高一数学同步辅导教材(第15讲)

第15课时 平面与平面的位置关系习题课听课随笔学习要求1. 掌握面面平行与垂直的判定与性质定理及其应用；2.掌握求二面角的方法；3.能够进行线线、线面、面面之间的平行（或垂直）的相互转化。

【课堂互动】【精典范例】例1：如果三个平面两两垂直, 求证：它们的交线也两两垂直。

已知：求证：证明：略例２．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别是BB1,CD的中点求证: 平面A1C1CA⊥面B1D1DB .(1).求证：AD ⊥D 1F(2).求AE 与D 1F 所成的角(3).求证：面AED ⊥面A 1F D 1证明：（１）略（２）９０°（３）略．思维点拨解立体几何综合题，要灵活掌握线线，线面，面面平行与垂直关系的证明方法,以及它们之间的相互转化;求线面角,面面角关键是利用线面垂直、面面垂直的性质作出所求角。

【选修延伸】1.如果直角三角形的斜边与平面α平行, 两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2 , 则 （ Ｄ ）A. sin 2θ1 +sin 2θ2 ≥1B. sin 2θ1 +sin 2θ2 ≤1C. sin 2θ1 +sin 2θ2 >1D. sin 2θ1 +sin 2θ2 <1２. 如图, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 是正方形, 侧棱PD ⊥底面ABCD, PD=DC, E 是PC 中点.(1)证明: PA//平面EDB ;A 1C 1(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值；(3).求二面角E-BD-C 的正切值。

(1)略证:连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，证OE//PAAD C BEP听课随笔追踪训练1.给出四个命题:①AB为平面α外线段, 若A、B到平面α的距离相等, 则AB//α;②若一个角的的两边分别平行于另一个角的两边, 则这两个角相等;③若直线a //直线b , 则a平行于过b的所有平面;④若直线a //平面α, 直线b //平面α, 则a // b ,其中正确的个数是（A）A. 0B. 1C. 2D. 32. a , b是异面直线, P为空间一点, 下列命题:①过P总可以作一条直线与a、b都垂直;②过P总可以作一条直线与a、b都垂直相交;③过P总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行;④过P总可以作一平面与a、b同时垂直;. 其中正确的个数是( A ）A. 0B. 1C. 2D. 33.如图，PA⊥平面ABCD,AB//CD,BC⊥AB,(1)求PB与CD所成的角;(2)求E在PB上，当Ｅ在什么位置时，PD//平面ACE；(3).求二面角E- AC- B的正切值。

高中数学必修一15教案教案标题：高中数学必修一第15课时教案教学目标：1. 了解数列的概念和性质；2. 掌握等差数列的公式和求和公式；3. 能够应用数列的相关知识解决实际问题。

教学重点：1. 理解数列的概念和性质；2. 掌握等差数列的公式和求和公式。

教学难点：1. 能够应用数列的相关知识解决实际问题。

教学准备：1. 教材：高中数学必修一教材；2. 教具：黑板、粉笔、教学投影仪。

教学过程：Step 1: 导入新知1. 引入数列的概念，通过提问的方式激发学生对数列的兴趣和思考，例如：“你们知道什么是数列吗？能举个例子吗？”2. 引导学生思考数列的性质，例如：“数列中的每个数都有什么规律？”“数列中的数之间有什么关系？”3. 通过讨论和解释，引出等差数列的概念和特点。

Step 2: 学习等差数列的公式和求和公式1. 讲解等差数列的定义和符号表示，引导学生理解等差数列的公式。

2. 通过具体例子，讲解等差数列的公式和求和公式的推导过程。

3. 引导学生运用等差数列的公式和求和公式解决一些简单的数学问题。

Step 3: 拓展应用1. 提供一些实际问题，要求学生运用所学的等差数列的知识解决问题，例如：“某人每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，以后每天比前一天多存1元，他存到第n天时一共存了多少钱？”2. 引导学生分析问题，建立等差数列模型，并运用等差数列的公式求解。

Step 4: 总结归纳1. 对本节课所学的内容进行总结，强调等差数列的定义、公式和求和公式的重要性。

2. 鼓励学生多做练习，巩固所学知识。

Step 5: 作业布置布置一些练习题，要求学生运用等差数列的公式和求和公式解答。

教学反思：本节课通过引入数列的概念，引导学生理解等差数列的定义和性质，然后讲解等差数列的公式和求和公式，并引导学生运用所学知识解决实际问题。

通过这样的教学过程，学生能够更好地理解和掌握等差数列的相关知识，提高解决问题的能力。

同时，通过布置作业，可以进一步巩固所学内容。

D 1 第十五教时教材：平面向量的数量积平移的综合练习课目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。

过程：一、复习：1．平面向量数量积的定义、运算、运算律2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法3．平移的有关概念、公式二、 例题例一、a 、b 均为非零向量，则 |a +b | = |a -b | 是 的………………（C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若|a +b | = |a -b | ⇔ |a +b |2 = |a -b |2 ⇔ |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = |a |2 - 2a ⋅b + |b|2 ⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥b例二、向量a 与b 夹角为3π，|a | = 2，|b | = 1，求|a +b |⋅|a -b |的值。

解：|a +b |2 = |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = 4 + 2×2×1×cos 3π + 1 = 7 ∴|a +b | =7, 同理：|a -b |2 = 3, |a -b | =3 ∴|a +b |⋅|a -b | =21 例三、中，AB = a ，= b ，= c ，DA = d ，且a ⋅b = b ⋅c = c ⋅d = d ⋅a ，问ABCD 是怎样的四边形？解：由题设：|a |⋅|b |cos B = |b |⋅|c |cos C = |c |⋅|d |cos D = |d |⋅|a |cos A∵|a | = |c | , |b | = |d | ∴cos A = cos B = cos C = cos D = 0是矩形 例四、 如图△ABC 中，= c ，= a ，= b ，则下列推导不正确的是……………（D ）A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

高二数学同步辅导教材(第15讲)高二数学同步辅导教材（第15讲）本章主要内容8.4 双曲线的简单几何性质 一、 本讲主要内容 1、 双曲线的第二定义 2、 双曲线的几何性质及应用 3、 直线与双曲线的位置关系 二、 学习指导1、 双曲线的几何性质分为两大类 （1）自身固有的几何性质：① 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c 。

两准线之间距离为c a 22⋅； 焦准距（焦参数）cb p 2=； ③ 离心率ace =，e>1，e 越大，双曲线开口越阔。

（2） 解析性质（与坐标系有关），列表比较如下：2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材P112.例3。

第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。

3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。

但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x （或y ）的二次方程．．．．的判别式△=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。

此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x （或y ）的方程为一次方程。

直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。

不管是哪一种途径，都要强化设而不求的思想。

4、在1b y a x 2222=-（a>0，b>0）中，若a=b ，则双曲线为等轴双曲线，其离心率2e =。

5、双曲线1b y a x 2222=-与1b y a x 2222-=-称为共轭双曲线。

5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e 1、e 2满足2221e 1e 1+=1。

6、已知双曲线方程为1by ax 2222=-，则其渐近线方程为0by ax 2222=-；若已知渐近线方程为)0b y a x (0b y a x 2222=±=-，则对应的双曲线方程为)0(by a x 2222≠λλ=-三、 典型例题例1、直线 ：ax+by-3a=0与双曲线14y 9x 22=-只有一个公共点，求直线 的方程。

课时作业(十五) 对数[学业水平层次]一、选择题1．若x ＝y 2(y ＞0，且y ≠1)，则必有( ) A ．log 2x ＝y B ．log 2y ＝x C ．log x y ＝2D ．log y x ＝2【解析】 由于x ＝y 2(y ＞0，且y ≠1)，所以log y x ＝log y y 2＝2. 【答案】 D2．已知log x 16＝2，则x 等于( )A ．±4B ．4C ．256D ．2【解析】 由log x 16＝2可知x 2＝16，∴x ＝±4，又x >0且x ≠1，∴x ＝4. 【答案】 B3．(2022·广西桂林中学段考)21＋log 25等于( ) A ．7B ．10C ．6D.92【解析】 21＋log 25＝2×2log 25＝2×5＝10. 【答案】 B4．在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b ＜2或b ＞5 B ．2＜b ＜5 C ．4＜b ＜5D ．2＜b ＜5且b ≠4【解析】∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2＞0，5－b ＞0，5－b ≠1.∴2＜b ＜5且b ≠4. 【答案】 D 二、填空题5．10ln1＋ln e ＝________．【解析】 10ln1＋ln e ＝0＋12＝12. 【答案】 126．若f (e x )＝x ，则f (2)＝________． 【解析】 由e x ＝2可知x ＝ln2， 故f (2)＝ln2. 【答案】 ln27．若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝________． 【解析】 由log π[log 3(ln x )]＝0， 得log 3(ln x )＝1，∴ln x ＝3，∴x ＝e 3. 【答案】 e 3 三、解答题8．求下列各式中x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4. 【解】 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫22x＝4，∴2－x 2＝22，－x2＝2，x ＝－4. (2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312. ∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75， (4)由已知得x －3＝8， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12.(5)由已知得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.9．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值．【解】 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a2m ＋n＝a 2m·a n＝(a m )2·a n＝22×3＝12.[力量提升层次]1．对数式log (2＋1)(2－1)的值为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12 【解析】 令log (2＋1)(2－1)＝x ，则(2＋1)x ＝2－1， 2－1＝12＋1＝(2＋1)－1， ∴x ＝－1. 【答案】 B2．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【解析】 ∵lg10＝1，lne ＝1， ∴①②正确．由10＝lg x 得x ＝1010，故③错； 由e ＝ln x 得x ＝e e ，故④错． 【答案】 C3．已知f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤1，log 81x ，x ＞1，则满足f (x )＝14的x 的值为________．【解析】 由题意得(1)⎩⎨⎧x ≤1，2－x ＝14，或(2)⎩⎨⎧x ＞1，log 81x ＝14，解(1)得x ＝2，与x ≤1冲突，故舍去； 解(2)得x ＝3，符合x ＞1. ∴x ＝3.【答案】 34．已知集合{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，求log 2(x 2＋y 2)的值． 【解】 由lg(xy )有意义得xy ＞0， 所以x ≠0，xy ≠0，所以由{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，得lg(xy )＝0，故xy ＝1，于是有{x ，1，0}＝{0，|x |，y }， 所以x ＝|x |，y ＝1或x ＝y ，|x |＝1.(1)当x ＝|x |，y ＝1时，结合xy ＝1，知x ＝y ＝1. 经检验，不符合题意． (2)当x ＝y ，|x |＝1时， 有x ＝y ＝－1或x ＝y ＝1. 经检验，x ＝y ＝－1符合题意． 综上知x ＝y ＝－1. 故log 2(x 2＋y 2)＝log 22＝1.。

第八单元10以内的加法和减法第15课时连加、连减教学内容：课本第72--73页。

教学目标：1、通过动手操作、合作交流，初步理解连加、连减的含义。

掌握连加、连减的计算方法。

2、能有条理地表述思考和解决问题的过程。

教学重点：让学生联系实际情境，体会连加、连减的意义和理解运用顺序。

教学难点：理解图意列出算式。

课前准备：课件、投影。

教学过程：一、情境导入1、口算。

（口算卡片出示）10－5 6＋4 8－5 3＋26－3 5＋0 9－5 6－66＋3 9－3 6＋4 2＋67＋3 9－7 8－2 1＋7环保定制家具详细问题了解下！8＋2 10-4 4＋6 2＋810-6 10-3 3＋7 9＋15＋5 10-2 4＋5 6-02、算式接龙。

（小组学生互相合作，每人出一道题）甲：4+2=6；乙：6+1=7；甲：7+2=9；乙：9+1=10。

或者甲：10-2=8；乙：8-3=5；甲：5-1=4；乙：4-4=0。

3、学生汇报，说说你们组的题目和想法。

邀请两个学生到讲台前表演。

讲述：第一个算式的得数正好是第二题开拓的这个数，第三体开拓的数正好是第二题的结果……像这样的几道有联系的算式写出来像什么？我们把这个游戏叫做“算式接龙”。

二、探究交流1、教学例1。

贴出例1主题图。

讲述：星期天，小红和弟弟去郊外的奶奶家玩，看见奶奶摘下了一些又大又红的南瓜。

小红想，我长这么大了，应该帮奶奶做一些家务活。

于是，她找来一辆手推车，把奶奶摘下的南瓜云回家。

第一次运来4个，第二次有运来2个，还剩下一个最大的没有运，奶奶一共摘下几个南瓜呢？怎样计算？（4+2=6，6+1=7，奶奶一共摘下7个南瓜。

）提问：其他组有不同的方法吗？（4+2+1=7）追问：为什么这样列式？你是怎样算的？你能给这样的算式取个名吗？（连加法）讲述：这个名字取得真好，今后我们看见一个算式里有两个以上的“+”，就叫它连加。

（板书课题）2、教学例2。

讲述：这时，弟弟在大声喊：“姐姐，快来看，奶奶家还种了一些丝瓜。

高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章 集合与简易逻辑专题讲解一 、 集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。

2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、∉与⊆、⊆的区别，元素与集合间的从属关系用∈、∉表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用⊂、⊂、⊆、⊆、=表示.3．给定两个集合A ，B ，它们的运算意义为：A ∩B={}B x A x x ∈∈且，A ∪B={}B x A x x ∈∈或，C S A={}A x S x x ∉∈且,.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：C s (A ∪B)=（C s A ）∩（C sB ），C s （A ∩B ）=（C s A ）∪（C s B ），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M={}n a a a ,,,21 的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n －2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1 命题 或 且 否定┐ 蕴涵⇒ 等价⇔ 集合 并集∪ 交集∩ 补集C 子集⊆ 相等=关键字词 或且非若……则……当且仅当必须且只须自反性 A ∪A=A A ∩A=A C U (C U )A=A A ⊆A 真子集无 A=A 对称性A ∪B=B ∪AA ∩B=B ∩AC B A=C A BA=A 若A=B 则B=A传递性若A ⊆B ，B ⊆C 则A ⊆C若A=B ，B=C ，A=C 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)(A ∩B) ∩C=A ∩(B ∩C)【例1】 已知集合M=R x x y y ∈+=,12，N={}R x x y y ∈+=,1，则M ∩N=（ ） A ．（0，1）（1，2） B ．{})2,1(),1,0( C ．{}21==y y y 或 D ．{}1≥y y分析 集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对（x ，y ），因此M ，N 分别表示函数y=x 2+1（x ∈R ），y=x+1（x ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集.解 M={}R x x y y ∈+=,12={}1≥y y ，N={}R x x y y ∈+=,1={}R y y ∈. ∴M ∩N={}1≥y y ∩{}R y y ∈={}1≥y y ，故选D.说明（1）本题求M ∩N.经常发生解方程组⎩⎨⎧-=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x 从而选B 错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M ，N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{}R x xy x ∈+=,12，{}R x x y y ∈+=,12，{}R x x y y x ∈+=,1),(2这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0⊂{}0；（2）0∈{}0；（3）Φ∈{}Φ；（4）a ∈{}a ；（5）Φ={}0；（6）{}0∈Φ；（7）Φ∈{}0；（8）Φ⊂{}0，其中正确的是（ ）A ．（2）（3）（4）（8）B ．（1）（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）（6）D ．（2）（3）（4）（7） 分析 依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解 （1）应为0∈{}0；（2）（3）（4）正确，排除B ，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是{}0的子集，因此（8）正确，故选A.说明 0与{}0只有一种关系：0∈{}0 ；R 与{}R ；Φ与{}0也只有一种关系：Φ⊂{}0. 【例3】 已知集合A={}R x x m x x ∈=+++,01)2(2，若A ∩R +=Φ，则实数m 的取值范围是__________.分析 从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R +=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围.解 由A ∩R +=Φ又方程x 2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆.0)2(04)2(2m m或△=(m+2)2－4＜0.解得m ≥0或－4＜m ＜0，即m ＞－4.说明 此题容易发生的错误是由A ∩R +=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例4】 已知集合A={}0232=+-x x x ，B={}012=-+-a ax x x ，且A ∪B=A ，则a 值为__________.分析 由A ∪B=A ⇔B ⊆A 而推出B 有四种可能，进而求出a 的值. 解 ∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A ，∵A={}2,1，∴B=Φ或B={}1或B={}2或B={}2,1. 若B=Ø，则令△＜0得a ∈Ø；若B ={}1，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={}2，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a ∈Ø ；若B={}2,1，则令△＞0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a=3，综上a 的值为2或3.说明 本题不能直接写出B=（），因为a （）可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】 命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围.分析 使命题甲成立的m 的集合为A ，使命题乙成立的m 的集合而为B ，有且只有一个命题成立是求A ∩C R B 与C R A ∩B 的并集.解 因使命题甲成立的条件是△1=m 2－4＞0，且－m ＜0，所以解得m ＞2，即集合A={}2>m m ；因使命题乙成立的条件是△2=16(m －2)2－16＜0，所以解得1＜m ＜3，即集合B={}31<<m m .若命题甲、乙有且只有一个成立，则m ∈A ∩C R B 或m ∈C R A ∩B ，而A ∩C R B={}2>m m ∩{}31≥≤m m m 或={}3≥m m ，C R A ∩B={}2>m m ∩{}31<<m m ={}21≤<m m ，所以综上所求m 的范围是{}321≥≤<m m m 或.说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m 的满园即准备又简明.二、 一元二次方程实根的分布【例1】关于x 的方程3x 2－5x+a=0，实数a 在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，另一个根大于1，而小于3？解 由题意，a 应满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(0)2(5)2(3)2(22a f a f a f a f 解得－12＜a ＜0.【例2】关于x 的方程2x 2+3x －5m=0，有两个小于1的实根，求实根m 的取值范围. 解 二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴x=－43，在x=1的左侧.这样抛物线与x 轴有两个交点的横坐标都小于1，所以应满足的条件是：⎩⎨⎧≥-=∆>-+=04090532)1(m m f 解得－409≤m ＜1. 【例3】关于x 的方程x 2―2tx+t 2―1=0的两个根介于―2和4之间，求实数t 的取值范围.解 由题意可知，t 需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 解得 －1＜t ＜3.说明 讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程f(x)=ax 2+bx+c=0（a ＞0）两实根为x 1，x 2）：（1）若m ＜x 1＜n ＜p ＜x 2＜q ，则方程系数应同时满足下列不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=<++=<++=>+=0)(0)(0)(0)(2222c bq aq q f c bp ap p f c bn an n f c bm am m f 特别地，当方程f(x)=0有一正根，一负根，即x 1＜0，x 2＞0，则应用f(0)=c ＜0；若方程f(x)=0有一个根大于k ，一个根小于k ，则应有f(k)＜0.（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m ，n ）内，则应同时满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>n a b m n f m f 200)(0)( 特别地，若f(x)=0两根都大于k 时，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆>.2,0,0)(k ab k f三、 四种命题与充要条件1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。

必修一第1章 集 合§1.1 集合的含义及其表示重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择．考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x 2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件?当堂练习：1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）A ．某班个子较高的同学B ．长寿的人CD ．倒数等于它本身的数2．下面四个命题正确的是（ ）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程2210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ∉Z ，则a ∈Z ；（3）所有的正实数组成集合R +；（4）由很小的数可组成集合A ；其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x 2-3x+5=0的解集是空集；（3）方程x 2-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集；其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )A ． {x,y 且0,0x y <>}B ． {(x,y)0,0x y <>} C. {(x,y) 0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>} 6．用符号∈或∉填空：0__________{0}， a __________{a }， π__________Q ，21__________Z ，－1__________R ，0__________N ， 0 Φ．7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }．8．用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为 ． 9．当a 满足 时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集． 10．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x 2－x }中的x 不能取哪些数值？12．已知集合A ＝{x ∈N|126x－∈N}，试用列举法表示集合A ．13.已知集合A={2210,,x ax x a R x R ++=∈∈}.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则11A a∈-,证明：（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素； （2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。