等比数列1

高二数学必修⑤导学案—预习案 编制人：

NO.8 §2.2 等比数列（1）

【知识要点】

1．等比数列的定义；2．等比数列的通项公式；

【学习要求】

1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道na，1a，q，n中的三个，求另一个的问题.会用定义来判断一个数列是否为等比数列.

自主学习

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 48 页～第51 页）

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫等比数列，这个数列叫等比数列，这个常数叫等比数列的 .

2.na .3.na mnq

4.如果a、G、b三个数满足abG2且0,ba.则G为a与b的 .

【基础练习】

1． 试判断下列数列是否为等比数列.

⑴32nna，*Nn；⑵nnna2， *Nn；⑶1na ， *Nn.

独立探究

【典型例题】

例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.

变式训练1：在等比数列na中,8,1842aa，求qa与1.

审核：高二数学组 班级： 小组： ：姓名： 日期： 导

学

案

装

订

线 例2 已知数列na的前n项和*;1,012NnaaSnn，试判断na是否为等比数列，为什么？

变式训练2：已知数列na的前n项和为131,nnnaSS *Nn.

⑴求21,aa； ⑵求证：数列na是等比数列.

※ 当堂检测（时量：6分钟 满分：10分）计分：

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式

知识点一 等比数列的概念

(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

(2)符号语言：an＋1an＝q(q为常数，n∈N*)

【重点总结】

(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．

(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．

(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．

要点二 等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

【重点总结】

(1)若G是a与b的等比中项，则Ga＝bG，所以G2＝ab，G＝±ab.

(2)与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝a＋b2”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab与－ab；当a，b异号时没有等比中项．

(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

要点三 等比数列的通项公式

设等比数列{an}的公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝11naq (a1，q≠0且n∈N*)．

【重点总结】

(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．

(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．

(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．

【基础自测】

等比数列

一、定义： na、q均不等于0 . 1nnaqa，nN （或1nnaqa，2n）， 其中q为常数 .

注：（1）特殊之处：奇数项同号，偶数项同号 .（2）由定义可知：

1nnaqa，2nna为等比数列 .

二、通项公式： ★ 11nnaaq （推导方法：累乘法）

等比中项：若a，G ，b成等差数列，则G叫作a与b的等比中项，2Gab， 即 Gab .

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，一般等比中项有两个：ab

三、前n项和公式： ★1q， 1(1)1nnaqSq11naaqq； 1q， 1nSna. （推导方法：错位相减法）

提醒：等比数列求和时，先判断公比q是否为1，再选求和公式，无法判断q是否为1时，分1q和1q讨论.

四、性质： ★ 在等比数列na中，若mnpq，则mnpqaaaa .

☆ 若na为等比数列，则nS，2nnSS，32nnSS， 仍为等比数列 .

测试题

1．设数列na的首项17a，且满足12nnaa，则na______________ . （定义）

1．已知na是等比数列，48a，2q，则7a （ ） （基本量运算）

A．64 B．64 C．48 D．48

2．已知na是等比数列，22a，514a，则公比q （ ）

A．21 B．2 C．2 D．12

1 一、知识梳理

1、等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)

2、与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,这时,a,b一定同号,G2=ab

3、等比数列通项公式,归纳如下:a2=a1q

a3=a2q=(a1q)q=a1q2

a4=a3q=(a1q2)q=a1q3

„ „

可得 an=a1qn-1

[注意几点]

（1）.不要把an错误地写成an=a1qn

（2）.对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的 比的次序颠倒

（3）.公比q是任意常数,可正可负

（4）.首项和公比均不为0

4、等比数列的常见性质：若数列na为等比数列，且公比为q，则此数列具有以下性质：

①mnmnqaa；

②对任意正整数srqp,,,，满足srqp，则srqpaaaa；

③)(*2Nmaaamnmnn

二、例题讲解：

例1、已知数列na为等比数列 （1）若6,475aa，求12a； （2）若125,6,243224naaaaa，求n。

例2、已知数列na为等比数列，320,2423aaa ，求na的通项公式。

例3、在各项均为正数的等比数列na中，若965aa，则1032313logloglogaaa等于（ ）

A12 B10 C8 D5log23 2 三、知识复习：

1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q表示。

2、若为常数qnqaann,21，则称数列na为 ，q为 ，且q 。