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．曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本～，思考并完成下列问题()连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？()曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？．连续函数如果函数＝()在某个区间上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间上的连续函数．．曲边梯形的面积＝())，＝和曲线()曲边梯形：由直线＝，＝(所围成的图≠如图)①．(形称为曲边梯形()求曲边梯形面积的方法与步骤：分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些]，[分割：把区间小曲边梯形①()；如图②②“近似代替：对每个小曲边梯形以直代曲矩形”，即用的面积近似代替小曲边梯形的面积(如图，得到每个小曲边梯形面积的近似值②；)③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④定值取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个，即为曲边梯形的面积．．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为＝()，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在≤≤内所作的位移.[点睛]当→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( ) ()当很大时，函数()＝在区间上的值，只能用近似代替．( )()＝，＝.( )答案：()× ()× ()√．将区间[]进行等分需插入个分点，第三个区间是．答案： []．做直线运动的物体的速度＝()，则物体在前 内行驶的路程为 .答案：错误!求曲边梯形的面积[典例] 求直线＝，＝，＝与曲线＝＋所围成的曲边梯形的面积[参考公式＋＋…＋＝(＋)(＋)]．[解]令()＝＋.()分割：将区间[]等分，分点依次为 ＝，＝，＝，…，－＝，＝. 第个区间为()))(＝，…，)， 每个区间长度为Δ＝－＝.()近似代替、求和：取ξ＝(＝，…，)， ＝·Δ＝·＝＋＝(＋＋…＋)＋ ＝·＋＝＋. ()取极限：＝＝＝，即所求曲边梯形的面积为.求曲边梯形面积()思想：以直代曲．()步骤：分割→近似代替→求和→取极限．()关键：近似代替．。
§1.5.1 曲边梯形的面积 §1.5.2 汽车行驶的路程预习案 姓名一、学习目标1.通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲2.了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法；1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程，感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；探究案二、学习过程问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？ （一）连续函数与曲边梯形问题1：函数()y f x =________________________ _____________________________，那么我们称函数()y f x =为在区间I 上的连续函数．问题2：如图，类似于一个梯形，但有一边是曲边()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为____________________如何计算这个曲边梯形的面积？要计算上述图形的面积，可将区间[a,b]分成许多小区间，进而把________拆分为一些小____________，对每个小_____________“以直线代曲线”即用__________的面积近似代替____________的面积，得到每个__________面积的近似值，对这些近似值求和，就得到____________面积的近似值.如图可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好. 问题3：画出由2yx=与直线1,0x y ==围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲第一步 分割在由2yx=与直线1,0x y ==所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它等分为____个小区间，则第i 个小区间为a b()y f x =a y f x= b ()y f x =________，其区间长度为x ∆=___________，当n →+∞时，x ∆→___．练习1：把区间[2,5]n 等分，所得每个小区间的长度x ∆=（ ）A ．1nB ．2nC ．3nD ．4n练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度x ∆=_____，第3个小区间是__________．第二步 近似代替问题5：在区间1[,]i in n-上，函数2()f x x=的值()f x ≈______，曲边梯形在这个小区间的面积'i i S S ∆≈∆=_____________________，即小矩形的面积'i S ∆近似地代替i S ∆，即以直代曲．第三步 求和问题6：求图1.5－4中阴影部分面积n S （写出过程）．n n i x n i f S S ni ni ni in 1111211∙⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∙⎪⎭⎫⎝⎛-='∆=∑∑∑==== = = = 从而得到S 的近似值n S S ≈=问题7：2222123n ++++=__________．（用符号“∑”表示）练习3：用符号“∑”表示下列运算：（1）123n ++++= ___________． （2）2222135(21)n ++++-= ____________．第四步 取极限——逼近的思想问题8：从图中，当,n n S S →+∞→，即S =__________＝_______________________＝_______________． （三）典型例题例1：汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s vt =.如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为2()2v t t =-+（t 的单位：h ，v 的单位：km/h ），那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程s （单位：km ）是多少？分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解： （1）．分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限训练案1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n1 B.n2 C.n3 D.n212、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是 ( ) A.],1[n i n i - B. )](),(1[a b nia b n i --- C.],1[ni a ni a +-+D. )](),(1[a b ni a a b ni a -+--+3、在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ） A.只能是左端点的函数值)(i x f B.只能是右端点的函数值)(1+i x fC.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）D.以上答案均正确4. 求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积5. 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为2()5v t t =-+（t 的单位：h ，v 的单位：km/h ），试计算这辆汽车在02t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程s （单位：km ）。
