8-8高等数学

1 章节题目 第八节 空间直线及其方程

内容提要 空间直线的一般方程

空间直线的对称式方程与参数方程

两直线的夹角

直线与平面的夹角

重点分析 直线方向向量的求法

直线与直线的位置关系

直线与平面的夹角

难点分析 直线方程的求法

习题布置 431P：3、5、9、13、15

备注 2 教 学 内 容

一、空间直线的一般方程

定义 空间直线可看成两平面的交线．

0:11111DzCyBxA

0:22222DzCyBxA

0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程

二、空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．

),,,(0000zyxM),,,(zyxM

,LMsMM//0

},,,{pnms},,{0000zzyyxxMM

pzznyymxx000直线的对称式方程

令tpzznyymxx000，m, n, p 直线的一组方向数 xyzo12LxyzoLs0MM 3 方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

ptzzntyymtxx000 直线的参数方程

例1 用对称式方程及参数方程表示直线

.043201zyxzyx

解 在直线上任取一点),,(000zyx

取10x,063020000zyzy

解得2,000zy

点坐标),2,0,1(

因所求直线与两平面的法向量都垂直

取21nns},3,1,4{

对称式方程,321041zyx

参数方程.3241tztytx

例2 一直线过点)4,3,2(，且和y轴垂直相交，求其方程.

解 因为直线和y轴垂直相交,

所以交点为),0,3,0(B

第1页共2页数学分析与高等数学的区别与联系很多人看了数学分析后问,这不是高等数学的内容吗?诚然,这两门课有很多相似的(甚至相同)的地方,不过不同之处,亦很明显.首先,从知识的广度上来说,应该说高等数学的广度要比数学分析的广度要宽泛一些.数学分析的内容主要是微积分,有的学校在教学过程中有机地加入了实变函数的内容(实际上,在西方(除前苏联),数学分析很多时候就叫微积分学),而高等数学除了微积分学的内容外,还有常微分方程,空间解析几何的些许内容.当然,他们都以微积分学的内容占绝大多数的篇幅,所以,很多人在看数学分析的时候,感觉像高等数学就不足为怪了.第二,就占主要内容的微积分学来讲,数学分析的内容的深度就要比高等数学的要深得多了.例如:在函数的连续的学习中,数学分析会重点讲解一致连续以及闭区间上连续函数的性质(康托定理),而高等数学关于一致连续,一般不做讲解,即便是讲,也不会做为重点讲解.在数学分析中出现,而高等数学学习者可能会感到陌生的词汇确界及确界定理覆盖与有限覆盖定理聚点及聚点原理柯西收敛原理一致连续性及康托定理积分第二中值定理闭方块上积分的可积性条件扩充定理Jordan可测集上的积分微分形式与外微分初步(LAbel判别法与Dirichlet判别法第2页共2页正交函数系与Bessel不等式第三,数学分析的学习侧重于过程,而高等数学侧重于结果,比如:在学习极限时候,高等数学要求对极限能计算就行了,至于怎么来的,不会作过高的要求,而数学分析会对定义要求很高,要求是熟练掌握.对于这点,还有个具体反映,高等数学的题目,主要是计算,而数学分析的题目主要是证明.现在,数学分析主要是数学专业,和一些工科专业(有的学校计算机,通信要开设这门课)的专业课,大多专业并不开设这样课程.

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.41.综合练习八().,,1),1(01zxzyxfyzA则时若当设(B)(A);1xy;1yx(D)(C);1yx.1yx.)]410ln)arcsin01222的定义域求函数yxyxzB([ln(:01C求下列极限(2)(1);)(lim222200yxyxyx)0()11(lim2yxxayxaxy(4)(3);||lim24232)0,0(),(yxyxyx.)(lim2222yxyxyxxy:01证明下列极限不存在D;0lim01222200yxyxEyx证明.0133的连续性讨论函数yxyxuF.,),ln(02222yxzxzxyyzDx求设.)ln(022的一阶和二阶偏导数求函数yxzC.03.0,01.0,1,20222和全微分当求函数yxyxyxxyzE时的全增量02zA设.,,,,),(0222222yxfxfyfxfyxyxyarctanxyxfB求设arctan(2)lim42200yxxyyxlim24300yxyxyxxyyx(1);.).,(,sin0,0)1,(,2),(22yxfxyyfxfxyfyxf求满足.42..,)0,0()0,0(),(,00,2),(022222连续性与可微性处可导性在点考察函数yxyxyxxyyxfF).0,0((2));0,0((1))0,0(),(,0)0,0(),(,),(022233xyxffyxyxyxxyyxyxfG求求设.,)0,0(),(:,0,0,0,)(),(0222222/32222但不可微分连续且偏导数存在在点证明设yxfyxyxyxyxyxfH处:,,,0,0,0,)(),(0222222222yfxfyxyxyxyxxyyxfI并证明求设).0,0()0,0(yxxyff可微.证明设),()0,0(,0,00,1sin),(02222222yxfyxyxyxxyyxfJ().)0(21)0(2,2032222化为一定可以把方程通过变换yyzyzyxzyyxyxA.0;0;022222222z(D)zzz(C)zz(A);02222zz(B)在原点().,)0(;1),(,,),(0322yuxxyxxuyxuxyyxuuB时则当及有时且当为可微分的函数设.43..1;0;21;21(D)(C)(B)(A).,,),(),/,(032223yxzyzyzfxyxyfxzC求具有二阶连续偏导数设.,,),(),,(),,(),,(),,(03rryyrxxyxvvyxuuvufD求满足复合函数求偏导数之条件设函数均).2,(,)2,(,)2,(,),(032xxfxxxfxxxfyxfEyx求且可微设),(032yxzxyyxfzF求下列函数的二阶混合偏导数:(1)(2)),sin(22yxyefzx),(zyyxfu(3).,)(),(,03dtdutytxxuGy求都是可微函数而设;.;.,,),,(03222yzxzfxyyxyfxzH求有连续偏导数其中设).,(,)()(0300为正整数求设nmyxuyyxxuInmnmnm,,,,),,(03wvuwvufzJ而具有连续偏导数设.,,zzz求0)1(,cos03222换成中的自变量将方程试用变换xdxdyxdxydxtxK.,求变换后所得的方程t,03将方程要求通过线性变换yxyxL02222222yuCyxuBxuA.,.0)0,,,(22的值求化简成且为常数其中uBACCBA{.44..),(),,(03xvxuxyxgvxyxfuM求设)),(,()())(,())(),(,(03xyxxzxyxxzxxFN其中出现的函数是连设.,zFdxdyF试计算续可微的.),,,(03tuzuyuxuztzyyxfuO求设.,,,,sin,cos03yvyuxvxuuvuyuvuxP求设:)()(),(,),(03ygxfyxuyxuQ的充要条件证明具有二阶连续偏导数设).0(2uyuxuyxuu,0522222yuyxuxu并适当选取换方程的值使变换后的方程为a,b,,),(03byxayxyxuuR利用变换具有二阶连续偏导数设y.变.02u().,,,,),(,0),(),(04(D)(C)(B)(A)bavuvuFbzyazxFyxzzA则必有为常数的任意可微函数是变量其中所定义的隐函数是由方程设;1yzaxzb;1yzbxza;1yzaxzb.1yzbxza.,,,01004yvyuxvxuyvxuyxvuB求设.,,sin,cos04yzxzuvzvueyvexCu和试求设.,,0),(),,(04dxdzyxxyzxfzzxgyD求的函数所确定的是由方程而设,,,2104222222xvxuxuvuyxvuyxE中求出从方程组.22xv,0),(),(04xzyyzxFyxzF证明确定由方程设函数,{{.45..xyzyzyxzx.,),,(0),,(04dzyzxzyxzzxzzyyxFG及求确定隐函数设方程.,,0),,(),,,(04yuxuzyxgutzutyutxfuH求设().0;;;.)1,2,1(06:05222zyx(D)zOx(C)yOz(B)xOy(A)MzyxzyxA平面平面平面面的切线一定平行于在点曲线().sincos:05上任一点处的切线与空间曲线aeztaeytaexBttt{{?,,,,),,(050000222222此方向导数等于梯度的模具有什么关系时问的方向导数处沿点的向径在点求cbarzyxMczbyaxuD.105222相切的条件与二次曲面求平面CzByAxdnzmylxE.,),,(05导数均不存在但沿除坐标轴以外的方向使其在原点处可导试构造一个函数yxfF.,12,)1,1,1(),,(053222在该点处切线方向的方向导数处没曲线在点求函数tztytxyxezyxfGxyz.__________012230522处指向外侧的单位法向量为轴旋转一周得到的旋转面在点绕由曲线yzyxC,94,0522与点的位置间的关系为各点的温度平面上设在yxTTxOyH.;;;222的各母线夹角相同锥面轴形成定角轴形成定角轴形成定角zyx(D)Oy(C)Ox(B)Oz(A):),4,9(0求为点P)2,3,0({.46..;2;1:(3);210(2);|(1)000并求此最大值与最小值最小值最大值处的温度变化率取得在什么方向上点的温度变化率的方向处沿极角为在点PlPgradP.,:052处的切线方程与法平面方程在点求曲线xzxyI.2,10605333与法线方程的对应点处的切平面在求曲面yxxyzzyxJ.0:),,(0),,(),,(:.,05000PPPPPPzGzFyGyFxGxFzyxPzyxGzyxFK是处正交的充要条件在其交点和两曲面证则称两曲面是正交的若两曲面在交线上各点处的法线互相垂直.:05232323232aazyxL的平方和等于常数上任意点处的切平面在各坐标轴上截距曲面试证试T)1,1,1(,3零00305222与平面上同时垂直于平面试求曲面zxyzyxM.01的切平面方程yx,4/17)1(34/905222222与椭球面求球面zyxzyxN交线上.1的点处的切线方程与法平面方程对应于x852220523:0522且与曲面求过直线zyxzyxzyxLO相切之切平.面方程.3:0522的所有切平面都通过锥面之顶点锥面证明yxzP)0,0,0(2sinsinsin06zyxzyxzyxuA满足函数的条件().极值是.81;61;0;1(D)(C)(B)(A)3064213206222上的点到平面求椭球面zyxzyxB的最远和.最近距离{.47..10622距离为最短的点上到坐标面求曲线xOyxyyxzC115430622的交线上与平面和柱面求平面xOyyxzyxD距离最.短的点04222206222所确定的函数求由方程zyxxyzyxE4.),(的极值yxzz.,06求出其面积最大者的圆的一切内接三角形中在半径为RF.150622下的极值在约束条件求xyyxzG,,06设另一单位负电荷在椭圆有一单位正电荷在空间坐标系的原点处H?,,1,22何时最小问两电荷间的引力何时最大上移动zyxyxz,,206当它绕着自己的一边旋求出这样的三角形已知三角形的周长为pI.转时所构成的体积最大.288124319606222远距离到平面求旋转椭球面zyxzyxJ的最近与最).,(),(),(),(:,),(.),(),(),(,),(07yxnyyxfyxyxfxnyxfyxfnyxfyxfttytxftyxfAn次齐次函数为证明是可微函数设次齐次函数为称满足对任意正实数若函数.),1[)(,0)()(,1)1(,0)1(,),1[)(0722222222上的最大值在求满足上有连续的二阶导数在设tfyzxzyxfyxzfftfB且二元函满足拉普拉斯方程若函数证明),,(:07yxuuC02222yuxu.,2222也满足上述拉普拉斯方程则函数yxyyxxuv,数,ln),(07222zyxrrfuD满足方程设f().48.).(,)(2/3222222222xfzyxzuyuxu求