3。2三角形的内切圆

三角形的内切圆与垂直平分线性质解析在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

而与三角形密切相关的一个概念就是内切圆。

内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切于一个点，这个点称为圆心。

与内切圆相关的概念还有垂直平分线，即通过三角形的顶点所作的垂直于底边且平分底边的线。

本文将对三角形的内切圆与垂直平分线的性质进行详细解析。

一、三角形的内切圆性质内切圆是一个非常重要的几何概念，它在三角形中有许多性质。

以下是其中一些值得注意的性质：1. 内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点。

证明：设三角形的三个角分别为A、B、C，内切圆与三角形的三条边分别相切于点D、E、F。

根据切线的性质，可以得知AD、BE、CF是内切圆的半径。

又由于内切圆的定义，AD、BE、CF是分别以A、B、C为圆心的内角平分线，所以圆心是三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点。

2. 内切圆的半径与三角形的周长和面积有关。

证明：设三角形的周长为L，面积为S，内切圆的半径为r。

根据三角形内切圆的性质，可以得到三个切点D、E、F到三个顶点A、B、C的距离分别为r。

根据三角形内外接圆半径的关系，可以得到r = S / (L / 2)即内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

3. 内切圆的半径和三角形的内切圆切点构成的三角形面积等于三角形面积。

证明：设内切圆的半径为r，三角形的内切圆切点分别为D、E、F。

根据圆的性质，可以得到三个小三角形ADE、BEF、CFD的面积分别为S1 = 1/2 * AD * DE * sin(A/2)S2 = 1/2 * BE * EF * sin(B/2)S3 = 1/2 * CF * FD * sin(C/2)将AD、BE、CF表示成r的形式，可以得到S1 = 1/2 * r * r * sin(A/2)S2 = 1/2 * r * r * sin(B/2)S3 = 1/2 * r * r * sin(C/2)所以三个小三角形的面积之和为S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * r * r * (sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2))根据三角形面积公式，可以得到S = 1/2 * a * b * sin(C) = 1/2 * b * c * sin(A) = 1/2 * c * a * sin(B)化简上式，可以得到sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = cos((A - B)/2) / (2 * sin(C/2))根据三角恒等式，可以得到cos((A - B)/2) = sin((A + B)/2)代入上式，可以得到sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = sin((A + B)/2) / (2 * sin(C/2)) = sin(C/2) / (2 * sin(C/2)) = 1/2所以S = 1/2 * r * r * 1/2 = 1/4 * r * r * sin(A/2) + 1/4 * r * r * sin(B/2)+ 1/4 * r * r * sin(C/2) = 1/4 * S1 + 1/4 * S2 + 1/4 * S3所以内切圆的半径和三角形的内切圆切点构成的三角形面积等于三角形面积。

△ABC ⊙O的外 三角形三条 到三角形的
的内切 切三角 角平分线的 三条边的距 一定在三角形内部
圆
形
交点
离相等
知2－讲
导引：根据△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋
△AOC的面积即可求解．在Rt△ABC中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ BC2 AC2 82 62 ＝10(m)．∵输油
中心O到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，
2. 要点精析： (1)任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆； (2)一个圆有无数个外切三角形、内接三角形．
知1－讲
例1 下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ C ）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
知2－练
1 (202X·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学
名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容 圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长 为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆 形 (内切圆)直径是多少？”( ) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
知1－讲
导引：由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角 形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求 解即可求得答案． 解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的 定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理 可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形 的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离 相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正 确的说法为：①②④.

三角形的内切圆半径与外切三角形边长、周长和面积的关系教学反思(3.2三角形的内切圆知识的扩展)今天我讲了一节《3.2三角形的内切圆知识》扩展课，课后我对这节课的讲课过程及我自身进行了深刻的反思。

一、本节课目的性很强，围绕一个知识系统切线长和三角形内切圆的半径与外切三角形边长、周长和面积展开，设计的问题都是典型问题，而且巧妙开放，层层递进，有效的调动学生学习兴趣，唤起学生的求知欲，激起了学生的积极思考。

整节课抓住相关的基本图形、基本辅助线、基本几何结论的应用，使学生的思维得到训练和提升。

二、我在复习梳理知识点时的方法比较创新。

我们生源主要来自全国各地的外来务工人员子女，家长和学生对学习不太重视，不愿意自己花更多的时间去学习和钻研，学生对切线长定理和三角形内切圆的相关应用不够熟练，对该知识的掌握不够牢固，应用几乎不会,故将三角形内切圆分为两节课完成。

复习三角形内切圆的做法，从而回顾切线长定理。

培养了学生解决问题和归纳问题的能力。

最重要要的一点是，几个教学设计题型是平时学生做题中常见题型，有利于初三学生克服“熟能生错甚至孰能生笨”的弊病，既培养了学生仔细审题、吃透题设条件的良好习惯，也培养了学生的反思意识。

三、整节课的课堂调控能力还可以，课堂中问题的处理过程，大都是学生先有一定的时间自己思考，提出想法并向大家展示交流，然后共同解决问题，教师绝不包办，很好地体现了以学为主体的课标要求。

教师肯花时间让学生大胆说出自己在思考过程中遇到的困难和障碍，呈现学生的思维盲点，然后通过学生之间的合作交流和教师的点拨启发下帮助学生。

但还是存在很多其他问题: 例题的讲解不够详细,深刻，给学生思考的时间不够；题目的梯度设计得不是很好……通过对本节课进行反思，我知道我还有很多需要改正和学习的地方，在今后的教学中,我会努力改正自己的缺点,认真钻研教材，多向有经验的老师请教，不断提高自己的教学水平。

环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之
A
变式1：在△ABC中，点O是内心，
∠BAC=50°，求∠BOC的度数。
O
变式2：在△ABC中，点O是内心，
2 1
4 3
∠BOC=120°，求∠BAC的度数。B
C
题2： 想想，做做
求边长为６ｃｍ的等边三角形的内切圆半径r与外
接圆半径R.
A
老师提示：
先画草图，由等腰三角形底边上的中垂 线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形
当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得 翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一 股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬 日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文是如何引