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第五章频率特性分析法54

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自动控制原理 第五章 频率特性法

自动控制原理 第五章 频率特性法
R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理 论可知：
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相

第五章频率特性法

第五章频率特性法

教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性

频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2

1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。

第五章 频率特性分析法

第五章 频率特性分析法

由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、

频率特性分析方法

频率特性分析方法
0
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。

第五章 频率特性法(5.4)——稳定裕度

第五章 频率特性法(5.4)——稳定裕度

5.4 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定裕量
幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)，
闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1
1+G(jω) = 0 s=jω
稳定裕量的定义 Kg G(jωg) =1
G( jc )－
= –180o G(jωg) -1 ωg
幅值裕量 Kg=
1
G(jωg)
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相位裕量 =180o +∠G(jωc)
0dB
幅值裕量: KgdB=－20lg G ( j g ) c
40 20 0 -20dB/dec 6.32 4 -40dB/dec 10
10 ≈1 0.25ωc2
ω
ωc=6.32
-20
-60dB/dec
(c ) 180
=180o-90o-tg-10.25×6.23 - tg-10.1×6.23
()
0 -90 -180
γ
ω
=90o-57.67o -32.3o = 0.03o
1 3
解：
10
由上式可见G(jω)与坐标轴无交点。 40 0.5 2<ω<10 2.5s ∵G(j∞)=0∠-1800, ∴h=∞
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确 定系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)

第五章 频率法

第五章 频率法

2
2 G ( j ) arctan 2 2 1
二阶微分的极坐标图
二阶微分的Bode标图
7.时滞环节（延迟环节）
G( s) e
r (t )
s
s
G( j ) e
j
r(t)
y (t )
t
0 y(t) t 0
e
时滞环节极坐标图
| G( j ) || e j | 1
0°

8.非最小相位环节
1 G( s) Ts 1 1 G( j ) jT 1
பைடு நூலகம்
1 一个正实数极点 T
| G ( j ) |
1
2T 2 1
G ( j ) 180 arctan T
U( )=
1 T 1
2 2
T V( )= 2 2 T 1
-0.5
非最小相位环节Bode图
1 G( s) s 1
相角裕度
G( j ) H ( j )与单位圆相交的角频率计为c 剪切频率
| G( jc ) H ( jc ) | 1
Im
-1
0
1 Re
0
c
G( jc ) H ( jc ) 180
G( j ) H ( j )
2T 1 180 arctan 2 2 , 1 2T 2 0 T 1 T
低频与高频渐进对数幅频特性
低频段 1 T , T 1
20 lg (1 2T 2 ) 2 (2T ) 2 20 lg1 0dB 0dB的水平线
高频段 1 T , T 1
G( j ) H ( j )
1 幅值裕度 K g | G ( j g ) H ( j g ) |

自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法


5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处

第五章 频率特性法

若系统稳定 , 则c ss (t )
幅频特性 A(ω) =
r(t )
[ ]
E(s) 输出幅值与输入幅值之比 相频特性 φ (ω) = 幅频？ Φ (s) = , 当系统稳定时 ② er R(s)
rt () t ) j (j ) 若 r ( 称为频率特性 Φ(jω) = ( j) e 若系统稳定 , 则c ss (t ) [ 则e ss (t ) [ r(t )
si t lim e 0 系统稳定 t A1 A2 Cs ( s) s j s j
A A ( j) A1 ( s ) ( s j) j2 ( s j)( s j) s j
A A A2 ( s ) ( s j) ( j) ( s j)( s j) j2 s j
倒置的坐标系
( 补充 )
该坐标纸拿反啦！！
频率特性物理意义
C (s) 1 闭环 (s) R ( s ) Ts 1 传函
s j
T RC
频率特性 幅频特性 A() ( j)
1
1 ( j) jT 1
1 T 2 2
相频特性 () ( j) arctan T
改变输入信号的频率， A ( ) 1 , ( ) 0 0 得到一组幅频特性和相 1 1 A() , () 45 T 频特性的数据，绘出曲 2 A() 0, () 90 线——频率特性曲线
频率特性
1 ( j) jT 1
设系统传递函数为
s1 , s2 sn U (s) (s) 特征方程的根 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) U (s) A C (s) 2 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) s 2 U (s) A ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ( s j)( s j)

第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据

c
0dB

180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2

270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o90o0ຫໍສະໝຸດ oc 12

90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据

对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c

c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。

自动控制原理第5章


8
二、图形表示法
1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 极坐标图 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 当频率ω 变化到无穷大时， 当频率ω从0变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画 有这种曲线的图形称为极坐标图。 有这种曲线的图形称为极坐标图。
− j arctan 2 ζT ω 1−T 2ω 2
幅频特性 相频特性
A(ω ) =
ϕ (ω ) = − arctan
23
典型环节的频率特性
9
2.博德图（对数频率特性图） 博德图（对数频率特性图） 博德图 两张图构成 一张是对数幅频图 一张是对数相频图 构成： 对数幅频图， 对数相频图。 由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。
10
对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 是频率特性幅值的对数值乘20 即 L(ω ) = 20 lg A(ω ) 表示，均匀分度，单位为db。 表示，均匀分度，单位为db db。 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ(ω)，均匀分度，单 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ 是相移角 均匀分度， 位为“ 位为“度”。 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。
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第五章 频率特性分析法
目的
掌握利用频率特性分析系统的方法
内容
系统的频率特性 典型环节的频率特性 频率特性作图 频率特性分析
§5.7 利用开环频率特性分析系统的性能
L() 低频渐近线与系统稳态误差的关系 L() 中频段斜率与系统稳定性关系 开环频域指标与动态性能指标间的关系 L() 高频段反映系统抗干扰能力
闭环频率特性
低频段
闭环频率特性曲线低频段LL() 0 dB, () 0
高频段
闭环频率特性曲线高频段LL（ω)→ L（ω)
() ()
中频段 闭环系统稳定 临界稳定 不稳定
越接近，稳定性变差，会出现谐振峰值
本章小结
控制系统频率分析法的相关概念和原理。 包括频率特性的基本概念和定义 开环频率特性的极坐标图表示法、Bode图表示法 频率特性分析法及其应用 开环频域指标和闭环时域指标的关系 三频段理论 控制系统闭环频率特性
1） % 相同
2） c 越大调节时间 ts 越短
高阶系统
% [0.16 0.4( 1 1)]100 % sin c
(35o c 90 o )
ts
c[2 1.5( 1Fra biblioteksin c
1) 2.5( 1
sin c
1)2 ]100 %
中频段穿越斜率 c 和中频段宽度 h
• 中频段： 0dB线上下约15dB范围内的频率段
二阶系统
G(s)
n2
s(s 2n )
G( j)
n2
j( j 2n )
A()
n2
2 (2 n )2
c 4 4 1 2 2n
() 90o arctan
2 n
c
180o
(c )
180o
90o
arctan
c 2n
arctan
2
1 4 4 2 2
相角裕度 c与超调量 % 的关系
解: (1) 稳态分析
0型系统，有差跟踪 阶跃信号
(2) 动态分析
系统稳定，阶跃响应有振荡
% e 1 2 100%
60 -20 40 20
-20 -40 -60
A
-40
B
10
D
38 40
20
C
100 200
-60
§5.8 利用闭环频率特性分析系统的性能
1.开环频率特性与闭环频率特性的关系
( j) G( j) 1 G( j)
• 高频段
G( j) A() 1
G( j)
( j)
G( j) = 1
1 G( j)
• 高频段的 L() 越低， A() 越小，( j) 越小
• 幅频特性的意义：输出和输入幅值之比 • 噪声是一种高频输入信号 • 高频段的 L() 体现了系统的抗干扰能力
高频衰减率 h ： L()在高频段的斜率
开环对数幅频特性的中频段指的是截至频率 c
附近的频段
根据截至频率处的相角是否大于-180°判断闭环 系统的稳定性
稳定性： γc >0 , Lg>0 要求： c 一般不要小于 30
Lg 一般不要小于 6 dB
最小相位系统L()与()的1－1对应性
• 若L()的斜率变得更负，()也往更负的方向
变化
G( j)
i 1 n
j( jTj 1)
j 1
I 型系统的对数幅频特性的低频部分如下图所示
③ II 型系统
II 型系统的开环频率特性有如下形式
m
K( jTi 1)
G( j)
i 1 n
( j)2 ( jTj 1)
j 1
II 型系统的对数幅频特性的低频部分如下图所示
1.由开环频率特性确定系统的稳态性能
60 -20 40 20
-20 -40 -60
A
-40
B
10
D
38 40
20
C
100 200
-60
0型系统的对数幅频特性的低频部分如下图所示
特点：
在低频段，斜率为0dB/ 十倍频； 低频段的幅值为20lgK， 由之可以确定稳态位置误 差系数。
② I 型系统
I 型系统的开环频率特性有如下形式
m
K( jTi 1)
误差系数与稳态误差之间的关系
1(t)
t
1 t2
2
系统 K p ep Kv ev Ka ea
0型
1
1 K 1 K
0
0
型
0
K
1
0
K
型
0
0
K
1 K
低频段斜率确定系统的无差度
积分环节的个数即无差度对应 低频段的斜率
低频段高度确定系统开环放大系数的大小
0型系统
I型系统 II型系统
2.中频斜率与系统稳定性关系
h (n m) 20
表示了系统的抗干扰能力
期望的对数幅频特性
• 稳态性能好：系统型次不能过低，应为I型 或II型，低频斜率为-20 或-40
• 稳定性好、平稳性好：中频斜率不能太负， 理想应为-20；且应具有一定大的中频带宽
• 快速性好：中频截止频率比较大 • 抑制噪声能力：高频的斜率较大
例：已知系统的开环 对数频率特性如图， 试作系统性能分析
本章重点
掌握频率特性的概念与性质 开环频率特性的极坐标图和Bode图的绘制 Nyquist判据、系统稳定裕度的概念和求法 控制系统稳定性和动态性能、稳态性能的频域分析法
• 作业 5-15, 5-16 (频域指标和闭环时域指标)
• 中频段穿越斜率c: c 所在频率段L()的斜率
• 中频段宽度 h： c 所在频段两端转折频率之比
若穿越斜率c=-20 且 h>5 则:
γc >0 且系统动态特性好
若穿越斜率c=-40则:
系统或者不稳定 或稳定(相角裕度小)但平稳性较差
若穿越斜率c=-20 但 h<5 则:
系统动态性能差
L() 高频段对系统性能的影响
c 所在频段的斜率不能太小
幅值裕度
相 角 裕 度
• (c ) 大小除了与该频率下L()的斜率有关之外，
还受到该频率段之外的各转折频率的影响。近者
影响大，远者影响小。
G(s) Ts 1 s
1
10c
T2
T1
1
5c
3.动态性能分析
➢开环频率指标： c，γc >0
➢闭环时域指标： % ， ts
定性：γc 越大， % 越小 定量：二阶系统
% e 1 2 100%
(s)
G(s) 1 G(s)
s2
n2 2ns
n2
开环截止频率ωc与调节时间ts的关系
定性：ωc越大，ts越小 定量：二阶系统
c 4 4 1 2 2n
tsc
3
4 4 1 2 2
tsc
6
tan c
若两系统相角裕度相同，则