第六讲 函数的概念

1.2 函数的概念和性质 1.2.1 对应、映射和函数一、对应与映射的概念（一）映射的概念（1）先看几个对应的例子：两个集合A 、B 之间的一些确定的对应关系：（2）一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一．．．．确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从．集合．．A 到集合．．．B 的．一个映射．．．．（．mapp ．．．．ing．．．）．。

记作“:f A B →”。

其中A 为映射的定义域．．．．．．．。

若,a A b B ∈∈，元素a 与元素b 对应，即:()f a b f a →=，则称元素b 叫做元素a 的象．，元素a 叫做元素b 的原象．．。

A 中所有元素的象构成的集合C 叫做象．集合．．，则C B ⊆。

（注意B 不能为C 的真子集，否则不能形成映射） 说明：①映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性．．．．．．．．．．．”； ②映射的三要素：原象、象、对应关系； ③A 中元素不可剩，B 中元素可剩； ④多对一行，一对多不行；⑤映射具有方向性：:f A B →与:f B A →一般是不同的映射。

其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字、符号等叙述。

⑥*一一映射：设:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若对集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称这种映射叫一一映射。

例1.下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）{}{},(,),A P P B x y x R y R ==∈∈是平面直角坐标系中的点，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（2）,A x x B x x ==是重庆一中的班级是重庆一中的学生，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生。

（3）{}{},A x x B y y ==是三角形是圆，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）{}{},A x x B y y ==是圆是三角形，对应关系f ：y 是x 的内接三角形；（5）5,,:A Z B Q f x y x==→=；（6）{}{}12,13A x x B y y =≤≤=≤≤，对应关系2:f x y x →=。

初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义【映射】1.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”2.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.3.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→:【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ）【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值.【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.【例题4】函数1)1()(3099-+-=x xx f ，则=-)2(f __________.【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值.【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A. B. C. D.【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5【练习】判断下列说法是否正确：（1）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （2）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （3）函数的定义域、值域均是无限集； （ ）【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53-【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21D.1初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义 【映射】4.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”5.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.6.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.答案：①④【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→: 答案：B【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.答案：），（61-; ），）或（（133,1-- 【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，答案：D【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.答案：2； 1【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ） 答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）× （6）√【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值. 解析：由题意可得：123133)3(-=+-++-=-f 1221131)1())3((+=+-++-=-=-∴f f f 答案：12;1+- 【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.答案：3 【例题4】函数1)1()(3099-+-=x x x f ，则=-)2(f __________.解析：由题意可得：当2-=x 时，()()01299≠--，()[]112099=--∴ ()8121)2(3-=--+=-∴f 答案：8-【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值. 解析：由题意可得：当0>a 时，213213)(+++=+++=a a a a a f 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f 答案：213)(+++=a a a f ; 112)1(+++=-a a a f 【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：C 【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：D 【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A.（1）、（2）B.（1）、（3）C.（2）、（4）D.（3）、（4）答案：A【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定答案：B【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2答案：C【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5答案：C【练习】判断下列说法是否正确：（4）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （5）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （6）函数的定义域、值域均是无限集； （ ） 答案：（1）× （2）× （3）×【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同答案：C【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.答案：C 【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53- 解析：由题意可得：531212)2(22=+-=f ,53121121)21(22-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f∴15353)21()2(-=-=f f . 答案：B【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21 D.1 解析：由题意可得：0|21||121|)21(=--=f ，1|0||10|)0()]21([=--==∴f f f . 答案：D。

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念 知识点1 函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. （3）区间的表示 (1)一般区间的表示.设a ，b ∈R数轴表示(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________.题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个题型二 相等函数【例2】 (1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1； ②f (x )＝x x ，g (x )＝xx； ③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).(2)试判断函数y＝x－1·x＋1与函数y＝（x＋1）（x－1）是否相等，并说明理由.规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数：(1)f(x)＝(x)2；g(x)＝x2.(2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.题型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.【训练3】已知函数f(x)＝x＋1x＋2. (1) 求f(2)；(2) 求f(f(1)).方向1已知函数的解析式求函数的定义域【例4－1】求下列函数的定义域：(1)y＝（x＋1）2x＋1－1－x；(2)y＝5－x|x|－3.方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，且自变量t ＝x ＋1，那么函数y ＝f (t)的定义域是什么？【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )2.下列各组函数中表示相等函数的是( )A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *) D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)3.函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.4.已知函数f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值.1.2.2函数的表示法知识点题型一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0，3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示. 规律方法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.题型二列表法表示函数【例2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.规律方法列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.【训练2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出(1)f(g(3))＝__________；(2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.题型三求函数表达式方向1待定系数法求函数解析式【例3－1】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.方向2换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【例3－2】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).知识点 分段函数 分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x 的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数.【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.【变式1】例1条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值.【变式2】 例1的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围.题型二 分段函数的图象及应用【例2】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2). ①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象； ③写出函数f (x )的值域.【训练2】 已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2（－1≤x ≤1），1 （x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域.。

第六讲：基本初等函数【考点梳理】 1．幂函数的概念一般地，形如y x α=(R α∈)的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，α为常数.2．几个常见幂函数的图象与性质3(1)幂函数在(0,)+∞上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点(1,1).(3)当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调递增. (4)当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象.4.根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 5.分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mn a =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是mn a-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．6.指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R ； ②()(0,,)r s rs a a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R .7.指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞8.（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .（3）对数式与指数式的互化：log xa a N x N =⇔=.9.对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质： ①负数和零没有对数，即0N >； ②1的对数等于0，即log 10a =； ③底数的对数等于1，即log 1a a =； ④对数恒等式log (0)a N a N N =>. （2）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么： ①log ()log log a a a M N =M +N ⋅； ②log log log aa a M=M N N-； ③log log ()na a M =n M n ∈R . （3）对数的换底公式 对数的换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c bb a ac c b a=>≠>≠>且且. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①log log 01,0()且m na a nb b a a b m=>≠>； ②(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠； ③log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，0d >).10.对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如log xa y =(0a >，且1a ≠)的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞．（2）对数函数的图象与性质定义域：(0,)+∞【典型题型讲解】考点一：幂函数的定义及其图像【典例例题】例1．幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．0或2C ．0D ．2【答案】D 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，当0m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意，当2m =时，()3f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意，所以2m =. 故选：D.例2．已知幂函数pq y x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且0p q > B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q<C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q< 【答案】D 【详解】因函数p q y x =的图象关于y 轴对称，于是得函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数， 又函数pq y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞上单调递减，则有pq<0， 又因p 、q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确. 故选：D【方法技巧与总结】1、5种特殊幂函数的图像及其性质；2、幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法. 【变式训练】1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______． 【答案】．3x （答案不唯一）【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或m nα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.2.已知幂函数()()22322nnf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______. 【答案】1因为()()22322nnf x n n x-=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意， 当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.3.如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质：∈都经过点（0，0）和（1，1）； ∈在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快 【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：∈α越大函数增长越快；∈图象从下往上α越来越大；∈函数值都大于1；∈α越大越远离x 轴；∈α＞1，图象下凸；∈图象无上界；∈当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；∈当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．4.已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+ 【答案】A 【详解】当2x <时，函数3()(1)f x x =-是增函数，函数值集合是(,1)-∞，当2x ≥时，2()f x x=是减函数，函数值集合是(]0,1，关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点， 在坐标系内作出直线y k =和函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当01k <<时，直线y k =和函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个不同的实根，所以实数k 的取值范围为(0,1). 故选：A考点二：指数与指数幂的运算【典例例题】 例1．化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2）111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a .【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决； 【变式训练】1121)-=（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．0【答案】B 【详解】()121121133221561)a b a bab ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1111111115332223632615661a b a baba b---+-⋅⋅⋅==⋅=⋅2.甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（ ） A ．2x =-或2log 3x = B ．1x =-或1x = C ．0x =或2x = D ．1x =-或2x =【答案】D 【详解】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ， 所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=， 则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是1x =-或2x = 故选：D考点三：指数函数的图像及性质【典例例题】例1.函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞【答案】C 【详解】由题设，|1|2x y =-与y m =只有一个交点， 又|1|2x y =-的图象如下：∈m ∈{}[)01,∞⋃+. 故选：C.例2.已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（ ）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞【答案】D 【详解】因为()1f x -为定义在R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0-对称， 且()10f -=，又()10f =，所以()30f -=． 依题意可得，当31x -<<-或1x >时，()0f x <．所以()250xf -<等价于3251x -<-<-或251x ->，解得12x <<或2log 6x >． 故选：D【方法技巧与总结】1、指数函数的解析式具有单一性；2、指数函数的单调性和图像与底数有关系. 【变式训练】 1.函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的值域为()0,1 C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．()f x 是增函数 【答案】A 【解析】 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()1002f =≠， 所以，函数()f x 的图象不关于原点对称，A 错； 对于B 选项，因为e 11x -+>，所以，()()10,11e xf x -=∈+，B 对； 对于C 选项，由()111e 2xf x -=>+可得1x e -<，则0x -<，解得0x >，C 对； 对于D 选项，对任意的R x ∈，1e 1x y -=+>，且函数1e x y -=+在R 上单调递减，故函数()f x 是增函数，D 对. 故选：A.2.函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92或4.5【详解】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭19522⎛ += ⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n∴+-的最小值为92.故答案为：92.3.已知定义在R 上的函数()f x 满足：∈()2()0f x f x -+=；∈()()20f x f x ---=；∈在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称， 由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于1x =-对称， 作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．4．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()2,4【答案】B 【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣， 则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B5．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x π=++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】4043 【详解】由题意，函数()4sin 22x x f x π=++， 可得()()244sin sin[(2)]22222xx f x x f x x ππ-+=+++-++- 224424222224222222x xx x x x--⋅⋅=+=+=++⋅++， 设124043202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则404340421202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，可得140432404222022202220222022S f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦404312404320222022f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以4043S =.故答案为：4043.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．【答案】10092 【详解】由(1)2(1)f x f x +=-，得(2)2()f x f x +=，于是()()()()210102020220182201620f f f f ====，又当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，故可得()102f =， 则()1010100912020222f =⨯=. 故答案为：10092.7．已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【详解】∈当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；∈当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；∈当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；∈当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.8．设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【答案】[1,2] 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得11≤-a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2考点四：对数概念与对数运算【典例例题】例1.（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 【变式训练】 1.（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案. （2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B 【详解】将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++ 222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=.故选：B.3．（2022·广东韶关·一模）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的1100？（ ） （参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19【答案】．A【详解】设该种放射性物质初始质量为m ，经过n 年，剩留量变为1100m ， 则可建立模型为31()4100n m m ⋅=， 即1lg22100163lg32lg 20.477120.3010lg 4n --===≈--⨯， 所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的1100. 故选：A.4．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y %，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数()100.05ty e R λλ-=+∈描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ） （参考数据ln3 1.1≈） A ．11分钟 B ．14分钟 C ．15分钟D ．20分钟【答案】．A【详解】依题意可知0=t 时，0.2y =，即0.050.2,0.15λλ+==， 所以100.050.15ty e -=+， 由100.050.1150.ty e -≤=+，得1013t e-≤，两边取以e 为底的对数得 1ln ln 3 1.1103t -≤=-≈-，11t ≥， 所以至少需要11分钟. 故选：A考点五：对数函数的图像及性质【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）已知函数()log a f x x =（0a >，1a ≠），则()1y f x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．B【详解】由题意，()(1)log (1)a y g x f x x ==-=-，∈()log (1)()a g x x g x -=--=，即()g x 为偶函数，排除A 、D ； 当3x =时，(3)log (31)log 2a a y g ==-=， 当32x =时，33()log (1)log 222a a y g ==-=-，∈3x =、32x =对应函数值异号，排除C ；故选：B例2．（2022·广东珠海·高三期末）设3log a π=，2log 3b =，0.30.2c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】．B【详解】3331log 2ππ<<<<，即312a <<，223log 3log 2b b =>>， 而0.300.20.21c c =<⇒<，所以b a c >>， 故选：B ．【方法技巧与总结】1、对数的函数的图像画法，定点问题；2、对数函数的图像及性质应用. 【变式训练】1．（2022·广东茂名·一模）已知,,x y z 均为大于0的实数，且523log x yz ==，则,,x y z 大小关系正确的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】．C【详解】解：因为,,x y z 均为大于0的实数，所以523log 1x yz t ===>，进而将问题转化为函数52,3,log x xy y y x ===与直线1y t =>的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图， 由图可知z x y >> 故选：C2．（2022·广东茂名·一模）已知函数2log ,02()3,2x x f x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若123,,x x x 均不相等，且123()()()f x f x f x ==，则123x x x ⋅⋅的取值范围是___________ 【答案】(2,3)【详解】不妨设123x x x <<，由图可得，()21223log log 30,1x x x ==-+∈， 所以2122log log ,x x =-即121=x x ，由123()()()f x f x f x ==得，3(2,3)x ∈，所以123x x x 的取值范围是(2,3) 故答案为：(2,3)3．（2022·广东湛江·一模）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】．3,2⎛- ⎝【详解】函数21()2f x x ax =++恒过点1(0,)2 ，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，当21()2f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，故20121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪⎪=++>⎨⎪⎪=-⨯>⎪⎩解得32a -<<故答案为：3,2⎛- ⎝4.己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a ，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =3log y x =单调性，b >. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <，其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <<． 故选：A5.（多选题）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x xxx x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x xx x x x x x x x xx a a a aa a a a a a a a ax f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a+≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD6.（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】CD 【详解】设()e xf x x =+，则()f x 在R 上单调递增，因为()()()ln ln e ln eb af b f a b a -=+-+ln (ln )0a a a a =+-+=，则ln b a =， 设0at b=>，则a bt =，即()ln ln ln ln a b bt b t ===+， 所以ln ln t b b =-，设()ln ,0g x x x x =->，()111x g x x x-'=-=， 当'(0,1),()0x g x ∈<，当'(1,),()0x g x ∈+∞>， 则()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，()()min 11g x g ==，即ln 1t ≥，所以e t ≥，即e ab≥， 故ab的取值可以是3和4. 故选：CD. 【巩固练习】1．已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减【答案】B 【解析】 【详解】解：1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，又3xy =与13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，所以1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增；故选：B2．1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数1.7783）（ ）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍【答案】C 【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C3．已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（ ）A ．26B ．16C ．－16D ．－26【答案】A 【详解】 由题意得当m 1≥时，1312m +-=-，方程无解，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，解得4m =-，所以()216(64)(2)3126f m f f ++=-==-=，故选：A4．若函数()32log 9x f x x x=+-0x ，则()0091xx -=（ ）．A ．13B ．1 CD ．2【答案】B 【详解】由题设1x >，由0()0f x =得：0009(1)x x -= 若009(1)xx t -=，可得002103x t x -=>，若0t =，可得0201103tx x -=>，综上，22133x x t t =，故1t =.故选：B5．已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ） A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-【答案】C 【详解】因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11112222f x f x ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =，所以()3331010log 90log log 927f f f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[)310log 1,027∈-，所以310log 273101017log 311272727f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()317log 9027f =， 故选：C6．关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（ ）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <【答案】C 【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xxy =-与13y x =是增函数，且函数值为正数， 故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小， 函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误； B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对； C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立， 故选：C ．7．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈，1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯【答案】B 【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为x 秒，则有5121422.510x =⨯，两边取常用对数，得()51251214142lg lg lg 2lg 2.5102.510x ==-⨯⨯ ()()512lg2lg2513512lg22lg513=-+=-+()512lg221lg213514lg215139.2=---=-≈， 所以139.21390.2139101010 1.5810x ==⨯≈⨯. 故选：B. 8．已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2 B ．2log 3 C ．2 D ．3【答案】A 【详解】因为1log 3m p =，所以3log m p =，得3p m =， 所以2223923(3)0p p p p m n -=⨯-=⨯-=.即3(23)0p p -=. 因为30p ≠，所以32p =，解得3log 2p = 故选：A ．9．已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ）A ．111x y z +=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=【答案】C 【详解】令(34zx y a ===，则34log ,log ,log x a y a z ===，故111log 3,log 4,log a a a x y z===112log 122log a a x y z +=== 故选：C 二、多选题10．在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【详解】当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞单调递增且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B 符合要求；当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞单调递减且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递减且其图象恒过点(3,0)，则选项D 符合要求；综上所述，选项B 、D 符合要求. 故选：BD.11．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac += B ．ab bc ac += C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-【答案】ACD 【解析】 【详解】解：设1469a b c t ==>=，则4log a t =，6log b t =，9log c t =， 所以6694lg lg log log lg 6lg 6lg lg log log lg 9lg 4t tt t b b t t c a t t+=+=+()2lg 94lg 9lg 4lg 9lg 4lg 62lg 6lg 6lg 6lg 6lg 6⨯+=+====， 即2b b c a +=，所以112c a b +=，所以121c b a =-，故D 正确；由2b bc a+=，所以2ab bc ac +=，故A 正确，B 错误； 因为()249444a c a a a ⋅==⋅，()()()22494966bbb b b ⋅=⨯==，又469a b c ==，所以()()2246a b =，即4949b b a c ⋅=⋅，故C 正确；故选：ACD12．下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-【答案】ACD 【详解】对于A 中，当1a =时，函数()(lg f x x =的定义域为R ，关于原点对称，又由()()((+-lg lg lg10f x f x x x =+-==，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，所以A 正确； 对于B 中，因为函数2yx 为偶函数，所以函数()2f x x ax =+不可能是函数，即不存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数，所以B 不符合题意； 对于C 中，由函数()21x af x e =--定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又由()()f x f x -=-，即2211xx a ae e --=-+--，解得4a =-，所以C 符合题意；对于D 中，当1a =时，函数()()())2ln 1[ln 12ln]2xx xx xf x x e x e x =+-==+-，其定义域为R ，关于原点对称，又由()))()lnlnx xf x f x x x -=-=-=-，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，所以D 正确； 故选：ACD.13．已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（ ）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD()()()123f x f x f x t ===，进而得到1x ,2x ,3x 关于t 的增减性以及t 的取值范围，数形结合分析选项即可得解.【详解】作出函数()f x 的大致图象,如图所示， 设()()()123f x f x f x t ===，数形结合得:13,x x 均是关于t 的增函数，2x 是关于t 的减函数，且24t <<.当01x <≤时，令()2f x =，得16x =或56， 所以12115626x x <<<<，312x <<，且121x x =+，所以()1232,3x x x ++∈，故A 正确；不妨设223x =，则()()2324sin 3t f x f x π====，此时()232x f x =>，所以B 错误；因为121x x =+，所以()21211111511,24364x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12x x 与3x 均为关于t 的增函数，所以12351,362x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为1x 为关于t 的增函数，11162x <<，()324f x t <=<，所以()131,23x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题 14．2log 142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.【答案】10 【详解】24log 2log 21422424102-⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭.故答案为：10.15．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：∈,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；∈()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________. 【答案】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.16．已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a 的取值范围为___________.【答案】41,log 32⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦(]2,4【详解】若1a ≤，则()41a f a =-，故1412a <-≤，解得41log 32a <≤，故41log 32a <≤； 若1a >，则2()log f a a =，故21log 2a <≤，解得24a <≤，故24a <≤； 综上：41log 32a <≤或24a <≤. 故答案为：41,log 32⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦(]2,4. 7．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：∈函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；∈函数()y f x =是以2为周期的周期函数；∈当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；∈函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．【答案】∈∈∈【详解】由题知()y f x =为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--，所以其图象还关于点()1,0对称，据此可判断函数()f x 为周期函数，2是函数()f x 的周期．又当()1,2x ∈时，()21log f x x =-，画出函数图象可知∈∈正确，∈错误．当()0,1x ∈时，()21,2x -∈，所以()()221log 2f x x -=--，又因为函数()f x 是以2为周期的奇函数，所以()()()2f x f x f x -=-=-，所以()()()22log 21f x f x x =--=--，所以∈也正确． 故答案为：∈∈∈．。

数学函数概念知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将某个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。

通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量。

2. 自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，因变量是输出的值。

自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。

3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

函数在定义域上的取值构成了函数的值域。

4. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系上的表示，通常用曲线或者点来表示函数的图像。

函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点。

5. 函数的性质函数可以有多种性质，包括奇偶性、周期性、单调性等。

这些性质可以通过函数的图像和代数表达式来进行分析和判断。

二、常见的函数类型1. 一次函数一次函数是指函数的最高次项为1的函数，通常表示为y=ax+b，其中a和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线与y轴的交点。

2. 二次函数二次函数是指函数的最高次项为2的函数，通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数的图像是抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线在y轴上的位置。

3. 幂函数幂函数是指函数的表达式为y=ax^n的函数，其中a为常数，n为整数。

幂函数的图像通常呈现出不同的形状，包括指数增长、指数衰减以及平方、立方等曲线形状。

4. 指数函数指数函数是一种特殊的幂函数，表达式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像通常呈现出指数增长或者指数衰减的趋势。

5. 对数函数对数函数是指函数的表达式为y=log_a(x)，其中a为底数。

对数函数的图像通常呈现出对数增长或者对数衰减的趋势。

6. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是以圆上的角度为自变量的周期函数。

三角函数在物理、工程、天文等领域有着广泛的应用。

八年级上册第六讲一次函数的图像和性质一、知识点导航（一）一次函数概念1. 若两个变量x,y存在关系为____________的形式，则称y是x的一次函数。

2. 当b=0时，y=kx，y叫x的________函数。

（二）图象：一次函数的图象是一条________1. 两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- 0）。

2. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。

3. 由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx_______，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x______。

(三) 一次函数图象的性质1. 图象在平面直角坐标系中的位置:2. 增减性：k>0时，y随x增大而______；k<0时，y随x增大而________。

二、例题精析题型一一次函数与正比例函数的图像经典例题例1. 如图所示，两条直线分别表示函数和，请根据图像，回答下列问题：（1）直线AB表示的图像，直线OB表示的图像.（2）函数随x的增大而，函数随x的减小而.例2.直线y＝kx+b与直线y＝kbx，它们在同一个坐标系中的图象大致为（）举一反三1. 一次函数的图像过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式.2. 如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）变化的图像（全程）.根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇；（2）求这次比赛的全程是多少千米；（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.3. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？4．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里．图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是（）．题型二求一次函数的解析式经典例题例1 . 直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。