第六章 函数逼近与函数插值
本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等.
6.1 函数逼近的基本概念
进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )−f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型.
6.1.1 函数空间
线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念.
在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域ℝ，若讨论复数函数，则相应的是复数域ℂ. 另外，与线性代数中讨论的向量空间ℝn 不同，连续函数空间是无限维的.
对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)：
1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| .
其几何意义如图6-1所示，即函数值绝
对值的最大值.
2) 1-范数
‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a .
其几何意义如图6-2所示，即函数曲线
与横轴之间的面积总和.
3) 2-范数
‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义
与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它
定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.
定义6.1：设S为实数域ℝ上的线性空间，∀u,v∈S，定义值域为ℝ的二元运算〈u,v〉，若满足
1)〈u,v〉=〈v,u〉, (可交换性)
2)〈αu,v〉=α〈u,v〉, ∀α∈ℂ(线性性1)
3)〈u+v,w〉=〈u,w〉+〈v,w〉, ∀w∈S(线性性2)
4)〈u,u〉≥0，当且仅当u=O时①，〈u,u〉=0, (非负性)
则称〈u,v〉为一种实内积运算(inner product). 定义了内积的线性空间称为实内积空间.
应说明的是，将定义6.1加以扩展可在更一般的实数域ℂ上定义内积，区别只是将第1条性质改为共轭可交换性：
〈u,v〉=〈v,u〉 .
例如复向量的内积为: 〈u,v〉=u T v̅，可以验证它满足上述共轭可交换性. 下面只考虑实内积，但得到的结果都可以类似地推广到复内积空间. 另外，定义6.1的条件2还说明零元素与任意元素的内积均等于0.
根据内积的线性性可推出：
〈α1u1+α2u2,v〉=α1〈u1,v〉+α2〈u2,v〉,∀α1,α2∈ℂ,(6.1) 更一般地有：
〈∑αj u j n
j=1,v〉=∑αj〈u j,v〉
n
j=1
,∀α1,⋯,αn∈ℂ.(6.2)
这里主要考虑函数空间，则(6.2)式表明，线性组合函数(与另一函数作)内积等于(相应各个函数)内积的线性组合.
可以规定一种依赖于内积运算的范数：
‖u‖≡√〈u,u〉 .
易知这种内积导出的范数满足范数定义的三个条件（见3.1.2节），详细证明过程留给读者思考. 应注意，在向量空间中，由内积导出的范数等同于向量的2-范数. 在实函数空间C[a,b]中，一般定义内积为
〈u(x),v(x)〉=∫u(x)v(x)dx
b
a
,(6.3) 因此，由它导出的范数也等同于函数空间的2-范数.
下面介绍与内积有关的两个重要定理.
定理6.1：设S为实内积空间，∀u,v∈S，有：
|〈u,v〉|2≤〈u,u〉∙〈v,v〉 .(6.4) 这是著名的柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz inequality).
定理6.1的证明留给读者思考，若u,v为三维向量，也请思考该定理有什么几何含义？定理6.2：设S为实内积空间，u1,…,u n∈S，则格莱姆矩阵（Gram matrix）
G=[〈u1,u1〉〈u2,u1〉⋯〈u n,u1〉〈u1,u2〉〈u2,u2〉⋯〈u n,u2〉⋮⋮⋱⋮
〈u1,u n〉〈u2,u n〉⋯〈u n,u n〉
](6.5)
非奇异的充要条件是u1,…,u n线性无关.
[证明] 首先要用到线性代数中的一个基本结论：
矩阵G非奇异⟺det(G)≠0⟺齐次线性方程组Ga=0只有全零解.
设向量a=[a1,…,a n]T，则方程Ga=0可写成：
①这里用正体的字母O表示线性空间的零元素.
∑a j 〈u j ,u k 〉n
j=1=0,
k =1,2,⋯,n (6.6)
下面证明方程组(6.6)只有恒零解的充分必要条件是u 1,…,u n 线性无关. 先证必要性，即已知方程组(6.6)只有恒零解，要证u 1,…,u n 线性无关. 采用反证法，若u 1,…,u n 线性相关，即存在不全为0的一组系数{αj ,j =1,⋯,n}使∑αj u j n j=1=O ，则
∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j n
j=1
,u k 〉=〈O,u k 〉=0,(k =1,…,n ),
即这组{αj }是方程组(6.6)的解，与已知条件矛盾！
再证明充分性，即已知u 1,…,u n 线性无关，要证方程组(6.6)只有全零解. 仍采用反证法，若方程组(6.6)存在不全为零的一组解{αj }，则
∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j n
j=1
,u k 〉=0,k =1,…,n
将上述方程中第k 个方程乘以αk ，累加所有方程得到，
〈∑αj u j n j=1,∑αj u j n
j=1
〉=0 ,
根据内积的定义，必有∑αj u j n j=1=O , 也就是说存在不全为0的一组{αj }j=1n 使∑αj u j n j=1=O ，
这与u 1,…,u n 线性无关的已知条件矛盾！综上所述，完成了定理的证明.
应注意，格莱姆矩阵是实对称矩阵，并且当u 1,…,u n 线性无关时，它是对称正定矩阵. 针对实函数空间C[a, b]，常常有权函数、加权内积的概念.
定义6.2：若函数ρ(x )≥0,∀x ∈[a,b]，且满足
1) ∫x k ρ(x )dx b
a 存在，(k =0,1,…),
2) 对非负连续函数g (x )，若∫g (x )ρ(x )dx =0b a 可推出g (x )≡0,
则称ρ(x)为区间[a,b]上的权函数(weight function).
关于权函数的定义，说明几点：
● 定义中对连续性没有要求，即ρ(x )可能不是连续函数；第1个条件要求的是ρ(x )与
多项式乘积为可积函数.
● 定义中第2条件的意义不是很直观，较直观的一种等价形式为：不存在子区间
(c,d )⊆[a,b]，使ρ(x )=0,∀x ∈(c,d )，即“权函数在[a,b]中任一子区间不恒为零”. ● 一般遇到的C [a,b ]中非负函数（一定有界、可积），若不在某一子区间恒为零，则
都可作权函数.
定义6.3：若ρ(x )为区间[a,b]上的权函数，则可定义C [a,b ]上的内积为：
〈u (x ),v (x )〉=∫ρ(x )u (x )v (x )dx b a ,
(6.7)
并称其为加权内积(weighted inner product).
容易验证加权内积满足一般内积的定义，并且常用的函数内积(6.3)式是加权内积的特例，其对应于权函数ρ(x )≡1的情况. 根据加权内积，也可以导出范数，这种范数可看成是广义的2-范数，其公式为：
