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AHP(层次分析法)示例说明AHP （层次分析法）示例说明(The Analgtic Hierarachy Process----AHP)一. AHP 预备知识为了更好地理解AHP ，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。
1.1 特征根与特征向量设()n m ij a A ⨯=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21ng g g g =，使得g g Aλ= (1) 则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g 是矩阵A 关于特征根λ的特征向量。
1.2 特征根的求法由(1)得()00=-⇒=-g E A g g Aλλ，这是一个n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即0=-E A λ (2)称(2)式为矩阵A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n 个根。
1.3 重量模型设nu u u ,,,21为n 个物体，重量分别是ng g g ,,,21。
但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：ji ij g g a =设准则C 为比较重量，问题是：已知),1(n j i a ij≤≤，在准则C 下对元素nu u u ,,,21排序，也就是按其重量大小排序已知。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn n n n n mn ij g g g g g g g g g g g g g g g g g g a A212221212111 对于以下三个特性： （1）0>ija（2）jiija a1=（3）ikjk ija a a=⋅()ija 显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难），满足（1）、（2）的矩阵A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A 称为一致性判断矩阵。
问题是：已知判断矩阵A ，在准则C 下对n 个物体排序。
层次分析法实验报告层次分析法实验报告一、引言层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种多准则决策方法，由美国运筹学家托马斯·L·塞蒂（Thomas L. Saaty）于1970年提出。
该方法通过对决策问题进行层次结构分解，建立判断矩阵，计算权重，最终得出决策结果。
本实验旨在通过使用层次分析法解决一个实际问题，验证该方法在决策问题中的应用效果。
二、实验目的1. 了解层次分析法的基本原理和步骤；2. 掌握构建层次结构和判断矩阵的方法；3. 熟悉计算权重和一致性检验的过程；4. 验证层次分析法在决策问题中的实际应用效果。
三、实验过程1. 确定决策问题：选择一个实际的决策问题，例如购买一台新电脑；2. 构建层次结构：将决策问题分解为准则层、子准则层和方案层，形成层次结构；3. 制作判断矩阵：对每个层次的元素进行两两比较，根据重要性进行评分，构建判断矩阵；4. 计算权重：通过特征向量法计算每个层次的权重；5. 一致性检验：计算一致性指标，判断判断矩阵是否合理；6. 决策结果：根据权重计算得出最终的决策结果。
四、实验结果在购买新电脑的决策问题中，我们构建了准则层、子准则层和方案层的层次结构。
准则层包括性能、价格和品牌三个元素；子准则层包括CPU、内存、硬盘、显卡和屏幕五个元素；方案层包括若干个不同品牌和型号的电脑。
通过对每个层次的元素进行两两比较，我们制作了判断矩阵。
以性能为例，我们对CPU、内存、硬盘、显卡和屏幕进行了两两比较，根据其重要性进行评分。
同样地，我们对价格和品牌也进行了两两比较，得到了相应的判断矩阵。
接下来，我们通过特征向量法计算了每个层次的权重。
将判断矩阵的列向量归一化后，求得特征向量，并计算了每个元素的权重。
通过一致性检验，我们发现判断矩阵的一致性指标在合理范围内，说明判断矩阵的构建是可靠的。
最终，根据权重计算得出了最佳决策结果。
层次分析法(AHP)简介Analytical Hierarchy Process层次分析法(AHP)简介⏹美国运筹学家Thomas Saaty⏹70年代末提出⏹定性与定量相结合⏹多目标(Multi-attribute)决策方法AHP Analytical Hierarchy ProcessAHP=Analytical Hierarchy ProcessLean-Six SigmaAHP在我国80年代以后的应用概况•AHP的出现与应用为了测定对象系统的属性，并将这些属性变为客观的定量的计为了测定对象系统的属性并将这些属性变为客观的定量的计值或者主观效用的行为，即对目标系统进行评价，故先后出现了很多不同的评价分析方法，包括专家评价法、经济分析法以及运筹学和其他数学方法。
AHP法属于应用数学方法的一类在实践中筹学和其他数学方法法属于应用数学方法的类在实践中得到广泛应用。
•AHP在我国的研究与应用年代以来，我国的很多领域都先后使用了AHP进行评价与决80年代以来我国的很多领域都先后使用了策。
Lean-Six Sigma一、自然界油资1989石油资源1989环境污染治理方案二、科学技术1988军械系统软科学成果评定1989产业科技水平1989地区科技综合实力1989专科项目的邻选和评价1989科技规划决策1989中科院青年研究基金评审1989农业科技成果评定Lean-Six Sigma三、教育评估教学质1988评估教学质量1989后勤院校教学质量1989大学生综合素质1989毕业生质量1989高校基金分配四、人工制造系统1981987武器系统1987反坦克导弹武器系统方案1989柔性结构系统设计1989择优水利工程开发方案综合评价1989采矿方法可行方案综合评价Lean-Six Sigma五、人和社会系统1987领导能力考评1988专业技术人员评价1989人事管理制度制定1989开放实验室（中科院）1989科协和学会（中国科协）1989工业企业经济效益1989中小企业经济效益1989青海省南州畜牧业发展状况评价Lean-Six SigmaAHP分析基本过程⏹把复杂问题分解成各个组成元素⏹按支配关系将这些元素分组﹑分层（方案层，准则层）按支配关系将这些元素分组分层（方案层准则层）⏹通过两两比较方式判断各层次中诸元素的重要性⏹综合这些判断计算单准则排序和层次总排序⏹确定诸元素在决策中的权重Lean-Six SigmaAHP法(层次分析法)最优化设施布局目标层方案一1.空间利用率方案二方案层•确定各准则的权重2.物流强度3.搬运距离准则层4.扩充弹性1 1/5 1/7 1/3比较矩阵权重0.0571.空间利用率（1）物流强度（） 5 1 1/337 3 1 53 1/3 1/510.2630.55801222.物流强度（5）3.搬运距离（7）4Lean-Six Sigma0.1224.扩充弹性（3）•一致性检验算得CI= 0.04查表得RI=0.90 CR=0.04/0.90=0.044 < 0.1通过一致性检验•水平分值方案比较矩阵0857012501670250 1 61/6 11 1/77 11 1/55 11 1/33 1比较矩阵扩充弹性搬运距离物流强度空间利用率准则方案一水平分值0.8570.1430.1250.8750.1670.8330.2500.750水平分值方案方案二•综合分值0057综合分值扩充弹性搬运距离物流强度空间利用率准则01430875083307500.3610.8570.1250.1670.250方案一0.1220.5580.2630.057权重Lean-Six Sigma0.6390.1430.8750.8330.750方案二方案二最优解读案例目标寻求最佳的方案⏹目标:寻求最佳的方案⏹对象:方案一,方案二⏹主要考虑四个方面的问题✓空间利用率✓物流强度✓搬运距离✓扩充弹性Lean-Six Sigma解读案例布局优选方案目标层空间利物流搬运扩充准则层用率强度距离弹性方案一方案方案二方案层Lean-Six Sigma准则层元素重要性分析空间利物流搬运扩充用率强度距离弹性间利用率空间利用率物流强度搬运距离扩充弹性Lean-Six SigmaLean-Six Sigma判断矩阵构成空间利用率的重要性是物流强度的1/5空间利用率物流强度搬运距离扩充弹性空间利用率 1 1/5 1/7 1/3物流强度 5 1 1/3 37315搬运距离A 7 3 1 53 1/3 1/5 1扩充弹性Lean-Six SigmamLean-Six Sigmaj =1Lean-Six Sigmamw i =Lean-Six Sigma对于本例1 1/5 1/7 1/35 1 1/3 30.2630.057 1.0990.230TAW7 3 1 53 1/3 1/5 10.1220.558=0.4922.355Temp =¼(0.230/0.057+1.099/0.263+2.355/0.558+0.492/0.122)=4.1168=4.1168-4/(4-1)=0.0389CI 4.11684/(41)0.0389查表得RI=0.90 CR=0.04/0.90=0.044 < 0.1通过一致性检验Lean-Six Sigma通过致性检验方案层对于准则的重要性类似的得出•类似的得出2个方案对不同基准的比较矩阵1611/711/51 1/3空间利用率物流强度搬运距离扩充弹性重要方案一 1 61/6 11 1/77 11 1/55 13 1性矩阵方案二0.85701430.12508750.16708330.2500750权方案一0.1430.8750.8330.750重方案二Lean-Six Sigma结果计算•最后一步计算每个方案的优劣最后步计算每个方案的优劣方案一得分=0.057*0.25+0.263*0.167+0.558*0.125+0.122*0.857=0.361方案二得分=0.057*0.75+0.263*0.833+0.558*0.875+0.122*0.143=0.639Lean-Six Sigma案例：物流系统供货商选择的评价与决策⏹研究背景及目的⏹建模及分析过程⏹结论研究背景及目的•货物采购是物流系统一项独立并且重要的功能，供货商的工作情况对物流企业生产率、产品质量及竞争力有很大影工作情况对物流企业生产率产品质量及竞争力有很大影响，因此选择合适的供货商尤为重要。
AHP层次分析法--实例什么是AHP？AHP全称为Analytic Hierarchy Process，中文翻译为“层次分析法”，是由美国数学家托马斯·L·赛蒂在20世纪70年代初提出的一种用于复杂多目标决策的评估方法。
AHP方法的核心是利用层次结构模型，将复杂问题分解成若干个较小的组成部分，通过重点考虑各个部分在整体决策中的相对重要程度，最终得到全局最优的决策方案。
以购买一部新手机为例，假设我们需要选择一款符合自己需求的手机。
我们可以先将这个问题划分为几个要素，比如品牌、操作系统、屏幕大小、摄像头、价格等，针对这些要素，又可以进一步划分出更加详细的几个层次，如手机品牌可以再分为苹果、三星、华为、OPPO等。
下面我们来分别分析各个层次的重要程度。
1. 品牌对于品牌这个层次，我们可以考虑以下四个品牌：苹果、三星、华为和OPPO。
我们可以根据自己对这些品牌的认知程度以及市场占有率等因素来对它们进行排名，比如我认为苹果品牌最好，三星次之，华为再次之，而OPPO则是最不理想的选择，可以把它们排列成如下图表：| | 苹果 | 三星 | 华为 | OPPO || --- | ---- | ---- | ---- | ---- || 苹果 | 1 | 0.2 | 0.3 | 0.1 || 三星 | 5 | 1 | 0.5 | 0.3 || 华为 | 3.3 | 2 | 1 | 0.5 || OPPO | 10 | 3.3 | 2 | 1 |在这张表格中，左上至右下的主对角线上的数值都为1，因为一个品牌与自己之间的比较是没有意义的，其他位置上的数值则表示一个品牌相对于另一个品牌具有的重要程度比例，比如苹果对三星的重要程度是0.2，表示我们认为选择苹果手机是三星手机的五倍重要。
2. 操作系统对于操作系统这个层次，我们假设只考虑两个选择：iOS和Android，为了判断哪个更重要，我们可以考虑以下几个因素：易用性、系统稳定性、应用生态系统、开发者支持等。
AHP（层次分析法）附Python⽰例代码（觉得还可以的,帮忙点个赞,谢谢） AHP（层次分析法） 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（TLsaaty）正式提出。
它是⼀种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析⽅法。
由于它在处理复杂的决策问题上的实⽤性和有效性，很快在世界范围得到重视。
它的应⽤已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、⾏为科学、军事指挥、运输、农业、教育、⼈才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本步骤1、建⽴层次结构模型。
在深⼊分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性地分解成若⼲层次，同⼀层的诸因素从属于上⼀层的因素或对上层因素有影响，同时⼜⽀配下⼀层的因素或受到下层因素的作⽤。
最上层为⽬标层，通常只有1个因素，最下层通常为⽅案或对象层，中间可以有⼀个或⼏个层次，通常为准则或指标层。
当准则过多时(譬如多于9个)应进⼀步分解出⼦准则层。
2、构造成对⽐较阵。
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上⼀层每个因素的同⼀层诸因素，⽤和1—9⽐较尺度构造成对⽐较阵，直到最下层。
3、计算权向量并做⼀致性检验。
对于每⼀个成对⽐较阵计算最⼤特征根及对应特征向量，利⽤⼀致性指标、随机⼀致性指标和⼀致性⽐率做⼀致性检验。
若检验通过，特征向量(归⼀化后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对⽐较阵。
4、计算组合权向量并做组合⼀致性检验。
计算最下层对⽬标的组合权向量，并根据公式做组合⼀致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表⽰的结果进⾏决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些⼀致性⽐率较⼤的成对⽐较阵。
建⽴层次结构模型例--选拔⼲部模型 对三个⼲部候选⼈y 1、y 2、y 3，按选拔⼲部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个⼲部候选⼈y 1、y 2、y 3，按选拔⼲部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型构造成对⽐较矩阵⽐较第i个元素与第j个元素相对上⼀层某个因素的重要性时，使⽤数量化的相对a i j来描述。
python实现AHP算法的⽅法实例（层次分析法）⼀、层次分析法原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T. L. Saaty）于20世纪70年代中期提出，⽤于确定评价模型中各评价因⼦/准则的权重，进⼀步选择最优⽅案。
该⽅法仍具有较强的主观性，判断/⽐较矩阵的构造在⼀定程度上是拍脑门决定的，⼀致性检验只是检验拍脑门有没有⾃相⽭盾得太离谱。
相关的理论参考可见：⼆、代码实现需要借助Python的numpy矩阵运算包，代码最后⽤了⼀个b1矩阵进⾏了调试，相关代码如下，具体的实现流程已经⽤详细的注释标明，各位⼩伙伴有疑问的欢迎留⾔和我⼀起讨论。
import numpy as npclass AHP:"""相关信息的传⼊和准备"""def __init__(self, array):## 记录矩阵相关信息self.array = array## 记录矩阵⼤⼩self.n = array.shape[0]# 初始化RI值，⽤于⼀致性检验self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,1.59]# 矩阵的特征值和特征向量self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)# 矩阵的最⼤特征值self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)# 矩阵最⼤特征值对应的特征向量self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real# 矩阵的⼀致性指标CIself.CI_val = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)# 矩阵的⼀致性⽐例CRself.CR_val = self.CI_val / (self.RI_list[self.n - 1])"""⼀致性判断"""def test_consist(self):# 打印矩阵的⼀致性指标CI和⼀致性⽐例CRprint("判断矩阵的CI值为：" + str(self.CI_val))print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_val))# 进⾏⼀致性检验判断if self.n == 2: # 当只有两个⼦因素的情况print("仅包含两个⼦因素，不存在⼀致性问题")else:if self.CR_val < 0.1: # CR值⼩于0.1，可以通过⼀致性检验print("判断矩阵的CR值为" + str(self.CR_val) + ",通过⼀致性检验")return Trueelse: # CR值⼤于0.1, ⼀致性检验不通过print("判断矩阵的CR值为" + str(self.CR_val) + "未通过⼀致性检验")return False"""算术平均法求权重"""def cal_weight_by_arithmetic_method(self):# 求矩阵的每列的和col_sum = np.sum(self.array, axis=0)# 将判断矩阵按照列归⼀化array_normed = self.array / col_sum# 计算权重向量array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n# 打印权重向量print("算术平均法计算得到的权重向量为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weight"""⼏何平均法求权重"""def cal_weight__by_geometric_method(self):# 求矩阵的每列的积col_product = np.product(self.array, axis=0)# 将得到的积向量的每个分量进⾏开n次⽅array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)# 将列向量归⼀化array_weight = array_power / np.sum(array_power)# 打印权重向量print("⼏何平均法计算得到的权重向量为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weight"""特征值法求权重"""def cal_weight__by_eigenvalue_method(self):# 将矩阵最⼤特征值对应的特征向量进⾏归⼀化处理就得到了权重array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)# 打印权重向量print("特征值法计算得到的权重向量为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weightif __name__ == "__main__":# 给出判断矩阵b = np.array([[1, 1 / 3, 1 / 8], [3, 1, 1 / 3], [8, 3, 1]])# 算术平均法求权重weight1 = AHP(b).cal_weight_by_arithmetic_method()# ⼏何平均法求权重weight2 = AHP(b).cal_weight__by_geometric_method()# 特征值法求权重weight3 = AHP(b).cal_weight__by_eigenvalue_method()总结到此这篇关于python实现AHP算法（层次分析法）的⽂章就介绍到这了,更多相关python AHP算法（层次分析法）内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。
AHP （层次分析法）示例说明(The Analgtic Hierarachy Process----AHP)一. AHP 预备知识为了更好地理解AHP ，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从《线性代数》中找到。
1.1 特征根与特征向量设()nm ija A ⨯=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21n g g g g Λρ=，使得g g A ρρλ=(1) 则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g ρ是矩阵A 关于特征根λ的特征向量。
1.2 特征根的求法由(1)得()00=-⇒=-g E A g g A ρρρλλ，这是一个n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即0=-E A λ(2)称(2)式为矩阵A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n 个根。
1.3 重量模型设n u u u ,,,21Λ为n 个物体，重量分别是n g g g ,,,21Λ。
但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：j i ij g g a =设准则C 为比较重量，问题是：已知),1(n j i a ij ≤≤，在准则C 下对元素n u u u ,,,21Λ排序，也就是按其重量大小排序已知。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯n n n n n n mn ij g g g g g g g g g g g g g g g g g g a A ΛM O M M ΛΛ212221212111 对于以下三个特性： （1）0>ij a （2）jiij a a 1=（3）ik jk ij a a a =⋅()ija 显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难），满足（1）、（2）的矩阵A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A 称为一致性判断矩阵。
问题是：已知判断矩阵A ，在准则C 下对n 个物体排序。
即按重量大小排序。
如果，jiij g g a =是，i g ，j g 是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A 是一致性判断矩阵。
令()Tn g g g g Λ21=则带入计算，ng Ag =。
显见n 是方阵A 的特征根，g 是A 的与n =λ对应的特征向量；事实上此时不难验证：n 是方阵A =(a ij )的最大特征根，其余n -1个特征根全为零，而g 是A 的与最大特征根n 对应的特征向量。
（证明见附录）g 的n 个分量是物体的相对重量，因此，可按此对n u u u ,,,21Λ排序。
如果对矩阵A 有一个小的扰动，即ij a 不再是真实重量的比值，这时显然A 不满足一致性条件，此时A 的最大特征根m ax λ不再是n ；因扰动很小，自然m ax λ离n 不远，这时m ax λ对应的特征向量虽然不会是n 个物体的真实重量()Tn g g g g ,,,21Λρ=，但是，变动也不会太大。
我们设想：如果扰动不大，则m ax λ离n 就不远，此时m ax λ对应的特征向量g '与g 差不多，如果g '不改变g 的各分量的大小次序，则g '同样给出n 个物体n u u u ,,,21Λ按重量大小的真实排序。
这样，对不满足一致性的正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(，我们求其最大特征根m ax λ，再求与m ax λ对应的特征向量g ，则可按g 对n 个物体n u u u ,,,21Λ按重量大小排序。
但是，这一番理论有几个疑点：①当A 不满足一致性时，A 还有没有最大正的特征根；②既使A 有最大特征根，那么，这个最大特征根m ax λ对应的特征向量的全部分量能否还是正数（重量不可能为负数）？这两个问题可以用矩阵代数中Perro —Frobineus 定理回答。
Perro-Frobineus 定理：正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。
（证明见itac 的ecmp 平台文档库中Proof_Of_PF_Theorem.pdf ）Perron 定理明白地告诉我们，对正互反矩阵A ，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是惟一的。
但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对n 个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A 的最大特征根m ax λ=n 对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。
那就是对判断矩阵()ij a A =的一致性满意程度进行检验：我们说过，由于对A 不大的扰动，最大特征根离n 不应太远，所以一致性检验自然与n 有关。
我们可以证明：只要A 的一致性不被满足，那么A 的最大特征根m ax λ一定比n 大，即m ax λ–n >0。
（对于正互反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到，忘补充）令1..max --=n nI C λ显然，我们希望..I C 尽量小；但是，..I C 小到什么程度，才能使m ax λ与n 对应的特征向量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。
为此，AHP 发明者Saaty 给出了平均一致性检验值..I R 。
我们重复1000次，对随机判断矩阵A 的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R.I . 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 令......I R I C R C =当1.0..<R C 时，认为判断矩阵A 的一致性是可以被接受的。
亦即当..1.0..1.0..I R I C R C <<即时，就是说，当给定的判断矩阵)(ij a A =的一致性指标C .I.不超过平均随机一致性指标R.I.的0.1倍时，认为判断矩阵)(ij a A =的一致性是可以被接受的。
言外之意：此时的A 的m ax λ对应的特征向量“归一化”后，能给出n 个物体n u u u ,,,21Λ按重量大小的真实排序。
明显看出这个回答不是正面的，也有些令人难以置信。
但是，这已是目前为止最好的回答了，这也是A HP 理论上不够严谨的问题。
不过，从应用角度讲，当C .R.<0.1时，排序的正确性已为所有应用例子所证实。
但是，当C .R.>0.1时，AHP 不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵A 重新赋值。
二. AHP 基本步骤用AHP 解决问题，有四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；2. 构造两两比较判断矩阵；3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。
下面通过一个应用实例说明AHP 的每个步骤的实施。
例：某闹市区一商场附近交通拥挤。
目标G ：改善该街区交通环境。
有三种方案可供选择：1A ：修天桥或修高架桥；2A ：修地道；3A ：商场搬迁。
选择方案的准则有5个：1c ：通车能力；2c ：方便市民；3c ：改造费用；4c ：安全性；5c ：市容美观。
决策步骤：A. 建立问题的递阶层次结构：递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。
B. 构造两两比较判断矩阵构造判断矩阵n n ij a A ⨯=)(，在单准则下分别构造，即在G 下对1c 2c 3c 4c 5c ，构造判断矩阵；分别在1c 2c 3c 4c 5c 下对1A 2A 3A 构造判断矩阵。
在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵)(ij a A =呢？即如何具体确定比值ij a 呢？在AHP 中比较常用的是――1-9比例标度法。
关于1-9比例标度法的说明:n 个元素n u u u ,,,21Λ，两两比较其重要性共要比较2)1(-n n 次。
第i 个元素i u 与第j 个元素ju 重要性之比为ij a 。
通过使用标度比重，确定ij a ，一下是标度值：=ij a 1 表示i u 与j u 重量相同，或重要性相同； =ij a 3 表示i u 比j u 稍重； =ij a 5 表示i u 比j u 明显重； =ij a 7 表示i u 比j u 强烈重； =ij a 9 表示i u 比j u 极端重；数2、4、6、8则为上述判断的中值。
两两比较两个元素的重要性，总是在某种准则（准则层比较是以总目标G 为准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则）下进行的。
至于为什么取1-9比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。
从理论上讲，用1-15比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出。
对n 个物体，两两比较其重要性得判断矩阵n n ij a A ⨯=)(，显然ij a 满足：2. 准则层3. 方案层 1. 目标层0>ij a ，jiij a a 1=，1=ii a 共计)1(21-n n 个判断，所以A 是正的互反矩阵，且对角线上元素为1，这样的n 阶矩阵可表示为上三角或下三角矩阵。
但A 的元素ij a 通常不具有传递性，即:ik jk ij a a a ≠⋅这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。
如果式：ik jk ij a a a =⋅成立，则称A 是一致性矩阵。
从判断矩阵A 出发到导出元素在某种准则C 下按重要性大小的排序，矩阵A 的一致性起着至关重要的作用。
按着1–9比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩阵分别为：332A道 2A搬迁3A1/51/51搬迁 3A1/51/21333C. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重 对给出的共6个正互反矩阵，分别求: （1）m ax λ（2）与m ax λ对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量 （3）每个矩阵求m ax λ后，都要进行一致性检验。
例如以1c 作准则的判断矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15/15/1511511A因阶数低，可直接求出最大特征根。
由于A 是一致的，知m ax λ=3，其它的特征根均为0。
下面来验证这一点：λλλλλλλλλ---+--=---=-15/151)(15/15/151151115/15/1511511||E A⎩⎨⎧===⇒=--=-=--+--=030)2()()()2)((000051132max 222λλλλλλλλλλλ再例如以准则2c 的判断矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1213/1531A显然A 不满足一致性，因为5623132312=≠=⨯=⋅a a a 。
