，比如求曲线与坐标轴所围成的面积、物体的质心和弧长等。
三、微分方程
1. 微分方程的概念和基本形式
微分方程是描述变化率和未知函数之间关系的方程，它包含导数和未知函数。微分方程的基本形式包括一阶微分方程和高阶微分方程。
2. 一阶微分方程的求解方法
对于一阶微分方程，我们学习了几种基本的求解方法，如可分离变量法、齐次微分方程的解法和一阶线性微分方程的解法等。
成都纺织高等专科学校学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｔｅｘｔｉｌｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ 第２７卷第３期（总第９７期） ２０ １ ０年７月 Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．３（Ｓｕｍ９７）
文章编号：１００８－５５８０（２０１０）０３—０１７—０３
高等数学三问
李红娥
（西华大学数学与计算机学院，成都６１００３９）
摘要提出并解答了高等数学中学生较易迷惑的三个问题：一是三角函数的自变量为什么一定要 用弧度制而不用度模式；二是幂指函数的导数为什么是幂函数的导数与指函数的导数之和；三是微分方 程中的常数变易法为什么可以将常数变易为函数？ 关键词微积分弧度制 幂指函数微分方程 中图分类号：０１７２ 文献标识码：Ａ
１ 为什么要强调三角函数的自变量
一定要利用弧度制而不用度模式
要回答这个问题得首先从极限的结果说起．
１．１ 如右图所示的四 分之一单位圆内，若
设圆心角／＿ＡＯＢ
＝ 以弧度计，并假设
０＜ ＜ ，
点Ａ处的切线与Ｄ 的延长线交 于Ｄ，则有
ＡＣＯＢ的面积＜扇形ＡＯＢ的面积＜ＡＡＯＤ 的面积．
这时扇形Ａ０ 的面积为 ，由此有
１ ｓｉｎｘ＜ ＜ ｔａｎｘ．（１）。＜ ＜ 。 （）
因ｓｉｎｘ＞０，所以又有
１＜÷＜上。
或
ｃＯｓ ＜—ｓｌｎ—ｘ＜１．
上述不等式中用（一 ）代替 时，ＣＯＳＸ，ｓｍｘｌ￣
符号都不变，所以上述不等式对一 ＜ ＜０也是 成立的・注意到ｌ ｉｍｃｏｓｘ １，因而由夹逼定理给
出如下的简洁的结果：
ｌｉｍ—ＳＩＩ—Ｌ￣＝ｌ （２）
１．２若设圆心角／＿ＡＯＢ不利用弧度制而利用度
模式，这时扇形Ａ佃的面积为 。 ．由此不等
式（１）成为
１ ｓｉｎｘ＜３－－ ￣ｘ＜÷ ，。＜ ＜ ，
或
０ ＜ ．一ｓｉｎｘ＜１Ｃ ０ ＜一＜ 仃 因而（２）式就为
ｌｉｒａ ＿￥１ｎｘ＝卫 （３）１８０ 一 ｊ
由此将影响到一系列有关三角函数的微积分 结果． 事实上，在利用度模式时，正弦函数的导数就
