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第二节 平移和旋转课标呈现 指引方向1．图形的平移（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等．（2）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用． （3）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计． 2．图形的旋转通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等． 考点梳理 夯实基础1．图形的平移（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向 移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移 ．确定平移的两大要素是 方向和距离 ．（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段 平行（或在同一直线上） 且 相等 ，对应线段 平行（或在同一直线上） 且 相等 ，对应角 相等 ．②平移改变图形的 位置 ，不改变图形的 形状 和 大小 ． 2．图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个图形绕着 某点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度 ，这样的图形运动称为旋转，这个点定叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ．确定旋转的三大要素是 旋转中心、旋转方向、旋转角 ．（2）性质：①图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了 相同 的角度．任意一对对应点与 旋转中心 的连线所称的角都是旋转角，对应点到 旋转中心 的距离相等． ②旋转改变图形的 位置 ，不改变图形的 形状 和 大小 ． 考点精析 专项突破考点一 图形的平移【例1】（2019青岛）如图，线段AB 经过平移得到线段''B A ,其中点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ，这四个点都在格点上．若线段AB 上有一个点P （a ，b ），则点P 在''B A 上的对应点'P 的坐标为（ A ） A ．（2-a ，3+b ） B ．（2-a ，3-b ） C ．（2+a ，3+b ） D ．（2+a ，3-b ）xy12345-1-2-2-154321A 'P'B'BAOP解题点拨：本题考查了坐标与图形的平移变化，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移过程中，点的坐标变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．本题根据点A 、B 平移后横、纵坐标的变化可得到线段AB 向左平移了2个单位，向上平移了3个单位，然后再根据平移过程中点的坐标变化规律即可得到答案．【例2】（2019镇江）如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm ，BC=2cm ．将△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D 1B 1C 1，连接AC 1，BD 1．如果四边形ABD 1C 1是矩形，那么平移的距离为 7 cm ．D 1C 1B 1D A D ABC CB解题点拨：本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．过D 1作D 1E ⊥BC 1于E 点，由△D 1EC 1∽△BD 1C 1即可得出BC 1=9，进而得出答案．考点二 图形的旋转【例3】（2019孝感）将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若AB =2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点'A 的坐标为（ C ）A ．（3，1-）B ．（1，3-）C ．（2，2-）D ．（2-，2）xy30°O解题点拨：本题考查了旋转的性质、特殊锐角三角函数值得应用，先根据题意画出点'A 的位置，然后过点'A 作OB C A ⊥'于C ，接下来依据旋转的定义和性质可得到'OA 的长和'COA ∠的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可．得到︒=∠45'COA 是解本题的关键． 【例4】（2019黄石）在△AOB 中，C ，D 分别是OA ，OB 边上的点，将△OCD 绕点O 顺时针旋转到△''D OC ． （1）如图1，若︒=∠90AOB ，OB OA =，C ，D 分别为OA ，OB 的中点，证明：①''BD AC =；②''BD AC ⊥； （2）如图2，若△AOB 为任意三角形，且θ=∠AOB ，CD ∥AB ，'AC 与'BD 交于点E ，猜想θ=∠AEB 是否成立？请说明理由．图1图2FE C'D'DD'C'CD B AOAOBC解题点拨：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．解：（1）证明：①∵△OCD 旋转到△''D OC ，∴'OC OC =，'OD OD =，''BOD AOC ∠=∠．∵OB OA =，C ，D 分别为OA ，OB 的中点，∴OD OC =，∴''OD OC =．在△'AOC 和△'BOD 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=''''OD OC BOD AOC OB OA ，∴△'AOC ≌△'BOD （SAS ），∴''BD AC =．②延长'AC 交'BD 于E ，交BO 于F ，如图1所示， ∵△'AOC ≌△'BOD ，∴''OBD OAC ∠=∠，又BFE AFO ∠=∠，︒=+∠∠90'AFO OAC ， ∴︒=+∠∠90'BFE OBD ，∴︒=∠90BEA ，∴''BD AC ⊥．（2）θ=∠AEB 成立，理由如下：如图2所示，∵△OCD 旋转到△''D OC ，∴'OC OC =，'OD OD =，''BOD AOC ∠=∠．∵CD ∥AB ，∴OB OD OA OC =，∴OB OD OA OC ''=，∴OB OAOD OC =''．又''BOD AOC ∠=∠，∴△'AOC ∽△'BOD ，∴''OBD OAC ∠=∠．又BFE AFO ∠=∠，∴θ=∠=∠AOB AEB ．图1图2F E C'D'DFE D'C'CDB BOAO AC课堂训练 当堂检测1．（2019泰安）如图，在平面直角坐标系中，正△OAB 的顶点B 的坐标为（2，0），点A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至△'''B A O 的位置，此时点'A 的横坐标为3，则点'B 的坐标为（ ） A ．（4，32） B ．（3，33） C ．（4，33） D ．（3，32）【答案】A2．（2019枣庄）如图，边长为1 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（ ）A ．43 B ．167C ．212-D ．12-【答案】D3．（2019自贡）如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内，其中︒=∠90CAB ，5=BC ，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线62-=x y 上时，线段BC 扫过的面积为cm ． 【答案】16xy 第1题A 'O'B'A OB 第2题C'D'B'CDABxy 第3题BO A C4．（2019巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出将△ABC 向右平移2个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕点O 顺时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2； （3）求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2重合部分的面积．xy 第4题ACB O解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所求； （2）如图，△A 2B 2C 2为所求；xy 第4题答案图A 1A 2B 1B 2C 1C 2ACB O（3）B 2C 2与A 1B 1相交于点E ，B 2A 2与A 1B 1相交于点F ，如图．∵B 2（0，1），C 2（2，3），B 1（1，0），A 1（2，5），A 2（5，0），∴直线A 1B 1为55-=x y ，直线B 2C 2为1+=x y ，直线A 2B 2为151+-=x y ，由⎩⎨⎧+=-=155x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2523y x ，∴点E （23，25）．由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=15155x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13101315y x ，∴点E （1315，1310）． 过F 作x 轴的垂线交B 2C 2于G 点，易得G （1315，1328），进而易得△B 2EF 的面积为2627． ∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2重合部分的面积为2627．中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．（2019菏泽）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则b a +的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A2．（2019济宁）将△ABE 向右平移2cm 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是16cm ，那么四边形ABFD 的周长是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．21cm 【答案】Cx y第1题B 1(a ,2)A 1(3,b )A (2,0)O B (0,1)第2题DFBEA C3．（2019宜宾）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，4=AC ，3=BC ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B 、D 两点间的距离为（ ） A ．10 B ．22 C ．3 D ．52【答案】A4．（2019河南）如图，已知菱形OABC 的顶点O （，），B （，），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为（ ）A ．（1，1-）B ．（1-，1-）C ．（2，0）D ．（0，2-） 【答案】B第3题E DC AB xy第4题1221CDBO A二、填空题5．（2019广安）将点A （1，3-）沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移5个单位长度后得到点'A 的坐标为．【答案】（2-，2） 6．（2019重庆南开）如图，在△ABC 中，︒=∠70B ，︒=∠30BAC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ．当点B 的对应点D 恰好落在AC 上时，=∠CAE ． 【答案】50°7．（2019枣庄）如图，在△ABC 中，︒=∠70C ，2==BC AC ，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△''C AB 的位置，连接B C '，则=B C '． 【答案】13-第6题EA DBC 第7题C'B'AB C三、解答题8．（2019巴中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的格中，给出了格点三角形ABC （顶点是格线的交点）．（1）先将△ABC 竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1； （2）将△A 1B 1C 1绕B 1点顺时针旋转90°，得到△A 2B 1C 2，请画出△A 2B 1C 2； （3）求线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积．第8题A C B解：（1）（2）如图：第8题答案图A 1B 1C 1A 2C 2A CB（3）∵BC=3，∴线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积为：ππ49360390=⨯． 9．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，︒=∠+∠180EAD BAC ，△ABC 不动，△ADE 绕点A 旋转，连接BE 、CD ，F 为BE 的中点，连接AF ．（1）如图①，当︒=∠90BAE 时，求证：CD=2AF ；（2）当︒≠∠90BAE 时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．第9题图②图①FDF DBCC B AE AE解：（1）证明：如图①，∵︒=∠+∠180EAD BAC ，︒=∠90BAE ，∴︒=∠90DAC ． 在△ABE 与△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=AC AB CAD BAE AD AE 90，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴CD=BE ．∵在Rt △ABE 中，F 为BE 的中点，∴BE=2AF ，∴CD=2AF ． （2）成立．证明：如图②，延长EA 交BC 于G ，在AG 上截取AH=AD ，连接BH ．∵︒=∠+∠180EAD BAC ，∴︒=∠+∠180DAC EAB ．∵︒=∠+∠180BAH EAB ，∴CAD BAH ∠=∠． 在△ABH 与△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AC AB CAD BAH AD AH ，∴△ABH ≌△ACD （SAS ），∴BH=DC ．∵AD=AE ，AH=AD ，∴AE=AH ．∵EF=FB ，∴BH=2AF ，∴CD=2AF ．图①图②第9题答案图GH FDF D BCCBAE A EB 组 提高练习10．（2019无锡）如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30ABC ，2=AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取B 1B 的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长度是（ ）A ．7B ．22C ．3D ．32【答案】A（提示：首先证明△ACA 1、△BCB 1是等边三角形，推出△A 1BD 是直角三角形即可解决问题）第10题B 1A 1DBAC第11题图2图1A BNABN MCCMD D11．（2019潜江）已知︒=∠135MAN ，正方形ABCD 绕点A 旋转．（1）当正方形ABCD 旋转到MAN ∠的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，如图1，若BM=DN ，则线段MN 与DN BM +之间的数量关系是；（2）如图2，若DN BM ≠，请判断（1）中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．证明：（1）如图1，若BM=DN ，则线段MN 与DN BM +之间的数量关系是DN BM MN +=．理由如下： 在△ADN 与△ABM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=BM DN ABM ADN AB AD 90，∴△ADN ≌△ABM （SAS ），∴AN=AM ，MAB NAD ∠=∠．∵︒=∠135MAN ，︒=∠90BAD ，∴︒=︒-︒-︒=∠=∠5.67)90135360(21MAB NAD ．作AE ⊥MN 于E ，则MN=2NE ，∠NAE=12∠MAN=67.5°. 在△ADN 与△AEN 中，90 67.5,ADN AEN NAD NAE AN AN∠=∠=∠=∠⎧⎪=⎪⎩=⎨。
