3.4-1生活中的优化问题举例

§3.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm,0<x <30，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． 跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 的值为________．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案]6πS 3π[解析] 设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2， S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ， ∴h ＝S －2πr 22πr.又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最小． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最小时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料(费用)最省问题例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题解 设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x ＝1280x (元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来表示， 所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1280x ＝800＋160ln x ＋1280x (x >0)，所以g ′(x )＝160(x －8)x 2(x >0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0<x <8时， g ′(x )<0，当x >8时，g ′(x )>0，所以当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．反思与感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋1212mx -＝m 2x 232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( ) A ．公司已经亏损 B ．公司的盈利在增加 C ．公司的盈利在逐渐减少D ．公司有时盈利有时亏损 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] C[解析] 因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．2．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] D[解析] 由y ′＝－x 2＋36＝0， 解得x ＝6或x ＝－6(舍去)． 当0<x <6时，y ′>0； 当x >6时，y ′<0， ∴在x ＝6时y 取最大值．3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3 B ．3m 3 C ．4m 3D ．5m 3 考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝92－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32，故长方体的体积为V (x )＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎫0<x <32， 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题[答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其表面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a. 令S ′＝2a －210a 2＝0，得a ＝8. 当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0，故当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2882＝4. 5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则每星期多卖的商品数为kx 2.若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数[解析]式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.4 生活中的优化问题举例同步练习题【基础演练】题型一：有关最值问题的实际应用 解实际应用问题要注意以下几点：①设变量列出函数关系式；②确定自变量的实际定义域；③唯一的极值点即为最值点，请根据以上知识解决以下1~4题1. 如图3-4-1，在边长为cm 60的正方形铁皮四角除去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？2. 以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 A. 10 B. 15 C. 25 D. 503. 某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________。

4. 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为()0x 1x 1x 3Q ≥++=，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件焦价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和。

（1）试将利润y （万元）表示为年广告费x （万元）的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？题型二：有关导数求极（最）值的综合应用 利用导数求函数极（最）值，涉及高中数学的各方面，尤其函数最为明显，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. ()a x 3x 2x f y 23+-==的极大值为6，那么a 等于A. 6B. 0C. 5D. 16. 已知函数()qx px x x f 23++=的图象与x 轴切于非原点的一点，且4y =极小值，那么=p __________，q=__________。

7. （2006·四川）已知函数()1ax 3x x f 3-+=，()()5ax x f x g --'=，其中()x f '是()x f 的导函数。

3.4 生活中的优化问题举例学习目标:解决一些综合问题 重点:实际问题的应用 难点:实际问题的应用 教材助读:导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．合作探究展示点评例1：工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为p ＝⎩⎨⎧16－x，0＜x ≤c ，23，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． (1)将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)例2：经济学上规定，对于某经济函数y ＝f (x )，称xf ′(x )f (x )为该经济函数的弹性，它表示经济变量x 变动1%时，经济变量y 相应变动的百分比．现有一个企业生产一种商品，年产x 件的总成本为c ＋dx ，年需求量g (p )是价格p 的函数，即g (p )＝a －bp (a ，b ，c ，d ＞0)．求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格；(3)若企业将价格定为p ＝a4b ，求此时需求对价格的弹性，并说明它的实际意义．例3：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息．这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，因此，他打算申请这种贷款在购房时付清房款．(1)若贷款的利率为x ，x ∈(0,0.048)，写出贷款量g (x )及他应支付的利息h (x )； (2)贷款利息为多少时，张明获利最大？ 当堂检测1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．3002．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8C ．43D ．833．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )A ．16m,16mB ．32m,16mC ．32m,8mD ．16m,8m4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大效益，则x 的取值为( )A ．0.0162B ．0.0324C ．0.0243D ．0.04865．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？8．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？——★ 参 考 答 案 ★——：合作探究展示点评例1：解：(1)当x ＞c 时，p ＝23，y ＝(1－23)·x ·3－23·x ·32＝0；当0＜x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝3(9x －9x 2)2(6－x ).∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(9x －2x 2)2(6－x )，0＜x ≤c ，0，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6).(2)由(1)知，当x ＞c 时，日盈利额为0. 当0＜x ≤c 时， ∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋9x －2x 2(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)． ∴①当0＜c ＜3时，y ′＞0， ∴y 在区间(0，c ]上单调递增， ∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c ).②当3≤c ＜6时，在(0,3)上，y ′＞0，在(3，c )上，y ′＜0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减． ∴y 最大值＝f (3)＝92.综上，若0＜c ＜3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.例2：解：(1)由题意可知此时年利润l ＝f (x )＝px －(c ＋dx )＝a －xb x －(c ＋dx )．f ′(x )＝－2b x ＋ab －d ，令f ′(x )＝0，得x ＝12(a －bd )．当x ＜12(a －bd )时，f ′(x )＞0；当x ＞12(a －bd )时，f ′(x )＜0，所以x ＝12(a －bd )为极大值点，即最大值点．故x ＝12(a －bd )时，l 取得最大值14b (a －bd )2－c .(2)g (p )＝a －bp ，则需求对价格的弹性为： p ·g ′(p )g (p )＝p ·(a －bp )′a －bp ＝－bp a －bp . 令|－bp a －bp|＝1，得p ＝a2b .(3)若p ＝a 4b ，则－bp a －bp＝－13.它表示价格定为p ＝a4b 时，价格上升1%时，需求量相应会减少0.333%.例3：解：(1)由题意可知贷款量g (x )＝kx 2，应支付利息h (x )＝x ·g (x )＝kx 3. (2)张明的获利为两种付款方式之间应付的利息差，设张明获利为y ，则 y ＝0.048·kx 2－kx 3， y ′＝k ·0.096x －3kx 2，令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝0.032. 当x ∈(0,0.032)时，y ′＞0， 当x ∈(0.032,0.048)时，y ′＜0.故当x ＝0.032时，y 在x ∈(0,0.048)内取得极大值，即最大值，故贷款利率为3.2%时，张明获利最大. 当堂检测1．[答案]D[解析]由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D ． 2．[答案]C[解析]V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝3x 2－x 33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.3．[答案]B[解析]如图所示，设场地一边长为x m ， 则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)． ∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴x ＝16必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16m ，长为32m 时，可使砌墙所用的材料最省． 4．[答案]B[解析]依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.0486kx 2， 其中x ∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0<x <0.0486)， 则y ′＝0.0972kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.0324时，y ′>0； 当0.0324<x <0.0486时，y ′<0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即 当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益． 5．[答案]4[解析]设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值．6．[答案]85[解析]设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)． L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 7．解：设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝⎛⎭⎫200x ＋136x 3 ＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件)又当0≤x <60时，L ′(x )>0 x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．8．解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝60x 2－x 32(0<x <120)(cm 3)． V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0得，x ＝0(舍)或x ＝80.当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝80(x )的最大值． 将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－8032＝128 000(cm 3)． 答：水箱底边长取80cm 时，容积最大，最大容积为128 000cm 3.。