10第十章 轴

第十章 根轴的性质及应用【基础知识】定义 从一点A 作一圆周的任一割线,从A 起到和圆周相交为止两线段之积,称为A 点对于此圆周的幂． 由相交弦定理及切割线定理,知点A 的幂是定值：若这点在圆内,则这点的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方；则若这点在圆外,则这点的幂等于从这点所引圆周切线长的平方；若这点在圆周上。

则这点的幂等于0．由定义,幂由下列的结论：结论1 点A 对于以O 为圆心的圆周的幂,等于OA 及半径的平方差． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹,是一条垂直于连心线的直线．事实上,如图10-1,设点A 到O 1⊙和2O ⊙的幂相等,1O ⊙,2O ⊙的半径分别为1R 和2R （12R R >）,则22221122AO R AO R -=-,即22221212AO AO R R -=-=常数．设12O O 的中点为D ,12AM O O ⊥于M ,则2221112AO AD O D O D DM =++⋅,2222222AO AD DO DO DM =+-⋅,即221212122()2AO AO DM O D DO DM O O -=⋅+=⋅,亦即2212122R R DM O O -==常数．所以,M 点是一定点,过M 点的垂线即是两圆等幂点的轨迹．这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地,若两圆同心,则120O O =,从而同心圆的根轴不存在；若20R =,2O ⊙变成一点2O ,则A 点在2O ⊙的幂是22AO ．此时,直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有如下性质：性质1 若两圆相交,其根轴就是公共弦所在的直线．由于两圆的交点对于两圆的幂都是0,所以,它们位于根轴上,而根轴是直线,所以,根轴是两交点的连线． 性质2 若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆,其两两的根轴或相交于一点,或互相平行．事实上,若三条根轴中有两条相交,则这一交点对于三个圆的幂均相等,所以必在第三条根轴上．这一点,称为三圆的根心．例如,三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心．显然,当三个圆的圆心在一直线上时,三条根轴互相平行；当三个圆的圆心不共线时,根心存在． 性质4 若两圆相离,则两圆的四条公切线的中点在根轴上． 【典型例题与基本方法】1．注意点对圆周的幂的结论的应用例 1 如图10-2,从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线,设垂足为D ,作1O ⊙切BC ,CD ,DB 分别于E ,F ,G ．求证：AC AG =．图 10-2证明 设半圆的圆心为O ,则O ,1O ,E 共线．连1O F ,知1O F CD ⊥,得1O F AB ∥．连EF ,AE ,由111122FEO FO O EOB OEA ∠=∠=∠=∠,知E ,F ,A 三点共线．又因90ACB ∠=︒,CD AB ⊥,有ACF ABC AEC ∠=∠=∠,从而AC 是CEF ⊙的切线,故点A 对CEF ⊙的幂2AC 等于点A 对1O ⊙的幂2AG ,即有AC AG =．例2 如图10-3,设I 是ABC △的内心,过I 作AI 的垂线,分别交边AB ,AC 于P ,Q ． 求证：分别于AB 及AC 相切于P 及Q 的圆L 必与ABC △的外接圆O 相切．图 10-3IQ D MP O ABC证明 延长AI 交O ⊙的半径为R ,则点L 对O ⊙的幂为22R LO LA LM -=⋅,于是222()LO R LA LM R LA IM LI =-⋅=-⋅-2R LA IM LA LI =-⋅+⋅22R LA IM LP =-⋅+．由11()22MIC A C BCM C MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠,知12sin 22PLMI MC R A R AL==⋅∠=⋅．从而,22222()PLLO R LA R LP R PL AL=-⋅⋅+=-．由此,即知L ⊙与O ⊙相切． 2．注意根轴性质的灵活运用例3 如图10-4,设1O ⊙与2O ⊙相离,引它们的一条外公切线切1O ⊙于A ,切2O ⊙于C ,又引它们的一条内公切线切1O ⊙于B ,且2O ⊙于D ．求证：直线AB 和CD 的交点在两圆的连心线上．EA证明 设直线AB 和CD 的交点为K ,直线AC 与BD 的交点为E ,连1O E ,2O E ,则1AB O E ⊥,2CD O E ⊥．由1O E 平分AEB ∠,2O E 平分CED ∠,知12O E O E ⊥,由此推知AB CD ⊥,即K 时分别以AC 和BD 为直径的两圆1Γ和2Γ的交点,从而K 在圆1Γ和圆2Γ的根轴上．连1O A ,1O B ,又由1O A AC ⊥,知1O A 是圆1Γ的切线,1O 关于圆1Γ的幂是21O A ．同理,1O B 是圆2Γ的切线,1O 关于2Γ的幂是21O B ．由于2211O A O B =,所以1O 是关于圆1Γ和2Γ的等幂点． 同样,2O 是关于圆1Γ和圆2Γ的等幂点．所以12O O 是圆1Γ和2Γ的根轴．于是,K 在连心线12O O 上．例4 如图10-5,已知两个半径不相等的圆1O ⊙与2O ⊙相交于M ,N 两点,且1O ⊙,2O ⊙分别与O ⊙内切于S ,T 两点．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S ,N ,T 三点共线．图 10-5证明 连OS ,OT ,ST ,作公切线SP ,TP 相交于P ,则得PS PT =,由此即知自P 点向1O ⊙和2O ⊙所昨切线长相等,故点P 在这两圆1O ⊙和2O ⊙的根轴上,且由2PS PN PM =⋅．连OP 交ST 于点Q ,则OP ST ⊥,且2PQ PO PS PN PM ⋅==⋅,故O ,Q ,N ,M 四点共圆．由此,即有OM MN OQ QN N ⊥⇔⊥⇔在直线ST 上S ⇔,N ,T 三点共线．例 5 如图10-6,ABC △中,O 为外心,三条高AD ,BE ,CF 相交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N ．求证：（Ⅰ）OB DF ⊥,OC DE ⊥；（Ⅱ）OH MN ⊥．C ' B 'A '图 10-6PMF EDPTOABC证明 （Ⅰ）过B 作ABC △的外接圆的切线BT ,则由A ,F ,D ,C 四点共圆,知TBA ACB BFD ∠=∠=∠有DF BT ∥,而OB BT ⊥．故OB DF ⊥．同理OC DE ⊥． （Ⅱ）取OH 的中点V ,下证V 为DEF △的外心．设A ',B ',C '分别为BC ,CA ,AB 的中点．由A ,B ,D ,E 四点共圆,有90BED BAD B ∠=∠=︒-∠．同理,90BEF BCF B ∠=∠=︒-∠． 从而1802DEF BED BEF B ∠=∠+∠=︒-∠又因为A '为Rt BFC △的斜边BC 上的中点,知21802FA B FCB B '∠=∠=︒-∠,从而知F ,A ',D ,E 四点共圆．同理,D ,F ,B ',E 及C ',F ,D ,E 分别四点共圆,由此即知A ',B ',C ',D ,E ,F 六点共圆． 又因为OA BC '⊥,DH BC ⊥,V 为OH 的中点,即知V 在A D '的垂直平分线上． 同理,V 在B E ',FC '的垂直平分线上,故V 是DEF △的外接圆的圆心．再由D ,E ,A ,B 及D ,F ,A ,C 分别四点共圆,有M D M E M B M A ⋅=⋅,ND NF NC NA ⋅=⋅．由此即知M ,N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等,从而M ,N 在这两个外接圆的根轴上,即有MN OV ⊥,故MN OH ⊥． 【解题思维策略分析】1．根轴与点对圆的幂是密切相关的例6 如图10-7,O ⊙过ABC △的顶点A ,C ,且与AB ,BC 交于K ,N （K 与N 不同）,ABC △的外接圆和BKN △的外接圆相交于B 和M ．求证：90BMO ∠=︒．（IMO 26-试题）B证明 设ABC △和BKN △的外接圆圆心分别为1O ,2O ,由题设,推知O ,1O ,2O 三点不共线（否则B 和M 重合）,而直线AC ,KN ,BM 分别为这三个圆中两两圆的根轴,故它们必相交于一点,不妨设交于点P ． 由PMN BKN NCA ∠=∠=∠,知P ,M ,N ,C 四点共圆,则B 点对此圆PMNC ⊙的幂等于B 点对O ⊙的幂,即有（设R 为O ⊙的半径）22BM BP BN BC BO R ⋅=⋅=-．又点P 对2O ⊙的幂等于点P 对O ⊙的幂,即有22PM PB PN PK PO R ⋅=⋅=-．由上述两式相减,得2222()()()PO BO BP PM BM PM BM PM BM PM BM -=-=+-=-, 由此有OM BP ⊥,故90OMB ∠=︒．例7 如图10-8,设四边形ABCD 内接于圆,其边AB 与DC 的延长线交于点P ,AD 与BC 的延长线交于点Q ,由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ,切点分别为E ,F ,则P ,E ,F 三点共线．图 10-8E 'ABC QMDFEPG证明 连PQ ,并在PQ 上取一点M ,使得B ,C ,M ,P 四点共圆,则Q 为ABCD ⊙和BCMP ⊙两圆根轴上的点,则2QE QC QB QM PQ =⋅=⋅．①此时PMC ABC PDQ ∠=∠=∠,从而C ,D ,Q ,M 四点共圆,即知P 对此圆CDQM ⊙的幂为 PC PD PM PQ ⋅=⋅ ②连PF 交ABCD ⊙于E ',作QG PF ⊥于G ,则P ,Q 对ABCD 的幂分别为PC PD PE PF '⋅=⋅ ③及2QC QB QF ⋅=． ④ 由①+②并注意③,④式,由22QM PQ PM PQ PQ QC QB PC PD QF PE PF '⋅+⋅==⋅+⋅=+⋅, 即22_()PQ QF PE PF PG GE PF ''=⋅=-⋅．⑤又22222222()()PQ QF PG QG QG GF PG GF -=+-+=- ＝()()()PG GF PG GF PG GE PF =-+=-⋅． ⑥比较⑤与⑥式,得PE PG GE PG GE ''====,即E '与E 重合,故P ,E ,F 三点共线．注 在此,需要指出：对于例６与例７应用根轴的概念来处理,可以发现它们的等价性．如图10-7,设以BO 为直径的圆为3O ⊙,且3O ⊙与O ⊙交于X ,Y 两点,则BY OY ⊥,即同理,BX 与为O ⊙的切线．若例7结论成立,则知KN ,XY ,AC 三条根轴交于一点P ．又直线BM ,KN ,AC 分别为1O ⊙与2O ⊙,O ⊙,1O ⊙与O ⊙的根轴,则BM ,KN ,AC 交于一点,故BM 过P 点．由于XY 是3O ⊙与O ⊙的根轴,则1O ⊙与3O ⊙的一个交点为B 时,另一个交点在BM 直线上,且为M 点,即3O ⊙过点M ．又由于BO 为直径,有90BMO ∠=︒．反之,若例6结论成立也可推得例7结论成立,例7即图10-8中的圆内接四边形ABCD 也一一对应于例6即图10-7中的四边形ACNK ．例8 如图10-9,某圆分别与凸四边形ABCD 的AB ,BC 两边相切于G ,H 两点,与对角线AC 相交于E ,F 两点．问ABCD 应满足怎样的重要条件,使得存在另一圆过E ,F 两点,且分别与DA ,DC 的延长线相切？证明你的结论．图 10-9J F EDHGA BC分析 所求的充分必要条件是AB AD CB CD +=+．证明 必要性：设过E ,F 两点的另一圆分别与DA 的延长线和DC 的延长线相切于J 和K 两点．注意到点A 对这两个圆幂相等,即22AG AE AF AJ =⋅=,同样有22CH CK =,则有AB AD BG GA AD BG JA AD BG JD BH KD BH KC +=++=++=+=+=+ CD BH HC CD BC CD +=++=+充分性：设凸四边形ABCD 满足条件AB AD CB CD +=+．在DA 的延长线和DC 的延长线上分别取J 点和K 点,使AJ AG =,CK CH =．于是, DJ JA AD AG AD AB AD BG CB CD BH CH CD DK =+=+=+-=+-=+=过J 点和K 点分别作DJ 和DK 的垂线,以两垂线交点为圆心作通过J 点和K 点的圆,由AJ AG =,CK CH =,则A 点和C 点关于原有圆的幂分别等于这两点关于所做圆的幂．而直线AC AC 与原有圆相交于E 和F 两点,且AC 是这两圆的根轴,所以EF 是这两圆的公共弦．至此,便证明了所做的与DA 延长线和DC 延长线相切的圆通过E ,F 两点． 2．根轴是联系圆与圆关系的一座桥梁例9 设圆O 的内接凸四边形ABCD 的两条对侥幸AC 、BD 的交点为P ,过P 、B 两点的圆1O 与过P 、A 两点的圆2O 相交于两点P 和Q ,且圆1O 、圆2O 分别与圆O 相交于另一点E 、F ．求证：直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者相平行．图 10-10EPO 1O 2AQDJIG BF C证明 如图10-10,设直线EC 交1O ⊙于I ,直线FD 交2O ⊙于J ．因为PJE PAF CAF CDF ∠=∠=∠=∠,故PJ CD ∥．同理,IP CD ∥．从而I 、P 、J 三点共线． 又180180EFD ECD EIJ ∠=︒-∠=︒-∠,故E ,F ,J ,I 四点共圆．因此,由根轴定理可知,四边形IEFJ 的外接圆、圆1O 、圆2O 两两的公共弦IE 、PQ 、JF （所在的直线）或者共点或者互相平行,即直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者互相平行．例10 已知AB 是O ⊙的弦,M 是弧AB 的中点,C 是O ⊙外任一点,过点C 作O ⊙的切线CS 、CT ,连接MS 、MT ,分别交AB 于点E 、F ．过点E 、F 作AB 的垂线,分别交OS 、OT 于点X 、Y ．再过点C 任作O ⊙的割线,交O ⊙于点P ,Q ,连接MP 交AB 于点R ,设Z 是PQR △的外心．求证：X 、Y 、Z 三点共线．图 10-11FER OABCQ TYXPZ S证明 如图10-11,先连结OM ,由垂径定理,易说明XES △与OMS △位似,于是XES △是等腰三角形；故可以X 为圆心,XE 和XS 为半径作圆,该圆同时与弦AB 及支线CS 相切． 再作PQR △的外接圆,并连接MA 、MC ．易证明2MR MP MA ME MS ⋅==⋅； 又由切割线定理2CQ CP CS ⋅=．①、②表明点M 和点C 关于Z ⊙和X ⊙的幂都相等,于是MC 就是上述两圆的根轴,因此ZX MC ⊥． 同理可证ZY MC ⊥．由③、④即知X 、Y 、Z 三点共线．证毕．例11 设O 和I 分别为ABC △的外心和内心,ABC △的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,直线FD 与CA 相交于点P ,支线DE 与AB 相交于点Q ,点M 、N 分别为线段PE 、QF 的中点,求证：OI MN ⊥．图 10-12证明 如图10-12,考虑ABC △与截线PFD ,由Menelaus 定理,有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=, 所以PA AF BD AF p aPC FB DC DC p c -=⋅==-, 于是PA p a CA a c-=-, 因此()b p a PA a c-=-,这样()b p a PE PA AE p a a c-=+=+--=2()()p c p a a c ---,1()()2p c p a ME PE a c--==-, 2()()()()p c p a p a MA ME AE p a a c a c ---=-=--=--, 2()()()()p c p a p c MC ME EC p c a c a c---=+=+-=--． 于是2MA MC ME ⋅=．因为ME 是点M 到ABC △的内切圆的切线长,所以2ME 是点M 到内切圆的幂,而MA MC ⋅是点M 到ABC △的外接圆的幂．等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到ABC △的外接圆与内功圆的幂相等,因而点M 在ABC △的外接圆与内功切圆的根轴上．同理,点N 也在ABC △的外接圆与内切圆的根轴上． 故OI MN ⊥．例12 ABC △的外接圆的圆心为O ,A '是边BC 的中点,AA '与外接圆交于点A '',a A Q AO '⊥,点a Q 在AO 上,过点A ''的外接圆的切线与a A Q '相交于点a P ．用同样的方式,可以构造点b P 和c P ．证明：a P 、b P 、c P 三点共线．证明 可以证明它们都在O ⊙与九点圆的根轴上．图 10-13a如图10-13,把ABC △位似变换到A B C '''△,ABC △的重心G 为位似变换到A B C '''△,ABC △的重心G为位似中心,位似比为12-．在这种变换下,AO 变成了A N ',其中N 为九点圆的圆心,所以A N AO '∥,a A P A N ''⊥． 故a A P '是九点圆的切线．易知90OAB C ∠+∠=︒,则90BAA A AO C ''∠+∠+∠=︒（不妨设AB AC ≤）． 又a P A A BAA C ''''∠=∠+∠,90a P A A A AO ''''∠=︒-∠, 所以a a P A A P A A ''''∠=∠,故a a A P A P '''=．所以,a P 在O ⊙于九点圆的根轴上．同理,b P 、c P 也在O ⊙与九点圆的根轴上．例13 凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O ,已知AC BD ≠,AC 与BD 交于点E ,若P 为四边形ABCD 内部一点,使得90PAB PCB PBC PDC ∠+∠=∠+∠=︒．求证：O 、P 、E 三点共线．图 10-14证明 如图10-14,记四边形ABCD 的外接圆为圆T ,APC △的外接圆为圆1T ,BPD △的外接圆为圆2T ．易知,圆T 和1T 的根轴是直线AC ,圆T 和2T 的根轴是直线BD ．由于P 是圆1T 和2T 的公共点,因此,P 在圆1T 和2T 的根轴上．又E 是AC 与BD 的交点,则E 是圆T 、1T 、2T 的根心．从而,直线PE 是圆1T 和2T 的根轴． 为证明O 、P 、E 三点共线,只需证明O 对圆1T 和2T 的幂相等,即O 也在这两个圆的根轴上． 由外角的性质知1902APC PAB ABC PCB AOC ∠=∠+∠+∠=︒+∠．而11(180)180(90)18022ACO AOC AOC APC ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠这表明,OC 与1T 切于点C ． 同理,OB 与圆2T 切于点B ．由OC OB =知,点O 对圆1T 和2T 的幂相等．从而,O 、P 、E 三点共线．例14 已知圆1T 、2T 交于点Q 、R ,且内切于圆T ,切点分别为1A 、2A ,P 为圆T 上的任意一点,线段1PA 、2PA 分别与圆1T 、2T 交于1B ,2B ．证明：图 10-15l（1）与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行；（2）12B B 是圆1T 与圆2T 的公切线的充分必要条件是P 在直线QR 上．证法1 （1）设圆1T 、2T 、T 的圆心分别为1O 、2O 、O ,则1122O B OP O B ∥∥．从而,与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行,且和与圆T 切于点P 的直线平行．（2）设与圆1T 切于点1B 的直线与圆T 交于点1C 、1D ,则P 是11C D 的中点,且有2111PC PA PB =⋅． 同理,设与圆2T 切于点2B 的直线与圆T 交于点2C 、2D ,则P 是22C D 的中点,且有2222PC PA PB =⋅．于是,这两条切线重合为12B B ,等价于2212PC PC =,从而,等价于点P 关于圆1T 、圆2T 等幂,即等价于点P 在圆1T 、圆2T 的根轴OR 上．证法2 （1）如图10-15,作直线l 与O ⊙切于点P ,设与圆1T 切于点1B 的直线为1l 与圆2T 切于点2B 的直线为2l ．由位似变换知1l l ∥,2l l ∥,所以,12l l ∥．（2）若12B B 是1O ⊙、2O ⊙的公切线,则由（1）知12B B l ∥,从而,12212B B P B PY PA A ∠=∠=∠． 所以,1A 、1B 、2B 、2A 四点共圆． 因此,1122PB PA PB PA ⋅=⋅故点P 到1O ⊙、2O ⊙的圆幂相等,即P 、Q 、R 三点共线． 若点P 在OR 上,由同一法知12B B l ∥,得证．例15 已知非等腰锐角ABC △,1AA 、1BB 是它的两条高,又线段11A B 与平行于AB 的中位线相交于点C '．证明：经过ABC △的外心垂心的直线与直线CC '垂直．证明 如图10-16,在ABC △中,分别将边BC 、CA 的中点记作0A 、0B ,将三角形的垂心记作H ,外心记作O ．图 10-16B因为点A 、B 、1A 、1B 位于同一圆周上（AB 为其直径）,所以,1100CB A CBA CA B ∠=∠=∠．故点0A 、0B 、1A 、1B 位于同一圆周1ω上．将以CH 为直径的圆周记作2ω,将以CO 为直径的圆周记作3ω．易知,点1A 、1B 位于圆周2ω上,而点0A 、0B 位于圆周3ω上．因此,点C '关于圆1ω和圆2ω有相同的幂,关于圆1ω和3ω也有相同的幂．从而,点C '关于圆2ω和3ω有相同的幂,即位于它们的根轴之上． 所以,直线CC '就是圆2ω和圆3ω的根轴． 故CC '垂直于这两个圆的圆心连线．又圆2ω和圆3ω的圆心分别为线段CH 和CO 的中点,它们的连心平行于直线OH ,则OH CC '⊥．例16 已知圆W 是等边ABC △的外接圆,设圆W 与1W 外切且切点异于点A 、B 、C ,点1A 、1B 、1C 在圆1W 上,且使得1AA 、1BB 、1CC 与圆1W 相切．证明：线段1AA 、1BB 、1CC 中的一线段的长短等于另两线段长度之和．图 10-17'1B 1证明 如图10-17 设圆W 和圆1W 相切点X ,且X 位于劣弧AB 上．设直线AX 、BX 、CX 分别交圆1W 于点A '、B '、C ',设圆W 、圆1W 的半径为r 、1r ．注意到,以X 为中心、1rr-为位似比的位似变换将ABC △映射到A B C '''△,所以,A B C '''△是等边三角形．由托勒密定理有AC BX AX BC AB CX ⋅+⋅=⋅．因为ABC △是等边三角形,所以,AX BX CX +=．令1r rm r+=,根据相似形的性质有AA m AX '=⋅,BB m BX '=⋅,CC m CX '=⋅．于是,AX BX CX +==．由点A 、B 、C 关于圆W 的幂,111AA BB CC += 【模拟实践】习题A1．在线段AB 的同一侧作出三个相似的三角形PAB ,AQB ,ABR ,关于AB 的中垂线对称地作出三个相似三角形P AB ',AQ B ',ABR '．求证：P ,Q ,P ',Q ',R '六点在同一个圆上．2．设ABC △的AB 上有点D ,AC 上有点E ,且DE BC ∥,分别以BE ,CD 为直径作1O ⊙,2O ⊙．求证：这两圆的根轴恒为ABC △的过点A 的高所在直线．3．设D ,E 是ABC △中AB ,AC 上的点．求证：以BE 和CD 为直径的两圆的根轴必通过ABC △的垂心．4．在ABC △的边BC 上任取一点A ',线段A B '的中垂线交边AB 于M 点,线段A C '的中垂线交边AC 于N 点．求证：点A '关于直线MN 的对称点在ABC △的外接圆上． 5．证明：圆外切六边形ABCDEF 的对角线AD ,BE ,CF 共点．6．设D ,D '是ABC △的BC 边上两点,E ,E '是CA 边上两点,F ,F '是AB 边上的两点,且D ,D ',E ,E '共圆,E ,E ',F ,F '共圆,F ,F ',D ,D '共圆．证明：D ,D ',E ,E ',F ,F '六点共圆．7．已知ABC △的内心为I ,1O ⊙,2O ⊙,3O ⊙分别为过B ,C ；A ,C 和A ,B 且与I ⊙直交,1O ⊙与2O ⊙相交于另一点C '．同理可得点B '和A '．证明：A B C '''△的外接圆半径等于I ⊙半径的12．习题B1．设A 是O ⊙的直径BB '上或其延长线上任一定点,过A 引O ⊙的割线M AM '或AM M ',过A 作BB '的垂线交BM 的延长线于N ,交BM '的延长线于N '．求证：AN AN '⋅是定值．2．设A ,B ,C ,D 是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC ,BD 为直径的圆交于X 和Y ,直线XY 交BC 于Z ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点,直线CP 与以AC 为直径的圆交于C 及M ,直线BP 与以BD 为直径的圆交于B 及N ,试证：AM ,DN 和XY 共点．3．已知圆O 切于两条平行线1l 和2l ；第二个圆1O 切1l 于A ,切外切圆O 于C ；第三个圆2O 切2l 于B ,切外切圆O 于D ,切外切圆1O 于E ,AD 交BC 于Q ．求证：Q 是CDE △的外心．4．两个大圆A ⊙,B ⊙相等且相交,两个小圆C ⊙和D ⊙不等亦相交,且交点为P ,Q ．若C ⊙,D ⊙既同时与A ⊙内切,又同时与B ⊙外切,求证：直线PQ 平分线段AB ．第十章根轴的性质及应用习题A1．由PAB AQB △△∽,有PBA ABQ ∠=∠,即知Q 点在PB 上,且PB ABAB QB=．由AQB ABR △△∽,有BAQ RAB ∠=∠,即知R 点在AQ 上,且AQ ABAB AR=．故2PB QB AB AQ AR ⋅==⋅． 设PQR △的外接圆圆心为O ,则A ,B 关于O 是等幂的．作切线AT ,BS ,连OA ,OB ,OT ,OS ,由222AT BS AB ==,OT OS =有OAT OBS △△∽,OA OB =,即O 关于AB 的中垂线对称,故P ',Q ',R '都在O 上．2．设两圆圆心为1O ,2O ,连12O O ,由于1O ,2O 是梯形BCED 两条对角线的中点,则12O O BC ∥,1O 和2O 的根轴与BC 垂直．设ABC △的三条高线为AL ,BM ,CN ,垂心为H ,则M 在1O 上,N 在2O 上,且B ,C ,M ,N 共圆,直径为BC ,记此圆为3O ,这三圆的圆心不共线,则三条根轴相交于一点根心．又3O 与1O 的根轴是BM ,CN 是2O 与3O 的根釉,又BM 和CN 相交于垂心H ,从而1O 与2O 的根轴是过垂心H 且垂直于BC 的直线,即高AL 所在的直线．3．设以BE 为直径的圆为1O ,以CD 为直径的圆为2O ,BM ,CN 是高线,H 为垂心,则M 在1O 上,N 在2O 上,由B ,C ,M ,N 四点共圆,有HB HM HC HN ⋅=⋅,即H 是关于两圆的等幂点,则H 在1O 和2O 的根轴上．4．过A 引BC 的平行线,并与A M '的延长线交于B ',与A N '的延长线交于C ',令ABC △的外接圆 为1Γ,A BC ''△的外接圆为2Γ．因MBA '△和NA C '△都是等腰三角形,B C BC ''∥,则在MAB '△和NAC '△中,M BA M A B M B A M AB ''''∠=∠=∠=∠,NA C NCA NAC NC A ''''∠=∠=∠=∠,即有AB AB''=,AC A C ''=,即ABC A B C '''△△∽．又AM BM AMBM ''⋅=⋅,AN CN A N C N ''⋅=⋅,从而M ,N 是圆1Γ和2Γ的等幂点,即直线MN 是圆1Γ和2Γ的根轴,又1Γ与2Γ是等圆,则MN 是1Γ和2Γ的对称轴．又A '在2Γ上,则A '关于MN 的对称点在1Γ上．5．设凸六边形ABCDEF 切圆于点R ,Q ,T ,S ,P ,U (R 在AB 上,Q 在BC 上,等等)．选择任意实数0a >,在直线BC 和EF 上作点Q '和P ',使QQ PP a ''==,而向量QQ 和PP 同向量CB 和EF 同方向,类似地作点R ',S ',T ',U '（有RR SS TT UU a ''''====）,再作1O 切直线BC 和EF 分别于点P ',Q ',类似地作2O ,3O ．下证点B 和E 在1O 和2O 的根轴上．BQ QQ BQ RR BR BR '''=-=-=（若QQ BQ '<,则BQ BQ QQ BR RR BR ''''=-=-=和EP E P PP ES SS ES '''''=+=+=．类似地可证,直线FC 和AD 分别是1O 和3O ,2O 和3O 的根轴．而三个圆的根轴交于一点,因此AD ,BE ,CF 共点．6．若圆DDEE'',EE FF '',FF DD ''是互异的,那么直线AB ,BC ,CA 将是它们的根轴,而这是不可能的,因为三圆的根轴不可能构成三角形．因此,至少有两圆重合,此时,三圆必重合．7．设ABC △内切圆半径为r ,其与BC ,CA ,AB 的切点分别为D ,E ,F ．又设P ,Q ,R 分别是线段EF ,FD ,DE 的中点．由IBD △和IDQ △均为直角三角形,有22IQ IB ID r ⋅==．同理,2IR IC r ⋅=,于是B ,C ,R ,Q 四点共圆．由于点Q ,R 分别在IB ,IC 上,则I 在BQRC 的外部,I 关于BQRC 的幂为2IB IQ r ⋅=,从而该圆与I 直交．同理,CRPA ,APQB 也与I 直交,故A ',B ',C ',就是P ,Q ,R ,且PQR △的外接圆半径为2r ．即证．习题B由119022m m BMM BM MM B '''∠======︒-,12m ABM MM B ''∠===,有90BM M ABM '∠=︒-∠,由AB AN ⊥,有90ANB ABM ∠=︒-∠,即BM M ANB '∠=∠,故M ,M ',N ',N 四点共圆,此圆记为Γ．于是,MM '是O 和圆Γ的根轴．又A 在根轴上,则AN AN AB AB ''⋅=⋅,即AN AN '⋅恒为A 对于O 的幕． 2．记直线AM 与DN 的交点为Q ,须证点Q 在直线XY 上．连MN ,由P 在两圆根轴XY 上,知PC PM PB PN ⋅=⋅,由此有PBC PMN △△∽,故PMN PBC ∠=∠．再由AC 和BD 分别为两圆直径,有90AMP ∠=︒且90PBC D ∠+∠=︒,得180AMN D AMP PMN D ∠+∠=∠+∠+∠=︒,故A ,M ,N ,D 四点共圆,于是AQ QM QD QN ⋅=⋅,即点Q 对两圆的幂相等,从而Q 在两圆的根轴XY 上．3．连AE ,BE ,1AO ,12O O ,2O B ．设O 与1l 相切于H ,1EAO θ∠=,O 与1O 的半径分别为r ,1r ,则两圆外公切线长12AH rr =．再由1O A OB ∥,得12O AE O BE △△∽,于是A ,E ,B 共线,且12cos AE r θ=,2sec AB θ=,于是有24AE AB rr AH ⋅==1,即点A 对O 和2O 的幂相等,故A 在两圆的根轴（过切点D 的公切线）上,即AD 为两圆公切线．同理可知BC 为O 和1O 的公切线,故OC OD =,即22221122QO r QO r -=-,故12OE O O ⊥,即QE 为O 和2O 的公切线,于是QE QC QD ==,即Q 为CDE△的外心,另证：因12l l ∥,连1O A ,2O B ,则12O A O B ∥．连12O O ,则12AO E BO E ∠=∠连AE ,BE ,则12AEO BEO ∠=∠,故A ,E ,B 三点共线．设O 与1l 交于F ,同理可知B ,D ,F 三点共线,所以1122mmFAE ACE EmB BDE ∠=======∠．则A ,E ,D ,F 四点共圆,所以,B 点在O 与1O 的根轴 上,因此,BC 为O 与1O 的根轴．同理,AD 为O 与2O 的根轴．因此,Q 为O ,1O ,2O 的根心,且QC QD QE ==．所以,Q 为CDE △的外心．4．记AB 中点为M ,为证M 在C 和D 的根轴上,只须证M 向C 和D 引的切线长相等,只须证对任一与A 内切而与B 外切的圆Γ而言,自M 向Γ所引的切线长为定值（仅与A 半径R 及2AB a =有关,而与Γ的位置和半径r 无关）．连AC ,BC ,MC ,则AC R r =-,BC R r =+,2AB a =,故由斯特瓦尔特定理的推论（或三角形中线长定理）,有()()2222222222111142222MC AC BC AB R r R r a R r a ⎛⎫⎡⎤=+-=++--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．于是自M 点向C2222MC r R a --C 的位置与半径无关）,从而自M 点向C 和D 引的切线长相等,即M 在两圆根轴上,故直线．PQ 平分线段AB ．。

教学内容：义务教育课程标准华东师大版教科书七年级下册第十章中心对称第二单元中心对称一、内容和内容解析1.内容中心对称概念、性质和中心对称图形的概念.2.内容解析中心对称是旋转角为180°的旋转，是一种特殊的旋转．中心对称在生活中广泛存在，而中心对称图形是对轴对称图形,旋转知识的延伸与拓展,学生通过本节课再次体会旋转变化,认识中心对称和中心对称图形,同时也进一步完善初中学习中对“对称图形”知识的认识.本节课从旋转变化引入中心对称的概念，先让学生从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，在此基础上，通过探索成中心对称的两个图形的对称中心与对应点所连线段之间的关系获得性质，并能运用中心对称的性质画出一个图像关于某一点的对称图形，以画出的图形用描述的方式给出了中心对称图形的概念，类比中心对称得出中心对称图形的定义，渗透了从一般到特殊的数学思想方法，要求会判断一个图形是否为中心对称图形，在此基础上，通过对比中心对称和中心对称图形的概念、轴对称图形和中心对称图形，加深知识间的区别和联系．基于以上分析,确定本节课的教学重点是:中心对称概念、性质和中心对称图形的概念.二、目标和目标解析1.目标了解中心对称、中心对称图形的概念，会画一个简单几何体关于某一点对称的图形，会判断一个图形是否为中心对称图形．通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程．知道中心对称和中心对称图形联系与区别．感悟类比方法在研究数学问题中的作用．2.目标解析达成目标（1）的标志：学生能根据两个图形的特殊关系的到中心对称是旋转角为180°的旋转，类比旋转的定义得出中心对称的概念，用运动的观点观察和认识图形的过程中渗透旋转变化的思想．抽象出中心对称图形的特征，能正确识别简单的中心对称图形．达成目标（2）的标志：学生知道中心对称是旋转角为180°的旋转，进而得出中心对称的两个图形是全等图形，对称中心到两个对称点的距离相等．知道中心对称图形是一个图形，它绕一个点旋转180°后能与自身完全重合．中心对称反映了两个图形的位置关系，这两个图形绕着某一点旋转180°后能够重合；一个中心对称图形沿对称中心可以分成中心对称的两个图形，成中心对称的两个图形也可以看成是一个中心对称图形．中心对称图形和轴对称图形都是具有某种性质的一个图形．而中心对称图形有一个对称中心，图形绕中心旋转180°，轴对称图形有一条对称轴，图形沿轴对折．三、学生学情诊断学生学过轴对称图形,旋转的概念及性质,这是本节课的知识基础,在此基础上得出中心对称和中心对称图形的概念不难,但是需认识到中心对称的旋转角度必须是180°，而且这使得对称点和对称中心三点共线.而中心对称图形渗透了旋转变换思想,学生学习静态图形已成习惯,对运动变化不适应,教学时,老师要充分利用具体图形,让学生获得感性认识,进而归纳出中心对称图形满足的条件.基于以上分析,本节课的教学难点是:中心对称性质的探索、中心对称图形和中心对称的区别与联系.四、教学策略分析自然界和日常生活中有很多具有中心对称性质的事物,为学生的学习奠定了感性认识；经过轴对称图形的探索,学生具备了观察、归纳的能力；旋转的学习也为学生积累了探索的经验．因此，本节课采用演示、观察法，借助多媒体辅助教学．引导学生类比分析，通过自主探究、合作交流的方式，获取知识，掌握方法．五、教学过程前面我们研究了旋转及其性质，现在研究一类特殊的旋转--中心对称及其性质．1.了解中心对称的概念问题1 （1）如左图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？图1 图2 （2）如右图，线段AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？师生活动：教师展示两组图形，演示旋转过程，学生观察后回答问题（两个图形重合）．设计意图：让学生通过观察图形，感知中心对称的特征，为得出中心对称的概念作铺垫．从旋转变化的角度让学生从几何图形中体会中心对称是特殊的旋转．问题2 你能说说上述两个旋转的共同点吗？师生活动：学生独立思考后进行交流，然后学生代表发言．教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时追问．教师追问1：图形中旋转中心是哪个点？教师追问2：旋转的角度是多少？教师追问3：两个图形的关系是什么？师生活动：师生共同归纳得出：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．设计意图：进一步明确中心对称的共同点：（1）两个图形；（2）（选定）一个点；（3）旋转角是180°（4）两个图形重合．发现两个图形成中心对称图形的特征，进而概括出中心对称的概念．问题3 中心对称与旋转的联系和区别是什么？师生活动：学生思考并相互交流，发现其联系——中心对称和旋转都是绕着某一点进行旋转后两图形重合；区别--中心对称的旋转角都是180°，旋转的旋转角度不固定，中心对称是特殊的旋转．设计意图：进一步明确中心对称是特殊的旋转，为探索中心对称的性质作铺垫．问题4 对称中心和对称点事如何确定的？你还能指出图2中其他的对称点吗？师生活动：学生思考并回答．设计意图：明晰概念，让学生结合图1、图2理解定义中的“某一点”，明确对称中心和对称点的关系，为探索中心对称的性质作铺垫．2.探索中心对称的性质问题5 中心对称是特殊的旋转，它会有哪些性质？师生活动：教师引导学生动手操作，完成教科书64-65页的画图（图3）：旋转三角尺，画关于O对称的两个三角形；利用画好的图形，分别连接对应点AA′，BB′，CC′．图3教师追问1：点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？教师追问2：△ABC与△A′B′C′有什么关系？教师追问3：你能从以上过程中得到什么结论？师生活动：学生思考讨论并发表自己的看法．设计意图：让学生利用具体图形，获得感性认识，进而归纳出中心对称的性质．教师追问4：中心对称是特殊的旋转，你能从旋转的性质出发总结（演绎、类比）出中心对称的性质吗?师生活动：学生独立思考后进行交流，然后学生代表发言．教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时提出以下问题．教师追问5：中心对称的旋转角度是180°，这使得对称点和对称中心这三点有怎样的特殊位置关系？师生活动：师生共同归纳出中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．设计意图：通过中心对称性质的归纳总结让学生体会演绎和类比等方法在研究数学问题中的重要作用．清楚“三点共线”这一几何事实的表述方式．3.应用中心对称性质画图例（1）如下图4，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；（2）如下图5，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．图4 图5 师生活动：学生依据中心对称的性质动手画图，学生代表在黑板上画图．待学生完成作图后，教师进一步追问．教师追问1：为什么这样作出的点A′就是点A关于点O的对称点？教师追问2：怎样画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′？师生活动：学生思考并回答：要画一个多边形关于已知点的对称图形，只要画出这个多边形的各个顶点关于已知点的对称点，再顺次连接各点即可．设计意图：利用中心对称的性质画图，加强对中心对称性质的理解，为学习中心对称图形的学习作铺垫．4.了解中心对称图形的概念问题1：（1）图4我们已经画出点A关于点O的对称点A′，那么我们观察画出的图形整体有什么特点？（2）图5我们也观察画出的图形整体有什么特点？设计意图：让学生通过观察及动手操作，感知中心对称图形的特征，为得出中心对称图形的概念作铺垫．教师追问1：旋转的对象都是几个图形？教师追问2：图形都是绕着什么旋转？教师追问3：旋转的角度是多少？教师追问4：旋转后的图形与原图形有什么关系？师生活动：师生共同归纳出：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（板书：中心对称图形的定义）设计意图：进一步明确中心对称图形的共同点：(1)一个图形；(2)绕着某一个点；(3)旋转角是180°；(4)与本身重合．发现中心对称图形的特征，从而概括出中心对称图形的概念．问题2：在我们学过的图形中，有哪些是中心对称图形？学生活动：以小组为单位，操作手中的学具，归纳出初中阶段常见的中心对称图形．设计意图：学生实际操作，让学生更深刻的理解中心对称图形的特征．中心对称图形的形状通常匀称美观，我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形，如雪花．在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案，如地毯．另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，所以在各种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心对称图形，如水泵叶轮等．问题3：现实生活中你还见过哪些中心对称图形?师生活动：学生独立思考，给足够的时间小组交流归纳，看看哪个小组说出的图形最多．教师及时点评，课件展示生活中的一些中心对称图形及常见中心对称图形的几何图案．设计意图：加深了对中心对称图形这一概念的理解，培养了学生的识图能力和分析问题的能力，同时又让学生欣赏到了中心对称图形在生活中的应用和数学的美．5.小结反思(1)引导学生从数学知识和思想方法两个角度对本节课进行回顾小结．本节课应掌握：（1）中心对称的概念及性质、中心对称图形的概念．（2）根据性质作图．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的两个核心知识点：中心对称图形的概念，中心对称图形和中心对称的区别与联系．（2）课堂检测．六、课堂检测题必做题1.（10分）在下列图形中，既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A．等边三角形 B.等腰三角形 C.平行四边形 D.正方形2.（10分）下列图形中,是中心对称图形,但不一定是轴对称图形的是( )A.正方形B.矩形C.菱形 D．平行四边形3.（10分）下列汽车标志图案中属于中心对称图形的是（）A B C D4.（10分）下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D5.（10分）下列图形中，既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（）A B C D6.（20分）如图(1)所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到张扑克牌如图(2)所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，则应该是（ ）A ．方块4B ．黑桃 5C ．梅花6D ．红桃77.（30分）在①线段,②角,③等腰三角形,④等腰梯形,⑤平行四边形,⑥矩形,⑦菱形,⑧正方形,⑨圆中，是轴对称图形的有_______________ ,是中心对称图形的有_______________ ,既是轴对称图形又是中心对称图形的有______________.选做题为班级设计一个成中心对称图形的班徽.。

10-5 第十章 滑动轴承的结构类型
1、滑动轴承又哪些常见的结构形式？各有何特点？
整体式滑动轴承：结构简单，成本低廉，但是间隙不能调整。

对开式滑动轴承：结构复杂，但是间隙能调整。

2、滑动轴承中为什么要设置轴瓦？轴承合金能否制成轴瓦？为什么？
滑动轴承中要设置轴瓦的原因：要求轴瓦与轴配合时减摩性好、摩擦系数小，轴瓦材料硬度低于轴颈硬度，使磨损主要发生在轴瓦上。

因此磨损报废后，更换轴瓦比更换轴的成本低，而轴承座扔可继续使用。

轴承合金包括锡锑和铅锑轴承合金。

这类材料的机械强度低，不能直接制成轴瓦只能作为轴承衬使用。

3、轴瓦的材料有哪些？
轴瓦的材料有轴承合金、青铜、铸铁、粉末冶金和非金属材料。

4、滑动轴承轴瓦上浇铸轴承衬的目的是什么？
改善轴瓦的摩擦性
5、剖分式滑动轴承一般由哪些零件组成？其剖分面为什么通常设计成阶梯形？由轴承座、轴承盖、剖分轴瓦和联接螺栓组成。

为了安装时容易对中和防止横向错动，在轴承盖和轴承座的剖分面上做成阶梯形。

6、为了保证滑动轴承获得较高的承载能力，油沟应做在什么位置？
油沟应做在上轴瓦（上轴瓦不承受载荷，下轴瓦承受载荷，开油沟、油孔、油室会降低油膜的承载能力），油沟的轴向长度应比轴瓦宽度短，以免油从两端大量流失。