苏科版-数学-八年级上册-一次函数的图像和性质

y=2x -2 0 y=kx+b(k≠0)的图象可看作是由
y
3
y=2x+4
y=2x y=2x-1
4 （0，4）
（-1，2） 2 y=kx(k≠0)的图象沿y轴向 上 (b>0) 1 或向 下 (b<0）平移 b 个单位 观察这三条直线，它
长度得到的。 们有什么位置关系?
平行 观察这三个函数关系式， （-1，-2） 它们有什么关系? K相等，b不相等 k相等、 b不相等
-1
-2 比较两组一次函数的图象，它们有什么不同？ y=-2x-1 你发现了什么？ 当k>0时，图象从左到右上升 当k<0时，图象从左到右下降 k决定了一次函数y=kx+b(k≠0)图象的变化趋势
-2
y=-2x+4 y=-2x
y
4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2
y=2x+4
y=2x y=2x-1
回顾小结
你学会了吗？
函数图象
形 （数形结合思想）
1、一次函数的性质 2、k、b的值
数
3、一次函数图象与正比例函数图象的关系
k相等、 b不相等 两直线平行
2011.10. 21
你还记得吗
1、函数有哪几种表示方法？ 列表法、图象法、解析法 2、哪一种更能直观反映函数的变化规律？ 图象法 3、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 一条直线
y
4 3
y=2x+4 y=2x
y=2x-1
y
4 3 2
2 y=2x＋4、y=2x、y=2x－1的图象 在图1中画出 1 在图2中画出 y=－2x＋4、y=－2x、y=－2x－1 -2 -1 0 1 2 的图象 x -3 -2 -1 0 1 x -1 1

随着X的值增大
1、经过几个象限,哪几个象限？ 2、随着自变量的增大,图 kx (k≠0)图像的性质
(1)当 k＞0时，y=kx经过一、三象限， 图像从左向右呈上升趋势， y随着x的增 大而增大； (2)当 k＜0时，y=kx经过二、四象限, 图像从左向右呈降落趋势， y随着x的增大 而减小.
根据图像，思考：
1、当不同的一次函数的k相等, b 不相等时,它们的图像有何关系？
2、函数y=kx+b的图像能由y=kx的 图像得到吗？
3、一次函数y=kx+b中k的作用是否 沿袭了正比例函数y=kx中k的作用? 那么b的正负对于图像又有什么影 响呢？
y y=2x+2
6
5
y=2x
4
· 3
2
1
x
o -4 -3 -2 -1
y
b的正负决定了
什么？
y kx b b0
(0,b)
(K>0)
o
x
(0,b) y kx b b0
当b>o时，直线交y轴正半轴于点（0，b） 当b<o时，直线交y轴负半轴于点（0，b） 当b=o时，直线交y轴点（0，0）
课堂练习：
有下列函数：① y=6x-5 , ②y=2x,
③ y=x+4, ④ y=－4x+3 .
人生就如y=kx+b图像一样，虽然一 开始每个人的起点（0，b）不同，但 是我们都在为了理想努力奋斗，希望 我们人生中的k能时刻大于0，学习生 活蒸蒸日上！
1 23 4 5
-1
-2
-3
y=2x-3
-4
-5
-6
y=kx+b可由y=kx向上或 者向下平移得到.

(－2，7)，则下列点在该函数图像上的是(
A. (0，－3)
B. (2，5)
C. (－3，10)
D. (－1，－2)
)
感悟新知
解题秘方：本题考查的是判断点是否在一次函数图像上，
先把点(－2，7)的坐标代入一次函数y＝－3x＋m中得出m
的值，从而得到函数表达式，再将各选项中点的横坐标代
入函数表达式求出相应的y 值看与点的纵坐标是否相等．
感悟新知
解：列表如下：
x
y1
0
－1
1
1
x
y2
0
0
1
2
x
y3
0
2
描点、连线，即可得到它们的图像，如图6.3-1.
从图像中我们可以看出：它们是一组互相
平行的直线，因为这组函数的表达式中k
的值都是2. 结论：一次函数中的k 值相等
(b 值不相等)时，其图像是一组互相平行的直线.
1
4
感悟新知
易错警示
画函数图像时要考虑自变量的取值范围. 在
D 选项中，∵当x＝－1 时，y＝3＋1=4 ≠ －2，
∴此点不在函数图像上． 答案：C
感悟新知
方法点拨
判断点是否在函数图像上的基本方法是将横
坐标代入函数表达式中，看函数值是否与纵坐标
相等，若相等，则该点在函数图像上；若不相等，
则该点不在函数图像上.
感悟新知
知识点
2
一次函数的图像与性质
一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k ≠ 0)的图像与性质和k、
正半轴 负半轴
原点
一、
一、
二、
经过的 一、
一、三
二、四
象限 二、三 三、四

y3 =2x-2
三条直线平行
x
-3
y
(0, 4 ) 4 3
2 1 -4 (0, 0 ) -3 -2 -1 o -1 1
y1=2x+4
y2 =2x y3
=2x-2
当b>0时，图 象与y轴的交点 在x轴的上方
2 3 4
当b=0时，图 x 象图象经过原点 当b<0时，图 象与y轴的交点 在x轴的下方
-2 (0,-2 )
当 b ＞ 0 时，直线 y=kx+b 可以看作直线 b 上 平移_______ y=kx沿着y轴向_____ 个单位 而得到. 当b＜0时，直线y=kx+b可以看作直线 |b| 下 平移_______ y=kx沿着y轴向_____ 个单 位而得到
随堂练习 直线y=2x+3可以由y=2x-1经过 怎样的平移得到？（ ） B A.向右平移4个单位. B.向上平移4个单位. C.向下平移4个单位.
决定着直线与y轴交点的位置
知识总结
图象特征
从左向右上升, b>0 交点在x轴上方 从左向右上升, 交点在原点.
大致图象
y 0 y x
K>0
b=0
0
x
从左向右上升, b<0 交点在x轴下方.
y 0 x
知识总结
图象特征
从左向右下降, b>0 交点在x轴上方. 从左向右下降, 交点在原点.
大致图象
y 0 x
(4) y= -1-2x
2）、（3） 其中y随x的增大而增大的函数是（ _________ ; （1）、（4） 从左向右图象是下降的函数是___________. (只填写序号）
y3 －2 已知函数 y =2x+4, =2x, y2 =2x 1

的图像。
x 01 y=－3x+3 3 0
（1）、试判断：点A （2,5）、B（-1,6）、C （-2,3）中，哪些点在 此函数的图像上？
y
3• 2
1
0 1• 2
x
y=－3x+3
苏科版数学八年级上册 6.3一次函数的图像(1) 课件
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在平面直角坐标系中，画一次函数y=2x的图像。
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交流讨论
问题：（1）一次函数的图象是什么样的图形？
y=2x+1
y=－x+2
（2）在所作的图像上任取几个点，找出它们的横纵坐标，并 验证它们是否满足函数关系式？
苏科版数学八年级上册 6.3一次函数的图像(1) 课件
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是否可以简化画 一次函数图像的过 程？
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仿照刚才方法画一次函数y=－x+2的图象
x … -2 -1 0 1 2 …
y=－x+2 … 4 3 2 1 0 … y
•
•
• 1•
x
0 1•
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y=－x+2
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6.3一次函数的图像(1)
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函数定义
在一个变化的过程中有两个变量x和 y，如果对于变量x的每一个值,变量y都 有唯一的值与它对应,则y是x的函数.其 中,x是自变量,y是因变量.

个数值.
2. 一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函
数值时，一定要指明是自变量为多少时的函数值.
3. 对于实际问题中的函数关系，函数值与自变量的值都要使实
际问题有意义.
感悟新知
2. 函数值
知2－讲
(1) 定义 如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对
应的值为b，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.
(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 2. 函数的“三要素” (1)在一个变化过程中； (2)有两个变量； (3) 对于自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与
之对应.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意
思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个
意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只
有一个值与之对应，对自变量x 的不同值，y 的值可
以相同，如：函数y=x2, 当x=1 和x=－1时，y 的对应
值都是1.
感悟新知
知识点 2 函数自变量的取值范围与函数值
知2－讲
1. 自变量的取值范围 (1) 确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数表达式
感悟新知
特别提醒
知1－练
判断两个变量是否具有函数关系，只需看它们是否
符合定义中的“三要素”即可，但要注意对于自变量x
取不同的数值，与之对应的y 的值不一定不同；只要有
唯一值与之对应即可.
感悟新知
知1－练
解：(1)不是函数关系，例如当x=2 时，y=2 或－2， 对于x 每取一个值，y 都有两个对应值，不满足唯一确 定条件. (2)是函数关系，因为每一个x 的值都有唯一的y 值与之 对应；其中x 是自变量，y 是自变量的函数.

示例：如图6.6－2 所示，
方程k1x+b1=k2x+b2 的解为x=a； 不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集为x ＞ a； 不等式k1x+b1<k2x+b2 的解集为x ＜ a.
感悟新知
知2－讲
特别提醒 利用图像解法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为kx+b ＞ 0 或kx+b ＜ 0(k ≠ 0)的形式； 2. 画出函数图像，并确定函数图像与x 轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集.
y=kx+b 当y=4 时对应的自变量的值.
知1－练
感悟新知
解：把点(4，0)和(3，2)的坐标分别代入y=kx+b，
得 4k+b=0，解得 k=－2，
3k+b=2，
b=8， 即y= － 2x+8．
当y=4 时，－ 2x+8=4，解得x=2．
∴方程kx+b=4 的解为x=2．
知1－练
答案：B
感悟新知
感悟新知
知2－练
例 3 [三模·杭州] 如图6.6－3，已知函数y1=3x+b 和y2=ax
－3的图像交于点P(－ 2， － 5)，则根据图像可得不
等式3x+b ＞ ax－3 的解集是( )
A. x ＞ －2
B. x ＜ －2
C. －2 ＜ x ＜ 0
D. x ＞ 0
感悟新知
知2－练
解题秘方：求不等式3x+b ＞ax－3 的解集，就是看 当x 在什么范围时， 函数y1=3x+b 的图像在函 数y2=ax － 3 的图像上面.
答案：A

例３： 柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）
与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时 油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5 千克
求余油量Q与时间t的函数关系式；
解：由题意设Ｑ＝kt＋b。把t=0，Q=40；t=3.5，Q=22.5 分别代入上式，得
b 40 22.5 3.5k b
5、一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质： ⑴当k>0时，y随x的增大而___增__大____。 ⑵当k<0时，y随x的增大而___减__小____。 ⑶根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图
中k、b的符号：
k__>_0，b__>_0
k__>_0，b_<__0
k_<__0，b_>__0 k_<__0，b_<__0
3、函数
2 y x4
3
的图像与x轴交点坐标为________,
与y轴的交点坐标为____________。
4 、（1）直线y kx b与 y 5x 1 平行，
且经过（2，1），则 k= ,b= .
12
（2）对于函数 y x , y的值随x值的____而减
小。
23
5、若函数y＝kx+b的图像经过点（－3，－2） 和（1，6），求k、b及函数关系式。
（1）写出每户每月用水量不超过6米3和每户每月用 水量超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它 们是否为一次函数。
（2）已知某户5月份的用水量为16米3，求该用户5月 份的水费。
四、布置作业
五、小结 本节课你有哪些收获？
6、已知一次函数的图像经过点A（2，－1）

研究方法：
画图象→观察图象→变量（坐标）意义解释．
典例分析
例1：画出函数y =-6x与 y =-6x +5的图象.
解：函数y =-6x与 y =-6x +5中，自变量x 可以是任意的实
数，列表表示几组对应值：
x
-2
-1
0
1
2
y=-6x
12
6
0
-6
-12
17
11
5
-1
-7
y=-6x+5
y
y=-6x+5
1
2
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得 m 1.
1
.
2
课堂小结
图象：
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，
我们称它为直线y=kx+b.
一次函数的图
象和性质
画法：
①两点法：两点确定唯一一条直线；
②平移法：由直线y=kx向上或向下平移.
性质：
当k＞0时：
①b>0，经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
1.5x
y=
4
观察发现：
①图象形状及位置：都是一条经过原点和 第二、四 象限的直线.
②变化趋势：直线从左到右 下降，即y随x的增大反而 减小.
正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的
直线，我们称它为直线y=kx.
y=kx(k≠0)
图象
经过的象限
增减性
k＞0
k＜0
y=2
1
.
y
5
y=-6x
0
y=6x+5

y
y
ox
ox
ox o
x
A
B
C
D
对于同一个
x
－2 －1 0 1 2 …
x的值， y2比y1大3
y3比y1小3
y1＝2x －4 －2 0 2 4 … y2＝2x＋3 －1 1 3 5 7 … y3＝2x－3 －7 －5 －3 －1 1 …
从数量关系上看，对于同一个自变量x的值， y2与y1的值有什么关系？y3与y1呢？
探究活动 （2）在同一直角坐标系中，画出这3个函数的图像．
（4）已知直线y1=kx+b经过点（1,2）且与直线 y2=-x+1平行，则k=__-_1_;b= 3
例题分析
例3、一次函数y＝2 x＋4的图像如图所示.
（1）当x为何值时，y＝0？ x=-2 （2）当x为何值时，y ＜0？ x<-2 y
4
（3）当x为何值时，y > 0？ x>-2 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4
（1）求函数关系式． y=-x-3
y
（2）视察图像
4
当x为何值时，y ＞ 0 ？ x<-3
3 2
当x为何值时，y ＜ 0 ？x>-3
1
-4 -3 -2 -1 o
-1
1
23
4x
-2
-3
-4
应用提高
4．一次函数y＝kx＋b （k≠0）中，kb＞0，且y随x 的增大而减小，则它的图像大致为（ C ）
y
y
一、二、四象限.
例题分析 例2.
（1）直线y=2x+1向上平移2个单位得直线__y_=_2_x+_3_； 向下平移2个单位得直线_y_=_2_x-_1_； （2）直线y=-4x+1是由直线_y_=_-_4_x_-2__向上平移3单 位得到的； （3）已知直线y=kx-1向下平移2个单位后经过点 （1,1）,则k=__4____。