6动量定理和动量守恒定律

3.关于质点系的动量定理几点说明：
（1）作用系统的合外力是作用于系统内每一质点 上的外力的矢量和，只有外力才对系统的总动量变 化有贡献，而系统内力只能改变系统内各个质点的 动量，不能改变整个系统的总动量。 例如：船上有帆，自然风吹动帆，船就会动。但若 在船上装一鼓风机对船吹风，船是不会动的，只有 外界吹的风才可以改变船的动量。

t
F (t )dt
t0

t
t0
t t Fx (t )dt i Fy (t )dt j Fz (t )dt k
t0 t0

Ix Iy Iz

t
t0 t
Fx (t )dt m x m x 0 Fy (t )dt m y m y 0 Fz (t )dt m z m z 0

t (1)冲量 I 是矢量， F (t )dt 是矢量函数的定积分，因而冲 t 量I 的方向一般与F (t ) 的方向不同，除非 F (t ) 的方向恒
0
3 几点说明：
定不变时， 和 (t ) F I
那么：I
才方向一致。
在直角坐标系中， (t ) Fx (t )i Fy (t ) j Fz (t )k F
Байду номын сангаас
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
当力连续变化时 I = t 1 F dt I x=
t2 t1 t2 t2
Fx + 0 t1 t2 t
F x dt
I y = t 1 Fy dt
冲量的几何意义：冲量 I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
二、质点的动量定理
定理
质点 角动量 定理
—

质点系 角动量 定理

角动量 守恒 定律
§2—2 动量定理和动量守恒定律
一、冲量
1.引入： 大量实验表明，质点受力后，运动状态的改变 极其复杂，不但与作用力的大小、方向有关，还与力作 用时间的长短有关。人们感兴趣的是力作用一段时间后 的总效果，即力对时间的累积作用。
2.定义：一般情况下，作用在质点上的力是随时间 变化的，即力是时间的函数， F (t ),它对时间的 F t 积分 F (t )d t 称为力的冲量，用符号 I 表示。
0
t
13
f 31
3
f
上面两式相加，有： t t
t0 t0
F3 对 m 运用质点动量定理： ( F f )dt m v m v 1 1 1 10 1 t 1 12 t0 对 m运用质点动量定理： ( F2 f 21 )dt m2 v2 m2 v20 2
I F (t )dt m m 0
t0
如果质点运动速度大到要用相对论处理时（质量要变 化），质点的动量定理则要表示为： t
t0
I F (t )dt P P0
(6)对不同的惯性系，同一质点的动量是不同的，但动 量的增量总是相同的。又因为力 F (t )及时间都与参考系 无关，所以，在不同的惯性系中，同一力的冲量相等。 由此可知，质点的动量定理适用于所有的惯性系。在 非惯性系中，只有添加了惯性系的冲量之后，质点的 动量定理才成立。
FΔｔ＝０－（－ｍv）＝ｍv
其中ｖ＝ 2 ｇｈ 9.9ｍ ＝ ｓ F＝495 N 该解法是错误的!
正确做法：
演员受力为 m g ，F
F
F－ｍｇΔｔ＝0－－ｍv
ｍｖ F ＝ｍｇ＋ ＝985 N Δｔ
mg
三、质点系的动量定理
1.质点系
(1)在实际问题中，常会遇到由几个或许多质点组成 的系统，这种具有相互作用的质点的集合称为质点 系。
（3）对在无限小的时间间隔内，质点系的动量定 理可写成
Fi dt dP 或
i
Fi dP
i
dt
此式说明，当质点系受外力作用时，因系统中 各质点的运动并不相同，故不能直接用牛顿第二定 律得出系统整体以某一加速度运动的结论，但可用 质点系动量定理，因系统的总动量的增量仍等于外 力的冲量。 （4）质点系动量定理只适用于惯性系，要在非惯 性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量。
tt 0
又由内力：f12 f 21 得：
( F1 f12 )dt ( F2 f 21 )dt
t t t0
t0
F2
t
f21
2
f 12
1
13
f 31
3
( F1 F2 )dt
0
F
t t ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
当 Fx 0 时， mi vix 常量 当 Fy 0 时， mi viy 常量 当 Fz 0 时， mi viz 常量
i i i
由此可见，如果系统所受外力矢量和并不为零， 但合外力在某个坐标轴上的分量为零时，此时系统 的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的总动量的分量 守恒，这点在处理某些问题上是很有用的。
B
M
B
M v + m ( v u ) = ( M + m) vB A
( M + m) v = m ( v u ) + M v A A M v m ( v u ) = ( M + m) vB A 解得： mu vA = v + M +m
( M 2 m 2 )v + Mmu vB = 2 (M + m )
例：一演员走钢丝绳，不慎跌下，由于弹性安全带的
保护不致受伤。演员质量ｍ＝５０ｋｇ，已知安全带 长5ｍ，绳伸直后与人的相互作用时间（弹性缓冲）为 1秒。求安全带给演员的平均作用力多大？ 解：分析：以演员为研究对象 （１）跌下可视为自由落体运动； （２）演员与安全带相互作用，可视为碰撞过程；
由动量定理（取向上为坐标正方向）
牛顿运动定律的扩展
力对时间 积累 — 冲量
用于某过程
牛 动量守 质点动 质点系 动量定理 恒定律 顿 量定理 第 二 力对空间 质点及 机械能 功能 — 定 积累 功 质点系 原理 守恒定律 律 动能 瞬 应用于转动 — 时 力矩、角动量 性
将冲量对碰撞 作用时间取平 均，则 这个平 均作用力称为 平均冲力。
F (t ) t F (t ) dt
t
0
Fx
Fx
0
t t0 mv mv0 t t0
t1
t
2
t
(5)在低速运动的牛顿力学范围内，质点的质量可视为 不变，则质点动量定理可表示为： t
( F1 f12 )dt ( F2 f 21 )dt ( F1 f12 F2 f 21 )dt
t t0
t0
( F1 f12 )dt m1v1 m1v10
t
F1
( F2 f 21 )dt m2 v2 m2 v20
方 向 方 向
注： F 合外力
是合外力
T
m v 2 mv
I
A
mg
F合 1

F dt

B
R mg v
F合
F合 1
F 合 与 v 同向
(4)在打击、碰撞等实际问题中，物体相互作用 的时间很短，作用力变化很快，而且往往很大， 这种力称为冲力。
1.我们用牛顿第二定律来求一下力的累积效果： t t d ( m ) dt m m 0 F (t )dt
t0 t0
dt
此式说明，“在给定的时间内，合外力作用在 质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量”。 这就是质点的动量定理。 2. m m 0是动量差，即末动量减去初动量。
（2）将矢量式写成分量式（在直角坐标系中）
F
t0 t i
t
ix
dt dt dt
m
i i
ix
mi ix0
i
F
t0 t i
iy
m
i i
iy
mi iy 0
i
F
t0 i
iz
m
i i
iz
mi iz0
i
这说明，在任意一时间间隔内，质点系的总动 量在任一方向上的增量，等于同一时间间隔内所有 外力在该方向上作用于质点系的冲量，而与其他垂 直方向上的冲量无关。
2
t1
冲量
I
是矢量，单位：N‧s
冲量 （力的作用对时间的积累，矢量） I 大小： Fdt 方向：速度变化的方向 FiΔ t i 单位：Ns
t2 t1
1）常力的冲量
F2Δ t 2
I = FΔ t 2）变力的冲量
F1Δ t 1
FnΔ tn
I + F nΔ t n
I = F 1Δ t1 + F 2Δ t 2 + = Σ Fi Δ t i
t
0
F3
此式表明，作用于两质点组成的质点系的合外力 的冲量等于质点系的总动量的增量。
t0
（2）推广
对于由多个质点组成的质点系，则有

t
t0
Fi dt mi i mi i 0 Pi Pi 0
i i i i i
上式表明，作用于质点系的合外力的冲量等 于在同一时间间隔内的质点系总动量的增量，此 即质点系的动量定理。

t
F (t ) dt