几何概型分类题全

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．45【结果】C思路：将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+．故选：C ．2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．29【结果】B思路：如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路：对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。

概率的知识归纳与题型总结一、概率知识点框架图二、考试内容分析概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。

应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；三、题型分类、考点1 考查等可能．．．事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。

如果事件A包含的结果有m个，那么()mP An=。

这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。

求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。

测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答． （I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（110P =） （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE . （35E ξ=） 解：（1）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为1819110C C C ，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为131416C C C1011819110131416==∴C C C C C C P …………………………………………………………………（4分）（2）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2则157)0(1819110161718===C C C C C C P ξ157)1(181911017181213===C C C C C C C P ξ151)2(1819110121318===C C C C C C P ξ……………………………………………………………（8分）所以ξ的分布列为：……………………………………………………………………（10分）从而有5152151150=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………（12分）练习：A 、B 两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。

高一数学试题答案及解析1..如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是A．B．C．D．【答案】D【解析】设阴影部分的面积为，圆的面积，由几何概型的概率计算公式得，得.【考点】几何概型的概率计算公式.2.已知为全集，，，求：（1）；（2）.【答案】（1）=（2）=【解析】由已知易求得集合和集合，即可求得（1）、（2）的结果. 试题解析：由，（1）=（2）由或，故=【考点】集合的交、并集的应用.3.函数在区间上递减，则的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数的对称轴方程为，且在区间上递减，所以，即.【考点】二次函数的单调性.4.已知为锐角，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】已知为锐角,所以，又，所以，因此，故选择D.【考点】三角变换中的求值.5.已知ABC和点M满足，若存在实数使得成立，则= ( ) A．2B．3C．4D．5【答案】B.【解析】∵，∴为重心，根据重心的性质可知，，即.【考点】平面向量的运用.6.在等差数列{an }中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176【答案】B【解析】等差数列前n项和公式，．【考点】数列前n项和公式．7.设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是 ( )A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【答案】A【解析】因为平行于同一个平面的两条直线可能相交,也可能异面所以命题②不正确;垂直于同一个平面的两个平面有可能是相交的,所以命题③也不正确.故选A【考点】1、线面平行的性质与判定；2、线面垂直的判定与性质.8.已知的三个内角所对边长分别为，向量，，若∥，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意中向量共线可知满足坐标关系式为（a-c）(a+c)-b(a-b)=0,a -c+b-ab=0,进而得到角C的余弦值为，那么结合余弦定理可知角C的值为，选B.【考点】向量共线点评：主要是考查了向量共线以及解三角形的运用，属于基础题。

专题十一概率与统计【真题探秘】11.1随机事件、古典概型与几何概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机事件的概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.(3)理解古典概型及其概率计算公式.2019课标Ⅰ,6,5分古典概型排列与组合★★★2018课标Ⅱ,8,5分古典概型组合2018课标Ⅰ,10,5分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积2.古典概型2017课标Ⅰ,2,5分与面积有关的几何概型圆的面积3.几何概型2016课标Ⅰ,4,5分与长度有关的几何概型(4)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(5)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (6)了解几何概型的意义2016课标Ⅱ,10,5分与面积有关的几何概型随机模拟分析解读本节是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.破考点练考向【考点集训】考点一随机事件的概率1.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为()A.13B.12C.23D.56答案D2.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=()A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案A考点二古典概型1.(2020届河南百校联盟9月联合检测,4)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理条例》正式实施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类,没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶,若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶,则该居民会被罚款和行政处罚的概率为()A.13B.23C.14D.34答案D2.(2019江西南昌一模,6)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19答案B考点三几何概型1.(2020届贵州贵阳8月月考,7)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12答案B2.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,3)已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.12B.14C.16D.18答案B炼技法提能力【方法集训】方法1古典概型概率的求法1.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为()A.13B.14C.16D.112答案B2.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A.12B.23C.14D.13答案D方法2几何概型概率的求法1.(2020届河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asin x在R上单调递增的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C2.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A.1-π4B.π12C.π4D.1-π12答案A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一古典概型(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案C考点二几何概型1.(2018课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A2.(2017课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4答案B3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B4.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn答案CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一古典概型1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案C2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.答案7103.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.答案310考点二几何概型1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.14-12πC.12-1πD.12+1π答案 B2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=√6+x -x 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 . 答案593.(2015福建,13,4分)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f(x)=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .答案512C 组 教师专用题组考点一 古典概型1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78答案 D2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案563.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 答案564.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= . 答案 85.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41+C 32C 102=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32+C 32+C 42C 102=415,P(X=1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以,随机变量X 的分布列为X 01 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.6.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟)25 3035 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.2 0.3 0.4 0.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1+T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)+P(T 1=30,T 2≤40)+P(T 1=35,T 2≤35)+P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1+T 2>70)=P(T 1=35,T 2=40)+P(T 1=40,T 2=35)+P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P(A )=0.91.考点二 几何概型1.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≥12”的概率,p 2为事件“|x-y|≤12”的概率,p 3为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2 D.p 3<p 2<p 1答案 B2.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx 与圆(x-5)2+y 2=9相交”发生的概率为 . 答案34【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届陕西百校联盟九月联考,4)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花的故事.她们分别是中国古代的四大美女,某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为()A.13B.712C.512D.12答案B2.(2020届四川成都青羊石室中学10月月考,9)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.136B.116C.18D.16答案D3.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34,某人猜测事件A∩B发生,则此人猜测正确的概率为()A.1B.12C.14D.0答案C4.(2019河北石家庄3月教学质量检测,9)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为()A.16B.29C.518D.19答案B5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中第一次素质测试,8)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行.长三角城市群包括上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.2764B.916C.81256D.716答案B6.(2020届四川石室中学高三开学考试,7)一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”,如图是由三个半圆构成的图形,最大半圆的直径为6,若在最大的半圆内随机取一点,该点取自阴影部分的概率为49,则阴影部分图形的“周积率”为()A.2B.3C.4D.5答案B7.(2019山西阳泉二模,8)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图1).类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形内的概率是()图1 图2A.2√1313B.413C.2√77D.47 答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西静乐第一中学高三月考,15)如图所示,阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=2及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .答案 18-112π9.(2018广东江门一模,16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为 .答案 0.44。

几何概型什么是几何概型？几何概型是数学中一个重要的概念，它涉及到几何图形的分类和属性描述。

通过几何概型，我们可以更好地理解和研究各种几何图形之间的关系，并推导出它们的性质和定理。

几何概型的基本元素在几何概型中，有一些基本的元素是不可或缺的，它们包括：1.点：点是几何图形的基本单位，通常用大写字母表示，例如A、B、C等。

2.直线：直线是由无数个点组成的无限延伸的对象，通常用一个小写字母表示，例如l、m、n等。

3.线段：线段是直线上两个点之间的有限长度部分，通常用两个点的名称表示，例如AB、CD等。

4.角：角是由两条射线共享一个端点组成的图形，通常用大写字母表示，例如∠ABC。

5.圆：圆是由一条封闭的曲线所围成的图形，通常用大写字母表示，例如O。

这些基本元素是几何概型中最基本的构成部分，其他更复杂的几何图形都可以由它们组合而成。

几何概型的分类根据几何图形的性质和特点，几何概型可以分为不同的分类。

以下是一些常见的几何概型分类：1.平面几何：平面几何是研究二维几何图形的概型，它考虑的是在一个平面内的图形和属性。

例如，研究点、线段、角以及平行、垂直等关系。

2.立体几何：立体几何是研究三维几何图形的概型，它考虑的是空间内的图形和属性。

例如，研究三角形、立方体、球体等图形的体积、表面积等。

3.解析几何：解析几何是利用数学的代数方法来研究几何图形的概型，它将几何问题转化为代数方程的问题。

例如，通过坐标系和方程来描述和分析几何图形。

4.非欧几何：非欧几何是指与欧氏几何不同的几何体系，它研究的是不满足欧氏公设的几何图形。

例如，研究超几何、椭圆几何、双曲几何等。

这些不同的几何概型分类，为我们研究和理解各种几何图形提供了不同的视角和方法。

几何概型的应用领域几何概型在众多学科和领域中都有广泛应用，以下是一些典型的应用领域：1.建筑设计：在建筑设计中，几何概型被广泛用于规划建筑物的形状、结构和布局。

通过几何概型，建筑师可以分析和优化建筑物的几何属性，确保其稳定性和美观性。

高二数学知识点总结(精选15篇)高二数学知识点总结1第一章：解三角形。

掌握正弦余弦公式及其变式和推论和三角面积公式即可。

第二章：数列。

考试必考。

等差等比数列的通项公式、前n 项和及一些性质。

这一章属于学起来很容易，但做题却不会做的类型。

考试题中，一般都是要求通项公式、前n项和，所以拿到题目之后要带有目的的去推导。

第三章：不等式。

这一章一般用线性规划的形式来考察。

这种题一般是和实际问题联系的，所以要会读题，从题中找不等式，画出线性规划图。

然后再根据实际问题的限制要求求最值。

选修中的简单逻辑用语、圆锥曲线和导数：逻辑用语只要弄懂充分条件和必要条件到底指的是前者还是后者，四种命题的真假性关系，逻辑连接词，及否命题和命题的否定的区别，考试一般会用选择题考这一知识点，难度不大;圆锥曲线一般作为考试的压轴题出现。

而且有多问，一般第一问较简单，是求曲线方程，只要记住圆锥曲线的表达式难度就不大。

后面两到三问难打一般会很大，而且较费时间。

所以不建议做。

这一章属于学的比较难，考试也比较难，但是考试要求不高的内容;导数，导数公式、运算法则、用导数求极值和最值的方法。

一般会考察用导数求最值，会用导数公式就难度不大。

高二数学知识点总结2一、集合、简易逻辑（14课时，8个）1、集合；2、子集；3、补集；4、交集；5、并集；6、逻辑连结词；7、四种命题；8、充要条件。

二、函数（30课时，12个）1、映射；2、函数；3、函数的单调性；4、反函数；5、互为反函数的函数图象间的关系；6、指数概念的扩充；7、有理指数幂的运算；8、指数函数；9、对数；10、对数的运算性质；11、对数函数。

12、函数的应用举例。

三、数列（12课时，5个）1、数列；2、等差数列及其通项公式；3、等差数列前n项和公式；4、等比数列及其通顶公式；5、等比数列前n项和公式。

四、三角函数（46课时，17个）1、角的概念的推广；2、弧度制；3、任意角的三角函数；4、单位圆中的三角函数线；5、同角三角函数的基本关系式；6、正弦、余弦的诱导公式；7、两角和与差的正弦、余弦、正切；8、二倍角的正弦、余弦、正切；9、正弦函数、余弦函数的图象和性质；10、周期函数；11、函数的奇偶性；12、函数的图象；13、正切函数的图象和性质；14、已知三角函数值求角；15、正弦定理；16、余弦定理；17、斜三角形解法举例。

考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.（2012·湖北高考理科·Ｔ8）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）(A)21-π(B)112-π(C)2π(D)1π【解题指南】本题考查几何概型，解答本题的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再代入概率公式求解.【解析】选A. 设OA=2, 则扇形OAB 的面积为π.阴影部分的面积为:1111()2[()2]24242πππππ-⨯+---⨯=-,由P 2p ππ-=可知结果. 2.（2012·湖北高考文科·Ｔ10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）(A)112-π (B)1π （C ）21-π （D ）2π【解题指南】本题考查几何概型，解答本题的关键是充分利用图形的特征，求出阴影部分的面积，再代入概率公式求解.【解析】选C. 设OA=2, 则扇形OAB 面积为π.阴影部分的面积为:1111()2[()2]24242πππππ-⨯+---⨯=-,由P 2p ππ-=可知结果.3.（2012·北京高考文科·Ｔ3）与（2012·北京高考理科·Ｔ2）相同设不等式组表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解题指南】分别求出平面区域D 及到原点距离大于2的点所对应区域的面积，作比即可求出概率.【解析】选D.平面区域D 的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分（不含圆弧边界），其面积为4-π，所以所求概率为44π-.4.（2012·辽宁高考文科·Ｔ11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )(A)16 (B)13 (C)23 (D)45【解题指南】设其中一段长为x cm ，则另一段长为(12)x -cm ，其中012x <≤， 利用(12)20x x ->求得x 的取值范围，利用几何概型求得概率.【解析】选C. 设其中一段AC 长为x cm ，则另一段BC 长为(12)x -cm ，其中012x <≤O 2由题意(12)20210x x x ->⇒<<，则点C 的取值长度为8cm ，故概率为82123=. 5.（2012·辽宁高考理科·Ｔ10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ）(A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【解题指南】设其中一段长为x cm ，则另一段长为(12)x -cm ，其中012x <≤， 利用(12)32x x -<求得x 的取值范围，利用几何概型求得概率.【解析】选C. 设其中一段AC 长为x cm ，则另一段BC 长为(12)x -cm ，其中012x <≤，由题意(12)3204812x x x x -<⇒<<<≤或，则点C 的取值长度为4+4=8cm ，故概率为82123=. 6.（2012·安徽高考文科·Ｔ10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45【解题指南】先将所有结果一一列出，再根据古典概型即可求出两球颜色为一白一黑的概率.【解析】选B .1个红球，2个白球和3个黑球分别记为112123,,,,,a b b c c c ， 从袋中任取两球有,共15种；满足两球颜色为一白一黑的有6种，概率等于62155=.二、填空题7. （2012·江苏高考·Ｔ6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .【解题指南】从等比数列的通项公式和等可能事件的概率两方面处理.【解析】这十个数是234567891,3,(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3),(3)---------，所以它小于8的概率等于63105=. 【答案】358.（2012·浙江高考文科·Ｔ12）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为2的概率是___________. 【解题指南】古典概型问题,该两点间的距离为2的事件可列举得出. 【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为142542105C C ==.【答案】259.（2012·新课标全国高考理科·T15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1 000，250），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为【解题指南】由正态分布的意义求得三个元件使用寿命超过1 000小时的概率，然后将部件的使用寿命超过1 000小时的可能情况列出，利用相互独立事件的概率公式求解.【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然()()()12P A P B P C===，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为()AB AB AB C++，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为1111111322222228p⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.【答案】3 8三、解答题10.（2012·江西高考文科·Ｔ18）如图所示，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点.（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率.（2）求这3点与原点O共面的概率.【解题指南】把从6个点中取3个点的情况全部列举出来，然后找出（1）（2）情况中所包含的基本事件的个数，把比值求出来得所求概率.【解析】从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有121122121122,,,A A B A A B A A C A A C ，共4种；y 轴上取2个点的有121B B A ，122B B A ，121B B C ，122B B C ，共4种；z 轴上取2个点的有121C C A ，122C C A ，121C C B ，122C C B ，共4种；所选取的3个点在不同坐标轴上的有111112121122,,,A B C A B C A B C A B C ，211212,A B C A B C ，221A B C 222A B C ，共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.（1）选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：111222,A B C A B C ，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 11212010p ==.（2）选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：121122121122121122,,,,,A A B A A B A A C A A C B B A B B A ，121122121122121122,,,,,B B C B B C C C A C C A C C B C C B ，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 22123205p ==.11.（2012·山东高考文科·Ｔ18）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【解题指南】（I ）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II ）再放入一张标号为0的绿色卡片，列出基本事件，然后找出这两张卡片颜色不同且标号之和小于4所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2， 红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1， 红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.12.（2012·天津高考文科·Ｔ15）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. （I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率.【解题指南】按抽取的比例计算抽取的学校数目；用列举法、古典概率公式计算概率.【解析】（I ）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.（II ）（1）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为123,,A A A ，2所中学分别记为45,A A ，1所大学记为6A ，则抽取2所学校的所有可能结果为1213141516{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A 23242526{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A ，343536{,},{,},{,}A A A A A A ，4546{,},{,}A A A A ，56{,}A A ，共15种.（2）从这6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B ）的所有可能结果为121323{,},{,},{,}A A A A A A ，共3种，所以31()155P B ==. 13. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。

2025届江淮十校高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．21552．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.3．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．124．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)5．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．236．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．637．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 8．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面12．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( ) A ．1B ．2-C ．1-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ9）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A. 14 B. 12C. 34D. 78【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后4秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立,而满足要求的是两串彩灯第一次闪亮的时刻相差不超过2秒.【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是123164，故选C.2.（2013·安徽高考文科·Ｔ5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）A.23B.25C. 35D.910【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑，先组合再求概率。

【解析】选D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率2313536=22=1010C P C ?；当甲、乙两人都被录用时的概率132353=10C P C =，所以所求概率为12369+P =101010P P =+=。

3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A. 12B.13C.14D. 16【解析】选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数有6种，取出的2个数之差的绝对值为2有2种，则概率3162==P . 4. （2013·陕西高考理科·Ｔ5）如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 ( )A ． 14π-B. 12π-C ． 22π-D. 4π【解题指南】几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基本事件所占有的面积的比值求出该几何概型的概率.【解析】选A.由题设可知，矩形ABCD 的面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-，故所求概率为.41222ππ-=-5.（2013·江西高考文科·Ｔ4）集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）A. 23 B. 12 C. 13 D.16【解题指南】属于古典概型，列举出所有的结果是关键.【解析】选C.所有的结果为（2,1），（2,2），(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，满足所求事件的有2种，所以所求概率为13.6. （2013·湖南高考文科·Ｔ9）.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为21，则ADAB=（ ）A.12B.14C.2 D.4【解题指南】本题的关键是找出使△APB 的最大边是AB 的临界条件，首先是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD ，最后分别以A 、B 为圆心以AB 为半径作圆弧交CD 于F 、E ，当EF=21CD 时满足题意。

Ａ． ４
ｌ Ｃ． — Ｔ
—
—
Ｂ． — ７ ｒ －２
—
、
与 长 度 有 关 的几 何 概 型
＇
例１ （ ２ ０ １ ２ 年辽宁卷 ） 在长为 １ ２ ｃ ｍ的线 段Ａ 曰 上任 取一点ｃ 。现作一矩形 ， 邻边长分别等于线段Ａ Ｃ ， Ｃ Ｂ 的长 ， 则该矩形面积大于２ ０ ｃ ｍ ２ 的概率 为（ ）
仃
件的概率公式 ，其次要学会构造随机事件对应 的几 何图形 ， 利用 图形 的几何度量来求随机事件的概率。 下面分类举例说 明几 何概 型在 高考 中的考查类型及 其相应的解法。
一
例 ３ （ ２ ０ １ ２ ＂ 北 京 卷 ） 设 不 等 式 组 ｛ ｉ ’ 表 示
的平面区域为Ｄ。在区域Ｄ内随机取一个点 ， 则此 点 到坐标原点的距离大 于２ 的概 率是 （ ）
等腰三角形 ，
０￣ 所 以 ＡＣ Ｃ ， ：— １ ８ ０ ￣３ ７ ０ 。 ， 所 以 Ｃ ， Ｃ 曰 ：
－ —
：
而Ｓ １ ＋ Ｓ ３ 与Ｓ ２ ＋ Ｓ ３ 的和恰好 为
一
２
个半径为ａ 的圆的面积 ， 即Ｊ ｓ ＋ ｓ ３ ＋ ｓ ２ ＋ ｓ ３ ＝ ７ ｒ ０ ≈ ②。 由①一 ②得ｓ ， ＝ ｓ ；
（ 作者单位 ： 河 南省 漯 河 市 第 四 高级 中学 ）
故 由 几何 概 型 概 率 公 式 可 得 ，所求 概 率 Ｐ ＝
ｓｌ ＋５ ２ ＋ Ｓ３ ＋Ｓ４ ＝Ｓ ｍＢ ＝— ４仃（ ２ ｎ ） ＝
仃 ，
例５ 在Ｒ ｔ ＡＡ Ｂ Ｃ 中， 厶４ ＝ ３ ０ 。 ，过直角顶点ｃ 作射 线Ｃ 交线段Ａ 于 ， 求使得 Ｉ Ａ ＭＩ ＞ Ｉ Ａ Ｃ Ｉ 的概率 。 解： 如图设事件Ｄ 为“ 作 射线 Ｃ Ｍ， 使得 Ｉ Ａ ＭＩ ＞ ＡＣ Ｉ Ｉ ” ， 在Ａ Ｂ上 取 点 使 ｃ 使 Ｉ ＡＣ ， ｌ ＇因 为 △ＡＣ Ｃ 是 Ａ Ｃｔ Ｍ

2022年数学文高考真题分类汇编专题07概率与统计1.【2022高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.1125B.C.D.3236【答案】A【解析】考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.2.【2022高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A.7533B.C.D.108810【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为故选B.考点：几何概型.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．3.[2022高考新课标Ⅲ文数]某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C．下面叙述不正确的是（）40155，408A.各月的平均最低气温都在0C以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20C的月份有5个【答案】D【解析】考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．学优高考网4.[2022高考新课标Ⅲ文数]小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A.8111B.C.D.1581530【答案】C【解析】试题分析：开机密码的可能有(M,1),M(,2)M,(,3)M,(，M,4),(I,5)I,(,1)I,((,,4I2)),,((,I,53)(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N, 5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是选C．考点：古典概型．1，故15【解题反思】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)m得出的结果才是正确的．n5.【2022高考山东文数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.140【答案】D【解析】考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.6.【2022高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是率为（）（A）11，甲获胜的概率是，则甲不输的概2356（B）25（C）16（D）13【答案】A【解析】试题分析：甲不输概率为115.选A.236考点：概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.7.【2022高考北京文数】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A.1289B.C.D.552525【答案】B考点：古典概型【名师点睛】如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式P(A)但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式P(A)m求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，nm求概率.学优高考网n8.【2022高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.【名师点睛】本题将统计与实际应用结合，创新味十足，是能力立意的好题，根据表格中数据分析排名的多种可能性，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征.9.【2022高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】考点：统计分析【名师点睛】本题将统计与实际情况结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论做到不重复不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.学优高考网10.【2022高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则oglab为整数的概率=.【答案】【解析】16考点：古典概型.【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，4因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为A4，而满足题意的只有2个，由概率公式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．11.【2022高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】161.6【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有C246种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为考点：.古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.12.【2022高考上海文科】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.13.【2022高考新课标1文数】（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数2420221060161718192022更换的易损零件数记某表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19,求y与某的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【答案】（I）y【解析】,某19,3800(某N)（II）19（III）19,某19,500某5700（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.学优高考网14.【2022高考新课标2文数】某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数保费0123452a0.85aa1.25a1.5a1.75a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数频数060150230330420510（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求P(B)的估计值；（III）求续保人本年度的平均保费估计值.【答案】（Ⅰ）由公式求解.【解析】60503030求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算200200（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3，200故P(B)的估计值为0.3.(Ⅲ)由题所求分布列为：保费频率0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.05调查200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101.1925a，因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.考点：样本的频率、平均值的计算.【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题.15.[2022高考新课标Ⅲ文数]下图是我国2022年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2022年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi9.32，tiyi40.17，i1i1772(yy)0.55，7≈2.646.ii17参考公式：相关系数r(tt)(yy)iii1n(tt)(y2ii1i1nn，iy)2b中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：回归方程yab(ti1nit)(yiy)i(ti1nybt．，at)2【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．【解析】考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r公式求出r，然后根据r的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．学优高考网16.【2022高考北京文数】（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.【解析】所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w至少定为3．考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.【名师点睛】1.用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.17.【2022高考山东文数】（本小题满分12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为某，y.奖励规则如下：①若某y3，则奖励玩具一个；②若某y8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（）【解析】5.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.16所以，PB63.168则事件C包含的基本事件共有5个，即1,4,2,2,2,3,3,2,4,1,所以，PC因为5.1635,816所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.考点：古典概型学优高考网【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题较易，能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.18.【2022高考四川文科】（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.【答案】（Ⅰ）a0.30；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．【解析】试题分析：（Ⅰ）由高某组距=频率，计算每组中的频率，因为所有频率之和为1，计算出a的值；（Ⅱ）利用高某组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率某样本总数=频数，计算所求人数；（Ⅲ）将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤某<2.5，再进行计算.试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08某0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5某a+0.5某a，解得a=0.30.考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。

ｌ 竺
完 成任 务的 概率 分别 为 少 ， 。 Ｐ ， 设 Ｐ ， 。 Ｐ ，。假 Ｐ ， 互 不 相等 ， 且假 定各人 能否 完成 任务 的事件 相互独 立．
（ ）如果按 甲最 先 、 １ 乙次 之 、 丙最 后 的顺 序派 人 ，
遘 会辏
例几概 的解法 析 何型求 方
Ｘ
『
机载 体． 文就 如 何 吃 透 教 材 而学 会转 化 ， 理 分 类 本 合
而求 得概率 ， 例析 如下 ． １ 吃透教 材 ， 学会转 化 １ ）弄 清相 关概 念
１
２
３
Ｐ
ｑ １
（ １一 ｑ ） ０ １ ｇ
（ ～ ｑ ） １～ｑ ） １ １（ ２
所需 派出 的人员 数 目的均值 （ 数学 期望 ）
例 １ 某 人 午 觉 醒 来 ， 现 表停 了 ， 打 开 收 音 发 他
（ 一 Ｐ ） Ｐ１ １ ４ （ 一ｇ ） ｐ 一ｑ ） ２ ２ （ 一ｑ ） － １ １ （ ｚ ≥ ２
机 ， 听 电台报 时 ， 想 求他 等 待 的时 间 不 多于 １ ｎ的 ０ ｍｉ
概率 ． 这是本 小 节课本 中唯 一 的一 道 例题 ， 看 平淡 无 初
几何 概 型是新课 程增 加 的 知识 模块 ， 是新 教 材必 修 ３中 的 主要 内 容 之一 ， 标 要 求 “ 步 体 会 几何 概 课 初 型的意 义 ， 进行 简单 的几何 概 率计 算 ” 这并 不 意 味 会 ，
着在课 堂教 学 中简 单 化 、 械化 就 能 达 到学 习 目的 ， 机
构成 事件 Ａ 的 区域 长度 （ 面积 或体积 ） 试验 的全 部结果 所构 成 的区域长 度 （ 面积或 体积 ） ‘

考点47 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.（2011·广东高考理科·Ｔ6）甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） （A ）12 （B ）35 （C ）23 （D ）34【思路点拨】本题利用独立重复试验及对立事件的概率公式可求解.【精讲精析】选 D.由题意知，乙队胜的概率为412121=⨯，由对立事件概率公式得，甲队获胜的概率为43411=-=P .故选D.2．（2011·安徽高考文科·Ｔ9）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ） （A ）110 （B ）18 （C ）16 （D ）15【思路点拨】基本事件总数是46C =15，观察可得构成3个矩形.【精讲精析】选D. 基本事件总数是46C =15，观察可得构成3个矩形.所以是矩形的概率为.51153= 3.（2011·福建卷理科·Ｔ4）与（2011·福建卷文科·Ｔ7）相同如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ） (A)14 (B)13 (C)12 (D)23【思路点拨】本题属几何概型问题，所求概率转化为△ABE 与矩形ABCD 的面积之比.【精讲精析】选C. 由题意知，112.2∆⋅=⋅ABE ABCD AB BCS P S AB BC 矩形＝＝ 4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ4）与（2011·新课标全国高考文科·Ｔ6）相同有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【思路点拨】甲、乙两位同学可以同时参加3个兴趣小组中的1个，参加每个小组的可能性均为13，可以利用排列组合和独立事件的概率求法来计算所求概率.【精讲精析】选A. 先从3个兴趣小组中选1个，有133C =种方法；甲、乙两位同学都参加这个兴趣小组的概率为111.339⨯= 故这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为12311().33C = 5.（2011·辽宁高考理科·Ｔ5）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B ︱A)=（ ） (A)18 (B)14 (C)25 (D)12【思路点拨】本题主要考查条件概率及其运算．【精讲精析】选B ．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，共有10个基本事件：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）．事件A 发生共有4个基本事件：（1，3），（1，5），（3，5），（2，4）．事件B 发生共有1个基本事件：（2，4）．事件A ，B 同时发生也只有1个基本事件：（2，4）．根据条件概率公式得，()1(|)()4==P AB P B A P A . 6．（2011·陕西高考理科·T10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ） （A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16【思路点拨】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．【精讲精析】选D.甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466A A ⋅（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有33556A A ⋅⨯（种），所以33554466616A A P A A ⋅⨯==⋅． 7.（2011·浙江高考理科·Ｔ9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机地抽取并排摆放在图书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ） （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45【思路点拨】古典概型基本问题,可从反面来考虑.【精讲精析】选B.基本事件总数为55120A =,同一科目中有相邻情况的有4242322424232272A A A A A A A +-=个,故同一科目都不相邻的概率是1207221205-=.8.（2011·浙江高考文科·Ｔ8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ） （A ）110 （B ）310 （C ）35 （D ）910【思路点拨】古典概型问题.【精讲精析】选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球共有3510C =个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1911010-=.二、填空题9.（2011·江西高考理科·Ｔ12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 .【思路点拨】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率.【精讲精析】记“看电影”为事件A ，“打篮球”为事件B ，“不在家看书”为事件C.2211()()131241144116311341616π⋅π⋅=-=π⋅π⋅∴+=+=.P(A)=1-=，P(B)=，P(C)=P(A)P(B)【答案】3161 10．（2011·湖南高考理科·T15）如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则 （1）P(A)=______；（2）P （B|A ）=______. 【思路点拨】本题主要考查面积型几何概型.【精讲精析】关键是计算出正方形的面积和扇形的面积. 【答案】214π 11.（2011·湖南高考文科·T15）已知圆C ：，y x 1222=+直线l ：4x+3y=25. （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为_________；（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________. 【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和几何概型.【精讲精析】（1）1222=+y x 的圆心(0,0)到直线4x+3y=25的距离为：d=534|250304|22=+-⨯+⨯.（2）作一条与4x+3y=25平行而且与4x+3y=25的距离为2的直线交圆于A ，B 两点，则，A C B ，AB CB CA 6032||,32||||=∠∴===6136060==∴ 概率. 【答案】（1）5 （2）1612.（2011·福建卷理科·Ｔ13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______.【思路点拨】分别求出5从个球中任取2个球的方法数和从中取一红球一黄球（颜色不同）的方法数，所求概率为两者之比.【精讲精析】由题意知，从5个球中随机取出2个球共有2510C =种不同取法，而取出的球颜色不同共有11326C C =种不同取法，故所取出的2个球颜色不同的概率为11322563.105===C C P C 【答案】3513.（2011·江苏高考·Ｔ5）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______.【思路点拨】本题考查的是古典概型的概率计算，解题的关键是找出总的基本事件个数和其中一个数是另一个的两倍所包含的事件个数.【精讲精析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6个基本事件，其中一个数是另一个的两倍的有（1,2），（2,4）两个基本事件，所以其中一个数是另一个的两倍的概率是2163=. 【答案】13三、解答题14.（2011·福建卷文科·Ｔ19）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c 的值； (II)在（I ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.【思路点拨】（Ⅰ）由等级系数为4和5的件数可求得频率,b c 的值，再由频率和为1求得a 的值; （Ⅱ）此问属于求古典概型的概率问题，用列举法可求.【精讲精析】（Ⅰ）由频率分布表得0.20.451++++=a b c ，即0.35++=a b c ， 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以30.15.20==b 等级系数为5的恰有2件，所以20.1.20==c 从而0.350.1=--=a b c ，所以0.1,0.15,0.1.===a b c （II ）从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，所有可能情况为：12131112{,},{,},{,},{,}x x x x x y x y ，232122{,},{,},{,},x x x y x y 313212{,},{,},{,}x y x y y y .设事件A 表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y ，共4个.又基本事件的总数为10,故所求的概率4()0.4.10==P A 15.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为2,2,494,94102,102.,t t t y <≤<-=⎨⎪≥⎧⎪⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润. 【思路点拨】第（Ⅰ）问分别用A 配方、B 配方生产的产品中优质品的频率来估计概率，第（II ）问，用B 配方生产的一件产品的利润大于0时即质量指标94t ≥时，求94t ≥时的频率作为概率，生产的100件产品中平均一件的利润为9494102102(2)24t t t <≤<≥-⨯+⨯+⨯频率频率频率. 【精讲精析】（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为100822+=0.3，所以用A 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为1001032+=0.42， 所以用B 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.（II ）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率相当于频率t ≥94的概率,由试验结果知， t ≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润为()[]4422542-41001⨯+⨯+⨯⨯=2.68（元）. 16.（2011·山东高考文科·Ｔ18）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率. 【思路点拨】（I ）本题考查古典概型，要将基本事件都列出，然后找出2名教师性别相同所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II ）从报名的6名教师中任选2名，列出基本事件，然后找出2名教师来自同一学校所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.【精讲精析】(I) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49. （II ）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、 (甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、 (乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种， 所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62155=. 17．（2011·湖南高考文科T18）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关.据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160. （Ⅰ）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表（II ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率.【思路点拨】本题考查频率分布表的理解和求概率.兼顾考查了对概率，频率关系的理解，频率反映概率，频率不是概率，概率是通过频率体现的.频率和概率最大的特性是和均为1.而第二问必须把发电量、降雨量和概率的关系联系起来.【精讲精析】（I ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为II （）P (“("132320202010P ++=发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=”)故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310． 18.（2011·江西高考文科·Ｔ16）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.（1）求此人被评为优秀的概率； （2）求此人被评为良好及以上的概率.【思路点拨】首先将所有情况一一列举出来，共有10种情况，结合题意可得此人被评为优秀和被评为良好及以上的概率.【精讲精析】将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4，5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345），可见共有10种，令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则（1）P(D)=110. （2）P(E)=35,P(F)=P(D)+P(E)=710.19.（2011·陕西高考文科·T20）如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；（Ⅱ）分别求通过路径1L 和2L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；（Ⅲ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【思路点拨】（Ⅰ）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（Ⅱ）根据频率的计算公式计算；（Ⅲ）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．【精讲精析】（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，∴用频率估计相应的概率为0.44.（Ⅱ）选择1L 的有60人，选择2L 的有40人， 故由调查结果得频率为：（Ⅲ）用1A ，2A 分别表示甲选择1L 和2L 时，在40分钟内赶到火车站；用1B ，2B 分别表示乙选择1L 和2L 时，在50分钟内赶到火车站．由（Ⅱ）知P(A 1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A 2)=0.1+0.4=0.5， P(A 1)> P(A 2)，∴甲应选择路径1L ；P(B 1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P （B 2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P （B 2）＞P （B 1）， ∴ 乙应选择路径2L .20.（2011·天津高考文科·Ｔ15）编号分别为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 分（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人．（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率． 【思路点拨】（Ⅰ）分别按区间范围列举出人数；（Ⅱ）用列举法、古典概率公式计算概率.【精讲精析】（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B == 21.（2011·北京高考文科·T16）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,,n x x x 的平均数） 【思路点拨】（Ⅰ）代入平均数、方差公式进行计算；（Ⅱ）先求出基本事件空间包含的基本事件总数，再求出所求事件包含的基本事件数，最后求概率.【精讲精析】(Ⅰ)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学植树的棵数是8，8，9，10，所以平均数为889103544x +++==； 方差为2222213535353511[(8)(8)(9)(10)]4444416s =-+-+-+-=.（Ⅱ）记甲组四名同学为1234,,,A A A A ，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为1234,,,B B B B ，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：1112131421222324(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B A B A B ，甲组 乙组9 9 0 X 8 9 1 1 1 0- 11 - 3132333441424344(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B A B A B .用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是14243242(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B ,故所求概率为41()164P C ==.。

构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度___面__积__或__体__积____.
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有_无__限__多__个_； (2)等可能性：每个结果的发生具有_等__可__能__性__. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机 事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤 是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的 意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频 率fn(A)＝MN 作为所求概率的近似值.
跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动， 则此点落在正方体内部的概率为
A.6π
B.32π
C.π3
√D.23π3
解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球 的直径是正方体的体对角线长，
故球的半径 R＝ 23，球的体积 V2＝43π× 233＝ 23π， 则此点落在正方体内部的概率 P＝VV12＝23π3.
√4－π
D. 4
123456
题组三 易错自纠 5.在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝_3__. 解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 0<m≤2 时，由题意得26m＝65，解得 m＝2.5，矛盾，舍去. 当 2<m<4 时，由题意得m－6－2＝56，解得 m＝3.故 m＝3.
件 A＝“y0<2x0”，那么事件 A 发生的概率是

高二数学知识点归纳1已知函数有零点（方程有根）求参数取值常用的方法1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。

2、分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决。

3、数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。

高二数学知识点归纳21、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2、几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3、几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等、4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。

这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。

因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。

下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

高二数学知识点归纳3数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

2015年高考数学分类讲解：几何概型主编：宁永辉第一部分：时间长度概型一、时间长度概型的概率计算：时间长度概型的概率=所求事件所占用的时间长度÷整体事件所占用的时间长度；二、时间长度概型经典题型讲解：例一：某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车的时间不超过3分钟的概率为（ ） A.53 B.54 C.52 D.51 【解析】：整体事件占用的时间长度：5分钟；所求事件占用的时间长度：3分钟；所以：他候车的时间不超过3分钟的概率53=P 。

【答案】A跟踪训练一：某路公共汽车每5分钟发车一次，公共汽车在A 站停2分钟，则一个乘客随机来到A 站立马可以上车的概率为 。

【解析】：整体事件占用的时间长度：5分钟；所求事件的时间长度：2分钟；所以：一个乘客随机来到A 站立马可以上车的概率为52=P ； 错误答案：很多人认为整体事件的时间长度为5分钟＋2分钟等于7分钟。

可学生需要看清楚的是公共汽车每5分钟发车一次，当前一辆公共汽车进站的时刻，5分钟后一辆公共汽车就会进站，所以当前一辆公共汽车停留2分钟离开的时候，3分钟后后一辆公共汽车就会进站，总的时间长度应该为5分钟。

【答案】：52 例二：甲乙两人约定下午5:00-6:00来某公园见面，提前约定先来的人等候后来的人10分钟便自行离开，甲到达公共汽车站的时刻为5:30，则甲乙可以见面的概率为 。

【解析】：本题的重点在于乙到来的时刻不确定。

设：乙到来的时刻为x ；整体事件满足：00:600:5≤≤x ，时间长度为60分钟；所求事件满足：乙到来的时刻与甲到来的时刻之间的时间差为10分钟之内，甲乙两人今天才可以见面；所以：乙带来的时间在40:520:5-这个时间内；时间长度为20分钟； 所以：甲乙可以见面的概率为：316020==P 。

【答案】31。

跟踪训练二：甲乙两人约定今天下午5:00-7:00见面，先到的人等候后到人20分钟之后自行离开。

二元模型几何概型《二元模型几何概念》一、简介二元模型几何是介绍二元函数和各种几何形状的数学模型。

它被用来描述一般性的空间图形，如椭圆，抛物线，双曲线和其他分析几何图形。

它被广泛应用到物理，化学，建筑，工程，统计学，计算机科学和其他领域。

二、概念1. 二元函数二元函数是一种具有两个自变量的函数，它的输入是一组(x，y)，输出是一个数字或更多的数字。

也就是说，当x和y改变时，函数的值会改变。

例如，如果f(x，y)=x2+y2，则当x和y的值改变时，函数的值也会改变。

2. 二元模型二元模型是一种二元函数的图像，其中x，y是自变量，f(x,y)是函数的值。

它描述的是x和y的值之间的关系。

例如，如果f(x,y)=x2+y2，则该模型可以用来描述x和y的对比关系。

3.几何形状二元模型几何的意思是，将二元函数可视化为空间中的形状。

当函数的值变化时，几何形状也会随之改变。

椭圆，抛物线，双曲线和其他几何图形都可以用二元模型几何来表示。

三、应用二元模型几何被广泛应用于物理，化学，建筑，工程，统计学，计算机科学等领域。

1.物理：二元模型几何可以用来描述电磁学，力学，热力学等物理规律。

2.化学：二元模型几何可以被用来描述化学反应，如气体分布，固体表面反应，以及结构化合物的结构。

3.建筑：二元模型几何可以应用于建筑设计，如水管和电缆的路径设计，房屋和建筑物的屋顶设计等。

4.工程：二元模型几何可用于设计机械零件，如滑轮，齿轮，凸轮等等，以及用于计算结构力学中的弹性，刚性和应力。

5.统计学：二元模型几何可用于统计分析中，如线性回归，分类分析等。

6.计算机科学：二元模型几何可以被用于计算机图形学，三维模型的创建和建模，以及计算机游戏等。

四、总结二元模型几何是一种用来描述二元函数和几何形状的数学模型。

它可以用来描述一般性的空间图形，如椭圆，抛物线，双曲线等。

它被广泛应用于物理，化学，建筑，工程，统计学，计算机科学等领域，为人们提供便利。