浅析几何概型的物理背景问题

古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。

若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。

2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。

它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。

二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。

2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。

三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。

2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。

而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。

3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。

而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。

4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。

而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。

5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。

而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。

6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。

而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。

7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。

四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。

这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。

例榷“几何概型”师生常见的误判作者：马兆金来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第05期摘要：本文从教育心理学“前科学概念”及其与学习新知的关系的角度，指出学习“几何概型”遇到的思维障碍，重点剖析一道近年高中数学涉及物理过程的“几何概型”问题，概括指出“几何概型”教学中要注意的关键事项。

关键词：几何概型；前科学概念；概率；事件集合；几何变量高中数学教学中，“概率统计”是值得关注的必学内容。

它不仅是升学考试的必考内容，更是当代社会公民素养必不可少的内容。

从生活中的柴米油盐，到交通旅游，再到普通工业农业生产、金融卫生、高尖科技等各方面，“概率统计”的知识方法无处不在，运用“概率统计”的数学思想解决的问题比比皆是。

现阶段高中数学“概率统计”部分的教学，古典概型、几何概型两类概型的分析与运用是学生颇感有难度的内容之一。

其中，几何概型貌似简单，其实学生解决问题时很容易误判，比如下例：例1 如图1，边长的正方形ABCD的顶点A与坐标原点O恰重合，AB，AD恰与x轴、y 轴重合。

直线OP绕O点以 rad/s的角速度从与x轴重合位置逆时针开始转动，至与y轴重合后，立即以同样大小的角速度顺时针转动至与x轴重合的位置，再重新逆时针旋转…，直线OP交对角线BD于点K，正方形ABCD的对角线交点为Q，==，试求转动中K点位于MN之间的概率。

笔者发现，一道貌似简单的概率问题，课堂教学中竟让众多数学高手“翻船”，学生所得解答往往是：K点只能在BD之间来回运动，而所求概率事件中K点对应的位置范围是=，所以概率是。

然而，这道题的正确答案却是。

事实上，许多“几何概型”问题，学习状况中等的学生极易做错。

为何“几何概型”问题学生极易误判导致出错？笔者认为需要对此进行教学剖析。

从教育心理学的角度看，数学概念习得有一个“前科学概念”的阶段。

高中数学概率统计的学习也是如此。

学生对“概率”与“事件”早在童年时已有模糊认识，自发观察生活中大量现象，对事件“分类”、“统计”，自发归纳，随着年龄增长，对“同一事件”或“同类事件”的出现频率逐渐有较为精细的体验，在此基础上产生对生活事件发生的可能性大小的自发的经验式预估、验证，产生对“统计与概率”早期的模糊认识，在知识系统中产生“概率”的前科学概念。

探索几何概型几何概型同古典概型一样是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置。

在新课改的教材中引入了几何概型，这是区别老教材的最重要的知识点之一。

但是课本只是引入，没有任何习题的辅助，会导致学生不能深入了解几何概型。

下面我对几何概型加以总结和分析，以供大家参考。

一：几何概型的概念：向平面内有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G 的概率与的面积成正比，而与的形状，位置无关。

即：P（点M落在）= ■，则称这种模型为几何概型。

几何概型的概率计算公式中的“面积”，并不是实际意义的面积，它的意义取决于试验的全部结果构成的区域，当区域分别是线段的长度，平面图形的面积和立体图形的体积时，相应的“面积”分别是线段的长度，平面图形的面积和立体图形的体积。

公式中的分子和分母所涉及的几何度量一定要对等，即：若一个是长度，则另一个也是长度：若一个是面积，则另一个也必然是面积：同样，若一个是体积，另一个必然是体积。

常见的几何概型分四类：（1）与长度有关的几何概型问题（2）与面积有关的几何概型问题（3）与角度有关的几何概型问题（4）与体积有关的几何概型问题二：我们用例题加以分析例1 在等腰△ABC中，B=C=300 ，求下列事件的概率：（1）在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；（2）在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB.[分析]：若同学们没有认真的审题，就会认为这两问是一样的，仔细审题后发现第一个问题是寻找点P的位置，而第二个问题是寻找射线AP的位置；这是两个完全不同的几何概型[解析]：（1）因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为总区域。

如图1以点B为圆心，以线段BA为半径画弧交线段BC于点M，则点P落在线段BM内才有BP＜BM=BA，于是P（BP＜AB）=P（BP＜BM）= ■=■=■（2）如图2射线AP在∠BAC 内是等可能分布的，在线段BC上取点M，使∠AMB=750，则BM=BA，当AP在∠BAM内时，BP＜AB.于是所求概率为：P= ■=■例2 在区间[0，1] 中随机地取出两个数，则两数之和小于■的概率是多少？[分析]：①当实际问题只涉及一个变量时，要利用数轴或一条线段来讨论；②当实际问题涉及两个变量时，要利用平面直角坐标系来讨论；③当实际问题涉及三个变量时，要利用空间坐标系来讨论。

《几何概型》讲课稿（第一课时）各位老师：大家好 !我今日讲课的题目是《几何概型》，该内容选自于人教版一般高中课程标准实验教科书高中数学 A 版必修三，该教材一共分为三章，分别是算法初步、统计和概率。

而几何概型这一小节选自于该教材的第三章第三节。

该节内容课时安排为两个课时，本节课内容为第一课时。

下边我将从教材、教课目的、教法和学法、教课过程四个方面来论述我对这节课的剖析和设计：一、教材剖析1．教材所处的地位和作用本节内容是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常有概型的学习，是等可能事件的观点从有限向无穷的延伸，是对古典概型内容的进一步拓展，学好此节内容对全面系统地掌握概率知识和关于学生辩证思想的进一步形成都拥有优秀的作用。

2、教课的要点和难点本课是一节观点新讲课，不单要掌握好新课的学习，并且要与前方所学的古典概型很好的划分开来，所以把掌握几何概型的观点，及其两个重要特色、能判断某个事件是古典概型仍是几何概型及几何概型中概率的计算公式作为教课重点。

又因为要正确的运用几何概型的公式一定要学会正确的成立合理的几何模型来进行求解，所以我把该节课的教课难点设置为：在实质问题中怎样正确成立合理的几何模型求解概率。

二、教课目的剖析依照高中数学新课程标准的要求、本课教材的特色、学生的实质状况等，我以为这一节课要达到的三维目标可确立为：1．知识目标（1）经过详细例子理解几何概型的观点和掌握几何概型的概率公式；（2）会鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型；2、能力目标：（1）经过把古典概型的例子略加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无穷个等可能结果，让学生经历观点的建构这一过程，感觉数学的拓广过程。

（2）经过实例培育学生把实质问题转变成数学识题的能力，让学生感知用图形解决概率问题的方法。

3、感情目标经过对几何概型的教课，培育学生独立思虑研究的能力，让学生领会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培育其踊跃研究的精神。

高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，几何概型是一个重要的考点，也是许多同学感到困惑和容易出错的部分。

为了帮助同学们在高考中更好地应对这一考点，我们将对几何概型进行深度剖析。

一、几何概型的概念几何概型是概率论中的一个重要概念，与古典概型相对应。

在古典概型中，试验的结果是有限个等可能的基本事件；而在几何概型中，试验的结果是无限个的，且每个结果出现的可能性相等，通常借助几何图形的长度、面积或体积来计算概率。

例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机取一点，求该点到正方形某个顶点的距离小于 1/2 的概率。

这就是一个典型的几何概型问题。

二、几何概型的特点1、无限性几何概型的基本事件有无限多个。

2、等可能性每个基本事件发生的可能性相等。

3、几何度量通过计算几何图形的长度、面积或体积等几何度量来确定概率。

三、几何概型的计算公式若几何概型中的随机事件 A 对应的区域长度（面积或体积）为 m，全部结果构成的区域长度（面积或体积）为 n，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。

四、常见的几何概型类型1、长度型几何概型例如，在一条线段上取一点，求该点落在某一区间内的概率。

2、面积型几何概型比如，在一个平面区域内随机投点，求点落在某个特定区域内的概率。

3、体积型几何概型像在一个立体空间内随机取点，求点落在某个体积内的概率。

五、解题步骤1、理解题意明确题目中所描述的随机试验和所求概率的事件。

2、确定几何区域找出与随机试验对应的几何图形，并确定其度量（长度、面积或体积）。

3、计算概率根据几何概型的计算公式，计算出所求事件的概率。

六、经典例题解析例 1：在区间0, 5上随机取一个数 x ，求 x 满足 2 ＜ x ＜ 4 的概率。

解：区间0, 5的长度为 5，满足 2 ＜ x ＜ 4 的区间长度为 2，所以概率 P ＝ 2 ／ 5 。

例 2：在半径为 1 的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于 1/2 的概率。

例谈几何概型江苏省丹阳高级中学数学组 丁玲用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何量（长度、面积、体积）的计算。

以下给出几何概型的几种类型。

类型一 与长度有关的几何概型例1．如图，A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 分析：在A,B 之间每一个位置安装路灯C 、D 都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型的条件。

解：记“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”为事件E ，把AB 三等分，由于中间长度为 103130=⨯。

313010)(==∴E P 。

点评：几何概型中的概率计算公式的“测度”，既可以是本例中的长度，也可以是面积，几何体的体积或者是图形的角度等，而且这个“测度”只与“大小”有关，与形状、位置无关。

然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细 研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律.类型二 会面问题的几何概型例2 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率. 解析：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x有可能结果为：}600,600|),{(≤≤≤≤=y x y x M ； 记两人能够会面为事件A ，则事件A 的可能结果为： }600,600 ,20|||),{(≤≤≤≤≤-=y x x y y x A 如图所示，试验全部结果构成区域M 为正方形ABCD. 而事件A 所构成区域是正方形内两条直线 20,20=-=-y x x y 所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到：956022)2060(60)(222=⨯--==正方形阴影S S A P 所以，两人能够会面的概率为.点评：题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难. 需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量，如此题中两人到达的时间都是随机的，设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件及满足题意的事件A 的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示，转化为与面积有关的问题。

《几何概型》教学设计突出内涵揭示关注知识建构——“几何概型”教学设计与反思摘要：几何概型是继“古典概型”之后的又一类等可能概率模型，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.本节课学生通过对丰富而具体的实例的观察、分析、抽象、概括，亲历几何概型的概念建构过程, 并在运用中进一步理解概念，培养学生的思维能力，提高学生的建模能力.关键词：几何概型；基本事件；等可能概率模型2012年11月，笔者有幸参加了中国教育学会中学数学教学专业委员会组织的第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，进行了课题为“几何概型”的教学展示，获一等奖并被评为最优秀展示老师.赛后，笔者对这节课进行了回顾与反思，认为要上好一节数学概念课，前提是教师要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上进行教学设计，围绕数学概念的核心展开教学.一、教学内容解析《几何概型》是苏教版高中数学必修3第三章3.3节(第1课时)的内容，是在学生学习了概率的统计定义和等可能定义之后学习的. 它是在古典概型基础上的进一步发展，是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸. 本节内容作为“一个未来公民的必备知识”，充分体现了新课程以人为本的理念.学好几何概型，对学生全面系统地掌握概率知识及辩证思想的进一步形成具有重要作用.几何概型的关键是寻找合理的几何模型，通过建立无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，用几何区域的测度刻画无限个等可能基本事件，达到求解相关概率问题的目的，体现了抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，是概率问题与几何问题的一种完美结合.基于以上分析，本节课的教学重点确定为:几何概型概念的建构和建立合理的几何模型进行简单的几何概率计算.二、教学目标设置结合《普通高中数学课程标准（实验）》对几何概型的教学要求：“初步体会几何概型的意义，会进行简单的几何概率计算”，立足学生的思维水平和认知特点，本节课的具体教学目标确定为以下三点：1.通过对具体实例的观察和分析，了解几何概型的两个基本特点，并会判断实际问题中的概率模型是否为几何概型.2.经历几何概型的概念建构过程, 感受数学的拓广过程，体会从感性到理性的思维过程，提高数学归纳能力和数学抽象能力.3.会通过建立合理的几何模型进行简单的几何概型概率计算, 注重建模过程，体会数形结合思想.说明：一节数学课的教学目标，应当是以学生为主体，以具体的数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育.教师要摒弃对“高、大、全”的“三维目标”的简单罗列，要结合具体的教学内容及其特点设置恰当的课堂教学目标，才能实现有效教学，否则课堂将不堪重负.三、学生学情分析初中教材中已涉及到个别简单的几何概型问题，学生凭借直觉与生活经验能把问题的结果计算出来，但缺少从数学的内部对问题本质的理解.本节课的教学目的也正是在学生已有认知的基础上对概念的完善与系统化.在本章中，学生已经学习了概率的统计定义和古典概型，掌握了两种计算随机事件发生概率的方法:一是用频率估计概率；二是用古典概型的公式来计算概率.在《古典概型》一节中学生已经会把事件分解成等可能基本事件，知道它的两个特点是等可能性和有限性，并经历了从基本事件的角度建构了古典概型的定义和概率计算公式.类比古典概型，通过分析基本事件，学生容易知道几何概型中基本事件的特点是等可能性与无限性.但学生对无限个等可能基本事件的量化具有困难，需要教师引导.在运用公式解决实际问题时，选择合适的模型，将实际问题转化几何概型问题对学生来说比较困难.笔者所在学校为农村普通高中，招收的学生大部分基础薄弱，自主学习能力较弱.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.基于以上分析，本节课的教学难点确定为:几何概型概念的建构及解决实际问题时如何从背景中确定特定几何区域及其测度.四、教学策略分析本节课结合启发式教学原则，采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，结合多媒体辅助教学.前苏联数学家斯托利亚说过：“积极地教学应是数学活动（思维活动）的教学，而不是数学活动的结束——数学知识的教学.”因此，教学中通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力和数学建模能力.为突破难点，在概念建构过程中结合分析内容形成框图，利用框图直观地表示无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，有助于学生理解概念，并为在实际应用中合理建模打下基础.五、教学过程1.情境导入，激活思维情境1取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机地向正方形内投一粒米，假设米粒能落在正方形内任意一点且米粒的面积不计，求米粒落入圆内的概率．（人教版九年级数学上册P147试验与探究）问题1：请解答并说明解答依据.教学预设：学生用内切圆与正方形面积之比表示所求概率，但无法说出这样计算的理论依据.【设计意图】“米粒问题”是教材上的例1，但初中教材选学部分就已经出现过这个问题，本着紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发的教学原则，笔者创造性地使用教材，将这个问题作为了导入情境.事实上，学生凭借直觉与生活经验能够用内切圆与正方形面积之比表示所求概率，但却缺少从数学的内部对问题的理解.以此作为导入情境，有助于激发学生的探求欲望，促使学生对问题由感性认识转向理性思考.问题2：这样计算究竟是否合理呢？我们不妨先来回顾一下已有哪些求随机事件概率的方法？教学预设：通过问题让学生回顾已有的两种计算随机事件概率的方法：随机事件概率的统计定义和古典概型概率计算公式.教师追问两种概率计算方法的注意点，强化古典概型计算公式的使用条件，即古典概型中基本事件满足等可能性和有限性两个特点.【设计意图】必要的复习铺垫能有效地帮助学生回忆学习新知所需要的相关旧知.在学生无法回答情境1的解答依据时，通过引导他们回顾已有求随机事件概率的方法去寻找理论支撑.虽然已有的两种方法不能解释答案的合理性，但为接下来从数学内部研究情境1提供了“先行组织者”，学生可以类比古典概型的研究思路对此进行探究.2.合作探究，启迪思维问题3:你准备从什么角度对情境1展开分析？教学预设：通过教师追问，引起学生思考.生：我们也从基本事件角度对情境1展开分析.师：具体分析哪些问题？生：①试验中每一个基本事件是什么？②每个基本事件是否等可能？③所有基本事件共有多少个？④指定事件中有多少个基本事件？师: 请大家就以上4个小问题对情境1展开分析.（教师等待，学生思考）生：试验中的一个基本事件应该是米落在正方形内的一个点，每一个基本事件的发生都是等可能的，这样的基本事件共有无限个，指定事件含有的基本事件也是无限个.师：是古典概型吗？生：不是，古典概型中所有的基本事件只有有限个，而这里是无限个.师：那我们就无法用数值来表示基本事件的个数m 和n 了.那它与古典概型有相同之处吗？ 生：有，每一个基本事件的发生都是等可能的.【设计意图】引导学生从已有知识经验出发，类比熟知的古典概型问题，从基本事件的角度出发对问题1进行分析.通过分析发现此问题仍是一个等可能模型，不同于古典概型的是基本事件的个数由有限个变成无限个，无法用数值刻画，从而形成认知冲突.问题4：如何刻画不易计数的无限个等可能基本事件？教学预设：教师引导学生分析，每个基本事件与正方形内一个点对应，所有基本事件与正方形内所有的点对应即与正方形对应，指定事件与内切圆对应，从而用内切圆与正方形的面积之比合理地替代了基本事件的个数之比，解决了无限性无法计算的问题.教师强调之所以能这样对应，是因为每个基本事件都是等可能的，也即每个基本事件所对应的点在正方形内是均匀分布的.结合分析过程，教师在黑板上板书上述对应关系:A 事件包含的基本事件数内切圆的面积基本事件的总数正方形的面积【设计意图】这个问题对学生来说具有难度，这时需教师及时作出引导.教师通过引导学生分析得到基本事件与点对应，所求事件与几何图形对应，从而用几何图形的面积之比合理地替代了基本事件的个数之比，说明计算方法的合理性，让学生初步感知到以形代数、数形结合的思想方法，同时为后面形成几何概型形式化的定义做铺垫.问题5：你有办法验证结果的正确性吗？教学预设：学生提出验证的试验方案与试验注意点，教师多媒体演示投米粒试验，师生合作验证计算结果的正确性.【设计意图】尽管问题4的处理过程说明了用面积比表示概率是合乎情理的，但初次接触几何概型的学生对此还是缺乏一定的认同感的.这时利用学生已经掌握的另一种求解随机事件概率的方法，即通过多媒体演示投米粒实验，用频率估计概率，来进一步验证了计算结果的正确性，使学生体会到推理成功的喜悦，使数学的严密性得到保证.问题6：请同学们观察试验，当投到正方形内的点数足够多时，你有什么发现？教学预设：通过观察，学生发现这些点几乎把整个正方形填满了，进一步体悟到所有的基本事件与正方形相对应的合理性，并再次感知数形结合思想.教师追问：将情境1中的红色区域改变形状、移动位置,概率发生变化了吗?改变红色区域的大小呢？由此你能发现什么？【设计意图】通过对试验的观察以及情境中几何图形的变化，引发学生对几何概型本质特征的思考，帮助学生理解“事件A发生的概率只与红色区域的面积成正比，而与其位置、形状无关”.在整个对情境1的分析过程中，教师始终以“问题串”为载体，引领学生经历猜想，推理到验证的研究过程.问题7：请参照情境1的研究思路对情境2和情境3进行分析.情境2取一根长度为3m的绳子，将绳子拉直后, 在绳子上随机选择一点, 在该点处剪断.那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？情境2 情境3情境3一个棱长为20cm盛满水的正方体水池中有一个病毒, 病毒可能出现在水池中的任意一个位置, 它距离水池底不超过5cm的概率是多少？教学预设：学生自由选择情境，类比情境1展开分析，给出解答并说明理由，学生相互予以点评.教师结合学生分析进行板书.【设计意图】情境2、情境3分别是以长度之比、体积之比表示概率的，采用不同的度量量之比，目的是给予学生更丰富的体验.在这两个情境的探究过程中，始终将对“基本事件”的分析作为解决概率问题的着眼点，进一步从等可能性、无限性两方面来区别古典概型与几何概型，深化学生对几何概型基本特征的体会.3. 抽象概括，建构概念从教育心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”.因此，在突破概念建构这个难点时，笔者采取的第一个策略就是让学生在已有分析的基础上进行概括.第二个策略是结合学生概括内容进一步完善框图，利用框图直观的表示无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，有助于学生理解概念，并为在实际应用中合理建模打下基础.问题8：请结合前面的分析,总结三个试验具有的共同特点.教学预设：先以活动小组为单位进行组内交流，然后小组代表总结发言.教师结合学生的分析，引入测度的概念，并完善框图，将无限个等可能基本事件与几何模型中区域的对应关系直观体现：至此，几何概型的特点、几何概型的概念和概率计算公式都经由学生的观察、分析、归纳、抽象，自然形成.（1）几何概型中基本事件的特点：每个基本事件的发生都是等可能的；所有的基本事件有无限个.（2）几何概型的定义：对于一个随机试验:每个基本事件可以视为从某个特定的几何区域D 内随机地取一点，且区域D 内的每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.（3）几何概型的概率计算公式：()d P A D =的测度的测度. 结合对三个情境的分析，指出： ①D 的测度不能为0；② “测度”的意义依D 确定；③ 事件发生的概率与d 的形状和位置无关.【设计意图】通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力.几何概型的定义是一种描述性定义，涉及的文字较多，新名词较多.教学过程中通过以活动小组为单位进行组内交流，并辅以框图，可以使学生在熟悉概念定义的每一个“构建”基础上自然生成定义. 只要学生理解了、抓住了概念的本质就可以了，不要死记硬背定义，不必字字合于教材.4. 数学应用，升华概念数学概念学习理论已揭示：概念只有在运用中才能得到真正的理解.因此，概念运用的价值不仅仅为了巩固概念，最为重要的是为了理解概念.笔者根据教材和学生的实际，适当改造和增补例题与练习，讲练结合，注重引导学生对解题思路和方法的总结，逐步提高思维的层次，深化学生对概念和公式的理解，培养学生的思维能力，提高学生的建模能力.例1 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？教学预设：学生分析试验中的基本事件及其特点，判断该问题为几何概型，确定D ，d 区域及测度.教师板书示范解题过程，并引导学生归纳解题步骤：记→判→算→答.【设计意图】例1是对所学概念和公式的一个简单应用.其形式与情境1类似，但学生对问题的认识已由感性上升至理性，开始尝试着运用所学理论从数学内部对问题展开分析和解答. 解题步骤的归纳让学生体会规范的书写是思维过程的完美再现.练习 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，其中含有麦锈病种子的概率是多少？教学预设：学生独立完成，教师点评.学生总结解决几何概型问题的分析思路：分析基本事件，根据基本事件的特点确定概型，如果是几何概型，再确定区域D 和d ，最后确定他们的测度.【设计意图】练习题中的背景没有例1直观，需要学生理性分析，抽象出基本事件对应的几何区域，有助于学生养成透过事物的表象把握本质的思维方法.例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.例2图 变式图教学预设：学生判断出点M 落在斜边AB 上的每一点都是一个基本事件，由于在斜边AB 上任取一点M ，所以基本事件具有等可能性和无限个的特点，这是一个几何概型.线段AB 是区域D ，在线段AB 上存在一个特殊的点C ',使得A C '=AC ，线段A C '就是区域d .教师提问：如何确定点C '？学生AB. A B M C判断：以A 为圆心，AC 为半径作弧，与AB 的交点就是C '.问题9：请同学们比较例1和例2 ，哪个问题简单点？为什么？【设计意图】例2中的区域d 需要学生确定，这是建模的一个难点.这里通过对两个例题的比较，提炼出“确定区域找临界”这一方法，从而突破了这个难点.变式探究 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ABC 内部任取一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率．教学预设：学生可能出现两种不同的解法.解法一：同例2，因为在∠ACB 内部每作一条射线CM ，都会与斜边AB 产生一个交点，射线CM 与斜边AB 的每一个交点就是一个基本事件，都是等可能的……所以区域D 是线段AB ，区域d 是线段AC ',他们的测度是长度，概率P(E)= AC AB '解法二：每一个基本事件就是在∠ACB 内部任作一条射线CM ，他们都是等可能的.所以区域D 是，当这条射线作在ACC '∠内时，事件发生了，区域 d 是ACC '∠.他们的测度应该是角度，概率P(E)=ACC ACB '∠∠ =34. 引导学生通过合作交流的方式来发现问题，使学生在讨论中互相纠错，进而得出正确解法.教师适时辅以多媒体演示，说明在∠ACB 内等可能的取射线不能等价于在斜边AB 上等可能的取点.强调解决具体问题时不仅要关注试验中的每一个基本事件是什么，更主要的要看每一个基本事件的发生是否等可能的.【设计意图】变式设置的目的让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，加强学生对几何概型本质的进一步认识，形成严谨的数学思维习惯.而通过对这两个背景相似而基本事件不同的问题的对比研究，可以引导学生发现当等可能的角度不同时，测度不同，其概率值也会发生改变，从而突破确定测度这一难点.5.回顾小结，理清脉络问题10：通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？学会了哪些方法？经历了怎样的研究过程？获得了什么体会？你还有什么疑问？教学预设：学生思考，回答，教师适当点拨，补充.【设计意图】通过问题串引领学生进行回顾总结，归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验，并将所学知识纳入已有知识体系，使学生在头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构.6.分层作业，延伸思维（略）六、设计反思本节课在展示时受到较高的评价，与课前的精心设计是密不可分的.本节课的设计主要体现了如下的特点：1.体现了过程性----数学教学的本质数学思维研究中主要问题是问题解决，而问题解决的核心又是对概念的深刻理解.这就要求学生不仅仅学习概念的知识---形式化的结论内容，而且必须学习概念的产生过程与运用过程.在本节课的教学设计中，教师通过提供丰富而具体的情景，让学生主动地进行观察、猜想、推理、验证、概括与交流，亲历了几何概型概念的形成与发展过程，促进了学生对概念本质的理解.2.体现了问题性----课堂教学的关键著名教育家陶行知先生说：“发明千千万，起点是一问.”这里提出了课堂教学的问题性.在本节课的教学设计中，教师通过对教材的二次开发，设计出恰时恰点，能触及学生的“最近发展区”,使学生“跳一跳就能摘到桃子”的问题.教学中以“问题串”为载体，以问题引领教学，以问题驱动学生主动参与知识建构、合作探究，实现了课堂教学的有效性.3.体现了主体性----实现目标的保障传统的教学侧重于教师“教”的设计，不利于学生思维的发展.数学学习的本质是学生的再创造，学生才是课堂的主体.本节课中，教师充分关注了学生已有的知识背景、生活经验以及思维特点，并以此为教学起点进行教学设计.教学过程中，教师为学生搭建了有层次的学习平台，无论是探究分析、建构概念还是数学应用，都能做到放手让学生自主活动，为学生思维能力的发展提供了保障.当然，课堂是开放的，在以学生为主体、以问题为载体、追求过程性的数学课堂上，生成是必然的.但预设是生成的基础，没有高质量的预设，就不可能有精彩的生成.只有在“精心预设”的前提下，才能追求课堂教学的“动态生成”，才能切实搞好“思维的教学”.参考文献：[1]章建跃.理解数学理解学生理解教学[J].中国数学教育（高中版），2010（12）：3-7.[2]徐新民.数学课堂教学的核心：过程性、问题性、主体性[J].基础教育参考，2011（11）：33-37.[3]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社，2005.。

课程篇一、几何概型的含义及计算公式如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ），简称为几何概型。

在几何概型中，事件A 的概率计算公式为：P （A ）=构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验总区域长度（面积或体积）对几何概型的认识和理解要不同于古典概型。

因为在古典概型中，概率P =0的事件一定是不可能事件，而对几何概型而言，即使某事件的概率P =0，该事件仍有可能发生（在［0，1］中任选一数，该数为1的概率为0，显然，这并不是不可能事件。

）；同样的对几何概型而言，概率P=1的事件也不一定就是必然事件。

表面上看这是由于基本事件的个数与区域测度的计算方法不同所致，其实根本原因就是离散与连续的不同。

二、几何概型的常见类型1.“长度”化类型例1.若一根绳长为3米，在任意位置剪断，则剪得的两段绳长都不少于1米的概率是多少？解：记剪得两段绳子的长都不小于1米为事件为A ，如图1，把绳子三等分，于是当剪断位置处在第二段（中间一段）时，事件A 发生，由于中间一段的长度等于绳长的13，所以事件A 发生的概率为13。

P （A ）=第二段长度1米总长度3米=131米1米1米第一段第二段第三段图12.“面积”化类型例2.两人相约在8∶00至9∶00之间会面，并且先到者必须等候另一人20分钟方可离去。

如果两人出发是各自独立的，在8∶00至9∶00各时刻见面的可能性相等，求两人在约定的时间内会面的概率。

解：设两人分别在8:00之后的x 分钟和y 分钟到达见面地点，记A 为两人能成功会面这一事件。

要使两人能在约定的时间范围内会面，当且仅当|x-y |≤20分钟。

如图2正方形区域ω=｛（x ，y ）|0≤x ≤60，0≤y ≤60｝表示两人到达会面地点的所有可能结果形成的区域。

阴影部分的范围表示两人能在约定的时间内会面的结果形成的区域，所以两人在约定的时间内相遇的概率是：P （A ）=602-402602=59203.“体积”化类型例3.在棱长为3的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各个面的距离都不小于1的概率为多少？解：如图3所示，所有基本事件组成的区域就是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1组成的封闭几何体，则以正方体的中心为中心，棱长为1的小正方体围成的区域符合题中的要求，从而其概率P =127。

《几何概型》说课稿《几何概型》今天我说课的题目是几何概型，我将从教材分析，教学过程分析，教法学法分析，评价分析、板书设计五个方面来阐述。

一、教材分析：1、地位和作用：本节课是高中数学必修三第三章第三节几何概型的第一课时，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好几何概型可以有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。

2、教学的重点和难点：（1）重点：①了解几何概型的概念、特点；②会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。

（2）难点：如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件A的区域和试验的全部结果所构成的区域及度量。

3、教学目标：（1）知识与技能：①了解几何概型的概念②会用公式求解随机事件的概率。

（2）过程与方法：通过试验，将已学过计算概率的方法做对比，提出新问题，师生共同探究，引导学生继续对概率的另一类问题进行思考、分析，进而提出可行性解决问题的建议或想法。

（3）情感、态度与价值观：通过试验，感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

二、教法分析基于以上对本节课教学过程的分析，体现了本节课的教法是：采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过两组试验来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

三、教学过程分析：基于以上分析，本节课的教学过程我将分为五个环节：提出问题，引入新课；思考交流，形成概念；观察类比，推导公式；例题分析，推广应用；总结概括，加深理解。

1、提出问题，引入新课本节课理解起来很困难，特别是如何判断一个试验是否为几何概型，其概率如何计算对学生来说是个难点。

那么如何分散这些难点的呢？由于几何概型与古典概型既有共性（等可能性），又有本质上的区别，因此，我在本节课的开始设计了两组试验，试验的第一题是古典概型，稍加变化之后就是几何概型，它们表面上很相似，但实际上有本质的不同。

几何概型说课稿 Prepared on 22 November 2020《几何概型》说课稿（第一课时）各位老师：大家好!我今天说课的题目是《几何概型》，该内容选自于人教版普通高中课程标准实验教科书高中数学A版必修三，该教材一共分为三章，分别是算法初步、统计和概率。

而几何概型这一小节选自于该教材的第三章第三节。

该节内容课时安排为两个课时，本节课内容为第一课时。

下面我将从教材、教学目标、教法和学法、教学过程四个方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用本节内容是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是对古典概型内容的进一步拓展，学好此节内容对全面系统地掌握概率知识和对于学生辩证思想的进一步形成都具有良好的作用。

2、教学的重点和难点本课是一节概念新授课，不仅要把握好新课的学习，而且要与前面所学的古典概型很好的区分开来，因此把掌握几何概型的概念，及其两个重要特征、能判断某个事件是古典概型还是几何概型及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。

又由于要正确的运用几何概型的公式必须要学会正确的建立合理的几何模型来进行求解，所以我把该节课的教学难点设置为：在实际问题中如何正确建立合理的几何模型求解概率。

二、教学目标分析依据高中数学新课程标准的要求、本课教材的特点、学生的实际情况等，我认为这一节课要达到的三维目标可确定为：1．知识目标（1）通过具体例子理解几何概型的概念和掌握几何概型的概率公式；（2）会判别某种概型是古典概型还是几何概型；2、能力目标：（1）通过把古典概型的例子稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。

（2）通过实例培养学生把实际问题转化成数学问题的能力，让学生感知用图形解决概率问题的方法。

3、情感目标通过对几何概型的教学，培养学生独立思考探索的能力，让学生体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

人教版高中必修3(B版)3.3.1几何概型课程设计一、课程背景几何概型是高中数学必修课程的重要内容之一，也是初中数学学习中重要的过渡环节。

在高中课程中，几何概型的学习不仅有利于学生形成立体思维，还有助于他们理解和掌握解决实际问题的几何方法。

本课程主要是以建立学生对几何概型基本概念和方法的认识为主要目的，同时也要在实际问题中应用所学几何知识并使学生形成科学的思维方法和逻辑思维能力。

二、教材分析本课程所使用的教材为人教版高中必修3(B版)。

该教材对几何概型的教学内容进行了比较详细的描述，包括基本概念、基本定理、平面几何、空间几何等内容。

在本课程的教学过程中，将会结合教材中的内容，进行教学和辅导。

三、课程目标本课程的主要目标是：1.让学生掌握几何概型的基本概念和术语。

2.让学生掌握几何概型的基本定理和证明方法。

3.培养学生观察、分析、解决几何问题的能力。

4.培养学生科学的思维方法和逻辑思维能力。

四、课程内容和教学方法本课程的主要内容包括：几何概型的基本概念和术语、基本定理和证明方法、平面几何与空间几何等内容。

在教学过程中，将会采用以下教学方法：1.讲解法。

通过讲解教材内容，引导学生理解概念和定理，并且让学生能够掌握证明方法。

2.实例法。

通过实际问题引出几何概型的相关知识，让学生在解决实际问题的过程中掌握几何知识。

3.讨论法。

通过讨论教材上的例题或是学生提出的问题，让学生积极参与，提高他们的思维能力和分析能力。

4.实验法。

通过实验让学生在实践中感性认识几何知识，提高他们的实际操作能力。

五、课程评估本课程的评估方式主要包括课堂测试、作业评定、实验报告、考试等。

其中，考试是本课程的重要评估方式，在考试中将会设置选择题、填空题、解答题等不同考试题型，从而全面考察学生掌握几何概型的情况。

除了考试，本课程也将充分重视学生的学习兴趣、思维习惯、合作精神等方面的培养，从而全面评估学生的学习成绩。

六、教学资源本课程的教学资源主要包括教师教学PPT、教材、讲义、练习册、作业、实验器材等。

庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等。

用这种方法处理随机试验，称为几何概型.深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例时,这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征：(1）进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2）对G 内任意子集，事件“点取自g"的概率与g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与g 在G 中的位置、形状无关。

如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示（组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应）,那么事件A 的概率规定为：P(A ）=的测度的测度G g . 例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型,记事件“芝麻落在圆内"为A ，则P(A ）=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散 对于几何概型，随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g 的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积）,不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点(1）试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个。

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型。

辨析比较 几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个。

四、几何概型的计算公式几何概型中,事件A 的概率的计算公式如下:P(A ）=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度"成比例.误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关，而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1)几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积).典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起,有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息。

人教版高中数学必修3《几何概型》说课稿《几何概型》说课稿开本节课是人教版普通高中课程标准试验教科书数学（必修3）第三章第三节几何概型（第一课时）。

下面从四个方面来说说对这节课的分析和设计：一、教学背景分析：1、教材的地位和作用“几何概型”这一节是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是基本事件数从有限向无限的延伸。

这部分内容是新增加的内容，介绍几何概型主要是为更广泛地满足随机模拟的需要。

这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。

学好几何概型可以有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。

2、教材处理：根据学生的状况及新课程标准，对教材作了如下处理：开头的问题，设计成往正方形内撒豆问题，以便于学生更容易地抽象出几何概型的定义及其计算公式。

例题、习题的选用，尽可能地选用能更加激发学生思维，易于拓展的题目3、学情分析：我班学生基础一般，在古典概型向几何概型的过渡时学生应该会比较好地接受到，但对于如何建立具有实际背景的随机事件与几何区域的联系时，预计学生会有一些困难。

但只要引导得当，使学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，理解几何概型，完成教学目标，是切实可行的。

4、教学目标分析：根据本节课教材的特点、新课标教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面(知识与技能, 过程与方法, 情感态度与价值观)确定了教学目标．重视几何概型概念的形成过程和对概念本质的认识；强调几何概型的特点，培养学生对生活数学的抽象概括能力。

（1）、知识与技能：①、理解几何概型的定义、特点;掌握几何概型的概率计算公式：②、会区分古典概型与几何概型；③、学会将实际问题转化为几何概型问题来解决。

（2）、过程与方法：①、从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，通过撒豆问题，引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式，感受数学的拓展过程；②、通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。

几何概型题型剖析近年来，随着高考的改革，几何概型题型在高考中的比例也越来越大。

几何概型题型不仅考察了数学基本知识的掌握，更是考察考生的几何思维能力和解题能力。

下面，本文将从几何概型题型的定义、形式和解题技巧三个方面来进行剖析。

一、几何概型题型的定义几何概型题型是指几何学中基于一定条件下的形状和位置的问题。

通常是给定几何图形中的一些线段或角度的长度或度数，让考生推出其他未知数据或者几何图形的面积或体积等。

几何概型常常出现在高中数学中的平面几何和立体几何中。

二、几何概型题型的形式几何概型题型的形式比较多样，主要以图形为主要表现形式。

下面是几篇典型的几何概型题型：（1）直角三角形已知一个直角三角形的斜边长为10，一个锐角的对边长为6，求另外一个锐角的对边长。

（2）正方体正方体ABCD-EFGH中，A(-2,2,2)，B(0,0,2)，C(2,0,0)。

若直线AP过C，交线段BD于P，则点P的坐标为（a,b,c）,求a+b+c的值。

（3）平面内的问题已知两个三角形ABD，BCE（如图），且AD=BC，∠DAB=∠EBC，AD=1，BC=2，是否能够得出线段AC的长度大于2或者等于2或者小于2？（4）立体图形体积已知三棱锥ABCD-倾斜于底面的投影∠EAB=∠FBC=90°，若AB=2、BC=1.5，DE=FC，那么三棱锥ABCD的体积为多少？以上是几篇典型的几何概型题型，这些题目都要求考生要分析给定条件，找出相应的几何定理进行解题。

三、解题技巧要想在考试中顺利解决几何概型题型，考生需要掌握以下解题技巧：（1）思维缜密。

考生在解题的过程中需要注意数据的准确性，推理过程的合理性，概念的逻辑性，结果的合理性等等一系列问题。

这需要考生思维缜密，逻辑清晰。

（2）对给定条件进行分析。

考生要仔细阅读题目，对给定的条件进行仔细的分析。

在分析的过程中要注意图形的性质、数据之间的关系，静心思考，确定所需的未知量。

《几何概型》说课稿各位老师：大家好今天我说课的内容是必修3第三章第三节《几何概型.》，我从教材分析，学情分析，学法指导，教学过程，设计说明五个方面来对本节课进行教学设计。

一．教材分析1.教材地位与作用本节课是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，使概率的公理化定义更加完备。

尽管本节内容在课程标准中的要求仅为了解和会简单的应用，但蕴含的数形结合和数学建模的思想凸显了其重要性。

2.教学目标知识与技能：了解几何概型的两个特征，会识别几何概型，并能正确求解概率。

过程与方法：通过问题探究，动手实验，辨析异同，发现概念，学生体验“做数学”的乐趣和概念生成的过程。

学生对照古典概型，类比推理，能提出解决几何概型问题的可行性想法。

情感、态度与价值观：通过设置的故事情境，调动学生的兴趣，积极的进行自主探究，并进行合作交流。

让学生认识到数学与我们的生活息息相关，数学是有用的、是自然的、是清楚的，也是丰富多彩的。

3.重点难点重点：几何概型的两个特征，几何概型的识别和计算公式；难点：建立合理的几何模型求解概率。

二．学情分析学生的认知水平有了一定的基础，前面学习了随机事件的概率和古典概型，并且掌握了二元一次不等式表示的平面区域问题。

但学生的抽象思维能力还有待于进一步提高，因此在从古典概型向几何概型的过渡时，如何将问题的实际背景转化为“几何度量”，学生会有一些困难和疑惑，这就需要恰当的引导、合理的解释和明确的辨析。

三.学法指导（附导学案）本节课采用发现法教学和学案导学相结合的方法。

通过精心设计的导学案，以故事的形式展现问题，激发学生的求知欲。

学生不仅在课前自主的探究和预习，而且在课堂中通过动手实验，合作交流，发现问题，提倡学生扮演“老师”进行讲评，把课堂变成教师导演学生主演的数学学习活动场所。

我将学生的导学案附在后面，恳请各位老师给予指导。

四.教学过程数学教学是数学活动的教学，我将整个导与学的过程分为以下四个环节：1.创设情境，温故知新，2．探究实验，构建概念，3．例题分析，推广应用，4．巩固升华，总结概括。