湖南省津市一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题

2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．62．设复数Z满足（﹣i）•Z=2i，则|Z|=( )A．B．C．1 D．23．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( )A．（﹣1，1）B．（0，）C．（﹣1，0）D．（，1）5．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样6．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于( )A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A．B．C． D．8．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3129．执行如图的程序框图，如果输入的t=0.1，则输出的n=( )A．3 B．4 C．5 D．610．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线A1C1和AB1所成角的余弦值为( )A． B．C．D．11．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=112．已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）( )A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值D．有最大值﹣1，无最小值二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为__________．14．曲线f（x）=xlnx+x在点x=1处的切线方程为__________．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=__________．16．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣2，﹣1）=﹣1．下列命题中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）①函数f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]；②若{a n}为等差数列，则[a n）也是等差数列；③函数f（x）=[x）﹣x是周期函数；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．已知命题p：|1﹣|≤2 命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．19．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数技术（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）21．设数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，已知对任意n∈N*，S n是a n2和a n的等差中项．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜2；（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S n﹣1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【专题】计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．设复数Z满足（﹣i）•Z=2i，则|Z|=( )A．B．C．1 D．2【考点】复数求模．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】由复数的除法运算求解复数Z，然后直接利用复数模的公式求解．【解答】解：由（﹣i）•Z=2i，得=．∴|Z|=||=．故选：C．【点评】本题考查了复数的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( )A．（﹣1，1）B．（0，）C．（﹣1，0）D．（，1）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x﹣1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x﹣1＜0，即，解得0＜x＜．∴函数f（2x﹣1）的定义域为（0，）．故选B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】分层抽样方法．【专题】阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．6．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于( )A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A．B．C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．8．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．9．执行如图的程序框图，如果输入的t=0.1，则输出的n=( )A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】由题意可得，算法的功能是求S=1﹣﹣﹣…﹣≤t时n的最小值，由此可得结论【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1﹣﹣﹣…﹣≤t时n的最小值，再根据t=0.1，可得：当n=3时，S=1﹣﹣﹣=＞0.1，当n=4时，S=1﹣﹣﹣﹣=＜0.1，故输出的n值为4，故选：B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线A1C1和AB1所成角的余弦值为( )A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】综合题；空间角．【分析】连接C1D，则C1D∥AB1，故∠A1C1D（或其补角）是异面直线A1C1和AB1所成角，在△A1C1D 中，利用余弦定理可得结论．【解答】解：连接C1D，则C1D∥AB1，∴∠A1C1D（或其补角）是异面直线A1C1和AB1所成角在△A1C1D中，A1C1=2，A1D=C1D=，∴cos∠A1C1D==故选A．【点评】本题考查异面直线所成角，考查余弦定理的运用，确定异面直线所成角是关键．11．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1【考点】抛物线的简单性质；圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】先由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，即所求圆的圆心坐标，再由圆过原点，求得圆的半径，最后由圆的标准方程写出所求圆方程即可【解答】解；∵抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴所求圆的圆心坐标为（1，0）∵所求圆过坐标原点（0，0）∴其半径为1﹣0=1∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1【点评】本题主要考查了圆的标准方程的求法，抛物线的标准方程及其几何性质，属基础题12．已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）( )A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值D．有最大值﹣1，无最小值【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；压轴题．【分析】可以画出f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，的图象，根据规定分两种情况：在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）；在A、B之间，从图象上可以看出最值；【解答】解：画出y=|f（x）|=|2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象，它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．故选C．【点评】此题考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题；二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为0．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意函数是偶函数，由偶函数的定义可以得到ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1），进而得到ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，即可判断出a的取值得到答案【解答】解：函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数∴f（x）=f（﹣x），即ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1）∴ax=﹣ax在函数的定义域中总成立∴a=0故答案为0【点评】本题考查对数的性质及函数偶函数的性质，解题的关键是理解ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，由此判断出参数的取值14．曲线f（x）=xlnx+x在点x=1处的切线方程为y=2x﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+2，x=1时，y′=2，y=1∴曲线y=xlnx+1在点x=1处的切线方程是y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1．故答案为：y=2x﹣1【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】根据函数f（x）=sin（x﹣），当x=θ时，函数f（x）取得最大值，故有θ﹣=2kπ+，求得θ的值，可得cosθ的值．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），当x=θ时，函数f（x）取得最大值，故有θ﹣=2kπ+，即θ=2kπ+，k∈z，故cosθ=﹣．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣2，﹣1）=﹣1．下列命题中真命题为①③④．（写出所有真命题的序号）①函数f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]；②若{a n}为等差数列，则[a n）也是等差数列；③函数f（x）=[x）﹣x是周期函数；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①由于函数f（x）=[x）﹣x=，即可判断出真假；②是假命题，例如，则[a n）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；③由于f（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函数f（x）=[x）﹣x是周期为1的周期函数，；④如图所示，即可判断出真假．【解答】解：①∵函数f（x）=[x）﹣x=，因此f（x）的值域是（0，1]，是真命题；②若{a n}为等差数列，则[a n）也是等差数列，是假命题，例如，则[a n）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；③∵f（x+1）=[x+1）﹣（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函数f（x）=[x）﹣x是周期为1的周期函数，是真命题；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根，如图所示，是真命题．综上可得：真命题为①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查新定义函数、函数的图象与性质，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．已知命题p：|1﹣|≤2 命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】解绝对值不等式求出满足p的集合P，解二次不等式求出满足q的信Q，进而根据p 是q的必要而不充分条件，可得Q⊊P，进而得到实数m的取值范围．【解答】解：解|1﹣|≤2得：P=[﹣2，10]，解x2﹣2x+1﹣m2≤0得：[1﹣m，1+m]，若p是q的必要而不充分条件，则Q⊊P，则1﹣m≥﹣2且1+m≤10，解得m≤3，又由m＞0，∴实数m的取值范围为（0，3]【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，集合的包含关系，难度不大，属于基础题．18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意利用直角三角形中的边角关系求得∠PBC=60°，∠PBA=∠ABC﹣∠PBC=30°．在△PBA中，由余弦定理求得PA的值．（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理求得tanα的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由于AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，直角三角形PBC中，若PB=，∵cos∠PBC===，∴∠PBC=60°．∴∠PBA=∠ABC﹣∠PBC=90°﹣60°=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2==，∴PA=．（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理得，，化简得，，∴tanα=，即tan∠PBA=．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形的内角和公式，属于基础题．19．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数技术（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则有独立事件同时发生的概率公式即可求得；（2）由于题意可以知道随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，利用随见变量的定义及相应的事件的概率公式即可求得随机变量每一个值下的概率，并列出其分布列，再有期望定义求解．【解答】解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则P（A）=（1﹣，（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P （ξ=5）=，所以随机变量的分布列为：故Eξ=．【点评】此题属于中档题型，重在理解题意并分型事件的类型用准概率公式，考查了随机变量的定义及其分布列，还考查了随机变量的期望公式及计算能力．20．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论．【分析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解答】解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．21．设数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，已知对任意n∈N*，S n是a n2和a n的等差中项．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜2；（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S n﹣1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？【考点】等差数列的通项公式；不等式的证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）当n=1时求得a1；当n≥2时根据2a n=2S n﹣2S n﹣1化简整理得a n﹣a n﹣1=1判断数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的a n代入S n进而可根据裂项法进行求和得++…+=2（1﹣）＜2；原式得证．（Ⅲ）S n﹣1005＞，求得n的范围．进而可得集合M，依据m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列，进而求得k【解答】解：（Ⅰ）由已知，2S n=a n2+a n，且a n＞0．，当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．当n≥2时，有2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1．于是2S n﹣2S n﹣1=a n2﹣a n﹣12+a n﹣a n﹣1，即2a n=a n2﹣a n﹣12+a n﹣a n﹣1．于是a n2﹣a n﹣12=a n+a n﹣1，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=a n+a n﹣1．因为a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1=1（n≥2）．故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，且a n=n．（Ⅱ）因为a n=n，则S n==2（﹣）．所以+++=2[（1﹣）+（﹣）++（﹣）]=2（1﹣）＜2；（Ⅲ）由S n﹣1005＞，得﹣1005＞，即＞1005，所以n＞2010．由题设，M={2000，2002，，2008，2010，2012，，2998}，因为m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．设这个等差数列共有k项，则2010+2（k﹣1）=2998，解得k=495．故集合M中满足条件的正整数m共有495个．【点评】本题主要考查等差数列的性质特别是等差数列的通项公式．考查了学生分析问题和解决问题的能力．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△D CE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1将曲线C1的参数方程消去参数α，即可得出C1的普通方程．将代入上述方程即可得出极坐标方程．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，即可得直角坐标方程，与圆的方程联立即可得出交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程（α为参数）．消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，∴C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．将代入上述方程可得ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，可得直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由，解得或．∴C1与C2交点的直角坐标分别为（4，0），（2，﹣2）．可得极坐标分别为（4，0）或．【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。

2015-2016学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是( )A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d}2．下列函数是偶函数的是( )A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y=D．y=x2，x∈[0，1]3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )A． B．C．D．4．已知函数f（x）=，则f（2）=( )A．3 B．2 C．1 D．05．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A．B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxC．D．6．三个数0.67，70.6，log0.67的大小关系为( )A．B．0.67＜70.6＜log0.67C．D．7．若（）2a+1＜（）3﹣2a，则实数a的取值范围是( )A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）8．如果奇函数f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，那么f（x）在区间[4，10]上是( )A．增函数且最小值是﹣9 B．增函数且最大值是﹣9C．减函数且最大值是﹣9 D．减函数且最小值是﹣99．设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=( ) A．B．2 C． D．4x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是( )2）D．（2，3）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=__________．12．计算：=__________．13．若log a2=m，log a3=n，a2m+n=__________．14．若一个球的表面积是4π，则它的体积是__________．15．若函数f（2x+1）=4x2+2x+1，则f（3）=__________．三、解答题（本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（∁U A）∩B．17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}，（1）若A∩B=∅，求实数a的范围；（2）若A⊆B，求实数a的范围．18．已知函数f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数，（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），及f（4）=1，（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥1．21．某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？2015-2016学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是( )A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d}【考点】子集与真子集．【专题】常规题型．【分析】根据集合的子集的定义，即可判断得到答案．【解答】解：根据集合的子集的定义，∴集合A={a，b，c}的子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是{a，c}．故选B．【点评】本题考查了集合的子集与真子集，研究集合的子集问题时，要特别注意∅．如果集合A的元素个数是n，则其子集个数是2n，真子集个数是2n﹣1．属于基础题．2．下列函数是偶函数的是( )A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y=D．y=x2，x∈[0，1]【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】偶函数满足①定义域关于原点对称；②f（﹣x）=f（x）．【解答】解：对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数；对于选项A，是奇函数；对于选项B定义域为R，并且f（x）=f（x）是偶函数．故选B．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定；①判断函数的定义域是否关于原点对称；②如果不对称是非奇非偶的函数；如果对称，再利用定义判断f（﹣x）与f（x）的关系．3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )A． B．C．D．【考点】由三视图还原实物图．【分析】正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D．【解答】解：正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选D【点评】本题主要考查三视图，三视图的复原，可以直接解答，也可以排除作答，是基本能力题目．4．已知函数f（x）=，则f（2）=( )A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：由分段函数可知，f（2）=﹣2+3=1，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可得到结论．5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A．B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxC．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B，f（x）=lgx2=2lg|x|（x≠0），与g（x）=2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x﹣1（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=•=（x≥1），与g（x）=（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数．故选：A．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．三个数0.67，70.6，log0.67的大小关系为( )A．B．0.67＜70.6＜log0.67C．D．【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵三个数0＜0.67＜1＜70.6，log0.67＜0，∴log0.67＜0.67＜70.6，∴故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若（）2a+1＜（）3﹣2a，则实数a的取值范围是( )A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】考查指数函数，利用函数为单调减函数，可得不等式，从而可求实数a 的取值范围．【解答】解：考查指数函数∵，（）2a+1＜（）3﹣2a，∴2a+1＞3﹣2a∴a＞∴实数a的取值范围是（）故选B．【点评】本题考查指数函数的单调性，考查解不等式，正确运用指数函数的单调性是关键．8．如果奇函数f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，那么f（x）在区间[4，10]上是( )A．增函数且最小值是﹣9 B．增函数且最大值是﹣9C．减函数且最大值是﹣9 D．减函数且最小值是﹣9【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，∴f（﹣10）=9，又∵f（x）为奇函数，∴f（x）在[4，10]上是减函数，且有最小值f（10）=﹣f（﹣10）=﹣9．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，要求熟练掌握函数性质的综合应用，属于基础题．9．设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=( )A．B．2 C． D．4【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D【点评】本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是( )2）D．（2，3）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．【解答】解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=x5．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．【解答】解：设幂函数为y=x a，因为幂函数图象过点（2，32），所以32=2a，解得a=5，所以幂函数的解析式为y=x5．故答案为：x5【点评】本题考查幂函数的函数解析式的求法，幂函数的基本知识的应用．12．计算：=4．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=2﹣+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．若log a2=m，log a3=n，a2m+n=12．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出a m=2，a n=3，再由a2m+n=（a m）2•a n能够导出a2m+n的值．【解答】解：∵log a2=m，log a3=n，∴a m=2，a n=3，∴a2m+n=（a m）2•a n=22•3=12．故答案为：12．【点评】本题考查对数的运算法则和运算性质，解题时要认真审题，仔细解答．14．若一个球的表面积是4π，则它的体积是．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由球的表面积是4π，求出球半径为1，由此能求出球的体积．【解答】解：设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π，解得R=1，∴球的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的表面积、体积的计算公式的合理运用．15．若函数f（2x+1）=4x2+2x+1，则f（3）=7．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用函数性质直接求解．【解答】解：∵f（2x+1）=4x2+2x+1，∴f（3）=f（2×1+1）=4×12+2×1+1=7．故答案为：7．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】求出A中不等式的解集，确定出集合A，（Ⅰ）找出A与B的公共部分，即可求出两集合的交集；（Ⅱ）由全集U=R，找出不属于A的部分，确定出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：A={x|2x﹣4＜0}={x|x＜2}，B={x|0＜x＜5}，（Ⅰ）A∩B={x|0＜x＜2}（Ⅱ）∵A={x|x＜2}，全集U=R，∴C U A={x|x≥2}，则（C U A）∩B={x|2≤x＜5}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}，（1）若A∩B=∅，求实数a的范围；（2）若A⊆B，求实数a的范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由已知可得集合中端点之间的不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）由已知，∵A∩B=∅，∴，解得﹣1＜a＜0；（2）∵A⊆B，∴a+3≤﹣1或a≥3，∴a≤﹣4或a≥3．【点评】本题考查了集合的交集运算，以及由集合运算的性质求满足条件的参数范围，一般结合数轴数形结合解之．18．已知函数f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据真数大于0，构造不等式，解得函数f（x）的定义域；（2）根据偶函数的定义，可判断出函数f（x）为偶函数．【解答】解：（1）由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），（2）函数f（x）为偶函数，理由如下：由（1）知函数f（x）的定义域（﹣10，10）关于原点对称，又由f（﹣x）=lg（10﹣x）+lg（10+x）=f（x），故函数f（x）为偶函数．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．19．已知函数，（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，判断（x1）﹣f（x2）的符号，进而得到（x1），f（x2）的大小，根据单调性的定义即可得到答案．（2）根据函数的单调性即可求出最值．【解答】解：（1）证明：设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2则：f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2），∵1≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞1∴（x1﹣x2）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，（2）由（1）可知f（x）在[2，7]上单调递增，∴f（x）max=f（7）=7+=．f（x）min=f（2）=2+=．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明和函数最值的求法，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），及f（4）=1，（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥1．【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用特殊值法令y=1，可得f（x）=f（x）﹣f（1），求出f（1）=0；（3）不等式可整理为x2﹣3x＜4，﹣x＞0，3﹣x＞0，解不等式可得．【解答】：（1）令y=1，∴f（x）=f（x）﹣f（1），∴f（1）=0；（3）∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥1，∴f（x2﹣3x）≥f（4），∵函数在定义域内为减函数，∴x2﹣3x＜4，﹣x＞0，3﹣x＞0，∴﹣1＜x＜0，故解集为（﹣1，0）．【点评】考查了特殊值法求抽象函数问题，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题．21．某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）因为25＜28＜30，所以把x=28代入y=40﹣x即可求出该产品的年销售量为多少万件；（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，得到w和x的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损，若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【解答】解：（1）∵25≤28≤30，，∴把x=28代入y=40﹣x得y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，故当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万．【点评】本题主要考查二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．。

湖南省湘潭市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}2．（5分）下列区间中，函数f（x）=2x﹣3有零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）3．（5分）直线x﹣y+8=0的倾斜角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．135°4．（5分）已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，且a=f（﹣1），b=f（log24），则实数a，b的大小关系时（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能比较5．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1C．D．6．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．A C⊥SBB．A B∥平面SCDC．A C⊥面SBDD．A B与SC所成的角等于DC与SA所成的角7．（5分）已知直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，则圆半径为（）A．2B．C．6D．8．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x，若f（a）+f（b）=0，则a+b的值为（）A．1B．0C．﹣1 D．不能确定二、填空题（每小题5分，共25分）9．（5分）函数f（x）=的定义域是．10．（5分）已知52x=25，则5﹣x=．11．（5分）已知点A（4，﹣2）和点B（2，4），则线段AB的垂直平分线方程为．12．（5分）一个高为2的圆锥，底面半径为1，该圆锥的体积为．13．（5分）已知幂函数y=x m﹣3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=．三、解答题14．（12分）（1）log363﹣2log3（2）÷a2．15．（11分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．16．（12分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：（3a﹣4）x﹣y﹣2=0，且l1∥l2（1）求a的值（2）求以N（1，1）为圆心，并且与l2相切的圆的方程．四、选择题（每小题5分）17．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4五、填空题（每小题5分）18．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是．六、解答题19．（12分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足下列某函数关系：①p=at+b②p=alog b t③p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，（1）根据这三次实验数据，请选用合适的函数模型，并说明理由（2）利用你选取的函数，求出最佳的加工时间．20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1∥平面PAC（2）求证：直线PB1⊥平面PAC．21．（14分）已知函数f（x）=的图象经过点（2，﹣）（1）求实数p的值，并写出函数f（x）的解析式（2）若x≠0，判断f（x）的奇偶性，并证明（3）求函数f（x）在上的最大值．湖南省湘潭市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，∴M∩N={2，3}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）下列区间中，函数f（x）=2x﹣3有零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：得出函数在R上单调递增，根据零点存在性定理判断即可：f（0）=﹣2＜0，f（1）=﹣1＜0，f （2）=1＞0，解答：解：∵函数f（x）=2x﹣3，∴函数在R上单调递增，∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，∴根据零点存在性定理判断：（1，2）上有1个零点．故选：C．点评：本题考查了观察法求解函数的单调性，零点存在性定理的运用，属于中档题，难度不大．3．（5分）直线x﹣y+8=0的倾斜角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．135°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角．解答：解：由x﹣y+8=0，得y=x+8，∴直线的斜率为1，设其倾斜角为α（0°≤α＜180°），由tanα=1，得α=45°．故选：B．点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．4．（5分）已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，且a=f（﹣1），b=f（log24），则实数a，b的大小关系时（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能比较考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行比较即可．解答：解：∵f（x）是偶函数，∴a=f（﹣1）=f（1），b=f（log24）=f（2），∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，∴f（1）＞f（2），即a＞b，故选：C点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．5．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，画出图形，结合图形，求出该正方体的正视图面积是多少．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示；该正方体的俯视图是正方形ABCD，其面积为1，侧视图是矩形BDD1B1，其面积为；∴正视图是矩形ACC1A1，其面积为S=AA1•AC=1×=．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．6．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．A C⊥SBB．A B∥平面SCDC．A C⊥面SBDD．A B与SC所成的角等于DC与SA所成的角考点：直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：A．利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出；B．利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出；C．通过平移即可得出异面直线所成的角；D．利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出．解答：解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵SD∩DB=D．∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB．B．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，又AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD．C．由A可知：AC⊥平面SDB．D．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB．∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；故选：D．点评：本题综合考查了空间位置关系和空间角、正方形的性质，考查了直线与平面垂直的性质，属于中档题．7．（5分）已知直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，则圆半径为（）A．2B．C．6D．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得z的值解答：解：由题意，弦心距d==．∵直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，∴由弦长公式可得2=4，∴|z|=；故选：D．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x，若f（a）+f（b）=0，则a+b的值为（）A．1B．0C．﹣1 D．不能确定考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用奇偶性判断出，再结合图象判断即可．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣2x，f（﹣x）=﹣x3+2x=﹣（x3﹣2x）=﹣f（x），∴函数f（x）的奇函数，∵f（a）+f（b）=0，∴f（a）=﹣f（b），f（a）=f（﹣b），即a=﹣b，也可能不是，运用图象可判断：a+b的值不确定故选：D点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，难度不大，属于容易题，二、填空题（每小题5分，共25分）9．（5分）函数f（x）=的定义域是（1，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，求解x的取值集合得答案．解答：解：要使原函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1．∴函数f（x）=的定义域是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．10．（5分）已知52x=25，则5﹣x=．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质进行计算即可．解答：解：∵52x=25=52，∴2x=2，x=1，∴5﹣x=5﹣1=，故答案为：．点评：本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．11．（5分）已知点A（4，﹣2）和点B（2，4），则线段AB的垂直平分线方程为x﹣3y=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由中点公式和斜率公式以及垂直关系可得直线的斜率和过的定点，可得点斜式方程，化为一般式即可．解答：解：∵点A（4，﹣2）和点B（2，4），∴AB的中点为（3，1），由斜率公式可得k AB==﹣3，∴由垂直关系可得所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣3）化为一般式可得x﹣3y=0故答案为：x﹣3y=0点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．12．（5分）一个高为2的圆锥，底面半径为1，该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆锥的高和底面半径，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：∵圆锥的高h=2，底面半径r=1，故圆锥的体积V===，故答案为：点评：本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的体积公式，是解答的关键．13．（5分）已知幂函数y=x m﹣3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=1．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由幂函数y=x m﹣3的图象关于y轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+∞）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件，即可求出参数m 的值．解答：解：幂函数y=x m﹣3的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，∴m﹣3＜0，且m﹣3是偶数由m﹣3＜0得m＜3，又由题设m是正整数，故m的值可能为1或2验证知m=1时，才能保证m﹣3是偶数故m=1即所求．故答案为：1．点评：本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向．三、解答题14．（12分）（1）log363﹣2log3（2）÷a2．考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用对数的运算法则即可得出；（2）利用指数的运算法则即可得出．解答：解：（1）原式==log39=2．（2）原式==a2．点评：本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．15．（11分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；图表型．分析：由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，则由三角形相似得r=1 （2分）∴，∴．（6分）点评：本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．16．（12分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：（3a﹣4）x﹣y﹣2=0，且l1∥l2（1）求a的值（2）求以N（1，1）为圆心，并且与l2相切的圆的方程．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）利用两直线平行的条件，即可得出结论；（2）要求圆的方程，已知圆心坐标，关键是要求半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l2的距离即为圆的半径，根据圆心坐标和求出的半径写出圆的方程即可解答：解：（1）∵l1∥l2，k1=﹣a，k2=3a﹣4，k1=k2，b1≠b2∴﹣a=3a﹣4，∴a=1；（2）l2：x+y+2=0又l2与圆相切r==2，∴所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8．点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件是圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．四、选择题（每小题5分）17．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．五、填空题（每小题5分）18．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（0，1]．考点：分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意可得关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根即为函数y=f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得，关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根即为函数f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是（0，1]，故答案为：（0，1]．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．六、解答题19．（12分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足下列某函数关系：①p=at+b②p=alog b t③p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，（1）根据这三次实验数据，请选用合适的函数模型，并说明理由（2）利用你选取的函数，求出最佳的加工时间．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，函数有增也有减，故选用p=at2+bt+c，由提供的数据，求出函数的解析式；（2）由二次函数的图象与性质可得结论．解答：解：（1）由题意，函数有增也有减，故选用p=at2+bt+c，将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，（2）由（1）知对称轴为t=3.75，即最佳的加工时间是3.75分钟．点评：本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1∥平面PAC（2）求证：直线PB1⊥平面PAC．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论．（2）利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理得逆定理得到线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．解答：证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点连接AC和BD，相较于O，连接OP，所以：OP∥BD1BD1⊄平面PAC，OP⊂平面PAC所以：直线BD1∥平面PAC（2）连接OB1，由于四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BDBB1⊥平面ABCD所以：AC⊥平面BB1D1D则：AC⊥PB1由于：所以：PB1⊥OP直线PB1⊥平面PAC点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的判定和性质的应用，属于基础题型．21．（14分）已知函数f（x）=的图象经过点（2，﹣）（1）求实数p的值，并写出函数f（x）的解析式（2）若x≠0，判断f（x）的奇偶性，并证明（3）求函数f（x）在上的最大值．考点：函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）运用代入法，解方程即可得到p和f（x）的解析式；（2）运用定义法判断奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）和f（x）比较，即可得到奇偶性；（3）运用导数，对t讨论，当＜t≤1时，当t＞1时，结合函数的单调性，即可判断函数的最大值．解答：解：（1）函数f（x）=的图象经过点（2，﹣），则f（2）=﹣，即=﹣，解得p=2，则f（x）=；（2）若x≠0，f（x）为奇函数．理由如下：定义域{x|x≠0}关于原点对称，f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）为奇函数；（3）f′（x）=﹣（1﹣），当＜t≤1时，f′（x）≥0，f（x）在上递增，f（t）最大，且为；当t＞1时，当≤x＜1，f′（x）＞0，f（x）递增；当1＜x＜t时，f′（x）＜0，f（x）递减．则x=1时f（x）取得最大值，且为﹣．综上可得，当＜t≤1时，f（x）的最大值为；当t＞1时，f（x）的最大值为﹣．点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的奇偶性的判断，考查函数的最值的求法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

津市一中2014年下学期第三次考试测试卷高一数学时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点，有且仅有一个平面B ．经过一条直线和一个点，有且仅有一个平面C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D ．四边形确定一个平面2．已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则（ ）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ3．设312311a=3, b=, c=log ,22⎛⎫⎪⎝⎭ 则a 、b 、c 从小到大的关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a4．若直线过点(1,2),(4,2，则此直线的倾斜角是（ ）A.30B.45C.60D.905．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则系数a =（ ）A ．3-B ．6-C ．32-D ．236．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 7．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-8．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．GH 和MN 是平行直线；GH 和EF 是相交直线B ．GH 和MN 是平行直线；MN 和EF 是相交直线C ．GH 和MN 是相交直线；GH 和EF 是异面直线D ．GH 和EF 是异面直线；MN 和EF 也是异面直线9．下列四个命题中的真命题是（ ）A ．经过定点P 0（x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示B ．经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)·(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示D ．经过定点A （0,b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示10．光线从点A （－4,3）射到X 轴上一点P 时被X 轴反射后经过点B （2,5），则光线从A 到B 经过的路程长为（ ）A ．5B ．10 CD ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．11．如下图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的侧面积为 。

2014-2015高一上学期期末数学模拟试卷（时间：120分钟，分值：150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为80分，试卷Ⅱ分值为70分。

第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合{1,2,3,4},{0,1,2,3}M N ==，则有 （ ） A 、M N ⊆ B 、N M ⊆ C 、{1,2,3}M N ⋂= D 、{1,2,3}M N ⋃= 2．若函数()f x =则(2)f = （ ）A 、2B 、4C 、0D 3．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 4．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（ ）(A)1∶3 (B)1 (C)1∶9 (D)1∶815．下列命题：(1)平行于同一平面的两直线平行; (2)垂直于同一平面的两直线平行;(3)平行于同一直线的两平面平行; (4)垂直于同一直线的两平面平行; 其中正确的有 （ ） A. (1) (2)和(4) B. (2)和(4) B. (2) (3)和(4) D. (3)和(4) 6．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）(A)y x = (B)2log y x = (C)13y x = (D)0.5xy = 7．函数()lg(2)f x x =+的定义域为 （ ）A 、(2,1)-B 、(2,1]-C 、[2,1)-D 、[2,1]-- 8．已知幂函数)()(322Z ∈=--m x x f m m为偶函数，且在),0(+∞上是单调递减函数，则m 的值为（ ）A ． 0、1、2B ． 0、2C ． 1、2D ． 19．若直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直,则a 值为 （ ） A . 0 B .1 C .10或 D .10-或 10．已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图像如右图所示： 则b a x g x+=)(的图像是（ ）11．已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ． )1,0(B ． )31,0( C ． )31,71[ D ． )31,71(12．如图,ABC S -是正三棱锥且侧棱长为a ，F E ,分别是SC SA ,上的动点，则三角形BEF 的周长的最小值为a 2侧棱SC SA ,的夹角为 （ ）A .300B . 600C .200D .900二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．132264()log 83--+= ．14．已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()1f x x =+，则(1)f -的值为 ．15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为______. 16．设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中，真命题是第Ⅱ卷（解答题 满分70分）三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分10分）若}06|{},065|{2=-==+-=ax x B x x x A ,且A ∪B =A ,求由实数a 组成的集合C.S ACE F18．（本小题满分12分）已知直线1l ：310x y --=，2l ：30x y +-=，求：（1）直线1l 与2l 的交点P 的坐标；（2）过点P 且与1l 垂直的直线方程．19. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面⊥PBD 平面PAC .20.（本小题满分12分）已知关于x ，y 的方程C:04222=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆。

2014-2015学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，则（∁I M）∩N=（）A．∅B．{3，4}C．{1，2}D．{0，4}2．（4分）如果幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）的值等于（）A．16 B．2 C．D．3．（4分）某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km（含3km），以后每1km 为1.6元（不足1km，按1km计费），若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为（）A．B． C．D．4．（4分）设f：A→B是集合A到B的映射，其中A={x|x＞0}，B=R，且f：x→x2﹣2x﹣1，则A中元素1+的象和B中元素﹣1的原象分别为（）A．，0 或2 B．0，2 C．0，0或2 D．0，0或5．（4分）设m∈R，函数f（x）=x2﹣mx+m﹣2的零点个数（）A．有2个B．有1个C．有0个D．不确定6．（4分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣77．（4分）设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x）是偶函数8．（4分）设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b9．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣2或6 B．﹣2或C．﹣2或2 D．2或10．（4分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）二、填空题（每题4分满分16分）11．（4分）已知集合A={0，1}，B={x|x⊆A}，则集合B中的元素个数是．12．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2+1，则f（0）=．13．（4分）若f（log5x）=x，则f（log52﹣log259）=．14．（4分）在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该为元．三、解答题（15﹑16、17题每题6分，18﹑19、题每题8分，20题10分，总分44分）15．（6分）已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤4}．（1）求A∩B；（2）求∁U B；（3）求（A∩B）∪（∁U B）．16．（6分）计算：（1）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18（2）（2）0.5+（0.1）﹣2+（2）﹣3π0+．17．（6分）设y=x2+mx+n（m、n∈R），当y=0时，对应x值的集合为{﹣2，﹣1}．（1）求m、n的值；（2）若x∈[﹣5，5]，求该函数的最值．18．（8分）设函数y=lg（1﹣x2）的定义域为A，函数y=lg（x﹣1）（x∈[2，11]）的值域为B．求：A，B，（∁R A）∪B．19．（8分）（Ⅰ）设f（x）=，求f（1+log23）的值；（Ⅱ）已知g（x）=ln[（m2﹣1）x2﹣（1﹣m）x+1]的定义域为R，求实数m的取值范围．20．（10分）某公司生产的新产品的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）如果利润=销售总额﹣成本费﹣广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；并求出当广告费x为多少万元时，年利润S最大．2014-2015学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，则（∁I M）∩N=（）A．∅B．{3，4}C．{1，2}D．{0，4}【解答】解：∵全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，∴C I M={0，4}，∴（C I M）∩N={0，4}．故选：D．2．（4分）如果幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）的值等于（）A．16 B．2 C．D．【解答】解：幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），所以，所以，所以函数解析式为，x≥0，所以f（4）=2，故选：B．3．（4分）某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km（含3km），以后每1km 为1.6元（不足1km，按1km计费），若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：由题意，函数的解析式为f（x）=，由函数解析式知，此函数图象应为一折线，∵以后每1km为1.6元（不足1km，按1km计费），∴C是正确选项．故选：C．4．（4分）设f：A→B是集合A到B的映射，其中A={x|x＞0}，B=R，且f：x→x2﹣2x﹣1，则A中元素1+的象和B中元素﹣1的原象分别为（）A．，0 或2 B．0，2 C．0，0或2 D．0，0或【解答】解：∵映射f：A→B，若集合A中元素x在对应法则f作用下的象为x2﹣2x﹣1∴A中元素1+的象是（1+）2﹣2（1+）﹣1=0，由x2﹣2x﹣1=﹣1求得x=0（不合，舍去），或x=2，∴B中元素﹣1的原象2，故选：B．5．（4分）设m∈R，函数f（x）=x2﹣mx+m﹣2的零点个数（）A．有2个B．有1个C．有0个D．不确定【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx+m﹣2对应方程x2﹣mx+m﹣2=0的△=m2﹣4（m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0，故对应方程x2﹣mx+m﹣2=0有两个不等的实根，故函数f（x）=x2﹣mx+m﹣2有2个零点，故选：A．6．（4分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣7【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得≥4，得a≥9．故选：A．7．（4分）设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x）是偶函数【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，故选：D．8．（4分）设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵0=log0.51＜a=log0.50.9＜log0.50.5=1，b=log1.10.9＜log1.11=0，c=1.10.9＞1.10=1，∴b＜a＜c，故选：B．9．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣2或6 B．﹣2或C．﹣2或2 D．2或【解答】解：∵函数f（x）=，f（a）=4，∴或，即或，∴a=﹣2或6．故选：A．10．（4分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）【解答】解：∵f（x）为奇函数，f（2）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（﹣∞，0）内是增函数∵xf（x）＜0，∴或根据在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数解得：x∈（0，2）∪（﹣2，0）．故选：D．二、填空题（每题4分满分16分）11．（4分）已知集合A={0，1}，B={x|x⊆A}，则集合B中的元素个数是4．【解答】解：∵B={x|x⊆A}，∴集合B中的元素是集合A的子集，则A的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}，共4个，故答案为：412．（4分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2+1，则f（0）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，故答案为：0．13．（4分）若f（log5x）=x，则f（log52﹣log259）=．【解答】解：∵f（log5x）=x，∴f（log52﹣log259）=f（log52﹣log53）=f（log5）=．故答案为：14．（4分）在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该为860元．【解答】解：∵某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，∴可设y=kx+b，由题意可得，解得，∴y=﹣10x+9000．当y=400时，有400=﹣10x+9000，解得x=860．故答案为860．三、解答题（15﹑16、17题每题6分，18﹑19、题每题8分，20题10分，总分44分）15．（6分）已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤4}．（1）求A∩B；（2）求∁U B；（3）求（A∩B）∪（∁U B）．【解答】解：（1）∵A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤4}，∴A∩B={x|﹣4≤x≤2}∩{x|﹣1＜x≤4}={x|﹣1＜x≤2}…（3分）（2）∵全集U=R，B={x|﹣1＜x≤4}，∴C U={x|x≤﹣1，或x＞4}．…（6分）（3）∵全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤4}．∴（A∩B）∪（C U B）={x|﹣1＜x≤2}∪{x|x≤﹣1或x＞4}={x|x≤2或x＞4}…（8分）．16．（6分）计算：（1）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18（2）（2）0.5+（0.1）﹣2+（2）﹣3π0+．【解答】解：（1）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18=lg（14××7×）=lg1=0（2）（2）0.5+（0.1）﹣2+（2）﹣3π0+=+100+﹣3+=10017．（6分）设y=x2+mx+n（m、n∈R），当y=0时，对应x值的集合为{﹣2，﹣1}．（1）求m、n的值；（2）若x∈[﹣5，5]，求该函数的最值．【解答】解：（1）y=0，即x2+mx+n=0，则x1=﹣1，x2=﹣2为其两根．由韦达定理知：x1+x2=﹣2+（﹣1）=﹣3=﹣m，所以m=3．x1•x2=﹣2×（﹣1）=2=n，所以n=2．（2）由（1）知：，因为x∈[﹣5，5]，所以，当时，该函数取得最小值．又因为f（﹣5）=12，f（5）=42，所以当x=5时，该函数取得最大值f（x）max=f （5）=4218．（8分）设函数y=lg（1﹣x2）的定义域为A，函数y=lg（x﹣1）（x∈[2，11]）的值域为B．求：A，B，（∁R A）∪B．【解答】解：由1﹣x2＞0，得﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由2≤x≤11，得1≤x﹣1≤10∴0≤lg（x﹣1）≤1，即B=[0，1]，∴C R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（C R A）∪B=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∪[0，1]=（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．19．（8分）（Ⅰ）设f（x）=，求f（1+log23）的值；（Ⅱ）已知g（x）=ln[（m2﹣1）x2﹣（1﹣m）x+1]的定义域为R，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵1+log23∈（2，3），∴；（Ⅱ）由题设得：（m2﹣1）x2﹣（1﹣m）x+1＞0（*）在x∈R时恒成立，若m2﹣1=0⇒m=±1，当m=1时，（*）式可化为：1＞0恒成立，当m=﹣1时，（*）式可化为：﹣2x+1＞0不恒成立，∴m=1；若m2﹣1≠0，则综上，实数m的取值范围是．20．（10分）某公司生产的新产品的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）如果利润=销售总额﹣成本费﹣广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；并求出当广告费x为多少万元时，年利润S最大．【解答】解：（1）设y=a（x﹣3）2+n，因为图象过点（1，1.5）和（2，1.8），所以，解得a=﹣0.1，n=1.9，故y=﹣0.1×（x﹣3）2+1.9=﹣0.1x2+0.6x+1．（2）由题意知：S=10y×（3﹣2）﹣x=10（﹣0.1x2+0.6x+1）﹣x=﹣x2+6x+10 =﹣（x﹣3）2+19，故当x=3时，年利润S最大为19 （万元）；答：当广告费x为3万元时，年利润S最大．。

津市一中2015年上学期期中考试测试卷高一数学时量：100分钟 满分：100分一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．Sin390°的值是 （ ）A ．12B ．－ 12C ． 3 2D ．－ 3 22．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，每个同学被抽到的概率是41，其中解释正确的是（ ）A ．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是41 C ．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为41D ．以上说话都不正确3．已知角α的终边在第三象限，则点)cos ,(tan ααP 在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．sincos 2αα==若（ ） A. 23- B. 13- C. 13 D.235．函数y=sin(2x+3π)的图象可由函数y=sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是（ ）A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移3πD.向右平移3π6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数构成的集合是（ ） A ．｛1｝B ．｛1,4｝C ．｛4｝D ．｛2,4｝7．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．不确定8．函数f(x)=sinxcosx+32cos2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，29．设a ＝sin34°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．10．同时抛掷质地均匀的3枚硬币，恰好有两枚正面向上的概率为________。

2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数f（x）=的定义域是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）2．设集合M={0，1，2，3}，P={2，3，4}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在下面的四个选项中，（）不是函数f（x）=x2﹣1的单调减区间．A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，1）D．（﹣∞，0）4．函数f（x）=x5+x3+x的图象（）A．关于y轴对称 B．关于直线y=x对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y=﹣x对称5．，，，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y26．将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为（）A．y=cos x+1 B．y=sin x+1 C．y=﹣cos x+1 D．y=﹣sin x+17．设，则=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．cosx+sinx D．﹣cosx﹣sinx8．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知||=2，是单位向量，且夹角为60°，则等于（）A．1 B．C．3 D．10．=（）A．﹣B．﹣C．D．11．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形12．已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（）A．①②④ B．①③C．②③D．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知函数，则f（f（﹣2））=．14．若角α的终边经过点P（2，﹣1），则cos2α的值为．15．化简的结果是．16．已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则f′（1）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，α∈（，π）．（1）求tan（π﹣α）的值；（2）求的值．18．已知函数f（x）=﹣x m，且f（4）=﹣．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=，4cos2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．20．已知=（cos，sin），，且（I）求的最值；（II）是否存在k的值使？21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．22．已知，=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=•，满足f（）=2，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=对称．（1）求a，b的值；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数f（x）=的定义域是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】要使函数f（x）有意义，须满足，解出不等式组即可．【解答】解：要使函数f（x）有意义，须满足，解得x≥﹣1，且x≠2，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，2）∪（2，+∞），故选C．【点评】本题考查函数定义域及其求法，属基础题，若函数解析式为偶次根式，被开方数须大于等于0，若解析式为分式，分母不为0．2．设集合M={0，1，2，3}，P={2，3，4}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件结合集合的关系进行判断即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2，3}，P={2，3，4}，∴M∪P={0，1，2，3，4}，M∩P={2，3}，则x∈M或x∈P等价为x∈M∪P，则0∈M∪P，但0∈M∩P不成立，即充分性不成立，反之若x∈M∩P，则x∈M∪P，即必要性成立，故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合的基本运算和集合关系是解决本题的关键．3．在下面的四个选项中，（）不是函数f（x）=x2﹣1的单调减区间．A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，1）D．（﹣∞，0）【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中函数的解析式，我们可以分析出函数的单调性，进而判断四个答案中的区间与函数单调递减区间之间的包含关系，即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x2﹣1的图象是开口方向朝上，以y轴为对称轴的抛物线故其在区间（﹣∞，0]上为减函数，在区间[0，+∞）上为增函数；∵（﹣∞，﹣2）⊊（﹣∞，0]，∴（﹣∞，﹣2）是函数f（x）=x2﹣1的单调减区间．∵（﹣2，﹣1）⊊（﹣∞，0]，∴（﹣2，﹣1）是函数f（x）=x2﹣1的单调减区间．∵（﹣1，1）⊈（﹣∞，0]，∴（﹣1，1）不是函数f（x）=x2﹣1的单调减区间．∵（﹣∞，0）⊊（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0）是函数f（x）=x2﹣1的单调减区间．故选C【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．4．函数f（x）=x5+x3+x的图象（）A．关于y轴对称 B．关于直线y=x对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y=﹣x对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【解答】解：∵f（x）=x5+x3+x，∴f （﹣x ）=﹣x 5﹣x 3﹣x=﹣（x 5+x 3+x ）=﹣f （x ）， ∴函数f （x ）为奇函数，即函数f （x ）=x 5+x 3+x 的图象关于原点对称． 故选：C ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的图象关系．5．，，，则（ ）A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别判断三个式子值的范围，可得答案．【解答】解：∵∈（1，+∞），∈（﹣∞，0）， ∈（0，1），∴y 1＞y 3＞y 2， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是指数函数和对数函数的性质，难度不大，属于基础题．6．将函数y=cos x 的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为（ ）A ．y=cos x+1B ．y=sin x+1C ．y=﹣cos x+1D ．y=﹣sin x+1 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=cos x 的图象向右平移个单位长度，可得y=cos （x ﹣）=sinx 的图象；再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为y=sin x+1， 故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．设，则=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．cosx+sinx D．﹣cosx﹣sinx【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件求得cosx＞sinx，再利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子，可得结果．【解答】解：设，则cosx＞sinx，则=|cosx﹣sinx|=cosx﹣sinx，故选：A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，判断cosx＞sinx 是解题的关键，属于基础题．8．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=xsinx+1在点处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据两直线垂直的条件列方程求解a．【解答】解：f'（x）=sinx+xcosx，，即函数f（x）=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义、两直线垂直的条件，把握好这两个知识，列式易求解问题．9．已知||=2，是单位向量，且夹角为60°，则等于（）A．1 B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】直接应用数量积计算求值．由题中条件：“向量为单位向量”得出：向量的模为一个单位且夹角是60°．再利用数量积公式计算求值．【解答】解：因为||=2，是单位向量，且夹角为60°∴向量的模为一个单位，所以=﹣=4﹣1=3故选C．【点评】本题考查平面向量的夹角、单位向量及数量积的运算，是基础题．10．=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：===sin30°=．故选C【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．11．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】诱导公式的作用．【分析】利用cos （﹣α）=sin α及正弦函数的单调性解之．【解答】解：因为cosA ＞sinB ，所以sin （﹣A ）＞sinB ，又角A ，B 均为锐角，则0＜B ＜﹣A ＜，所以0＜A+B ＜，且△ABC 中，A+B+C=π，所以＜C ＜π．故选C ．【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性．12．已知函数f （x ）=cosxsinx （x ∈R ），给出下列四个命题： ①若f （x 1）=﹣f （x 2），则x 1=﹣x 2 ②f （x ）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f （x ）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．②③D ．③④【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性． 【专题】分析法．【分析】先根据二倍角公式将函数f （x ）进行化简，根据正弦函数的性质和已知判断①；根据最小正周期的求法可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；再由正弦函数的对称性可判断④．【解答】解：∵f （x ）=cosxsinx=sin2x若f （x 1）=﹣f （x 2），则sin2x 1=﹣sin2x 2=sin （﹣2x 2）∴2x 1=﹣2x 2+2k π时满足条件，即x 1+x 2=k π可以，故①不正确；由函数f （x ）=sin2x 知周期T=，故②不正确；令，得﹣，当k=0时，x ∈[﹣，]，f （x ）是增函数，故③正确；将x=代入函数f（x）得，f（）=﹣为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．故选D．【点评】本题主要考查正弦函数的二倍角公式和正弦函数的性质．基础知识的熟练掌握是解题的关键，一定要将基础打牢．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知函数，则f（f（﹣2））=5．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外化简求解即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣2））=f（（﹣2）2）=f（4）=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．若角α的终边经过点P（2，﹣1），则cos2α的值为．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】由P的坐标求出P到原点的距离，再由余弦函数的定义求出cosα，代入二倍角的余弦公式得答案．【解答】解：∵点P（2，﹣1）到原点的距离为r=，由三角函数的定义可得：cosα=，则cos2α==．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角的余弦公式，是基础的计算题．15．化简的结果是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：原式=++=+=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则与多边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则f′（1）=．【考点】导数的运算．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】f′（1）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f′（1）的值．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，∴f′（x）=﹣2f′（1）x+3∴f′（1）=1﹣2f′（1）+3，解得f′（1）=，故答案为：【点评】本题考查了求导法则，解题时应知f′（1）是一个常数，根据求导法则进行计算即可，是基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，α∈（，π）．（1）求tan（π﹣α）的值；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由已知条件利用诱导公式求出sin，cosα=﹣，由此能求出tan（π﹣α）．（2）由二倍角公式求出sin2α和cos2α，由此能求出的值．【解答】解：（1）∵，α∈（，π）．∴﹣sin，∴sin，cosα=﹣=﹣，∴tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=﹣=．（2）∵，∴2α∈（π，2π），∴sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，∴==﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意诱导公式和二倍角公式的合理运用．18．已知函数f（x）=﹣x m，且f（4）=﹣．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．【考点】幂函数的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题．【分析】（1）欲求m的值，只须根据f（4）=﹣的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．【解答】解：（1）∵f（4）=﹣，∴﹣4m=﹣．∴m=1．（2）f（x）=﹣x在（0，+∞）上单调递减，证明如下：任取0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x2﹣x1）．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，+1＞0．∴f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2），即f（x）=﹣x在（0，+∞）上单调递减．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断与证明及指数方程的解法．属于基础题．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=，4cos2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用余弦的二倍角公式对已知等式整理求得cosC的值，进而求得C．（2）利用余弦定理求得ab的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】（1）解：由∴，整理，得4cos2C﹣4cosC+1=0解得：，∵0°＜C＜180°，∴C=60°（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab∴7=（a+b）2﹣3ab由条件a+b=5得7=25﹣3ab，∴ab=6∴．【点评】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．考查了学生分析和推理的能力．20．已知=（cos，sin），，且（I）求的最值；（II）是否存在k的值使？【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）由数量积的定义可得=cosθ﹣，下面换元后由函数的最值可得；（II）假设存在k的值满足题设，即，然后由三角函数的值域解关于k的不等式组可得k的范围．【解答】解：（I）由已知得：∴==2cosθ∴==cosθ﹣令∴cosθ﹣=t﹣，（t﹣）′=1+＞0∴t﹣为增函数，其最大值为，最小值为﹣∴的最大值为，最小值为﹣（II）假设存在k的值满足题设，即∵，∴cos2θ=∵，∴≤cos2θ≤1∴﹣∴2﹣＜k≤2+或k=﹣1故存在k的值使【点评】本题为向量的综合应用，涉及向量的模长和导数法求最值，属中档题．21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：）（﹣所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．22．已知，=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=•，满足f（）=2，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=对称．（1）求a，b的值；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；对数函数的图象与性质；导数的运算；平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出函数f（x）的表达式，结合函数的对称性和最值之间的关系利用辅助角公式建立方程关系即可，求a，b的值；（2）利用方程和函数之间的关系转化为两个函数的函数值相同问题，构造函数，利用三角函数的图象和性质求出函数的值域进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=•=2asinx+2bcosx，f（）=2，∴f（）=a+b=2，函数的导数f′（x）=2acosx﹣2bsinx，∵导函数f′（x）的图象关于直线x=对称，∴|﹣a﹣b|==2，即a2+b2=1，∵a+b=2，∴消去b得4a2﹣4a+3=0，即（2a﹣）2=0，则a=，b=；（2）∵a=，b=；∴f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，]上总有实数解，则等价为log2k=﹣f（x）=﹣2sin（x+）在区间[0，]上总有实数解，设g（x）=）=﹣2sin（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则≤sin（x+）≤1，则﹣2≤﹣2sin（x+）≤﹣1，由﹣2≤log2k≤﹣1，解得≤k≤．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．。

津市一中2015年上学期第一次考试测试高一数学时量：90分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x 为某一实数时可使20x ”是不可能事件 ③“明天津市要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是 ( ) A. 0B. 1C.2D.32、在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ）.A ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与303、抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ） A.9991B. 10001C. 1000999D.21 4、若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α) 位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5、从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85](g )范围内的概率是（ ） A. 0.62B. 0.38C. 0.02D. 0.6812 42 03 5 6 3 0 1 14 121a = 3b = a a b =+ b a b =-PRINT a ，b6、计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,07、200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布 直方图如右图所示，则时速在[50，70)的汽车大 约有（ ）. A ．60辆 B ．80辆 C ．70辆D ．140辆8、袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A. 至少有一个白球；红、黑球各一个B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；都是白球二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)9、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高 三各年级抽取人数分别为 . 10、194转化为五进制的数为 11、cos420°=12、已知一个5次多项式为5432()52 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-，用秦九韶算法求f(5)的值时v 2=13、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是_________.）三、解答题（48分）14、（8分）单位圆上的两个动点M,N,同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,M 点按逆时针方向旋转,速度为6π弧度/秒；N 点按顺时针方向旋转,速度为3π弧度/秒,试求他们出发后第三次相遇时所用的时间以及各自所走的弧度数.15、(10分) 从两块玉米地里各抽取10株玉米苗，分别测得它们的株高如下 （单位：cm ）:甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根据以上数据回答下面的问题：（1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？16、（10分）已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求2sin α+cos α的值.17、（10分）.已知回归直线方程是：ˆˆˆybx a =+,其中2121ˆni ii ni i x y nxyb x nx==-=-∑∑,ˆˆay b x --=-. 某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：（1）画出散点图； （2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额。