第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第1页儿92页、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换第2页儿92页求解线性方程组:2x, - 兀2 -兀3 + 乞=2,•V, + 兀2 — 2兀3 + 工4 = 4,4x, — 6*2 + 2*3 — 2x 』=4, 3x^ + 6x2 一 9兀3 + 7心=9,X^ 十-疋2 — 2X3 + “4 = 4, 2X] — ^2 _ ”丫3 + 兀4 = 2, 2Xj — 3兀2 + -^3 —兀4 = 2, 3x, +6乂2 — 9七 +7必4 =9,X^ + 兀2 — 2X3 + i =4, 2*2 — 2X3 + 2.v^ = 0,— 5*2 +5丸3 — 3兀4 = —6. 3*2 — 3乂3 + 4 尤4 = —3,X^ + 兀2 — 2兀3 + £ =4. 丸2 —兀3 +兀4 =（人 2.丫4 = -6,1、 消元法解线性方程组引例“4 = 一3,第6页人92页可取每—行的第一个未知数为非自由未知数，进行回代） 尤4 = —3V ；=勺+ 3其中，£可任意取值內=勺+ 4其中C 为任意常数.X, + 尤2 — 2兀3 + *4 = 4,比一 丫3 + 兀4 =°9 ②③ 0 = 0,④（4个未知数3个方程， 无穷解。

(B4)解得X[ = C + 4 兀2 = c/|\ /即兀=C(2)2）回代=〃4第8页八92页方程组的同解变换（消元过程”3)A 对增广矩阵/i = {A\h ）进行 相应的三种初等行变换2x, — *2 —心 + *4 = 2, *1 + *2 一 2*3 + 工4 = 4, -4 工丄—6*2 + 2*3 — 2斗=4,3X] + 6*2 — 9x3 + 7xj =9,第7页Jl92页行阶梯形:1) 对换两个方程®一⑦ 2) © X Ar (k H 0)<D② <3)(Bl)=〃4第8页八92页X] + 尤2 — 2X3 + 兀4 = 49兀2 —工3 + Xj = 0，兀4 = —3,0 = 0,① I -2 1o|© -1 1① ② ③ ④(B4)4、 0 一30 0 00 0 0丿第10页人92页X] +乂2 一 2心 + 斗=4, 兀2 —兀3 + Xj = 0， X4 = —3, 0 = 0,X^ + *2 — 2工3 = 7, 兀2 - 6 = 3, 兀4 = —3 ()=(\-V,-兀3 = 4,£ 一 疋3 = 3,(B5)“4 = —3, 0 = 0.0 0 0 0丿第9页人92页方程组的求解对增广矩阵（Alb ）施行初施凑换，变成行注意：初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变 换。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。

理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。

了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。

掌握用初等变换求解线性方程组。

本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。

本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.２ 初等矩阵教学目的和要求：了解矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念. 教学重点:矩阵的初等变换、初等矩阵 教学难点：矩阵的初等变换. 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排:2课时 教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。

一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时,我们对其行(列)作过三种变换——“初等变换”． 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c +矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→.定义２ 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅. 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ （２） 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(３) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为１,且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A ,利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000232102301行标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列§２ 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵． １. ２.),()()(0110Δj i E j i E E E E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→↔ )]([Δk i E E k E E i r k =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.)](,[)()(11Δk j i E j i E E k E E j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→+设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i αααα 1[]n j i n m A ββββ,,,,,,1 =⨯ 性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j αααα 1, =A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k αααα 1, =A k j i E m )](,[⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k ααααα 1 由此可得:对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 =),(j i E A n []n i j ββββ,,,,,,1=)]([k i E A n []n j i k ββββ,,,,,,1 =)](,[k j i E A n []3Δ1,,,,,,B k n i j i =+βββββ 注意:3B A ij c k c +→因此可得:对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵. 性质3 1),(det -=j i E , ),()],([1j i E j i E =-0)]([det ≠=k k i E ， )]1([)])(([1ki E k i E =- 1)](,[det =k j i E ， )](,[)])(,([1k j i E k j i E -=-定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒， 故存在初等矩阵 Ps P ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 111111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1-i P 与1-j Q 都是初等矩阵．充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21,因初等矩阵可逆,有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.定理２ 设n m A ⨯，n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵Ps P ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅,使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =.充分性 已知B PAQ =， 则由定理１知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积， 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11， 也就是n m n m B A ⨯⨯≅. 由此可得矩阵求逆方法之二(初等行变换法）0det ≠⨯n n A s P P P A 21=⇒ (i P 都是初等矩阵）⎭⎬⎫==-------11112111121A E P P P E A P P P s s ⇒ [][]111121----=A E E A P P P s由此可得：对n n 2⨯矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列(A 的位置)成为E 时,则后n 列(E 的位置)为1-A .例２ 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=431212321A . 用初等变换法求1-A解[]E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100431010212001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101110012430001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→012430101110001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100101110203101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A ． 例3 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010010001232a a a a a aA ,试用初等变换法求1-A 解 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001010001001000100010001232a a aa a a依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -， 12ar r -可得[]E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→10010000100100001001000010001a a a 故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11111a a a A . 例４ 判断方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2114415212211111A 是否可逆.若可逆，求1-A 解()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=---100401020011000123302330233011111000010000100001211441521221111113121424 r r r r r r E A因为233023323301111-------,所以0||=A ，故A 不可逆,即1-A 不存在.［注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中,即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=141254121B 解:()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100010001523012101 E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→2112711521125100010001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-21127115211251A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-14125412121127115211251B A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=640892521 思考与作业: 习题三 P79:１(1)（4)４, 5讲授内容§3.３ 矩阵的秩教学目的和要求:理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩． 教学重点:矩阵的秩.教学难点:矩阵的秩的定义及计算. 教学方法与手段:传统教学,教练结合 课时安排:2课时矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式:在n m A ⨯中， 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式， 称为A 的一个k 阶子式， 记作k D .对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k n k m C C 个.定义5． 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(.规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B解()0110012≠==A D ,而A 的所有三阶子式(4个)0312101011=-,0312101011=-,332111001=,331110001=-所以2)(=A R362013013112011-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=036900140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R二、矩阵的秩的性质及结论 性质：1. O A A R =⇔=0)(;2. 对于n m A ⨯,有);,min()(0n m A R ≤≤3. 若r A R =)(，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .4. 0≠k 时, )()(A R kA R =5. )()(A R A R T=6. A 中的一个r A R D r ≥⇒≠)(07. A 中所有的r A R D r ≤⇒=+)(01８. )()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤ 9. )}(),(min{)(B R A R AB R ≤10．若O B A l n n m =⨯⨯, 则n B R A R ≤+)()( [注] n m A ⨯, 若m A =rank ， 称A 为行满秩矩阵; 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵(可逆矩阵, 非奇异矩阵）; 若n A <rank ， 称A 为降秩矩阵(不可逆矩阵, 奇异矩阵）．A 为满秩方阵,0≠⇔A (A 可逆 A ⇔为满秩方阵). 判断1,,,=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛bc ad d c b a d c b a 满足是否可逆，其中． 因为,01≠=-=bc ad dc b a 所以可逆.定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒.证明： 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒. 设r A =rank , 仅证行变换之（３)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ααααα(1) 若},{min n m r <， 则有 )(1B r D +不含i r :0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r :0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D )(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D 倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒ A B ji r k r -→B A rank rank ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． （2) 若m r =或者n r =， 构造矩阵 )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A ， )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =⇒其余情形类似.定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121r rr ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行A H =：行最简形定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r , 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩， 则n E A ≅． 推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇔.三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算,其常用的方法有: 1. 只用初等行变换,可把A 变成阶梯形矩阵. 例７ 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14011313021512012211A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→↔0000022200151201221143r r (阶梯形)，有此可看出 .3)(=A R２.进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I .在例7中,IA =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→0000000100000100000100000222001512012211I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形.例8 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=07521321111321021101A解.26420131013210211011314B 2A r r r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→--至此，易知2)(=B R （B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .例9 试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答.已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5321A ， 求1-A错误解答⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11310010113110010110113010110530121即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-113011A错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A 来求1-A 时，要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换.正确答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1325111*1A A A思考与作业:习题三 P79：6,7,10⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn n m m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：线性方程组的解.教学难点:线性方程组有解的条件及应用. 教学方法与手段:传统教学,教练结合 课时安排:2课时设有n 个未知数m 个方程的线性方程组(1)(1）式可以写成以向量x 为未知元的向量方程b Ax =引例 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-)3(622)2(4524)1(13231321321x x x x x x x x )1()3()1(2)2(-- ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-)6(5)5(24)4(1323232321x x x x x x x )6()5()6(4)5(↔- ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-)9(183)8(5)7(132332321x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x解线性方程组的初等变换： (１) 互换两个方程的位置(2） 用非零数乘某个方程(3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=620245241312b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→511021401312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1830051101312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→610010109001行方程组： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21 或者 b Ax = 增广矩阵:[]b A A =~设r A =rank , 且A 的左上角r 阶子式0≠r D , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→++++000000000100010001~11,221,2111,1r r rn r r n r nr d d b b d b b d b b A 行: 行最简形 b Ax =的同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=++++++++++111,2211,221111,110r rn rn r r r r n n r r n n r r d dx b x b x dx b x b x d x b x b x（３.4） 若01≠+r d , 则方程组（3．４)无解：=>+=r r A 1~rank A rank若01=+r d ， 则方程组(３.４)有解：==r A ~rank A rank （1) n r =时， 方程组(3.4)成为11d x =， 22d x =, …, n n d x = 是其唯一解(2) n r <时, 方程组(3.4)成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r r r r r nn r r n n r r x b x b d x x b x b d x x b x b d x 11,211,222111,111一般解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=-+-+-+-+r n nr r n rn r r r r r n n r r n n r k x k x k b k b d x kb k b d x k b k b d x 1111,211,222111,111其中r n k k k -,,,21 为任意常数． 定理5 n m A ⨯, []b AA =~(增广矩阵)(1） b Ax =有解=⇔A ~rank A rank ；(２) b Ax =有解时, 若n A =rank ， 则有唯一解; 若n A <rank , 则有无穷多组解. 证明 设r A =rank , 且A 的左上角r 阶子式0≠r D , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→++++00000000000100010001~11,221,2111,1r r rn r r n r nr d d b b d b b d b b A 行 （行最简形) b Ax =的同解方程组为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=++++++++++111,2211,221111,110r rn rn r r r r n n r r n n r r d dx b x b x dx b x b x d x b x b x （2) (1）若01≠+r d ， 则方程组(2)无解，=>+=r r A 1~rank A rank（２)若01=+r d , 则方程组(2)有解，==r A ~rank A rank当n r =时, 方程组(２)成为n n d x d x d x =⋅⋅⋅==,,,2211，故有唯一解. 当n r <时， 方程组(2)成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r r r r r nn r r n n r r x b x b d x x b x b d x x b x b d x 11,211,222111,111其一般解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=-+-+-+-+r n nr r n rn r r r r r n n r rn n r k x k x k b k b d x kb k b d x k b k b d x 1111,211,222111,111 （其中.,,21r n k k k -⋅⋅⋅为任意常数) 定理６ (１) 0=⨯x A n m 有非零解.)(n A R <⇔; (２) 0=⨯x A n m 有非零解0det =⇔A . 例10用初等行变换法解引例方程的解⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-)3(622)2(4524)1(13231321321x x x x x x x x 解法二 (初等行变换法）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6100101090011830051101312511021401312620245241312]|[行行行b A得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x例11 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=212164424321A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=385b解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321218644254321~A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→222002220054321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000001110054321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000001110021021行⇒<==42rank ~rank A A b Ax =有无穷多解同解方程组:⎩⎨⎧-=--=43421122x x x x x一般解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==--=242312211122k x k x k x k k x （21,k k 为任意常数）例12 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111λλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21λλb 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21111111111~λλλλλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→101011001111112λλλλλλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→≠101011001111111λλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+→1001110101)1(1002λλλ行(1)1≠λ同解方程组:⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=++=+=141312)2()1()1(1xx x x x x λλλ一般解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=++=+==kx k x k x k x )2()1()1(14321λλλ (k 为任意常数）(２) 1=λ同解方程组:)(14321x x x x ++-=一般解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===---=34231232111k x k x k x k k k x （321,,k k k 为任意常数）例13 讨论方程组b Ax =何时有唯一解， 无穷多解, 无解? 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112111μλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=443b 解 计算可得)1(det μλ-=A(1） 0≠λ且1≠μ时,根据C ｒamer 法则, 方程组有唯一解. (２) 0=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41141013101~μA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→μμ3411010003101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→1000341103101ημ行因为3)~(,2)(==A R A R , , 故方程组无解. (３) 1=μ且0≠λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41114121311~λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→4111100311λλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→41111002101λ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→411110102101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→λλ1200010102101行当21≠λ时, 3)~(,2)(==A R A R ， 故方程组无解. 当21=λ时, 32)~()(<==A R A R , 故方程组有无穷多解.思考与作业:习题三 Ｐ80:１１，12教学后记:。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换一. 初等变换1.交换矩阵的两行或两列2.以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）3.把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

二. 等价1.若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。

2..等价关系具有的性质：(i)反身性A~A;(ii) 对称性若A~B,则B~A;(iii) 传递性若A~B,B~C,则A~C;第二节矩阵的秩一. 数学概念定义2.1在矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

定义2.1设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。

1. 零矩阵的秩为0；2.；3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。

二. 原理公式和法则定理2.1若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。

显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。

这就给出求矩阵秩的方法。

第三节线性方程组的解一.数学概念根据矩阵的乘法，可以将线性方程组写成矩阵形式。

1.n元齐次线性方程组；2.n元非齐次线性方程组；3. 称A为方程组的系数矩阵，B=(A，b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。

二．原理、公式和法则定理3.1n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩R(A)<n。

定理3.2n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩。

显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题，而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。