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第20讲 多边形与平行四边形1．多边形 考试内容考试要求多边形的定义 在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段 相接组成的图形叫做多边形．a 多边形的性质内角和 n 边形内角和为 ．c 外角和 任意多边形的外角和为 ． 对角线n 边形从一个顶点出发可以画____________________条对角线，一共可以画____________________条对角线．正多边形定义各边____________________，各角也____________________的多边形叫做正多边形．a 性质正n 边形的每一个内角的度数都是 ，每一个外角的度数都是 ．c 2.平行四边形的性质、判定方法考试内容考试要求性质 平行四边形的对边____________________.c平行四边形的对角____________________.平行四边形的对角线 ．平行四边形是 对称图形，它的对称中心是两条对角线的 ．判定 两组对边分别 的四边形是平行四边形(定义法)．两组对边分别____________________的四边形是平行四边形.两组对角分别 的四边形是平行四边形．一组对边____________________的四边形是平行四边形. 对角线的四边形是平行四边形．拓展若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积、周长．考试内容考试要求基本方法1.面积法，在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．c2.四种辅助线：(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．1．(2016·舟山)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是( ) A．6 B．7 C．8 D．92．(2016·绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( ) A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③3．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD 的度数是( )A．45°B．55°C．65°D．75°4．(2016·丽水)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )A．13 B．17 C．20 D．265．(2015·衢州)如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于( )A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【问题】(1)如图，你能从多边形中得到哪些信息？(2)如图，四边形ABCD是平行四边形，你能从这个图形中获取哪些信息？(3)如图是一张平行四边形ABCD的纸片沿对角线撕下的一部分，请你用不同方法复原平行四边形ABCD.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形的性质、判定方法．类型一多边形的性质例1(1)(2016·乌鲁木齐)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．(2)(2016·河北)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.①甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；②若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解后感悟】如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．1．(1)(2015·丽水)一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( )A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7类型二平行四边形的判定例2(1)(2017·荆门模拟)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法是__________(填序号)；(2)(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝________.【解后感悟】(1)探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．(2)注意：“以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形”与“四边形OABC是平行四边形”的区别．2．(1)(2017·嘉兴模拟)如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD，CD，则有( )A．∠ADC与∠BAD相等B．∠ADC与∠BAD互补C．∠ADC与∠ABC互补D．∠ADC与∠ABC互余(2)(2016·吉林)图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．①请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等)；②图1中所画的平行四边形的面积为.3．(2015·遂宁)如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：(1)AE＝CF；(2)四边形AECF是平行四边形．类型三平行四边形的性质例3如图，在▱ABCD中，(1)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D＝________；(2)若∠A＋∠C＝240°，则∠B＝________；(3)若对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝5，BC＝3，则△BOC的周长是＝________；(4)若∠A的平分线交边BC于点E.若AB＝10cm，AD＝14cm，则BE＝________cm，EC＝________cm；(5)若∠BAD与∠ADC的角平分线分别交边BC于点E，F，且AB＝2EF＝2，则BC＝________．【解后感悟】利用图形和平行四边形的性质是解题关键；对于(5)注意分类讨论．4．(1)(2017·泸州模拟)平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为( )A．4＜x＜6 B．2＜x＜8 C．0＜x＜10 D．0＜x＜6(2)(2017·丽水)如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )A. 2 B．2 C．2 2 D．4(3)(2015·河南)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10(4)(2017·黄岗模拟)在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝25，则▱ABCD的周长等于____________________．类型四平行四边形的应用例4如图1是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2，雨刷EF丄AD，垂足为A，AB＝CD，且AD＝BC.这样能使雨刷EF在运动时．始终垂直于玻璃窗下沿BC.请证明这一结论．【解后感悟】本题是实际问题，首先构建关于平行四边形的问题，再利用平行四边形的判定和性质来解决．5．(2017·嘉兴模拟)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为度．类型五平行四边形的综合运用例5(2017·舟山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC 的中点，BC＝2CD.(1)求证：四边形MNCD 是平行四边形；(2)求证：BD ＝3MN.【解后感悟】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所需要的线段、角，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．6．(1)(2016·东营)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是 .(2)(2017·温州模拟)如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连结CE ，F 是BC 边的中点，连结FD.①求证：四边形CEDF 是平行四边形；②若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．【作图探究题】如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：(甲)连结BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求．(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确( )A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【方法与对策】本题综合运用正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，问题通过实验操作为条件进行分析、综合、对照平行四边形判定，说明甲正确、乙错误．通过作图来计算、判断、证明是中考出题常用方法．【各种判定方法易混淆不清】已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有( ) A．6种B．5种C．4种D．3种参考答案第20讲多边形与平行四边形【考点概要】1．首尾顺次(n－2)×180°360°(n－3)n（n－3）2相等相等（n－2）×180°n 360°n2.相等相等互相平分中心交点平行相等相等平行且相等互相平分【考题体验】1．D 2.D 3.A 4.B 5.C【知识引擎】【解析】(1)n 边形的内角和(n －2)·180°，外角和360°； (2)从平行四边形的性质的角度说明； (3)从平行四边形的判定方法的角度说明(四个方面)．【例题精析】例1 (1)6； (2)①∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°＋2＝2＋2＝4.答：甲同学说的n 边形的边数n 是4；②依题意有(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°，解得x ＝2.故x 的值是2.例2 (1)①②、③④、①③、①④；(2)根据题意画图如下：以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则C(4，1)或(－2，1)，则x ＝4或－2；故答案为：4或－2.例3 (1)108° (2)60° (3)7.5 (4)10，4 (5)3或5例4 ∵AB＝CD 、AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD∥BC.又∵EF⊥AD，∴EF ⊥BC.例5 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴MD ＝NC ，MD ∥NC ，∴四边形MNCD 是平行四边形； (2)如图：连结ND ，∵四边形MNCD 是平行四边形，∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN ，∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°，∴△NCD 是等边三角形．∴ND＝NC ，∠DNC ＝60°.∵∠DNC 是△BND 的外角，∴∠NBD ＋∠NDB＝∠DNC，∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN＝12∠DNC ＝30°，∴∠BDC ＝90°.∵tan ∠DBC ＝DC DB＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.【变式拓展】1．(1)C (2)D 2.(1)B (2)①如图1，如图2；②63. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ∠ABE＝∠CDF BE ＝DF，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF. (2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB ＝∠CFD，∴∠AEF ＝∠CFE，∴AE ∥CF ，∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．4. (1)B (2)C (3)C (4)12或205.306.(1)4 (2)①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵DE ＝12AD ，F 是BC 边的中点，∴DE ＝FC ，DE ∥FC ，∴四边形CEDF 是平行四边形；②过点D 作DN⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，∴∠BCD ＝∠A＝60°，∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332，∴FN ＝12，则DF ＝EC ＝DN 2＋FN 2＝7.【热点题型】【分析与解】甲：如图1，∵正五边形的每个内角的度数是（5－2）×180°5＝108°，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝AE ，∴∠DEC ＝∠DCE＝12×(180°－108°)＝36°，同理∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABP ＝∠AEP＝108°－36°＝72°，∴∠BPE ＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，∴四边形ABPE 是平行四边形，即甲正确；乙：如图2，∵∠BAE ＝108°，∴∠BAM＝∠EAM＝54°，∵AB ＝AE ＝AP ，∴∠ABP ＝∠APB＝12×(180°－54°)＝63°，∠AEP ＝∠APE ＝63°，∴∠BPE ＝360°－108°－63°－63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE ≠∠BPE ，∴四边形ABPE 不是平行四边形，即乙错误；故选C .【错误警示】利用判定方法可得①②、①③、②④、③④，这四种情况能判定四边形ABCD是平行四边形．故选C.。
