多面体与球知识点

多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。

球内接多面体
1．球内接多面体
【知识点的知识】
1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球．
球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球
2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）球心与多面体中心的位置关系；
（2）球的半径与多面体的棱长的关系；
（3）球自身的对称性与多面体的对称性；
（4）能否做出轴截面．
3、球与多面体的接、切中有关量的分析：
（1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为r，正方体的棱长为a，则：
①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处；
②正方体的四个顶点都在球面上；
③轴截面就是正方体的对角面；
④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造一个直角三角形；
⑤球半径和正方体棱长的关系：r =3a．
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多面体与旋转体知识要点归纳
二、空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。

中心投影的投影线交于一点。

2.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。

投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。

平行投影的投影线是平行的。

3.三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图。

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图。

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图。

画法：长对正、高平齐、宽相等。

4.直观图（斜二测画法）
（1）画坐标轴：把已知图形中互相垂直的x轴和y轴，在直观图中画成
45（或
135）角的x'轴和y'轴，
（2）画底面：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段。

已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不
变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

（3）画侧棱：侧棱的长度与原来几何体的侧棱的长度一样。

沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录：刘世亮第 65 讲：多面体和球主要知识及主要方法：1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体 .2. 正多面体有且只有 5 种. 分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 .3.简单多面体： 考虑一个多面体， 例如正六面体， 假定它的面是用橡胶薄膜做成的， 如果充以气体， 那么它就会连续 （不破裂）变形，最后可变为一个球面. 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体 .说明： 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体4. 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球 定点叫球心，定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 . 一个球或球面用球心的字母表示。

5. 球的性质 ：（ 1）平面截球所得的截面是圆. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。

（ 2）球心和球面圆心的连线垂直于截面；（ 3）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系： r R 2 d 2（ 4）地球上的径度是个二面角，纬度是个线面角。

6. 两点的球面距离： 经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 叫做两点的 球面距离 . lR ( 为球心角 的弧度数 ).7.球的表面积和体积公式：S 4 R 2，V 34 R 3.基础 1. 正方体的全面积为24，球 O 与正方体的各棱均相切，球O 的体积是（ D自测A.4B.4 3C.86D. 8 2332. 把边长为2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A ，B ，C ，D 四点所在的球面上，B 与 D 两点之间的球面距离为（ CA.2B.C.2D.33. 球面上有三点， 任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6 ，经过这三个点的小圆周长为 4 ，那么这个球的半径为 （ B ）A.4 3B. 2 3C.2D. 34. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 9.典例剖析例1已知在多面体 ABCDEFG 中， AB 、AC 、 AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面 DEFG ，平面 BEF ∥平面 ADGC ， AB=AD=DG=2， AC=EF=1，则这个多面体的体积为（BA.2B.4C.6D.8例 2 ①已知过球面上三点 A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6， AB=4，则球的半径等于3 6/2，球的表面积等于54.②设球 O 的半径是 1，A 、B 、C 是球面上三点， 已知 A 到 B 、C 两点的球面距离都是90 ，且二面角 B —OA —C 的大小为 60 ，则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是（ CA.76B. 54C. 43D. 32例 3①P 、 Q 为斜三棱柱相对棱上的点，若AQ=PC ，则多面体 B —ACPQ 的体积是三棱柱体积的（ B1A.1B.1C. 2D.32334②设 A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内， AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ AA.86B.64 6C. 24 2D. 722③长方体 ABCD —A B C D 的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= 3 ，AA=1，则顶点 A 、B 间的球面距离是 （C ）111 11A.2 2B. 2C.2 D.224④长方体 ABCD —A 1B 1C 1 D 1 的各顶点都在球 O 的球面上，其中 AB ∶AD ∶AA 1=1∶1∶ 2 ， A 、B 两点的球面距离记为 m ，A 、D 1 两点的球面距离记为 n ，则 m : n 的值为 1 ： 2 .例 4 已知三棱锥 P —ABC 中， E 、F 分别是 AC 、AB 的中点，△ ABC 、△ PEF 都是正三角形， PF ⊥AB.（1）证明： PC ⊥平面 PAB2）求二面角 P —AB —C（3）若点 P 、A 、 B 、 C 在一个表面积为 12 的球面上，求△ ABC 的边长 .（1）证明 连结 CF ，∵ PE=EF= 1 BC= 1AC ，∴ AP ⊥PC.22∵ CF ⊥AB ，PF ⊥AB CF ∩PF=F.∵ PC 平面 PCFPC ⊥ AB.（ 2）方法一 ∵AB ⊥PF ，AB ⊥CF设 AB=a ，则 PF=EF= a，CF= 3a .22AB ⊥平面 PCF.AP ∩ AB=APC ⊥平面 PAB.PFC 为所求二面角的平面角 .cos ∠PFC=3.3方法二 设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAF ≌△ PAE ，∴△ PAB ≌△ PAC 得 PA=PB=PC ，于是 O 是△ ABC 的中心 . PFO 为所求二面角的平面角 .设 AB=a ，则 PF= a ，OF= 1 ·3a .cos ∠PFO=OF3 .2 3 2PF3（ 3）方法一 设 PA=x ，球半径为 R. PC ⊥平面 PAB ， PA ⊥ PB ，∴ 3x =2R.∵4 R 2=12 ，∴ R=3 ，得 x=2. ABC 的边长为 2 2 .方法二 延长 PO 交球面于 D ，则 PD 是球的直径 . 连结 OA 、AD ，得△ PAD 为直角三角形，设 AB=x ，球半径为 R.4 R 2=12，∴PD=2 3PO=OFtan ∠PFO=6 x ，OA= 2· 3 x6 3 22∴ 3x6x 2 36x ，于是 x=22 .ABC 的边长为 2 2 .366例 4 如图，三个12×12 cm 的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成 A、B 两片〔如图（ 1）〕，把 6 片粘在一个正六边形的外面〔如图（ 2）〕，然后折成多面体〔如图（ 3）〕，求此多面体的体积 .解法一：补成一个正方体，如图甲， V=1V 正方体=1×123=864 cm3. 22甲乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，3 V=V 大三棱锥－3V 小三棱锥=864 cm .解法三：如图（ 3）7 设 C 是所在棱的中点，截面CDE 把几何体截成两部分，沿体的下一半 .C EDDE 把上部分翻转过来可拼成正方例 5 已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少 ?。

专题12 多面体的外接球和内切球一、结论1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

类型一 球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD -中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下： P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V ------=++++即：可求出.类型二 球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P ABC -中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin a r A=）； ②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R :在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R .4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥P ABC -中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O . 二、典型例题1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，则鳖臑内切球的表面积为A ．3πB．(3π- C ．12πD．(3π+【答案】B【解析】解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，所以，设四面体内切球的球心为，则， 所以3ABCD V r S =内， 因为四面体ABCD的表面积为1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =+++=△△△△又因为四面体ABCD 的体积16ABCD V =，所以3V r S ==内24(3S r ππ==-球， 故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P －ABC 中，两两垂直，则该三棱锥的外接球的表面积为A ．494πB ．56π CD ．14π【答案】D【解析】将三棱锥P －ABC 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R ，则()222224214R R PA PB PC ==++=，所以球的表面积为2414S R ππ==． 故选：D ．【反思】由题意，两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球. 3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥，在底面中，面，则此三棱锥的外接球的表面积为A ．163πB ．43πC ．323πD ．16π【答案】D【解析】设三棱锥的外接球半径为R,已知其外接圆半径为1。