(山东专用)高考数学二轮复习 第一部分专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第3讲 统计与统计

高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计概率统计是高中数学中的一个重要内容，它涉及到随机事件的概率计算和统计分析。

在高三数学二轮复中，概率统计是一个需要重点复和掌握的知识点。

1. 概率计算概率计算是概率统计的基础，它涉及到事件发生的可能性大小的计算。

在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 根据样本空间和事件的定义计算概率；- 利用频率定义概率；- 使用排列和组合计算概率；- 利用事件的补集计算概率。

2. 随机变量和概率分布随机变量是概率统计中的重要概念，它表示随机事件的结果。

概率分布则是随机变量取各种可能值的概率分布情况。

在复中，我们应该掌握以下几个重点：- 定义随机变量和概率分布；- 计算离散型随机变量的期望和方差；- 计算连续型随机变量的期望和方差。

3. 统计分析统计分析是概率统计的另一个重要内容，它涉及到数据的收集、整理和分析。

在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 数据的收集和整理；- 数据的均值和标准差的计算；- 样本估计和参数估计的方法；- 使用统计推断进行判断和决策。

4. 解题技巧和思路在复的过程中，我们还需掌握一些解题技巧和思路：- 注意理解题目中的要求和条件；- 灵活运用概率计算的各种方法；- 注意统计分析中的常见统计指标的计算；- 理解样本和总体的关系，正确进行估计。

总之，对于高三数学二轮复微专题精选6的概率统计内容，我们应该系统性地复和掌握概率计算、随机变量和概率分布以及统计分析的相关知识。

同时，我们还应该注意解题思路和技巧的应用，提高解题效率。

通过充分理解和练，我们可以更好地应对考试中的概率统计题目，取得好成绩。

(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·新课标)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35i B.35iC ．－iD ．i解析：2＋i1－2i ＝－2i ＋1－2i＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.答案：C2．(2011·山西晋中模拟)某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )A ．1.6万户B ．4.4万户C ．1.76万户D ．0.24万户解析：由分层抽样按比例抽取可得1601 000×100 000＝16 000.答案：A3．[理](2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12 B.35 C.23D.34解析：甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率是12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.答案：D[文]从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析：假设正六边形的6个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形的有3种结果，故所求概率为15.答案：D4．(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5)9[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为2266＝13.答案：B5．[理]某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验．已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗(发芽，又成长为幼苗)”为事件AB ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件B |A ，由P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：D(文)(2011·北京西区城模拟)右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.710C.45D.910解析：记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x)．令90>15(442＋x)，由此解得x<8，即x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.答案：C6．(2011·杭州模拟)设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析：x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，∴x 甲与0.618更接近． 答案：A7．(2011·湖南高考)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由框图可知：P ＝1，S ＝1→P ＝2，S ＝32→P ＝3，S ＝116→P ＝4，S ＝2512，循环终止．输出P ＝4.答案：C8．[理](2011·杭州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)解析：发球次数X 的分布列如下表，所以期望E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75， 解得p >52(舍去)或p <12，又p >0.答案：C[文](2011·合肥模拟)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( )29 1 3A.x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛解析：由茎叶图可知，甲的成绩分别为72,78,79,85,86,92，乙的成绩分别为78,86,88,88,91,93，x 甲＝82，x 乙≈87，∴x 甲<x 乙，又经计算得s 2甲>s 2乙，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛．答案：D9．(2011·江西高考)若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i解析：由题意得，x i ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1， 即x ＋y i ＝2＋i. 答案：B10．(2011·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13D ．2解析：因为该程序框图执行4次后结束，每次s 的值分别是13，－12，－3,2，所以输出的s 的值等于2.答案：D二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．请把正确答案填在题中横线上)11．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂数”中有一个数是59，则m 的值为 .解析：依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2到n 的正整数的立方共用去数列{2n ＋1}中的n n ＋2－1项，数列{2n ＋1}(n ∈N *)中的第n n ＋2项是n (n ＋1)＋1.注意到7×8＋1<59<8×9＋1，因此m ＝8.答案：812．[理](2011·杭州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝ .解析：∵ξ～N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84， ∴P (ξ≤－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16. 答案：0.16[文]从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 .解析：从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．符合一个数是另一个数的两倍的基本事件有{1,2}，{2,4}共2个，所以所求事件的概率为13.答案：1313．(2011·南京模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.答案：(－1)n ＋1n 2＋n214．[理](2011·皖南八校)有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．(用数字作答)解析：记这两项课外活动分别为A ，B ，依题意知，满足题意的安排方法共有三类：第一类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是4,2，则相应的安排方法有C 46＝15种；第二类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是3,3，则相应的安排方法有C 36＝20种；第三类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是2,4，则相应的安排方法有C 26＝15种．因此，满足题意的安排方法共有15＋20＋15＝50种．答案：50[文](2011·杭州模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________．解析：甲比赛得分的中位数为28，乙比赛得分的中位数为36，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为28＋36＝64.答案：6415．[理](2011·山东高考)若(x －a x2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析：二项式(x －a x2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4. 答案：4[文](2011·广州模拟)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．解析：设低收入家庭被抽取的户数为x ，由每个家庭被抽取的概率相等得25125＝x95，解得x ＝19.答案：1916.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是________．解析：净重小于100克的频率是(0.050＋0.100)×2＝0.3，故这批产品的个数x 满足36x＝0.3，即x ＝120，净重大于或等于98克且小于104克的频率是(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，故所求产品的个数是120×0.75＝90.答案：9017．(本小题满分12分) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，__________，T 16T 12成等比数列． 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项的积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)(2011·广东高考)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分， 用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90. 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种．所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.19．(本小题满分14分)[理](2011·湖北郧西模拟)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记使得“m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件． (2)记ξ＝m 2，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}，由于整数m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16，故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.[文](2011·浙江五校联考)某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往H .(1)列出此人从小区A 到H 的所有最短路径(自A 至H 依次用所经过的小区的字母表示)；(2)求他经过市中心O 的概率．解：(1)此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H 共6条．(2)记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H 共4个，∴P (M )＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23.20．(本小题满分14分)[理](2011·绍兴模拟)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？ 解：(1)ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B (3，23)，E (η)＝3×23＝2.或者，P (η＝0)＝C 03(13)3＝127；P (η＝1)＝C 13(23)1(13)2＝29；P (η＝2)＝C 23(23)2(13)＝49；P (η＝3)＝C 33(23)3＝827. 所以，E (η)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.(2)D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，由η～B (3，23)，D (η)＝3×23×13＝23.可见，E (ξ)＝E (η)，D (ξ)<D (η)， 因此，建议该单位派甲参加竞赛．[文](2011·安徽河历中学)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a 、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． 解：(1)基本事件(a ，b )共有36个， 方程有正根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0， 即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19；(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.21．(本小题满分15分)[理](2011·海宁模拟)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．(1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；(2)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)甲运动员击中10环的概率是：1－0.1－0.1－0.45＝0.35.设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则P(A)＝0.35＋0.45＝0.8.事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为P1＝C13×0.8×(1－0.8)2＝0.096，恰有2次击中9环以上，概率为P2＝C23×0.82×(1－0.8)1＝0.384，恰有3次击中9环以上，概率为P3＝C33×0.83×(1－0.8)0＝0.512，因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率为0.992.(2)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，则P(B)＝1－0.1－0.15＝0.75.因为ξ表示2次射击击中9环以上(含9环)的次数，所以ξ的可能取值是0,1,2，因为P(ξ＝2)＝0.8×0.75＝0.6；P(ξ＝1)＝0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＝0.35，P(ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，所以ξ的分布列是所以E(ξ)＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6＝1.55.[文]一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析． (1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率． 解：(1)得60分的人数40×10%＝4.设抽取x 张选择题得60分的试卷，则4020＝4x ，∴x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，∴小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.22．(本小题满分15分)[理](2011·福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比” ＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性． 解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P (X 2＝3)＋4P (X 2＝4)＋5P (X 2＝5)＋6P (X 2＝6)＋7P (X 2＝7)＋8P (X 2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．[文](2011·嘉兴模拟)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)分别求甲、乙两工人被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：表2：①先确定x 、y ，再完成下列频率分布直方图．②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)甲、乙被抽到的概率均为110.(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名．故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：②x A＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x B＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。

第一部分专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第4讲 复数、算法、推理与证明专题强化精练提能 理[A 卷]1．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－i D ．4＋i解析：选A.由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋（3）2＋i ＝2＋i ，所以z －＝2－i.2．(2015·江西省九江市第一次统考)设复数z ＝2－i1＋i，则z 的共轭复数为( )A.12－32iB.12＋32i C ．1－3i D ．1＋3i解析：选B. z －＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i ，故选B.3．(2015·潍坊模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，输入的S 0的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.第一次循环，得S ＝S 0－21＝S 0－2，i ＝2；第二次循环，得S ＝S 0－2－22＝S 0－6，i ＝3；第三次循环，得S ＝S 0－6－23＝S 0－14，i ＝4，此时不满足i <4，输出S ＝－4，即S 0－14＝－4，所以S 0＝10，故选D.4．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15解析：选C.原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h .类比问题的解法应为等体积法， V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ， 即正四面体的内切球的半径是其高的14，故选C.5．“复数z ＝3－a ii在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.z ＝3－a i i ＝（3－a i ）·ii ·i＝－a －3i 对应的点在第三象限，则a >0，可以判断“a >0”是“a ≥0”的充分不必要条件．6．已知某算法的流程图如图所示，若输入x ＝7，y ＝6，则输出的有序数对为( )A ．(13，14)B ．(12，13)C ．(14，13)D ．(13，12)解析：选A.执行流程图得，n ＝1，x ＝6＋1＝7，y ＝8； n ＝2，x ＝y ＋1＝9，y ＝10； n ＝3，x ＝y ＋1＝11，y ＝12； n ＝4，x ＝y ＋1＝13，y ＝14；n ＝5，循环结束，输出(13，14)，故选A.7．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值是( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．0解析：选D.由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数S ＝a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （b ＋1），a ≥b ，a （b －1），a <b ，所以2tan 5π4⊗ln e ＝2⊗1＝4，lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2⊗3＝4， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝4－4＝0，故选D. 8．(2015·郑州模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝m －45－2m ＋25i ，若复数z 在复平面上对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －45>0，－2m ＋25>0，而此不等式组无解，所以复数z 在复平面上对应的点不可能在第一象限，故选A.9．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6?B ．k ≤7?C ．k ≤8?D ．k ≤9?解析：选B.第一次执行循环，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S ＝720，k ＝7.此时满足条件，故选B.10．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析：选B.通过观察得a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，a 9＝3，a 10＝5，a 11＝－3，a 12＝6，…，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＝4－1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝7＝8－1，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝11＝12－1，…，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＝2 016－1＝2 015，又a 4＝2，a 8＝4，a 12＝6，…，所以a 2 016＝1 008，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝2 015－1 008＝1 007.11．(2014·高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于________．解析：由题意，得S ＝0，n ＝1；S ＝0＋2＋1＝3<15，n ＝2；S ＝3＋22＋2＝9<15，n ＝3；S ＝9＋23＋3＝20，n ＝4，因为20≥15，因此输出S .答案：2012．已知复数z ＝a －32i ，且z 2＝b ＋32i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________．解析：由已知，得z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a －32i 2＝a 2－34－3a i ＝b ＋32i ，利用复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝b ，－3a ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－12，故a ＋b ＝－1.答案：－113．观察下列不等式：①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；…；则第n 个不等式为________．解析：观察题中不等式知，分母中根号下被开方数依次是1×2；2×3；3×4；…，所以所求的不等式为12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n .答案：12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n14．(2015·山西省质量监测)如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：第一次循环后m ＝1，n ＝1；第二次循环后m ＝3，n ＝2；第三次循环后m ＝14，n ＝3；第四次循环后m ＝115，n ＝4，循环结束，输出的n 为4.答案：415．在平面几何中：△ABC 的∠ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE BE ＝AC BC.把这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD[B 卷]1．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( )A.55B.55i C ．1 D ．i解析：选A.由z ＝|1＋2i|2－i ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5（2＋i ）5＝255＋55i ，可知其虚部为55. 2．用反证法证明命题：“若a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数B ．a ，b ，c ，d 全都为正数C ．a ，b ，c ，d 全都为非负数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：选C.用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定是“a ，b ，c ，d 全都为非负数”，故C 正确．3．复数z ＝1＋2i2 0151－i2 015(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015＝1－2i1＋i＝1－3i －22＝－12－3i 2，则z ＝－12＋3i2在复平面内对应的点在第二象限，故选B.4．(2015·山西省考前质量检测)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.第1次循环，得M ＝100＋3＝103，N ＝1×3＝3，i ＝2；第2次循环，得M ＝103＋3＝106，N ＝3×3＝9，i ＝3；第3次循环，得M ＝106＋3＝109，N ＝9×3＝27，i ＝4；第4次循环，得M ＝109＋3＝112，N ＝27×3＝81，i ＝5；第5次循环，得M ＝112＋3＝115，N ＝81×3＝243，i ＝6，此时M <N ，退出循环，输出的i 的值为6，故选C.4题图 5题图 5．如图给出的是计算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i >100，n ＝n ＋2C ．i >50，n ＝n ＋2D ．i ≤50，n ＝n ＋2解析：选C.因为12，14，…，1100共50个数，所以程序框图应运行50次，所以变量i 应满足i >50. 因为是求偶数的和，所以应使变量n 满足n ＝n ＋2，故选C.6．(2015·邢台市摸底考试)已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1 D ．z 1，z 2互为共轭复数解析：选C.依题意，z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；z －1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.7．设三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：若四面体S ­ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S ­ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C.设四面体的内切球的球心为O ，则V ＝V O ­ABC ＋V O ­SAB ＋V O ­SAC ＋V O ­SBC ，即V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，所以r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 8．(2015·太原质检)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算7 6 9 8 1 3 6 7 9 2 9 4 1 5 8 6 10 3 1 11 4A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.9．(2015·临沂模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( )A ．20B ．14C ．10D ．7解析：选C.依次执行程序框图中的语句，可得：①a ＝10，i ＝1；②a ＝5，i ＝2；③a ＝14，i ＝3；④a ＝7，i ＝4；⑤a ＝20，i ＝5；⑥a ＝10，i ＝6，因为当i ＝2 016时，跳出循环，而2 016＝1＋5×403，所以输出的a ＝10.10．[n ]表示不超过n 的最大整数． 若S 1＝[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，S 2＝[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，S 3＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21， …则S n ＝( ) A ．n (n ＋2) B ．n (n ＋3)C ．(n ＋1)2－1 D ．n (2n ＋1)解析：选D.观察得到：S n 是从n 2开始到（n ＋1）2(不含)之前共2n ＋1个n 的和， 所以S n 为n (2n ＋1)．即[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[（n ＋1）2－1]＝n (2n ＋1)．11．(2015·德州模拟)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为z ；④z 的虚部为－1. 其中所有正确命题的序号是________．解析：z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）(－1－i)＝－1－i ，|z |＝2；z 2＝2i ；z 的共轭复数为－1＋i ； z 的虚部为－1.所以正确命题的序号是②④. 答案：②④12．观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式________．解析：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan 30°＋90°2＝3，tan 15°＋75°2＝1，tan 20°＋40°2＝33，故对于一般的角α，β的等式为sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2.答案：sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β213．某天，小赵、小张、小李、小刘四人到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A 、B 、C 、D 四部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片．小赵说：只要不是B 就行； 小张说：A 、D 我都可以看；小李说：我们四人有共同喜欢的影片； 小刘说：除了A 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为________．解析：根据四人的描述可知，小赵可以看的影片有A 、C 、D .小张可以看的影片有A 、D ，小刘可以看的影片有B 、C 、D .又他们四人有共同喜欢的影片，所以只能是D .答案：D14．数列{a n }满足a n ＝n ，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n ＝5，a n ＝n ，x ＝2，则输出的结果v ＝________．解析：由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，初始值为n ＝5，x ＝2，v ＝a 5＝5，i ＝n －1＝4，执行程序框图的结果依次为v ＝5×2＋4＝14，i ＝3；v ＝14×2＋3＝31，i ＝2；v ＝31×2＋2＝64，i ＝1；v ＝64×2＋1＝129，i ＝0，此时终止循环，输出的v ＝129.答案：12915．(2015·南昌模拟)观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； …则当m <n 且m ，n ∈N 时， 3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1，1＝12－02； 由73＋83＋103＋113＝12， 知m ＝2，n ＝4，12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39， 知m ＝5，n ＝8，39＝82－52； …依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 2。