三角形的内切圆(1)

内切圆三角形公式(一)
内切圆三角形公式
1. 什么是内切圆三角形公式？
内切圆三角形公式是由三角形的三边长或三顶点坐标来计算内切圆半径和圆心坐标的数学公式。

2. 计算内切圆半径的公式
•内切圆半径公式 1：[r = ] 其中，(A) 表示三角形的面积，(a, b, c) 分别表示三角形的三边长。

•内切圆半径公式 2：[r = ] 其中，(s) 表示三角形的半周长，即 (s = )。

3. 计算内切圆圆心坐标的公式
•内切圆圆心坐标公式：[x = , y = ] 其中，(A(x_1, y_1))、(B(x_2, y_2))、(C(x_3, y_3)) 是三角形的顶点坐标。

4. 示例说明
以一个直角三角形为例，其中(AB = 3)，(BC = 4)，(AC = 5)。

我们可以使用内切圆三角形公式来计算内切圆半径和圆心坐标。

首先，计算三角形的面积： [A = AB BC = = 6]
根据内切圆半径公式 1，计算内切圆半径： [r = = = 1]
再根据内切圆圆心坐标公式，计算圆心坐标： [x = = = ] [y = = = ]
因此，这个直角三角形的内切圆半径为 1，圆心坐标为 ((, ))。

5. 总结
内切圆三角形公式是计算内切圆半径和圆心坐标的数学公式，可以利用三角形的三边长或三顶点坐标来进行计算。

这个公式在几何学和数学中都有广泛应用，非常重要。

通过以上示例，我们可以清楚地了解到如何使用内切圆三角形公式来计算内切圆的半径和圆心坐标。

三角形内切圆和外接圆的半径公式三角形是几何学中的基本图形之一，而内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。

本文将介绍三角形内切圆和外接圆的半径公式以及相关性质和应用。

一、三角形内切圆的半径公式内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。

假设三角形的三边长分别为a、b和c，内切圆的半径为r，则根据三角形的性质，可以得到内切圆半径的计算公式：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]其中，s表示三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。

这个公式的原理是利用海伦公式，将三角形的面积与半周长s关联起来。

根据海伦公式，三角形的面积S可以表示为：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]而内切圆的半径r与三角形的面积S之间存在如下关系：S = rs将上述海伦公式和内切圆半径的关系代入，即可得到内切圆半径的计算公式。

二、三角形外接圆的半径公式外接圆是指能够将三角形的三个顶点都与圆上某一点相切的圆。

假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，外接圆的圆心坐标为O(x, y)，半径为R。

根据圆的性质，可以得到外接圆半径的计算公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中，a、b和c分别为三角形的三边长，A、B和C为对应的内角。

这个公式的推导基于正弦定理。

根据正弦定理，三角形的边长与对应内角的正弦值之间存在如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC将上述关系变形，即可得到外接圆半径的计算公式。

三、内切圆和外接圆的相关性质和应用1. 内切圆和外接圆的圆心和半径关系：内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点重合，而外接圆的圆心与三角形的三个顶点的垂直平分线的交点重合。

内切圆的半径r 和外接圆的半径R满足如下关系：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)。

三角形的内切圆三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。

内切圆可以从许多不同角度来研究，它具有许多有趣的性质和应用。

本文将介绍三角形的内切圆的定义、性质和一些相关应用。

首先，让我们来定义三角形的内切圆。

给定一个三角形ABC，假设它的三条边分别为a、b和c。

现在我们想要找到一个圆，使得该圆内切于三角形ABC，并且与三角形的三边分别相切于点D、E和F。

圆心O位于三角形的内部，并且到三角形的三边的距离相等，我们将其距离记为r。

这个圆就是三角形ABC的内切圆。

三角形的内切圆具有许多有趣的性质。

首先，内切圆的圆心和三角形的每个顶点以及内切点D、E和F在一条直线上，这条直线叫做内切圆的欧拉线。

此外，内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s 的差值，即r = S/s，其中S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，s为半周长。

内切圆还有一些重要的性质。

首先，内切圆与三角形的每个外接圆相切于同一点D、E和F，并且它们的半径相等。

其次，内切圆的半径和三角形的面积成正比，当半径增加时，面积也增加，反之亦然。

此外，内切圆的面积等于三角形的面积，且内切圆的周长等于三角形的周长。

内切圆还有一些实际应用。

例如，在制作方程式赛车时，车轮的形状通常是一个内切圆，这样可以确保车轮与地面的接触面积最大，提供更好的牵引力和操控性能。

此外，在建筑和工程中，内切圆也被广泛应用，例如在圆形井盖、管道等设计中。

通过研究三角形的内切圆，我们可以更深入地了解几何学中的一些基本概念和性质。

同时，内切圆还有一些实际应用，使我们更好地理解它们在现实世界中的意义。

总结起来，三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。

它具有许多有趣的性质，包括与三角形的每个外接圆相切、与三角形的三个顶点和内切点在一条直线上等。

它也有一些实际应用，如在方程式赛车和建筑工程中的应用。

通过研究三角形的内切圆，我们可以深入了解几何学中的一些基本概念和性质。

三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

它在三角形中起到了重要的几何作用，不仅在数学中有重要的应用，也在实际生活中有许多实际意义。

本文将从三角形的内切圆的定义、性质、构造方法、应用等方面进行探讨。

一、内切圆的定义三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

换句话说，内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上。

内切圆的半径被称为三角形的内切圆半径，通常用r表示。

二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上，这条直线被称为内切圆的欧拉线。

2. 内切圆的半径与三角形的三边的长度有一定的关系。

根据欧拉定理，内切圆的半径r等于三角形的周长p与面积S的比值的一半，即r = S/p。

3. 内切圆的半径r与三角形的三个内角的正弦值的倒数之和有关，即1/r = (sinA + sinB + sinC)/p，其中A、B、C分别为三角形的三个内角。

4. 内切圆的圆心与三角形的三个内角的平分线相交。

三、内切圆的构造方法1. 根据内切圆的定义，可以通过直接计算三角形的内切圆半径和圆心的坐标来构造内切圆。

2. 另一种构造内切圆的方法是利用三角形的角平分线和垂直平分线的性质。

首先，通过角平分线找到三个内角的平分线交点，然后通过垂直平分线找到三个内边的中点，最后通过这些点来确定内切圆的圆心和半径。

四、内切圆的应用1. 在数学中，内切圆广泛应用于三角形的面积、周长、角度、长度等问题的计算中。

通过内切圆的性质，可以简化计算过程，提高计算的准确性。

2. 在几何建模中，内切圆可以用来确定三角形的外接圆和外接圆的圆心。

通过内切圆和外接圆的关系，可以更好地理解和描述三角形的形状和结构。

3. 在工程和建筑中，内切圆的应用十分广泛。

例如，在建筑物的设计和施工中，内切圆可以用来确定柱子和墙壁的形状和位置，从而提高建筑物的稳定性和美观性。

三角形的内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，具有一系列重要的性质和应用。

三角形的内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

而内切圆是一种特殊的圆，它恰好与三角形的三条边相切于一点。

本文将探讨三角形的内切圆及其相关性质。

一. 内切圆的定义内切圆是指一个圆与一个三角形的三条边都相切于一点的情况。

这个相切点称为内切圆的切点。

二. 内切圆的特性1. 切点在三角形的角平分线上三角形的内切圆的切点在三角形的三个角的角平分线上。

这是因为切点到三角形的三条边的距离相等，而角平分线是与三角形的三条边相交且距离相等的直线。

2. 切点到三角形的三条边的距离相等内切圆的切点到三角形的三条边的距离都相等。

这是因为内切圆与三角形的边都相切于切点，根据切线与半径的性质，切点到切线的距离等于半径的长度。

3. 内切圆的半径与三角形的内角有关内切圆的半径与三角形的内角有一定的关系。

设三角形的内切圆的半径为r，三角形的三边长分别为a、b、c，那么有以下关系成立：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]其中，s为三角形的半周长，即s = (a+b+c)/2。

三. 内切圆与三角形的周长和面积的关系1. 内切圆与三角形的周长关系三角形的内切圆的半周长等于三角形的半周长，即2πr = a + b + c，其中r为内切圆的半径，a、b、c为三角形的三边长。

2. 内切圆与三角形的面积关系三角形的内切圆与三角形的面积有一定的关系。

设三角形的内切圆的半径为r，三角形的半周长为s，三角形的面积为A，则有以下关系成立：A = rs四. 内切圆的应用内切圆在几何学中有很多应用。

以下列举两个常见的应用：1. 利用内切圆求三角形的面积根据上述第三点的关系式A = rs，我们可以通过已知三角形的内切圆半径和半周长来求解三角形的面积。

2. 利用内切圆求三角形的周长根据上述第二点的关系式2πr = a + b + c，我们可以通过已知三角形的内切圆半径和三边长来求解三角形的周长。

总结：本文介绍了三角形的内切圆及其相关性质。

内切圆是指一个圆与一个三角形的三条边都相切于一点的情况。

三角形的内切圆定义一、什么是三角形的内切圆内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，圆心位于三角形的内部。

三角形的内切圆是三角形内切圆心运动学的重要对象。

在三角形的内切圆中，圆心到三角形三边的距离是相等的，而且内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

因此，研究三角形的内切圆不仅有助于理解三角形的性质，还有助于解决与三角形相关的问题。

二、三角形内切圆的性质1.圆心到三角形三边的距离相等：三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此圆心到三边的距离是相等的。

这个距离称为内切圆的半径。

2.内切圆的半径公式：内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长，即r =A / s，其中r表示内切圆的半径，A表示三角形的面积，s表示半周长。

3.内切圆的圆心重心和内心重合：圆心、内心和重心在三角形的同一条高线上，且重心将内心和圆心一分为二。

4.内切圆的圆心和外心的连线垂直于三角形的内心和外心连线：内切圆的圆心和外心之间的连线与三角形的内心和外心之间的连线垂直。

5.内切圆的半径不超过外接圆的半径：对于任意三角形，内切圆的半径小于或等于外接圆的半径。

三、如何构造三角形的内切圆构造三角形的内切圆需要以下步骤：1.首先，画出给定的三角形ABC。

2.然后，分别作出三角形的三条角平分线，将角A、角B、角C分别平分为两部分。

这样可以得到三个交点，分别记为D、E、F，分别位于三角形的内部。

3.接下来，连接交点D、E、F和三角形的顶点A、B、C，得到三条边DA、EB和FC。

4.最后，以边DA、EB和FC为直径，画出三个圆。

这三个圆的交点即为三角形的内切圆的圆心O。

四、三角形内切圆的应用1.几何问题的解决：三角形的内切圆可以用来解决与三角形相关的几何问题，如计算三角形的面积、周长等。

通过内切圆的半径公式，可以简便地计算三角形的面积和半周长，进而得到三角形的各种性质。

2.工程测量：三角形的内切圆可以应用于工程测量中。

通过测量三角形的三个顶点和内切圆的圆心，可以确定三角形的形状和尺寸，为工程设计和施工提供参考。

三角形内切圆与外接圆的性质在几何学中，三角形是最为基本和重要的图形之一。

三角形内切圆和外接圆是与三角形密切相关的圆。

本文将探讨三角形内切圆和外接圆的性质，包括内切圆和外接圆的定义、性质及其在数学和实际问题中的应用。

一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切于一点的圆。

它有以下几个性质：1. 内切圆的圆心与三角形的内心重合。

内心是三角形内部的一个特殊点，它是三角形三条内角平分线的交点。

由于内切圆与三角形的三边都相切，所以内切圆的圆心一定与三角形的内心重合。

2. 内切圆的半径等于三角形三条边的内切线的和。

内切线是指从三角形的顶点到内切圆的切点所连的线段。

内切圆的半径等于三条内切线的和，即r = s - a + s - b + s - c，其中r是内切圆的半径，a、b、c分别是三角形的三边长，s是三角形半周长。

3. 内切圆与三角形的三条边的切点连成的线段垂直于各边。

这是内切圆性质的一个重要结论，可由内切圆的切线与半径的性质得出。

二、外接圆的性质外接圆是指能够同时与三角形的三个顶点相切的圆。

它有以下几个性质：1. 外接圆的圆心在三角形的外心上。

外心是三角形外接圆的圆心，它是三角形三条外角平分线的交点。

因为外接圆与三角形的三个顶点相切，所以外接圆的圆心一定在三角形的外心上。

2. 外接圆的半径等于三角形三边长的乘积的二倍除以三角形的面积。

外接圆半径R的计算公式为R = (abc) / 4A，其中a、b、c是三角形的三边长，A是三角形的面积。

3. 三角形的三个外角等于外接圆圆心对应角的两倍。

外接圆通过三角形的三个顶点，相应角即为三角形的外角，该外角等于外接圆圆心对应角的两倍。

三、应用和意义三角形内切圆和外接圆在数学和实际问题中具有广泛的应用。

其中，内切圆和外接圆的性质可以用于解决与三角形相关的几何问题，如求解三角形的面积、周长等。

此外，内切圆和外接圆还与其他数学分支有着密切的关系。

比如，在代数学中，可以通过求解三角形内切圆和外接圆的性质，解决关于三角函数的各种问题。

三角形的内切圆定义
三角形的内切圆是指可以恰好嵌入一个三角形内部，且与三条边相切
的圆。

该圆被称为三角形的内切圆，也称为唯一的内切圆。

三角形的
内切圆的圆心被称为三角形的内心，其半径被称为三角形的内切圆半径。

三角形的内切圆在三角形的几何性质研究中有着广泛的应用。

三角形的内切圆有着很多独特的性质。

首先，内切圆的圆心是三角形
三条角平分线的交点。

其次，内切圆半径等于三角形的半周长与面积
的比值，也就是r=(s-a)(s-b)(s-c)/s，其中r表示三角形的内切圆半径，s表示三角形的半周长，a、b、c分别表示三角形三条边的长度。

在计算三角形的面积方面，内切圆也是非常有用的工具。

因为三角形
的内切圆半径r等于三个角的平均值与面积的比值，也就是
r=(A+B+C)/2S，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角，S表示
三角形的面积。

除此之外，三角形的内切圆还可以用来判断三角形的形状。

如果三角
形的内心和外心重合，那么该三角形一定是等腰三角形或等边三角形。

如果三角形的内心和重心重合，那么该三角形一定是等边三角形。

总之，三角形的内切圆是三角形中非常重要的一个概念，它在数学和
物理等多个领域中都有着广泛的应用，是我们研究三角形的性质和口算面积的一个重要工具。

三角形的内切圆与外接圆的半径关系三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的内切圆和外接圆在数学研究中也有重要的地位。

本文将探讨三角形的内切圆与外接圆的半径关系。

1. 三角形的内切圆内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切于一点的情况。

内切圆的圆心与三角形的三条边的交点共线，这个交点称为三角形的内心。

对于任意三角形，都存在一个内切圆。

我们来研究内切圆的半径与三角形的性质之间的关系。

设三角形的内切圆的半径为 r，三角形的三条边分别为 a、b、c，三角形的半周长为 s（s = (a + b + c)/2）。

根据三角形的面积公式，可以得到三角形的面积 S：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))另一方面，根据内切圆与三角形的接触性质，我们可以得到内切圆的半径与三角形的面积 S 之间的关系：S = rs将这两个等式结合起来，可以得到内切圆的半径与三角形边长之间的关系：r = √((s-a)(s-b)(s-c)/s)2. 三角形的外接圆外接圆是指一个圆完全包围三角形的情况，三角形的三个顶点都位于圆周上。

外接圆的圆心位于三角形的外心处，外接圆的半径称为三角形的外接圆半径。

我们同样研究外接圆的半径与三角形的性质之间的关系。

设三角形的外接圆的半径为 R。

根据外接圆的性质，我们可以得到外接圆半径与三角形边长之间的关系：R = (abc)/(4S)其中，a、b、c 分别为三角形的三条边的长度，S 表示三角形的面积。

3. 内切圆与外接圆半径关系我们已经得到了三角形的内切圆半径 r 和外接圆半径 R 分别与三角形的边长和面积之间的关系。

现在我们来探讨内切圆半径 r 与外接圆半径 R 之间的关系。

由于三角形的内切圆和外接圆的圆心均为三角形的某个特殊点，根据特殊点的位置关系，我们可以得到内切圆半径 r 与外接圆半径 R 之间的关系：2r = R也就是说，三角形的内切圆半径是外接圆半径的一半。

通过上述推导，我们得到了三角形的内切圆与外接圆的半径关系。

4．5 三角形的内切圆（第一课时）一、教学目标1．知道三角形内心等概念．2．能准确地用尺规作出三角形的内切圆．3．能正确地指出图中的三角形的内切圆或圆的外切三角形． 4．能运用三角形内切圆的有关知识进行计算和证明．二、1、知识引入：如何做一个角的平分线，它有什么性质？2、思考：如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？3、自主学习阅读课本131页例1以上内容，然后完成练习： 练习： （1）、 如图，△ABC 是⊙O 的 三角形。

⊙ O 是△ABC 的 圆，点O 叫△ABC的 ，它是三角形 的交点。

（2）、定义：和三角形各边都相切的圆叫做 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做 。

（3）、如图，△DEF 是⊙I 的 三角形， ⊙I 是△DEF 的 圆，点I 是 △DEF 的 心，它是三角形 的交点。

4、请你完成下面练习后想一下掌握三角形内心和外心时应从哪几个方面来考虑？练习：（1）、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） （2）、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） （3）、等边三角形的内心和外心重合； （ ） （4）、三角形的内心一定在三角形的内部（ ）（5）、菱形一定有内切圆（ ）（6）、矩形一定有内切圆（ ）例1 如图，在△ABC 中，点O 是内心。

（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC 的度数（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 度。

（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。

（4）试探索： ∠A 与∠BOC 之间存在怎样的数量关系？请说明理由。

5、巩固练习1．判断正误(1)如图，①△ABC 是⊙I 的内切三角形．( ) ②⊙O 是△ABC 的外接圆．( )③△ABC 是⊙O 的外接三角形．( )(2)对于三角形来说，只能是圆的内接或外切三角形，而不会是圆的内切或外接三角形．( ) 2．填空题(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 ，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的 ，它到三角形 的距离相等． (2)与角的两边都相切的圆的圆心在角的 线上，和三角形三边都相切的圆的圆心是三角形三条 的交点．它在三角形的 ． 思考：为什么三角形都有唯一的内切圆?圆的外切三角形呢?(3)一个等腰直角三角形 （等边三角形）的内切圆半径与外接圆半径之比是 ． 6、课堂小结： 7、课堂检测 （1）．选择题(1)到三角形三边距离相等的点是三角形的( )． (A)重心； (B)外心； (C)内心； (D)垂心．(2)一个直角三角形斜边的长为10cm ，内切圆半径为lcm ，则三角形的周长是( )． (A)24cm ； (B)15cm ； (C)12cm ； (D)22cm ． (2) (1)如图，设△ABC 的内切圆O 和各边分别切于 D 、E 、F ，∠DOE=118°, ∠DOF =114°求①∠EOF 的度数和∠A 的度数．②若△ABC 面积为10，周长是10，求圆 O 半径DCB CBC BC课外作业1、思考题：如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。

三角形内切圆半径公式1.三角形内切圆半径公式之萝卜公式（也称欧拉公式）：在一个三角形ABC中，记三条边AB，BC，CA的长度分别为a，b，c，三个角度分别为A，B，C。

三角形的半周长记为s=(a+b+c)/2则三角形的面积S = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c)) (海伦公式)。

这个公式被称为萝卜公式是因为它形状如同萝卜一样。

通过欧拉公式，我们可以很容易地计算出一个三角形内切圆的半径，只需要知道三角形的三条边的长度即可。

这个公式非常有用，因为它提供了一种简单而直接的方法来计算三角形内切圆的半径。

2.三角形内切圆半径公式之正弦公式：在一个三角形ABC中，设三个角的度数分别为A，B，C，且已知三角形的面积S，边长a，b，c。

则有以下关系成立：S = (1/2) * a * b * sin(C) = (1/2) * b * c * sin(A) = (1/2)* c * a * sin(B)。

正弦公式是一种常用的三角形内切圆半径计算方法。

它基于三角形面积与三角形边长之间的关系，并利用了正弦函数的性质。

通过正弦公式，我们可以根据已知的三角形面积和边长，计算出三角形内切圆的半径。

3.三角形内切圆半径公式之半谐公式：在一个三角形ABC中，已知三角形的面积S，三个角的度数分别为A，B，C。

则三角形内切圆的半径r = S/[s * (tan(A/2) + tan(B/2) +tan(C/2))]其中s是三角形的半周长。

半谐公式是一种利用三角函数tan的性质来计算三角形内切圆半径的公式。

它是基于三角形面积与三角形半周长之间的关系，并利用了三角形内角的半角和tan函数的关系。

通过半谐公式，我们可以根据已知的三角形面积和角度，计算出三角形内切圆的半径。

这三个公式提供了多种计算三角形内切圆半径的方法，可以根据实际问题的需要选择合适的公式进行计算。

在实际应用中，这些公式为我们研究三角形内切圆提供了便利，同时也有助于我们理解三角形和圆的关系。

三角形内切圆方程
一、圆的一般方程
圆的一般方程可以表示为：x2+y2+Dx+Ey+F=0其中，D2+E2−4F>0
其中(−D2−E2+4F)是圆的半径的平方。

二、三角形的三个顶点坐标
假设三角形的三个顶点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

三、内切圆的圆心和半径
内切圆的圆心是三角形三个顶点的几何中心，即三条角平分线的交点。

内切圆的半径等于圆心到三角形三边的距离。

四、三角形三边的长度
假设三角形的三边长度分别为a，b，c。

五、三角形面积的计算公式
三角形面积的计算公式为：S=12abscos⁡(C)其中，C是三角形的一个角。

六、根据三边长度计算三角形的面积
根据海伦公式，可以使用三边长度a，b，c计算三角形的面积：S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中，p是半周长，即p=12(a+b+c)。

七、利用面积公式和三边长度确定内切圆的半径
根据三角形面积的计算公式，可以得到内切圆的半径r：r=2Sabc 其中，S是三角形面积。

八、通过圆心和半径确定内切圆的方程
根据圆的一般方程和内切圆的圆心坐标，可以得到内切圆的方程。

设内切圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r，则内切圆的方程可以表示为：x2+y2+Dx0+Ey0+Fr2=0其中，D2+E2−4F>0，r2=2Sabc。

一、三角形的內心與內切圓【1】定義：三角形三內角的平分線必交於一點，此交點叫做三角形的內心。

【2】性質：三角形的內心到三邊等距離，以內心為圓心，到三邊的距離為半徑，可作一個內切圓。

※ 三角形的內心恆在三角形的內部。

※ 已知：△ABC 中，A 平分AQ ∠，B 平分BR∠，平分CP C ∠。

求證：（1）相交於一點CP BR AQ ,,I 。

（2）I 到△ABC 三邊等距離。

pf ：（1）○1 設BR 與AQ 交於I 點。

○2 作AB IF AC IE BC ID ⊥⊥⊥,,，且設F E D ,,分別為垂足。

○3 ∵B平分BI A 平分AI ∠∠,∴IE ID IF ID ==,（角平分線性質）即 IF IE ID ==∵IF IE = ∴ I 點在C ∠的平分線CP 上即△ABC 三內角平分線相交於一點CP BR AQ ,,I（2）∵IF IE ID == ∴I 到△ABC 三邊等距離【3】（1）若I 為△ABC 的內心，則 ABIC ∠+=∠21900C A I B B A I C ∠+=∠∠+=∠2190,219000（2）若O 為△ABC 的內心，則△AOB ：△BOC ：△COA ＝ AB ：BC ：AC（3）若O 為△ABC 的內心，s 是△ABC 的周長，r 是內切圓的半徑，則△ABC ＝sr21Pf ：△ABC ＝△AOB+△BOC+△AOC＝r AC r BC r AB ⨯+⨯+⨯212121＝()sr r AC BC AB 2121=⨯++（4）若圓O 是△ABC 的內切圓，切點各為D 、E 、F ，s 表△ABC 的周長，則BC s AF AD -==21，BE BD =AB s CF CE AC s -==-=21,21（5）直角△ABC 中，090=∠C ，r 是內切圓的半徑，則：22ABAC BC 或r AC BC r AB -+=+=+（2斜邊長兩股長的和r -=）E二、三角形的外心與外接圓【1】定義：三角形三邊的中垂線必交於一點，此交點叫做三角形的外心。

内切圆三角形公式内切圆三角形是指一个三角形内含有一个内切圆的情况。

内切圆是指一个圆与三角形的三条边相切，并且与三角形的内角位于边的中垂线上。

内切圆对于三角形的性质和特征有很大的影响，它们之间存在一些有趣的关系和公式。

在讨论内切圆三角形的公式之前，我们先来了解一下内切圆的性质和特征。

内切圆的圆心与三角形的三条边的中垂线的交点组成一个三角形，在这个三角形中，圆心与各边的交点分别是圆心角的平分点。

另外，内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：三角形的面积等于内切圆的半径与三条边的长度之积的一半。

接下来，我们将介绍一些与内切圆三角形相关的公式。

1.费马点公式：费马点是指一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。

对于任意一个内切圆三角形，费马点就在内切圆的圆心上。

费马点公式给出了费马点到三角形三个顶点的距离之和与内切圆半径的关系：r=d1+d2+d3其中，r表示内切圆的半径，d1、d2、d3分别表示费马点到三个顶点的距离。

2.角平分线长度公式：内切圆对于三角形的内角位于边的中垂线上，因此可以得到如下关系：l1+l2=l3+l4其中，l1、l2、l3、l4分别表示三角形两个内角的平分线长度。

3.角平分线长度与半角公式：内切圆的半角是指内切圆的半径与边的长度之比。

相邻两条边的内切圆半角之和等于对角边内切圆半角的两倍。

即：α+β=2γ其中，α、β、γ分别表示相邻两条边的内切圆半角和对角边的内切圆半角。

4.内切圆半径与三角形面积的关系：内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：S=r·p其中，S表示三角形的面积，r表示内切圆的半径，p表示三角形的半周长。

5.勾股定理公式：a=p-rb=p-rc=p+r其中，a、b、c分别表示直角边的长，p表示三角形的半周长，r表示内切圆的半径。

上述是内切圆三角形的一些公式，它们可以帮助我们理解和计算内切圆三角形的性质和特征。

根据这些公式，我们可以推导和证明一些内切圆三角形的定理和性质。

三角形的内切圆在数学的奇妙世界里，三角形是一个极其常见且重要的图形，而与三角形密切相关的内切圆，更是蕴含着丰富的知识和有趣的性质。

今天，就让我们一起来深入探究三角形的内切圆。

首先，我们来了解一下什么是三角形的内切圆。

简单来说，三角形的内切圆就是与三角形的三边都相切的圆。

这个圆的圆心被称为三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。

为什么三角形会有内切圆呢？这其实与三角形的几何性质有关。

想象一下，我们在三角形内部放置一个圆，要让这个圆与三角形的三边都相切，就必须找到一个特殊的点作为圆心，使得从这个点到三角形三边的距离相等。

而这个点，正是三条角平分线的交点。

那如何找到三角形内切圆的半径呢？这就涉及到一些公式和计算。

假设三角形的三条边分别为a、b、c，其面积为S，内切圆的半径为r。

根据三角形面积的不同表示方法，我们可以得到一个重要的公式：S ＝1/2 ×（a ＋ b ＋ c) × r 。

通过这个公式，只要我们知道了三角形的三边长度或者面积，就能够求出内切圆的半径。

三角形内切圆在实际生活中也有很多应用。

比如在建筑设计中，当我们需要在一个三角形的区域内铺设圆形的地砖，并且要让地砖尽可能地铺满整个区域，就需要考虑三角形的内切圆。

在机械制造中，一些三角形形状的零件内部需要加工一个圆形的孔洞，内切圆的知识也能派上用场。

再来说说三角形内切圆的性质。

内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这是一个非常重要的特点。

而且，以内心为顶点，三角形的三条边为边的三个角，其角度之和为 180 度。

这些性质在解决与三角形内切圆相关的几何问题时，往往能给我们提供关键的思路。

接下来，我们通过一个具体的例子来感受一下三角形内切圆的魅力。

假设有一个三角形，其三条边的长度分别为 6 厘米、8 厘米和 10 厘米。

首先，我们可以根据勾股定理判断这是一个直角三角形。

然后，通过计算三角形的面积，假设为 24 平方厘米。

接下来，我们可以使用前面提到的面积公式 S ＝ 1/2 ×（a ＋ b ＋ c) × r 来求内切圆的半径 r 。