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支持向量机的公式支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种广泛应用于机器学习领域的分类器，也是目前应用最为广泛和成功的算法之一。
SVM的基本思想是通过某种方式将一个非线性问题映射到一个高维空间中，使得原本不可分的问题变成一个线性可分的问题。
本文将介绍SVM 的公式及其背后的原理，旨在帮助读者深入理解SVM算法的本质。
SVM的目标是找到一个超平面，能够将不同类别的样本正确地分离开来。
假定有n个训练样本，每个样本有m个属性，用向量x表示。
其中x和标签y构成训练集D。
则SVM的公式如下：对于二分类问题，目标是找到一个超平面Wx + b = 0，使得正负样本分别位于它的两侧。
其中，W是超平面的法向量，b是超平面的截距。
对于多分类问题，可以采用一对一或一对多的方法。
其中，一对一是将所有类别两两组合，分别训练一个SVM分类器，并将测试样本与每一个分类器进行比较，最终选择得分最高的分类器作为预测结果；一对多则是将一个类别的数据判定为一类，其余类别的数据判定为另一类，最终一个样本可能被多个分类器选为预测结果。
SVM的优化问题可以通过拉格朗日乘子法来进行求解，即将原问题转为等效的约束优化问题。
则优化问题可以表示为：其中，αi为拉格朗日乘子，L是拉格朗日函数，C是惩罚参数，E(x)是函数间隔，η是步长。
通过求解这个二次规划问题，我们可以得到决策函数f(x)，用于分类预测。
SVM的核函数是SVM的核心部分，是实现非线性分类的重要手段。
核函数可以将数据从原始的低维空间中，转换到一个高维的特征空间中，使得数据集在这个高维特征空间中变得线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。
除了支持向量机，还有许多其他的分类器算法，如决策树、朴素贝叶斯、神经网络等。
不同算法的优缺点建立在不同理论基础上，也有不同的适用范围。
SVM算法在处理高维数据、大规模数据或者需要较高分类准确度的场景下表现出了极强的优势。
支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。
支持向量机的学习策略是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划问题。
SVM是一种分类算法，它的基本原理是找到一个超平面，将不同类别的数据分隔开来，使得两个类别的数据点到超平面的距离最大化。
支持向量机的原理主要包括间隔、支持向量、对偶问题和核函数等几个方面。
首先，我们来看支持向量机的间隔。
在支持向量机中，间隔是指两个异类样本最近的距离，而支持向量机的目标就是要找到一个超平面，使得所有样本点到这个超平面的距离最大化。
这个距离就是间隔，而支持向量机的学习策略就是要最大化这个间隔。
其次，支持向量机的支持向量。
支持向量是指离超平面最近的那些点，它们对超平面的位置有影响。
支持向量决定了最终的超平面的位置，而其他的点对超平面的位置没有影响。
因此，支持向量是支持向量机模型的关键。
然后，我们来看支持向量机的对偶问题。
支持向量机的原始问题是一个凸二次规划问题，可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面。
通过对偶问题，我们可以得到支持向量的系数，从而得到最终的分类超平面。
最后，我们来看支持向量机的核函数。
在实际应用中，很多时候样本不是线性可分的，这时就需要用到核函数。
核函数可以将原始特征空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个高维特征空间中线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核和高斯核等。
综上所述，支持向量机是一种非常强大的分类算法，它通过最大化间隔来得到最优的分类超平面，支持向量决定了最终的超平面的位置，对偶问题可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面，而核函数可以处理非线性可分的情况。
支持向量机在实际应用中有着广泛的应用，是一种非常重要的机器学习算法。
希望本文对支持向量机的原理有所帮助，让读者对支持向量机有更深入的理解。
支持向量机作为一种经典的机器学习算法，有着重要的理论意义和实际应用价值。
支持向量机（SVM）原理详解支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种机器学习算法，用于二分类和多分类问题。
它的基本思想是寻找一个超平面，能够将不同类别的数据分隔开来，并且与最近的数据点之间的间隔最大。
一、原理概述：SVM的基本原理是将原始数据映射到高维空间中，使得在该空间中的数据能够线性可分，然后在高维空间中找到一个最优的超平面。
对于线性可分的情况，SVM通过最大化分类边界与最近数据点之间的距离，并将该距离定义为间隔，从而使分类边界具有更好的泛化能力。
二、如何确定最优超平面：1.线性可分的情况下：SVM寻找一个能够将不同类别的数据分开的最优超平面。
其中，最优超平面定义为具有最大间隔(margin)的超平面。
间隔被定义为超平面到最近数据点的距离。
SVM的目标是找到一个最大化间隔的超平面，并且这个超平面能够满足所有数据点的约束条件。
这可以通过求解一个凸二次规划问题来实现。
2.线性不可分的情况下：对于线性不可分的情况，可以使用一些技巧来将数据映射到高维空间中，使其线性可分。
这种方法被称为核技巧(kernel trick)。
核技巧允许在低维空间中计算高维空间的内积，从而避免了直接在高维空间中的计算复杂性。
核函数定义了两个向量之间的相似度。
使用核函数，SVM可以在高维空间中找到最优的超平面。
三、参数的选择：SVM中的参数有两个主要的方面：正则化参数C和核函数的选择。
1.正则化参数C控制了分类边界与数据点之间的权衡。
较大的C值将导致更少的间隔违规，增加将数据点分类正确的权重，可能会导致过拟合；而较小的C值将产生更宽松的分类边界，可能导致欠拟合。
2.核函数选择是SVM中重要的一步。
根据问题的特点选择合适的核函数能够更好地处理数据，常用的核函数有线性核函数、多项式核函数和高斯核函数等。
四、优缺点：SVM有以下几个优点：1.在灵活性和高扩展性方面表现出色，尤其是在高维数据集上。
2.具有良好的泛化能力，能够很好地处理样本数量较少的情况。
支持向量机算法的优缺点有哪些在当今数据驱动的时代，机器学习算法成为了从海量数据中挖掘有价值信息的重要工具。
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）算法作为一种经典的机器学习算法，在诸多领域都有着广泛的应用。
然而，就像任何事物都有两面性一样，SVM 算法也有其独特的优点和不可忽视的缺点。
一、支持向量机算法的优点1、在高维空间中表现出色SVM 算法的一个显著优点是在处理高维数据时具有良好的性能。
在现实生活中，很多数据的特征维度非常高，例如图像识别、文本分类等领域。
SVM 算法通过使用核函数，将数据映射到高维空间中，从而能够有效地处理复杂的非线性分类问题。
这种在高维空间中进行分类的能力，使得 SVM 在处理具有大量特征的数据集时，能够找到最优的分类超平面。
2、泛化能力强SVM 算法追求的是结构风险最小化，而不仅仅是经验风险最小化。
这意味着它不仅关注在训练数据上的表现，更注重在新的、未见过的数据上的预测能力。
通过寻找具有最大间隔的分类超平面，SVM 能够有效地避免过拟合问题，从而具有较强的泛化能力，能够在不同的数据集上取得较为稳定的性能。
3、对小样本数据有效在实际应用中，很多情况下我们可能只有相对较少的样本数据。
SVM 算法在小样本情况下仍然能够有效地进行学习和分类。
这是因为它的决策边界主要由支持向量决定，而不是依赖于所有的数据点。
因此，即使样本数量较少，只要这些样本具有代表性，SVM 仍然能够构建出较为准确的分类模型。
4、理论基础扎实SVM 算法具有坚实的数学理论基础，其背后的优化理论和统计学原理为算法的性能和可靠性提供了有力的保障。
这种理论上的严谨性使得 SVM 算法在实际应用中更容易被理解和解释，也为算法的改进和优化提供了明确的方向。
5、可以处理非线性问题通过引入核函数，SVM 可以将输入空间中的非线性问题转化为高维特征空间中的线性问题，从而实现非线性分类。
常见的核函数如多项式核函数、高斯核函数等，为处理不同类型的非线性数据提供了灵活的选择。
支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种监督学习算法，被广泛应用于二分类、多分类和回归分析。
SVM的核心思想是通过在不同类别的样本之间找到一个最优的超平面，来实现样本的最优分类和回归预测。
SVM的原理涉及到线性代数、几何和优化理论等多个领域。
一、线性可分支持向量机在介绍SVM原理之前，首先需要了解线性可分支持向量机的基本概念。
给定一个训练数据集，包含了一些正样本和负样本，在二维空间中，我们可以将正样本用红色点表示，负样本用蓝色点表示，如下图所示：（插入一张二维散点图）我们可以观察到，有无穷多个超平面可以将正负样本完全分开。
但是，我们希望找到一个具有"最大间隔"的超平面，因为最大间隔超平面具有更好的泛化能力。
那么，如何定义最大间隔超平面呢？我们定义超平面为：w·x + b = 0，其中w为法向量，x为特征向量，b为截距。
我们希望最大化w·x + b对于所有正样本的值为1，对于所有负样本的值为-1，即：w·x_i + b >= 1, 若y_i=1w·x_i + b <= -1, 若y_i=-1其中y_i为样本的标签。
为了简化推导，我们可以将以上两个约束条件合并为：y_i(w·x_i + b) >= 1，对所有样本成立。
在上述约束条件下，我们的目标是最大化超平面到正负样本的最小距离，即最大化间隔。
假设超平面与正样本最近的点为x_+，与负样本最近的点为x_-，则最大间隔为d = x_+ - x_-我们可以通过最大化间隔的倒数来实现最小化间隔，即最小化0.5 * w ^2，其中w 为w的范数。
综上所述，我们的目标可以定义为一个最优化问题：min 0.5 * w ^2s.t. y_i(w·x_i + b) >= 1，对所有样本成立。
二、线性不可分支持向量机现实中的数据往往是复杂的，很难通过一个超平面将正负样本完全分开。
SVM支持向量机，其英文名为support vector machine ，一般简称SVM 。
SVM 是90年代中期发展起来的基于统计学习理论的一种机器学习方法，通过寻求结构化风险最小来提高学习机泛化能力，实现经验风险和置信范围的最小化，从而达到在统计样本量较少的情况下，亦能获得良好统计规律的目的。
它是一种常见的有监督二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上间隔最大化分类器，其学习策略便是间隔最大化.1.1SVM 基本模型及几何间隔最大化给定包含N 个训练样本集合1122{(,),(,),...,(,);{1,1}}N n S x y x y x y y =∈-+。
其中y i 表示样本属于某个类别。
SVM 分类学习的基本思想就是在样本集合S 所表示的特征空间中寻找一个最优超平面，将不同的类别的样本区分开。
假设样本集合S 在特征空间的分布如下图所示。
其中“ ”和“o”分别表示正负样本。
可以看到能够将正、负样本区分开的超平面有很多，那么应该如何选择超平面呢？图 1.1.1直观上讲，我们希望找到这样一个超平面，正、负样本到它的举例都比较远，如下图中间位置所示差平面。
因为当待检测样本出现一定扰动时，这样的超平面仍能保证正确的分类结果。
从统计学习角度考虑，希望寻找到的超平面对噪声具有最好鲁棒性，也就是说对待检测样本具有最好的泛化能力。
而SVM 就是一种寻找最优超平面的方法。
图 1.1.2针对样本集合S 上的二分类问题，SVM 的目的是寻找一个最优超平面。
直观上这个超平时所有样本到这个超平面的距离都“最远”。
那么从数学计算角度来说，这个问题应该如何描述呢？在样本空间中，一个 超平面可以用如下公式描述：0T w x b +=（1）其中，12(,,...,)d w w w w =表示的是超平所对应的法向量，法向量的维度和样本的特征向量都是d;b 表示的是超平面的偏移量。
从而可以将任意一个超平明可以用一对参数(,)w b 表示。
SVM 支持向量机目录一、简介 (1)二、线性分类器 (3)三、分类间隔指标 (4)四、线性分类器的求解 (8)五、核函数 (9)六、松弛变量 (11)七、惩罚因子C (15)八、SVM用于多类分类 (17)九、SVM的计算复杂度 (19)一、简介支持向量机在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力（或称泛化能力）。
以下逐一分解并解释一下：统计机器学习之所以区别于传统机器学习的本质，就在于统计机器学习能够精确的给出学习效果，能够解答需要的样本数等等一系列问题。
与统计机器学习的精密思维相比，传统的机器学习基本上属于摸着石头过河，用传统的机器学习方法构造分类系统是一种技巧，一个人做的结果可能很好，另一个人差不多的方法做出来却很差，缺乏指导和原则。
VC维是对函数类的一种度量，可以简单的理解为问题的复杂程度，VC维越高，一个问题就越复杂。
SVM关注的是VC维，和样本的维数是无关（甚至样本可以是上万维的，这使得SVM很适合用于解决文本分类的问题，也因此引入了核函数）。
结构风险最小：机器学习本质上就是对问题真实模型的逼近（我们选择一个我们认为比较好的近似模型作为假设），而真实模型是未知的。
假设与问题真实解之间的误差，叫做风险（更严格的说，误差的累积叫做风险）。
我们选择了一个假设（即分类器）之后，我们可以用某些可以掌握的量来逼近误差，最直观的方法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实结果（样本是已标注过的数据，即准确的数据）之间的差值来表示。
这个差值叫做经验风险Remp(w)。
以前的机器学习方法都把经验风险最小化作为努力的目标，但后来发现很多分类函数能够在样本集上很轻易的达到100%的正确率，在应用于真实分类时却一塌糊涂（即推广能力差，或称泛化能力差）。
此时需要选择了一个足够复杂的分类函数（它的VC维很高），精确的记住每一个样本，但对样本之外的数据一律分类错误。
基于经验风险最小化原则我们就会发现，该原则适用的大前提是经验风险要能够逼近真实风险才行，但实际上是不能逼近的，因为样本数相对于现实应用要分类的文本数来说太少，经验风险最小化原则只能在占很小比例的样本上做到没有误差，不能保证在更大比例的真实文本上也没有误差。
统计学习从而引入泛化误差界的概念，即真实风险应该由经验风险，代表了分类器在给定样本上的误差，以及置信风险，代表了我们能在多大程度上信任分类器在未知文本上分类的结果。
置信风险是无法精确计算的，只能给出一个估计的区间，使得整个误差只能计算上界，而无法计算准确值。
置信风险与两个量有关，一是样本数量，显然给定的样本数量越大，我们的学习结果越有可能正确，此时置信风险越小；二是分类函数的VC维，显然VC 维越大，推广能力越差，置信风险会变大。
泛化误差界的公式为：R(w)≤Remp(w)+Ф(n/h)公式中R(w)就是真实风险，Remp(w)就是经验风险，Ф(n/h)就是置信风险。
统计学习的目标从经验风险最小化变为了结构风险最小，即经验风险与置信风险的和最小。
SVM正是这样一种基于结构风险最小化的算法。
SVM的其他特点：小样本，这里的小样本是相对的，对于算法来说，更多的样本几乎总是能带来更好的效果，与问题的复杂度相比，SVM算法要求的样本数是比较少的。
非线性，SVM擅长应对样本数据线性不可分的情况，通过松弛变量（惩罚变量）！和核函数！来实现。
高维模式识别是指样本维数很高，例如文本的向量表示，如果没有经过降维处理，出现几万维的情况很正常，其他算法基本无法处理。
而SVM 产生的分类器很简洁，用到的样本信息很少（仅用到那些称之为“支持向量”的样本），在样本维数很高的情况下，也不会给存储和计算造成困扰，可以适用于样本维数很高的情况。
（例如：KNN算法在分类时要用到所有样本，样本数巨大，若每个样本维数高的话，基本无法应对）。
二、线性分类器线性分类器(感知机) 是简单且有效的分类器形式.在一个线性分类器中,可以了解SVM形成的思路和SVM的核心概念。
例1：如图，一个二维空间里仅有两类样本C 1和C2是要区分的两个类别，中间的直线就是一个分类函数，它可以将两类样本完全分开。
一般，若一个线性函数能够将样本完全分开，称这些数据是线性可分的，否则称为非线性可分。
线性函数：在一维空间里就是一个点，在二维空间里就是一条直线，三维空间里就是一个平面，即n维空间中的（n-1）维组件，若不考虑空间维数，这种线性函数也称超平面（Hyper Plane）。
实际上，线性函数是实值函数（即函数的值是连续的实数），而分类问题（例如这里的二元分类问题—判断样本属于还是不属于一个类别的问题）需要离散的输出值，例如用1表示某个样本属于类别C1，而用-1表示属于C2，这时候只需要简单的在实值函数的基础上附加一个阈值即可，通过分类函数执行时得到的值大于还是小于这个阈值来确定类别归属。
例如：有一个线性函数g(x)=wx+b，可以取阈值为0，当有一个样本xi 需要判别时，若g(xi)>0，就判别为类别C1，若g(xi )<0，则判别为类别C2（等于时拒绝判断）。
此时等价于给函数g(x)附加一个符号函数sgn()，即f(x)=sgn [g(x)]是真正的判别函数。
关于g(x)=wx+b要注意三点：一，式中的x不是二维坐标系中的横轴，而是样本的向量表示，例如一个样本点的坐标是(3,8)，则x T=(3,8) ，而不是x=3。
二，形式并不局限于二维，在n维空间中仍可以使用这个表达式，只是式中的w为n 维向量（在二维的这个例子中，w是二维向量，为表示方便，以下不区别列向量和它的转置）；三，g(x)不是中间那条直线的表达式，中间那条直线的表达式是g(x)=0，即wx+b=0，这个函数叫做分类面。
中间那条分界线并不是唯一的，若稍微旋转一下，只要不把两类数据分错，仍然可以达到上面的效果，稍微平移一下，也可以。
此时需考虑，对同一个问题存在多个分类函数的时候，哪一个函数更好，此时需要“分类间隔”指标。
三、分类间隔指标分类间隔模型可以判断通过训练建立的分类模型的好坏。
在进行文本分类时，可以让计算机将每一个样本看作一个向量（即文本特征组成的向量）和一个标记（标示此样本属于哪个类别）的组合。
如Di =(xi,yi)中，xi是文本向量（维数很高），yi是分类标记。
在二元线性分类中，这个表示分类的标记只有两个值，1和-1（表示属于或不属于这个类）。
有了这种表示法，我们就可以定义一个样本点到某个超平面的间隔：δi =yi(wxi+b)若某个样本属于该类别，wxi +b>0，而yi也大于0；若不属于该类别，wxi+b<0，yi也小于0，这意味着y i (wxi+b)总是大于0的，而且它的值就等于|wxi+b（即|g(xi)|）。
将w和b进行归一化，即用w/||w||和b/||w||分别代替原来的w和b，那么间隔就可以写成解析几何中点xi到直线g(x)=0的距离公式经推广，表示到超平面g(x)=0的距离， g(x)=0就是第二节中提到的分类超平面。
||w||叫做向量w的范数，范数是对向量长度的一种度量。
常用的向量长度指的是它的2-范数，范数最一般的表示形式为p-范数，即向量w=(w1, w2, w3,…… wn)的p-范数为：当p=2的时，就是传统的向量长度。
当不指明p时，使用||w||，即不关心p的值；或已指明p的值。
当用归一化的w和b代替原值后的间隔叫做几何间隔，表示的是点到超平面的欧氏距离，简称“距离”。
以上是单个点到某个超平面的距离，同样可以定义一个点的集合（即一组样本）到某个超平面的距离为此集合中离超平面最近的点的距离。
如图所示：H是分类面，H1和H2平行于H，且是过离H最近的两类样本的直线，H1与H，H2与H之间的距离就是几何间隔。
几何间隔与样本的误分次数间存在如下关系：δ是样本集合到分类面的间隔，R=max ||xi|| i=1,...,n，即R是所有样本中（xi是以向量表示的第i个样本）向量长度最长的值（代表样本的分布广度）。
这个误分次数一定程度上代表分类器的误差。
由上式可知，样本已知时，误分次数的上界由几何间隔决定。
几何间隔越大，误差上界越小。
最大化几何间隔是训练阶段的目标。
间隔：δ=y(wx+b)=|g(x)|几何间隔：即δ=||w||δ几何。
几何间隔与||w||成反比，因此最大化几何间隔与最小化||w||是一回事。
一般固定间隔（例如1），寻找最小的||w||。
凡是求一个函数的最小值（或最大值）的问题都可以称为寻优问题（规划问题），找最大值的问题可以通过加一个负号变为找最小值的问题，因此我们下面讨论的时针对找最小值的过程来进行。
目标函数为：，为方便后期进行求导等处理，等价于，易看出当||w||=0时目标函数的值最小。
反映在图中，就是H1与H2两条直线间的距离无限大，这时，所有样本点（无论正样本还是负样本）都跑到了H1和H2中间，而操作时，H1右侧的点被分为正类，H2 左侧的点被分为负类，位于两类中间的样本则拒绝分类。
这时，所有样本点都进入了无法分类的灰色地带。
造成这种结果的原因是在描述问题时只考虑了目标，而未加入约束条件，约束条件就是在求解过程中必须满足的条件，体现在问题中的某些样本点必须在H1或H2的某一侧（或至少在H1和H2上），而不能跑到两者中间。
前文提到把间隔固定为1，这是指把所有样本点中间隔最小的那一点的间隔定为1（这也是集合的间隔的定义），也就意味着集合中的其他点的间隔都不会小于1，按照间隔的定义，满足这些条件就相当于下面的式子总是成立的：yi[(w·xi)+b]≥1 (i=1,2,…,l) （l是总的样本数）等价于yi[(w·xi)+b]-1≥0 (i=1,2,…,l) （l是总的样本数）因此两类分类问题转化成了它的数学形式，即带约束的最小值问题：求最小值的问题就是优化问题（寻优问题或规划—Programming），同样由目标函数和约束条件组成：（式1）约束条件用函数c（constrain）来表示。
这里有有p+q个约束条件（其中p 个不等式约束，q个等式约束）。
式中的x是自变量，但不限定它的维数必须为1。
要求f(x)在哪一点上取得最小值，不是在整个空间里找，而是在约束条件所划定的一个有限的空间里找，这个有限的空间就是优化理论里所说的可行域。
注意可行域中的每一个点都要求满足所有p+q个条件，同时可行域边界上可以使不等式约束取得等号。
