2011年江西省高考理科数学试题

2011年高考数学（江西理）试卷分析选择题题号：1 涉及内容：复数。

分值：5 。

难易程度：易。

2涉及内容：集合、解不等式。

分值：5 。

难易程度：易。

3涉及内容：函数、解不等式。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

4涉及内容：集合、导数、解不等式。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

5涉及内容：数列。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

6涉及内容：统计、线性回归。

分值：5 。

难易程度：易。

7涉及内容：归纳、周期。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

8涉及内容：立体几何、逻辑。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

9涉及内容：解析几何、分类讨论。

分值：5 。

难易程度：中偏难。

10涉及内容：轨迹。

分值：5 。

难易程度：难。

填空题11涉及内容：平面向量。

分值：5 。

难易程度：易。

12涉及内容：概率。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

13涉及内容：算法。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

14涉及内容：圆锥曲线。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

选做题15（1）涉及内容：极坐标。

分值：5 。

难易程度：易。

15（2）涉及内容：绝对值不等式、最值、线性规划。

分值：5 。

难易程度：中偏易。

解答题16涉及内容：概率、统计。

分值：12 。

难易程度：中偏易。

17涉及内容：解三角型、三角恒等变换。

分值：12 。

难易程度：中偏难。

18涉及内容：数列、二次方程。

分值：12 。

难易程度：中偏难。

19涉及内容：导数应用。

分值：12 。

难易程度：中偏难。

20涉及内容：圆锥曲线、二次方程。

分值：13 。

难易程度：难。

21涉及内容：立体几何、空间向量。

分值：14 。

难易程度：难（压轴题最难）。

难易题型占分概况1容易题占：25分2中偏易题占：57分3中偏难题占：41分4难题占：32分涉及内容、板块占分概况1解析几何占：28分2概率、统计占：23分3函数、三角函数占：22分4不等式占：20分5立体几何占：19分6向量占：19分7导数占：17分8数列占：17分9集合、逻辑占：10分10归纳占：5分11算法占：5分12复数占：5分13未涉及内容：二项式、数学归纳法。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， 考试注意：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。

参考公式：样本数据（11,y x ），（22,y x ），...，（n n y x ,）的线性相关系数∑∑∑===----=ni ini ini i iy yx xy y x xr 12121)()())(( 其中nx x x x n +++= (21)ny y y y n+++= (21)锥体的体积公式 13V Sh =其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1） 若ii z 21+=,则复数-z = ( )A.i --2B. i +-2C. i -2D.i +2 答案：C 解析： i i ii i ii z -=--=+=+=21222122（2） 若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= ( )A.}01|{<≤-x xB.}10|{≤<x xC.}20|{≤≤x xD.}10|{≤≤x x 答案：B 解析：{}{}{}10/,20/,11/≤<=⋂≤<=≤≤-=x x B A x x B x x A （3） 若)12(21log1)(+=x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )A. (21-,0) B. (21-,0] C. (21-,∞+) D. (0,∞+)答案： A 解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴<+<∴>+0,211120,012log 21x x x（4） 若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 ( )A. (0,∞+)B. (-1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0) 答案：C 解析：()()()2,012,0,02,0422'2>∴>+-∴>>-->--=x x x x xx x x x x f（5） 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析： 11,41,31,2104314321321212==∴=+==∴=+==∴=+=a a S S S a S S S a S a a S（6） 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则 ( )A.012<<r rB. 120r r <<C.120r r <<D. 12r r =答案：C 解析： ()()()()∑∑∑===----=ni ini ini i iyyxxyy x xr 12121第一组变量正相关，第二组变量负相关。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题 卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题 (1) 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z z(A) i 2- (B) i - (C) i (D) i 2(2) 设函数)0(2≥=x x y 的反函数为 (A) )(42R x x y ∈= (B) )0(42≥=x x y (C) )(42R x x y ∈= (D) )0(42≥=x x y (3) 下面四个条件中，使b a >成立的充分而不必要的条件是(A) 1+>b a (B) 1->b a (C) 22b a > (D) 33b a >(4)设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，公差21=d ，242=-+k k S S ，则k=(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5(5) 设函数)0(cos )(>=ωωx x f ，将)(x f y =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A) 31 (B) 3 (C) 6 (D) 9 (6) 已知直二面角βα--l ，点α∈A ,AC ⊥l ，C 为垂足，点β∈B , BD ⊥l,D 为垂足，若AB=2,AC=BD=1,则D 到平面ABC 的距离等于 (A) 32 (B) 33 (C)36 (D) 1(7) 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不用的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种(8) 曲线12+=-x ey 在点（0，2）处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形的面积为 (A) 31 (B) 21 (C) 32 (D) 1 (9) 设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=则=-)25(f (A) 21- (B) 41- (C) 41 (D) 21 (10)已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线42-=x y 与C 交于A 、B 两点，则=AFB cos (A) 54 (B) 53 (C) 53- (D) 54- (11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成o 60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4，则圆M 的面积为π4，则圆N 的面积为(A) π7 (B) π9 (C) π11 (D)π13(12)设向量c b a ,,满足1||||==b a ，21-=∙b a ，o c b c a 60,>=--<则||c 的最大值等于 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

第一章调度指挥安全管理制度调度指挥与安全监测监控联合值守制度调度值班是组织指挥、协调控制安全生产的核心，实行24小时不间断值班制度，值班调度员执行八小时工作制。

值班调度员严格按照生产作业计划、煤矿各类规程措施及领导指示组织指挥生产，协调各部门、环节之间的矛盾和出现的问题。

1、调度指挥中心担负着企业生产、安全、经营活动的组织、指挥、监督和控制四大职能，值班调度员要做到“情况明、底数清、信息灵”。

在依据生产作业计划的基础上，充分理解领导工作意图，利用一切可能利用的途径与手段实现企业在每一阶段的发展目标。

2、值班调度员必须熟悉本企业各业务部门和下属单位的各自职权、业务和分管范围，熟悉企业生产经营流程，对与企业生产、安全、经营活动息息相关的生产和辅助环节的运作程序要了如指掌，熟知“一通三防”、监测监控知识，并具备一定的组织协调能力。

3、值班调度员必须掌握所辖范围内的生产、运输、通风、供电、供排水等各大系统的基本情况；熟悉主要生产环节和岗位现状；熟悉生产过程的工艺流程；熟悉采掘工程平面图和各系统图，熟悉矿井灾害预防计划、事故应急预案。

值班期间如发生以下突发情况之一，必须立即停产撤人，并向值班矿长汇报，在值班矿长的领导和指挥下，迅速落实启动公司制订的《突发情况井下停产撤人实施细则》、停产撤人应急救援预案的指令和处理公司停产撤人紧急避险措施的有关事宜，实施紧急避险；在指挥部人员没有到达指挥部部之前，由调度室值班人员（调度员）全权负责指挥工作。

值班调度人员在行使以上权力时，不论现场是否发生灾害（难），事后，任何领导不得追究值班调度人员的责任。

（1）遇暴雨（24小时以内降雨量达到50mm以上）、洪水、强风、地震等自然灾害的；（2）有明显沟渠、河床、坑洼、废弃井筒、塌陷区等漏水，造成地面水异常补给井下的；（3）井下老空水、承压水水量突然增大，有异常情况的；（4）采掘工作面发现瓦斯异常涌出的；（5）主要通风机或局部通风机发生故障停止运转的；（6）安全监测监控系统出现报警，情况不明的；（7）井下工作地点瓦斯等有害气体浓度超过规定的；（8）一氧化碳超限或者有明火的；（9）开采煤层有冲击地压威胁，或发现冲击地压征兆的；（10）工作地点不具备安全生产条件的；（11）矿井出现重大险情时；（12）有其他危及井下人员安全险情的。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii +-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增(12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2011年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若z=，则复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i2．（5分）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}3．（5分）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）4．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=（）A．1 B．9 C．10 D．556．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r17．（5分）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81258．（5分）已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知==2，•=﹣2，则与的夹角为．12．（5分）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．13．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．14．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．15．（5分）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．（2）（不等式选做题）对于实数x，y，若|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，则|x﹣2y+1|的最大值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．18．（12分）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．（1）若a=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}唯一，求a的值．19．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．20．（13分）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．21．（14分）（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．2011年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•江西）若z=，则复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简，求出复数z的共轭复数．【解答】解：==2﹣i所以=2+i故选D2．（5分）（2011•江西）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．【解答】解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，={x|0＜x≤2}故A∩B={x|0＜x≤1}，故选B3．（5分）（2011•江西）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：即0＜2x+1＜1解得故选A4．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．【解答】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．5．（5分）（2011•江西）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=（）A．1 B．9 C．10 D．55【分析】根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，在s n+s m=s n+m中，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，故选A．6．（5分）（2011•江西）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．7．（5分）（2011•江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．8125【分析】根据所给的以 5 为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．【解答】解：∵55=3125，56=15625，57=78125，58=390625，59=1953125，510=9765625，511=48828125…可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2011÷4=502…3，∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，故选D．8．（5分）（2011•江西）已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由已知中α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，结合面面平行的性质，我们分别判断“P1P2=P2P3”⇒“d1=d2”及“d1=d2”⇒“P1P2=P2P3”的真假，结合充要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：由已知中α1，α2，α3是三个相互平行的平面，且平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，又由直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．则“P1P2=P2P3”⇒“d1=d2”为真命题且“d1=d2”⇒“P1P2=P2P3”是真命题故“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的充分必要条件故选C．9．（5分）（2011•江西）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx ﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．10．（5分）（2011•江西）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．我们分析滚动过程中，M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M，N运动的规律，并逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等．以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ．大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选A．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011•江西）已知==2，•=﹣2，则与的夹角为．【分析】利用向量的运算律将向量的等式展开，利用向量的平方等于向量模的平方，求出两个向量的数量积；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ∵∴∵∴∴∴故答案为12．（5分）（2011•江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．【分析】根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．【解答】解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=故答案为：13．（5分）（2011•江西）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n是否继续循环循环前01第一圈02是第二圈33是第三圈54是第四圈105否此时S值为10．故答案为：10．14．（5分）（2011•江西）若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．【分析】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB 的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a．，求出椭圆方程．【解答】解：设切点坐标为（m，n）则即∵m2+n2=1∴m即AB的直线方程为2x+y﹣2=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣2=0；b﹣2=0解得c=1，b=2所以a2=5故椭圆方程为故答案为15．（5分）（2011•江西）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）（不等式选做题）对于实数x，y，若|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，则|x﹣2y+1|的最大值为5．【分析】（1）把曲线的极坐标方程ρ=2sinθ+4c osθ两边同时乘以ρ，再把x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入化简．（2）先由条件得到0≤x≤2，1≤y≤3，再根据|x﹣2y+1|≤|x|+2|y|+1，求得|x﹣2y+1|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，∴ρ2=2ρ sinθ+4ρ cosθ，∴x2+y2=2y+4x，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，即0≤x≤2，1≤y≤3，则|x﹣2y+1|=|x﹣1﹣2y+4﹣2|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2≤1+2×1+2=5，∴|x﹣2y+1|的最大值为5，故答案为：5．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2011•江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．【分析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由古典概型分别求出概率，列出分布列即可．（2）由（1）可知此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，Y取每个值时对应（1）中的X取某些值的概率，列出Y的分布列，求期望即可．【解答】解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）==P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==P（X=4）==（2）此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，P（Y=3500）=P（X=4）==P（Y=2800）=P（X=3）==P（Y=2100）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=EY==228017．（12分）（2011•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．【分析】（1）利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出sinC．（2）利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边a，b；利用余弦定理求出c【解答】解：（1）∵∴∴∴∴∴∴∴（2）由得即∴∵a2+b2=4（a+b）﹣8∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0∴a=2，b=2由余弦定理得∴18．（12分）（2011•江西）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．（1）若a=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}唯一，求a的值．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，根据“b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{b n}为等比数列，由等比中项，可解得公比，从而求得通项．（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）整理得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0，易知方程有一零根，从而求得结果．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，又∵b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{b n}为等比数列，且b1=2，b2=2+q，b3=3+q2，∴（2+q）2=2（3+q2）∴q=2±∴（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）整理得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0∵a＞0，∴△=4a2+4a＞0∵数列{a n}唯一，∴方程必有一根为0，得a=．19．（12分）（2011•江西）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【分析】（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）=+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a=﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为20．（13分）（2011•江西）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．【分析】（1）根据P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，代入双曲线的方程，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN 的斜率之积为，求出直线PM，PN的斜率，然后整体代换，消去x0，y0，再由c2=a2+b2，即可求得双曲线的离心率；（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代入，即可求得λ的值．【解答】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，∴，①由题意又有，②联立①、②可得a2=5b2，c2=a2+b2，则e=，（2）联立，得4x2﹣10cx+35b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，设=（x3，y3），，即又C为双曲线上一点，即x32﹣5y32=5b2，有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，化简得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣5y12=5b2，x22﹣5y22=5b2，而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c）=﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c2=﹣4+5c﹣5c2=﹣35b2=•6b2﹣35b2=10b2，得λ2+4λ=0，解得λ=0或﹣4．21．（14分）（2011•江西）（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．【分析】（1）先取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点p3，A3，N作平面α3，先得到两个平行平面，再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行即可．（2）直接利用（1）中的四个平面以及四面体，建立出以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴的直角坐标系，求出各点对应坐标，求出平面A3P3N的法向量，利用α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1求出正四面体的棱长，进而代入体积公式求出体积即可．【解答】解：（1）如图所示，取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，，A3P3∥MP2，所以平面α2∥α3，因为A2P2∥NP3再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A1（0，0，a），A2（﹣，a，0），A3（，a，0），A4（0，﹣a，0）．令P2，P3为．A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3（0，a，a），N（﹣，﹣a，0），所以=（﹣，a，﹣a），=（a，a，0），=（﹣，a，0）设平面A3P3N的法向量=（x，y，z），有即，所以=（1，﹣，﹣）．因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N 的距离=1，解得a=，由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件．所以所求四面体的体积V=Sh=××a=a3=．。

【参考答案】 【1】．D提示：i i i i i i i ++-====--22122221z ，故2i z =+.故选（D ）. 【2】．B提示：{}{}{}11,02,01A x x B x x AB x x =-=<=<≤≤≤∩≤.故选（B ）. 【3】．A提示：∵()12log 210,0211x x +>∴<+<.1,02x ⎛⎫∴∈-⎪⎝⎭.故选（A ）. 【4】．C提示：()242'220,0x x f x x x x--=-->>.∵()()0,210. 2.x x x x >∴-+>∴>故选（C ）. 【5】．A 提示：∵212122,1S a a S a =+=∴=.∵31233,1S S S a =+=∴=.∵4134S S S =+=,41a ∴=，故101a =.故选（A ）.【6】．C提示：第一组变量正相关，第二组变量负相关. 故选（C ） 【7】．D 提示：设()5,x f x =则()()4625,53125,f f ==()615625,f =()778125,f =()8390625f =,…,故周期为4，因此201150243,=⨯+则()2011f =***8125.故选（D ）.【8】．C提示：由题意知，如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P =；如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =.故选（C ）.【9】．B 提示：曲线0222=-+x y x 表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或．0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y （过定点(1,0)-）也应该与圆有两个交点，由直线与圆相切对应3333=-=m m 和，故m 的取值范围应是⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∪．故选（B ）. 【10】．Ａ提示：如图2所示，设小圆的半径为r ，大圆的半径为2r ，显然对任意角θ，有022MA r r M A θθ=⋅==，这说明M 点总在水平直线运动，故N 点也在竖直直线上运动. 故选（A ）.【11】．3π提示：根据已知条件(2)+a b ·-（）a b =-2，去括号得 222422cos 242,θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-a a b b 解得1cos ,23θθπ==. 【12】．1613 提示：不在家看书的概率=2211134216⎛⎫⎛⎫π⨯+π-⨯π⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==π看电影+打篮球所有情况. 【13】．10提示：0,1,s n ==代入到解析式当中，0(1)10;s =+-+=2,0123;n s ==++=3,3(1)35;n s ==+-+=4,51410,n s ==++=此时9s >,输出．【14】．14522=+y x 提示：当斜率存在时，设过点（1，21）的直线方程为：21)1(+-=x k y ，根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到34k =-,将直线与圆的方程联立可以得到切点的坐标为（54,53）；当斜率不存在时，直线方程为1x =，根据两点34(1,0),(,)55A B 可以得到直线AB 的方程为220x y +-=,则与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0),2b =即，与x 轴的交点即为椭圆的右焦点， 1.c =即则222 5.a b c =+=故椭圆方程为221.54x y += 【15】．02422=--+y x y x提示：(1)根据已知θθρcos 4sin 2+==222=24,24,y xy x x y ρρρ⋅+⋅=+=+化简可得图2所以解析式为02422=--+y x y x .【16】．5解绝对值不等式可得: 2x 0≤≤，13y ≤≤，故113x +≤≤,y -6≤-2≤-2,两式相加,得1()x y ++-5≤-2≤1,因此21x y -+的最大值为5.【17】．解：（1）选对A 饮料的杯数分别为0,1,2,3,4,X X X X X =====其概率分布分别为：()044448C C 10C 70P ==，()134448C C 161C 70P ==，()224448C C 362C 70P ==，()314448C C 163C 70P ==，()044448C C 14C 70P ==.即（2）令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500，则()13500(4),70P Y P X ====()82800(3),35P Y P X ====()532100(2).70P Y P X ===≤116533500280021002280.707070Y E =⨯+⨯+⨯=所以新录用员工月工资的期望为2280元.【18】．解：（1）已知2sin 1cos sin CC C -=+,2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos2sin 22222CC C C C C C -+=-+∴. 整理即有：22sincos 2sin sin 0,sin 2cos 2sin 102222222C C C C C C C ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭. 又C 为△ABC 中的角，所以sin02C≠. 所以222111sin cos ,sin cos ,2sin cos cos sin .22222422224C C C C C C C C ⎛⎫-=-=-++= ⎪⎝⎭ 所以32sincos ,224C C =所以3sin .4C = （2）由1sincos 0,222C C -=>得,4222C C πππ<<<<π即.则由3sin ,4C C ==得cos 由()2248ab a b +=+-，得()()22220,2, 2.a b a b -+-===解得由余弦定理得2222cos 8 1.ca b ab C c =+-=+=所以【19】．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则112,b a =+=222,b aq q =+=+22333,b aq q =+=+由123,,b b b 成等比数列，得()()22223,q q +=+即2420,qq -+=解得12q =22q =所以{}n a的通项公式为((112,2.n n n n a a --==或（2）设{}n a 的公比为q ，则由()()()22213aq a aq +=++，得24310aq aq a -+-=， （*） 由0a >，得2440a a =+>Δ，故方程（*）有两个不同的实数根. 由{}n a 唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得31=a .【20】．解：（1）由()'22112()224fx x x a x a =-++=--++，当2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()'f x 的最大值为'22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令220,9a +>得19a >-.所以，当19a >-时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32内存在单调递增区间. （2）令()0,f x '=得两根12x x == 所以12()(,),(,)f x x x -∞+∞在上单调递减，在12(,)x x 上单调递增.当02a <<时，有1214,x x <<<所以()f x 在[1，4]上的最大值为2()f x .又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即， 所以()f x 在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =-=-. 得21,2a x ==，从而()f x 在[1，4]上的最大值为10(2).3f = 【21】．解：（1）点000(,)()P x y x a ≠±在双曲线22221x y a b -=上，有2200221x y a b-=.由题意又有00001,5y y x a x a ⋅=-+可得2222225,6,c a b c a b b e a ==+===则 （2）联立2222255,410350,,x y b x cx b y x c ⎧-=-+=⎨=-⎩得设1122(,),(,)A x y B x y ，则122125,235.4c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（*）设31233312,(,),,.x x x OC x y OC OA OB y y y λλλ=+⎧==+⎨=+⎩即又C 为双曲线上一点，即2223355,x y b -=有2221212()5()5x x y y b λλ+-+=，化简得22222211221212(5)(5)2(5)5x y x y x x y y b λλ-+-+-=.又1122(,),(,)A x y B x y 在双曲线上，所以222222112255,55x y b x y b -=-=由（*）式又有2212121212121255()()45()510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=---=-++-=.得240,0, 4.λλλλ+===-解得或【22】．解：（1）如图2所示，取14A A 的三等分点23,,P P 13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，过三点22,,A P M作平面2α，过三点33,,A P N 作平面3α，因为22A P //3NP ，33A P //2MP ，所以平面2α//平面3α，再过点14,A A 分别作平面14,αα与平面2α平行，那么四个平面1234,,,αααα依次相互平行，由线段14A A 被平行平面1234,,,αααα截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故1234,,,αααα为所求平面.（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面， 每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体1234A A A A 就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为a ，以△234A A A 的中心O 为坐标原点，以直线4A O 为y 轴，直线1OA 为z 轴建立如图2的右手直角坐标系，1234),(,,0),(,,0),(0,,0)326263a a A a A a A A a --则 令23,P P 为14A A 的三等分点，N 为24A A的中点，有3(0,,),(,,0).99412a P a N ---所以334536331(,,),(,,0)(,0).444a P Na a NA a a A N a =--==-，设平面33A PN 的法向量为(,,),x y z =n 有330,0,P N NA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即90,30.x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩所以(1,=n因为1234,,,αααα相邻平面之间的距离为1，所以点4A 到平面33A P N 的距离为图2|()1(0(|1a -⨯++⨯=.解得a=1234A A A A 满足条件.所以所求正四面体的体积23113312VSh a a ==== 解法二：如图3，现将此正四面体1234A A A A 置于一个正方体1111ABCD A BC D -中（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），11,E F 分别是1111,A B C D 的中点，11EE D D 和11BB F F 是两个平行平面，若其距离为1，则四面体1234A A A A 即为满足条件的正四面体.图4是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a ，若11,A M MN ==，则有1111,22a A E D E ===. 据1111111A D A E A M D E ⨯=⨯，得a =于是正四面体的棱长d==其体积333114633V a a a =-⨯==（即等于一个棱长为a 的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）【End 】图3 图4。

2011年江西理一、选择题（共10小题；共50分）1. 若z=1+2ii，则复数z= A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i2. 若集合A=x−1≤2x+1≤3，B= x x−2x≤0，则A∩B= A. x−1≤x<0B. x0<x≤1C. x0≤x≤2D. x0≤x≤13. 若f x=12，则f x定义域为 A. −12,0 B. −12,0 C. −12,+∞ D. 0,+∞4. 若f x=x2−2x−4ln x，则fʹx>0的解集为 A. 0,+∞B. −1,0∪2,+∞C. 2,+∞D. −1,05. 已知数列a n的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10= A. 1B. 9C. 10D. 556. 变量X与Y相对应的一组数据为10,1，11.3,2，11.8,3，12.5,4，13,5；变量U与V相对应的一组数据为10,5，11.3,4，11.8,3，12.5,2，13,1．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则 A. r2<r1<0B. 0<r2<r1C. r2<0<r1D. r2=r17. 观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，⋯，则52011的末四位数字为 A. 3125B. 5625C. 0625D. 81258. 已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面，平面α1,α2之间的距离为d1，平面α2,α3之间的距离为d2．直线l与α1,α2,α3分别交于P1,P2,P3．那么 " P1P2=P2P3 " 是 " d1=d2 " 的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若曲线C1:x2+y2−2x=0与曲线C2:y y−mx−m=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A. −33,33B. −33,0∪0,33C. −33,33D. −∞,−33∪33,+∞10. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁一周，点M,N在大圆内所绘出的图形大致是 A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 已知a=b=2， a+2b⋅ a−b=−2，则a与b的夹角为．12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．13. 下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是．14. 若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点1,12作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．15. 若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．16. 对于实数x,y，若 x−1≤1，y−2≤1，则x−2y+1的最大值为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．18. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sin C+cos C=1−sin C2．（1）求sin C的值；（2）若a2+b2=4a+b−8，求边c的值．19. 已知两个等比数列a n，b n，满足a1=a a>0，b1−a1=1，b2−a2=2，b3−a3=3．（1）若a=1，求数列a n的通项公式；（2）若数列a n唯一，求a的值．20. 设f x=−13x3+12x2+2ax．（1）若f x在23,+∞ 上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当0<a<2时，f x在1,4上的最小值为−163，求f x在该区间上的最大值．21. P x0,y0x0≠±a是双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为15．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足OC=λOA+OB，求λ的值．22. （1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4，使得A i∈αi i=1,2,3,4，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi i=1,2,3,4，求该正四面体A1A2A3A4的体积．答案第一部分1. D2. B3. A4. C 【解析】f x定义域为0,+∞，fʹx=2x−2−4>0,即x2−x−2x>0.∵x>0，∴x−2x+1>0，∴x>2．5. A【解析】由题意可推得S n+S1=S n+1，所以S n+1−S n=S1=a1=1，即a n+1=1，所以a10=1．6. C 【解析】分别画出两组数据的散点图，观察可得变量Y与X正相关，变量V与U负相关，∴r1>0，r2<0．7. D 【解析】此题关键是找到规律，一般是有周期的，列举前几个找到周期，然后看2011这个和哪个一样就行．令f x=5x，则f4=625,f5=3125,f6=15625,f7=78125,f8=390625,⋯,可以发现5x的末四位数字是以4为周期变化的．2011除以4后得到的余数为3，所以52011的末四位数字和57的末四位数字一样，是8125．8. C 【解析】如图，若d1=d2，根据两个三角形全等可知P1P2=P2P3．反之，如果P1P2=P2P3，同样由两个三角形全等可知d1=d2．9. B 【解析】曲线x2+y2−2x=0表示以1,0为圆心，以1为半径的圆．曲线y y−mx−m=0表示y=0和y−mx−m=0两条直线．其中y−mx−m=0过定点−1,0，y=0与圆有两个交点，故y−mx−m=0也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切情况分别对应m=−3和m=3,由图可知，m的取值范围应为−33,0∪0,33.其他解法：观察选项，提炼出待检样例m=0和m=1．当m=0时，C2：y2=0即y=0，与C1至多只有两个不同交点，不符合题意，排除A、C；当m=1时，C2：y=0或y=x+1，与C1交于0,0、2,0，不符合题意，排除D；选B．10. A【解析】根据小圆半径与大圆半径1:2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹和N点的轨迹是四条线段，刚好是的大圆的半径．也可以根据某一个位置进行分析，在小圆上取一点A，当点A转到大圆内壁上时（即点A1），小圆圆心转到O1点，此时要找到点M与点N的新位置，因为在小圆上，M,A,N三点的相对位置不变，即∠MOA大小不变；又在小圆上AM的长等于大圆上A1M的长，故点O1,A1,N三点共线．所以四边形MNN1M1为矩形，故点M1在线段MN上，如图：第二部分11. 60∘12. 1316【解析】提示：P= π−π×122+π×142π=1316．13. 10【解析】n=1,s=0,s>9不成立；n=2,s=3,s>9不成立；n=3,s=5,s>9不成立；n=4,s=10,s>9成立．此时输出．14. x25+y24=1【解析】当斜率存在时，设过点1,12的直线方程为y=k x−1+12，根据直线与圆相切，圆心0,0到直线的距离等于半径1，可以得到k=−34，直线与圆方程联立，可以得到切点的坐标B35,45．当斜率不存在时，直线方程为x=1，则得A1,0．根据A1,0，B35,45，可得直线AB的方程为2x+y−2=0，与y轴的交点，即为上顶点坐标⇒b=2．与x轴的交点，即为焦点坐标⇒c=1，a2=b2+c2=5⇒a=5，故椭圆方程为x25+y24=1．15. x2+y2−4x−2y=016. 5【解析】首先解出x的范围：0≤x≤2,再解出y的范围：1≤y≤3,最后综合解出x−2y+1的范围：−5,1，那么x−2y+1最大值为5．第三部分17. （1）X的所有可能取值为0,1,2,3,4，其概率分布分别为：P X=0=C40C44C84=170,P X=1=C41C43C84=835,P X=2=C42C42C84=1835,P X=3=C43C41C84=835,P X=4=C44C40C84=170.∴X的分布列为：X01234P181881（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500．则P Y=3500=P X=4=1 ,P Y=2800=P X=3=8 ,P Y=2100=P X≤2=53 70,所以EY=3500×170+2800×835+2100×5370=2280,所以新录用员工月工资的期望为2280元．18. （1）已知sin C+cos C=1−sin C2，所以2sin CcosC+cos2C−sin2C=cos2C+sin2C−sinC,整理即有2sin CcosC−2sin2C+sinC=0,⇒sin C22cosC2−2sinC2+1=0.又C为△ABC中的角，所以sin C2≠0，所以sin C−cosC=1⇒sinC−cosC2=1⇒−2sinCcosC+cos2C+sin2C=1,所以2sin C2cosC2=34⇒sin C=34.（2）因为a2+b2=4a+b−8，所以a2+b2−4a−4b+4+4=0⇒a−22+b−22=0⇒a=2,b=2.∵sin C2−cos C2=12>0，∴π4<C2<π2，即π2<C<π，∴cos C<0，所以cos C=− 1−sin2C=−74，所以c=a2+b2−2ab cos C=7+1.19. （1）当a=1时，b1=1+a=2,b2=2+a2,b3=3+a3,又因为a n，b n为等比数列，不妨设a n公比为q，b22=b1b3⇒2+a22=23+a3,同时又有a2=a1q,a3=a1q2⇒2+a1q2=23+a1q2⇒2+q2=23+q2⇒q=2+2或q=2−2所以a n=2+2n−1或a n=2−2n−1.（2）设a n公比为q，则有2+aq2=1+a3+aq2,继而得到aq2−4aq+3a−1=0. ⋯⋯①由a>0，得Δ=4a2+4a>0,故方程①有两个不同实根．由a n唯一，知方程①必有一个根为0，代入①得a=1 .20. （1）已知f x=−13x3+12x2+2ax，可得出fʹx=−x2+x+2a,函数f x在23,+∞ 上存在单调递增区间，即导函数在23,+∞ 上存在函数值大于零的部分，再结合导函数开口向下，且对称轴为x=12，故只需fʹ2=−22+2+2a>0.解得a>−1 .（2）已知0<a<2，f x在1,4上取到最小值−163，而fʹx=−x2+x+2a的图象开口向下，且对称轴x=12，fʹ1=−1+1+2a=2a>0,fʹ4=−16+4+2a=2a−12<0,则必有一点x0∈1,4，使得fʹx0=0,此时函数f x在1,x0上单调递增，在x0,4单调递减，又知道f1=−13+12+2a=16+2a>0,f4=−1×64+1×16+8a=−40+8a<0,所以f4=−403+8a=−163,解得a=1此时，由fʹx0=−x02+x0+2=0⇒x0=2 或 −1舍去,所以函数f x在1,4上的最大值为f2=10 .21. （1）已知双曲线E :x 2a −y 2b =1 a >0,b >0 ，P x 0,y 0 在双曲线上，M ,N 分别为双曲线E 的左、右顶点，所以M −a ,0 ,N a ,0 ，直线PM ,PN 斜率之积为k PM ⋅k PN=y 00⋅y 00=y 020=1⇒x 02−5y 02=1. 而,x 02a −y 02b =1，比较得b 2=15a 2⇒c 2=a 2+b 2=65a 2⇒e =c a = 305.（2）设过右焦点且斜率为1的直线L :y =x −c ，交双曲线E 于A ,B 两点，则不妨设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，又OC=λOA +OB = λx 1+x 2,λy 1+y 2 , 点C 在双曲线E 上，所以有λx 1+x 2 2−5 λy 1+y 2 2=a 2⇒λ2 x 12−5y 12 +2λx 1x 2−10λy 1y 2+ x 22−5y 22 =a 2, ⋯⋯①联立直线L 和双曲线E 方程消去y 得4x 2−10cx +5c 2+a 2=0,由韦达定理得x 1x 2=5c 2+a 2,x 1+x 2=−5c 2,y 1y 2=x 1x 2−c x 1+x 2 +c 2=5c 2+a 2−5c 2+c 2,代入①式得λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=−4．22. （1）如图所示，取A 1A 4的三等分点P 2,P 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4的中点N ． 过三点A 2,P 2,M 作平面α2，过三点A 3,P 3,N 作平面α3，因为A 2P 2∥NP 3，A 3P 3∥MP 2，所以平面α2∥平面α3，再过点A 1,A 4分别作平面α1,α4与平面α2平行，那么四个平面α1,α2,α3,α4依次相互平行， 由线段A 1A 4被平行平面α1,α2,α3,α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1,α2,α3,α4为所求平面．（2）如图（a ），现将此正四面体A 1A 2A 3A 4置于一个正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E1,F1分别是A1B1,C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体．如图（b）是正方体的上底面，过点A1、C1分别作B1F1、D1E1的垂线，其中A1M⊥D1E1于点M，A1N⊥B1F1于点N．现设正方体的棱长为a，若A1M=MN=1,则有A1E1=a2,D1E1=A1D12+A1E12=52a,由A1D1×A1E1=A1M×D1E1,得a=5，于是正四面体棱长d=2a=10,其体积V=a3−4×1a3=1a3=55.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。

．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14- (C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45(B)35(C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =12-，,a cb c--=060，则c的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若z=，则复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i2．（5分）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}3．（5分）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）4．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=（）A．1 B．9 C．10 D．556．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r17．（5分）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81258．（5分）已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知==2，•=﹣2，则与的夹角为．12．（5分）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．13．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．14．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．15．（5分）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．（2）（不等式选做题）对于实数x，y，若|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，则|x﹣2y+1|的最大值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．18．（12分）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．（1）若a=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}唯一，求a的值．19．（12分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．20．（13分）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．21．（14分）（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．2011年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•江西）若z=，则复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简，求出复数z的共轭复数．【解答】解：==2﹣i所以=2+i故选D2．（5分）（2011•江西）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．【解答】解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，={x|0＜x≤2}故A∩B={x|0＜x≤1}，故选B3．（5分）（2011•江西）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：即0＜2x+1＜1解得故选A4．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．【解答】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．5．（5分）（2011•江西）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=（）A．1 B．9 C．10 D．55【分析】根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，在s n+s m=s n+m中，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，故选A．6．（5分）（2011•江西）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．7．（5分）（2011•江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．8125【分析】根据所给的以 5 为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．【解答】解：∵55=3125，56=15625，57=78125，58=390625，59=1953125，510=9765625，511=48828125…可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2011÷4=502…3，∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，故选D．8．（5分）（2011•江西）已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由已知中α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，结合面面平行的性质，我们分别判断“P1P2=P2P3”⇒“d1=d2”及“d1=d2”⇒“P1P2=P2P3”的真假，结合充要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：由已知中α1，α2，α3是三个相互平行的平面，且平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之前的距离为d2，又由直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3．则“P1P2=P2P3”⇒“d1=d2”为真命题且“d1=d2”⇒“P1P2=P2P3”是真命题故“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的充分必要条件故选C．9．（5分）（2011•江西）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx ﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．10．（5分）（2011•江西）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．我们分析滚动过程中，M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M，N运动的规律，并逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等．以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ．大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选A．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011•江西）已知==2，•=﹣2，则与的夹角为．【分析】利用向量的运算律将向量的等式展开，利用向量的平方等于向量模的平方，求出两个向量的数量积；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ∵∴∵∴∴∴故答案为12．（5分）（2011•江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．【分析】根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．【解答】解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=故答案为：13．（5分）（2011•江西）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n是否继续循环循环前01第一圈02是第二圈33是第三圈54是第四圈105否此时S值为10．故答案为：10．14．（5分）（2011•江西）若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．【分析】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB 的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a．，求出椭圆方程．【解答】解：设切点坐标为（m，n）则即∵m2+n2=1∴m即AB的直线方程为2x+y﹣2=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣2=0；b﹣2=0解得c=1，b=2所以a2=5故椭圆方程为故答案为15．（5分）（2011•江西）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）（不等式选做题）对于实数x，y，若|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，则|x﹣2y+1|的最大值为5．【分析】（1）把曲线的极坐标方程ρ=2sinθ+4c osθ两边同时乘以ρ，再把x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入化简．（2）先由条件得到0≤x≤2，1≤y≤3，再根据|x﹣2y+1|≤|x|+2|y|+1，求得|x﹣2y+1|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，∴ρ2=2ρ sinθ+4ρ cosθ，∴x2+y2=2y+4x，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，即0≤x≤2，1≤y≤3，则|x﹣2y+1|=|x﹣1﹣2y+4﹣2|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2≤1+2×1+2=5，∴|x﹣2y+1|的最大值为5，故答案为：5．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2011•江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．【分析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由古典概型分别求出概率，列出分布列即可．（2）由（1）可知此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，Y取每个值时对应（1）中的X取某些值的概率，列出Y的分布列，求期望即可．【解答】解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）==P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==P（X=4）==（2）此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100，P（Y=3500）=P（X=4）==P（Y=2800）=P（X=3）==P（Y=2100）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=EY==228017．（12分）（2011•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．【分析】（1）利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出sinC．（2）利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边a，b；利用余弦定理求出c【解答】解：（1）∵∴∴∴∴∴∴∴（2）由得即∴∵a2+b2=4（a+b）﹣8∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0∴a=2，b=2由余弦定理得∴18．（12分）（2011•江西）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．（1）若a=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}唯一，求a的值．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，根据“b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{b n}为等比数列，由等比中项，可解得公比，从而求得通项．（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）整理得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0，易知方程有一零根，从而求得结果．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，又∵b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{b n}为等比数列，且b1=2，b2=2+q，b3=3+q2，∴（2+q）2=2（3+q2）∴q=2±∴（2）由（1）知（2+aq）2=（1+a）（3+aq2）整理得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0∵a＞0，∴△=4a2+4a＞0∵数列{a n}唯一，∴方程必有一根为0，得a=．19．（12分）（2011•江西）设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【分析】（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）=+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a=﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为20．（13分）（2011•江西）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．【分析】（1）根据P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，代入双曲线的方程，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN 的斜率之积为，求出直线PM，PN的斜率，然后整体代换，消去x0，y0，再由c2=a2+b2，即可求得双曲线的离心率；（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代入，即可求得λ的值．【解答】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，∴，①由题意又有，②联立①、②可得a2=5b2，c2=a2+b2，则e=，（2）联立，得4x2﹣10cx+35b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，设=（x3，y3），，即又C为双曲线上一点，即x32﹣5y32=5b2，有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，化简得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣5y12=5b2，x22﹣5y22=5b2，而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c）=﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c2=﹣4+5c﹣5c2=﹣35b2=•6b2﹣35b2=10b2，得λ2+4λ=0，解得λ=0或﹣4．21．（14分）（2011•江西）（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．【分析】（1）先取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点p3，A3，N作平面α3，先得到两个平行平面，再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行即可．（2）直接利用（1）中的四个平面以及四面体，建立出以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴的直角坐标系，求出各点对应坐标，求出平面A3P3N的法向量，利用α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1求出正四面体的棱长，进而代入体积公式求出体积即可．【解答】解：（1）如图所示，取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，，A3P3∥MP2，所以平面α2∥α3，因为A2P2∥NP3再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A1（0，0，a），A2（﹣，a，0），A3（，a，0），A4（0，﹣a，0）．令P2，P3为．A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3（0，a，a），N（﹣，﹣a，0），所以=（﹣，a，﹣a），=（a，a，0），=（﹣，a，0）设平面A3P3N的法向量=（x，y，z），有即，所以=（1，﹣，﹣）．因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N 的距离=1，解得a=，由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件．所以所求四面体的体积V=Sh=××a=a3=．。