高等数学8-3全微分讲解

章节题目 第三节 全微分及其应用

内容提要 全微分的概念、计算、充要条件及应用

重点分析 全微分的概念及充要条件

函数可微、偏导数存在、偏导数连续、连续之间的关系

难点分析 函数可微的判定

习题布置 28P 1（单）、4

备注 教 学 内 容

一、全微分的定义

由一元函数微分学中增量与微分的关系得

),(),(yxfyxxfxyxfx),(

),(),(yxfyyxfyyxfy),(

全增量的概念：如果函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，并设),(yyxxP为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(yxfyyxxf为函数在点P对应于自变量增量yx,的全增量，记为z，即 z=),(),(yxfyyxxf

全微分的定义：如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为)(oyBxAz，其中BA,不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即 dz=yBxA.

函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.

如果函数),(yxfz在点),(yx可微分, 则函数在该点连续.

事实上 ),(oyBxAz ,0lim0z

),(lim00yyxxfyx ]),([lim0zyxf ),(yxf

故函数),(yxfz在点),(yx处连续.

二、可微的条件

定理1（必要条件） 如果函数),(yxfz在点),(yx可微分，则该函数在点),(yx的偏导数xz、yz必存在，且函数),(yxfz在点),(yx的全微分为

yyzxxzdz．

第十一章 微分方程

一、内容分析及教学建议

微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。实际上微分方程问题，

早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。

（一） 微分方程的概念

从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意：

① 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的；

② 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。

例如：函数221lnlnxcxcy是微分方程02yxyx的解，

xcxccxcxcylnln)2(lnln21221,)2(21ccc

 此解不是通解，也不是特解。

(二) 一阶微分方程的解法

1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解；

如322yxydxdy，改写为221yxydxdy（关于x的一阶线性微分方程等）；

2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容；

3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如yxu，xyu即可；

4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；

5、对于全微分方程求解，涉及到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”一章注解），关于积分因子，主要取决于微分的熟练，但教学中要求不高；

6、关于贝努利方程，注意：nyxQyxPy)()(，这里n可放宽到任意实数仍成立。

高等数学(高职高专)完整全套教学课件

一、教学内容

本节课的教学内容来自于高等数学教材的第五章——多元函数微分学。具体内容包括：多元函数的极限与连续性，偏导数，全微分，复合函数的偏导数，隐函数的偏导数，以及高阶偏导数。

二、教学目标

1. 使学生掌握多元函数的极限与连续性的概念及其判断方法。

2. 使学生理解偏导数的概念，掌握偏导数的计算方法。

3. 使学生掌握全微分的概念及其计算方法，能够求解复合函数的偏导数。

4. 使学生掌握隐函数的偏导数求解方法，能够求解高阶偏导数。

三、教学难点与重点

1. 教学难点：隐函数的偏导数求解方法，高阶偏导数的求解。

2. 教学重点：多元函数的极限与连续性，偏导数的计算，全微分的计算，复合函数的偏导数。

四、教具与学具准备

1. 教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。

2. 学具：笔记本，笔，高等数学教材。

五、教学过程

1. 实践情景引入：通过生活中的实际问题，引导学生思考多元函数的极限与连续性的重要性。

2. 知识讲解：讲解多元函数的极限与连续性的概念，并通过例题进行讲解。 3. 偏导数讲解：讲解偏导数的概念，并通过例题进行讲解。

4. 全微分讲解：讲解全微分的概念，并通过例题进行讲解。

5. 复合函数偏导数讲解：讲解复合函数的偏导数求解方法，并通过例题进行讲解。

6. 隐函数偏导数讲解：讲解隐函数的偏导数求解方法，并通过例题进行讲解。

7. 高阶偏导数讲解：讲解高阶偏导数的求解方法，并通过例题进行讲解。

8. 随堂练习：针对所学内容，进行随堂练习，巩固知识点。

六、板书设计

板书设计如下：

1. 多元函数的极限与连续性

定义

判断方法

2. 偏导数

定义

计算方法

3. 全微分

定义

计算方法

4. 复合函数的偏导数

求解方法

例题

5. 隐函数的偏导数 求解方法

例题

6. 高阶偏导数

第 1 页 共 5 页 §8.3 全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系有

偏增量与偏微分

f(xx y)f(x y)fx(x y)x

f(xx y)f(x y)为函数对x的偏增量 f x(x y)x为函数对x的偏微分

f(x yy)f(x y)fy(x y)y

f(x yy)f(x y)为函数)对y的偏增量 f y(x y)y为函数对y的偏微分

全增量 z f(xx yy)f(x y)

计算全增量比较复杂 我们希望用x、y的线性函数来近似代替之

定义 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量

z f(xx yy)f(x y)

可表示为

) )()(( )(22yxoyBxAz

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y 有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分

而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即

dzAxBy

如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分

可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续

这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则

z f(xx yy)f(x y)AxByo()于是 0lim0z

从而 ),(]),([lim),(lim0)0,0(),(yxfzyxfyyxxfyx