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第五章 频率特性分析法 2

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对数频率特性：
G( j) j1
LL(()(d)B(d)B)
2020
0.1
-20 0.1 -20
()()
9(0)() 90
45
00
[20]
[20] (rad/(sr)ad/ s)
1
10
1 10
(rad/ s)
(rad/ s)
LL(()()d(dB)B)() arctan
2.一阶微分环节
传递函数： G(s) s 1 频率特性表达式：
G( j) j1
对数频率特性：
L()(dB)
L() 20lgA () 20lg 1 22
20
() arctan
0.1
-20
采用分段直线去绘制对数幅频特性曲线：
低频段： 高频段：
1 时，1 22 1，L() 0
G(s) 1 s
频率特性表达式： G( j) 1 j
对数频率特性：
5.3.4 微分环节
1.纯微分环节 传递函数： 频率特性表达式：
幅相频率特性：
G(s) s G( j) j
G( j) j
P() 0 Q()
A() 0, A() 0 () 90 , A()

(1
T
1 T 22 22 )2 4
2 2T
2

Q()
2T

(1 T 22 )2 4 22T 2
A()
1
(1 T 22 )2 (2T )2

(
)

arc
tan
1
2T T 2
2
5.3.5 振荡环节
幅相频率特性：
2
A()
Im

0
0
Re
幅相频率特性曲线
5.3.4 微分环节
1.纯微分环节
传递函数： G(s) s 频率特性表达式：
G( j) j
对数频率特性：
L() 20lgA () 20lg () 90
L()(dB) 20
当ω从ω1变化到10 ω1时，
0.1
L(101) L(1) 20lg101 20lg1 -20
既可以是开环幅相频率特性，也可以是对数频率特性，还可以是对数幅相频率特性。
5.4 系统的开环频率特性
5.4.1 系统开环幅相频率特性的绘制
绘制幅相频率特性曲线的步骤： 1）确定系统的开环传递函数G(s),得到开环频率特性G(jω)。 2）由G(jω)，确定幅频特性A(ω)和相频特性φ(ω)，或实频特性P(ω)和虚频特性Q(ω) 的表达式 3）根据求出的表达式，当ω取不同值时，求出各个值，在极坐标上描点。将当ω从 0变到∞时的点描成曲线，即可得到幅相频率特性曲线。
2020 0, () 0;
1[/-20,]() 45
(rad/ s)
(rad/ s)
0.1/T 1/T 10/T
-20 0.1 , 1() 9[-02100]
()(-且2)0 (关)于φ＝45°点对称
()()
(ra(dra/ds/)s)
2 ，L() -20lg 2 40lg
2n 1 )
L(n
)

Байду номын сангаас-40lg
n2n
n

40lg10 -40(dB)
0
n
斜率为：-40dB/dec
n
n
对数频率特性：
低频段： 高频段：


n时，(1-
2 2n
)2

4 2
2 2n
1，L() 0
幅相频率特性：
P() 1 22, Q() 2
A()
(1
2
2
)2

4
2
2
2
,
()

arctan
2 1 2
2
起点： 0, A() 1, () 0
终点： , A() ,() 180
Im
同负虚轴的交点：
1 2 1 25 2
5.4 系统的开环频率特性
5.4.1 系统开环幅相频率特性的绘制
L()(dB) 40 20
n : 振荡环节的转折频率
(rad/ s)
L(n
)

-40lg
n n
0
0.1n n -20
10n [-40]
L()(dB) 40 20
0.1n n -20
()()
-90 -180
(rad/ s)
10n [-40]
2
() arctan
1 时，(1 22 )2 4 2 2 2 2 2，L() 40 lg
L() 40lg(101) 40lg(1) 40lg10 40(dB)
斜率为：40dB/dec
L(1) 40lg 0


1 ,转折频率
20lg
(1-
2 2n
)2

4 2
2 2n
采用分段直线去绘制对数幅频特性曲线：
低频段： 高频段：


n时，(1-
2 2n
)2

4 2
2 2n
1，L() 0


n时，(1-
2 2n
)2

4 2
2 2n
当ω从ω1变化到10 ω1时，
L() 40lg 101 (40lg
延迟环节的相角总是滞后的，不利
-100
于系统的稳定性。τ增大，滞后相角
-200
越多。
(rad/ s)
10
(rad/ s)
5.4 系统的开环频率特性
频率特性分类：
开环频率特性 闭环频率特性
Gk ( j) ( j)
系统的开环传递函数由各个典型环节组成，在学会了典型环节的频率特性的绘制 过后，就可以绘制整个开环系统的频率特性。
(0) 0,() 180,()关于 90点对称
对数频率特性：
5.3.5 振荡环节
幅相频率特性：
G(s)

T
2s2

1
2
Ts
1

s2

n2 2ns
n2
G(
j )

(1 T
1
2 2 )
j2T
( 0<<1,n=1/T )

P()
5.3.3 积分环节
传递函数： 频率特性表达式：
G(s) 1 s
G( j) 1 j
幅相频率特性：
G( j) 1 j j
P() 0 Q() 1/
A() 1/ 0, A() () 90 , A() 0
0 n
Im
0
1 0 Re

0.85

0.5
0.4
5.3.5 振荡环节
幅相频率特性：
对数频率特性：
L() 20lgA () 20lg
2
()

arctan
1-
n 2
2n
1
(1-
2 2n
)2

4 2
2 2n


n时，(1-
2 2n
)2

4 2
2 2n

2 2n
，L()

-20lg
2 2n
40lg n
当ω从ω1变化到10 ω1时，
L() 40lg 101 (40lg 1 ) 40lg10 -40(dB)
斜率为：-40dB/dec n
n
G(s) s 1 G( j) j1
幅相频率特性：
G( j) 1 j
P() 1 Q()
Im


0
0 1
Re
幅相频率特性曲线
A() 1 22 0, A() 1 () arctan , A()
(1-
2n 2n
)2
42
2n 2n
-20lg2(dB)
振荡环节频率特性渐近线的误差修正曲线为：
对数频率特性：
对数频率特性：
对数频率特性：
5.3.6 延迟环节
传递函数：
频率特性表达式： 幅相频率特性：
A() 1 () -
G(s) e-s G( j) e-j
-45
-9-090
G(sG)=(sτ)s=+s1
G(sG)=(1s)/=(T1s/+s 1)
结论：传递函数互为倒数的两个环节，其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲 线关于ω轴对称。
3.二阶微分环节
传递函数： 频率特性：
G(s) 2s2 2s 1 G( j) 2(j)2 2j 1 (1 22) 2j
Im
0

Re
0
幅相频率特性曲线
5.3.3 积分环节
传递函数：
G(s) 1 s
频率特性表达式： G( j) 1 j
对数频率特性：
L() 20lgA () 20lg1/ 20lg
() 90
L()(dB)
当ω从ω1变化到10 ω1时，
L 101 L 1
() 90 1- 22 0 1
A() 2
0
0 Re 1
对数频率特性：
L() 20lgA () 20 lg (1 22 )2 4 2 2 2

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自动控制原理 第五章 频率特性法

自动控制原理 第五章 频率特性法

R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理 论可知：
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相
第五章 频率特性法 (2)

第五章 频率特性法 (2)

1 1
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
第五章 频率特性分析法

第五章 频率特性分析法


由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、
频率特性分析方法

频率特性分析方法

0
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。