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浅谈函数问题中分类讨论的简化

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数学 专题：解析一次函数中的分类讨论问题

数学 专题：解析一次函数中的分类讨论问题

一次函数中的分类讨论问题分类讨论是是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，同时也体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中考试题中占有十分重要的位置。

在一次函数学习过程中，除了首先要运用数形结合的思想方法去深刻理解和掌握一次函数的有关概念外，还要使学生学会用分类讨论的思想去研究一次函数的解题方法和技巧，做到不重复解和不漏解，现举例加以说明。

一、遇到有坐标轴名称不明确的需要讨论例1：已知正比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的图象都经过点P（－2，1），且一次函数y=k2x+b 的图象与y轴交点坐标是A（0，3），求直线y=k1x和直线y=k2x+b与坐标轴围成的三角形的面积。

分析：由已知条件可以求出正比例函数和一次函数的解析式，但求两条直线与坐标轴围成的三角形的面积，并没有指明是与x轴围成的三角形的面积，还是与y轴围成的三角形的面积。

所以需要进行分类讨论。

二、遇到有点的位置不明确时需要讨论例2：在平面直角坐标中，已知点A（－3，0），B（2，6），在x轴上有一点C，满足SΔABC=12，试求点C的坐标。

三、遇到有两个量大小关系不明确时需要讨论例3：已知一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点；直线l经过原点，与直线AB交于C点；直线l把ΔAOB的面积分成2：1两部分，试求直线l的解析式。

四、遇到有几个相等线段位置不确定时需要讨论例4：已知一次函数y=43x+4的图象分别交x、y轴于A、B两点，C为x轴上一点，且ΔABC为等腰三角形，求C点的坐标。

分析：要在x轴上求一点C，使ΔABC为等腰三角形。

由于没有指明哪一个角为顶角（或哪一条边为底边），所以要分⑴点A为顶角；⑵点B为顶角；⑶点C为顶角三种情况进行分类讨论。

五、遇到有一次函数y=kx+b中k或b的符号不确定时需要讨论例5：一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且SΔAOb=4，OA：OB=1：2，试求一次函数的解析式。

例析二次函数问题解决的基本思想_分类讨论和数形结合

例析二次函数问题解决的基本思想_分类讨论和数形结合

时
，M(a)∈(-
2 a
,0)（ 注 ：
M(a)在对称轴右边 ），所 以 f[M(a)]=-4，令 ax2+4x-2=-4，
解
得
x=
-2±
姨4-2a a
，故
M(a)=
-2+
姨4-2a a
；
（2）
当
-2-
4 a
≥-4，
即 a≥2 时 ，
M(a)<- 2 a
（注：
M(a)在对称轴 左 边 ）， 所 以 f[M(a)]=4，令 ax2+4x-2=-4，
题．
下面， 我们从一个具体例子出发， 给同学们详细
分析一下解决的基本过程．
例题． 已知函数 f(x)=3x2+a，g(x)=2ax+1(a∈R)．
（I） 证 明 ： 方 程 f(x)=g(x)恒 有 两 个 不 相 等 的 实 数
根；
（II） 若 函 数 f(x)在(0,2)上 无 零 点 ， 请 你 探 究 函 数
责任编校 徐国坚
高中 2011 年第 5 期
17
数学有数
点拨
例析二次函数问题解决的基本思想 —— —分类讨论和数形结合
■俞新龙
二次函数问题是同学们初中重点解决的一类函数
问题， 有范围限制的二次函数问题 （包括换元后可化
为二次函数） 是高中一类比较重要的函数问题， 此类
问题比同学们初中遇到的难度要大， 因此， 同学们经
常会感觉处理起来比较难．其实， 该类问题的解决还
优越性．
变式 1：
设
f(x)=1-
2 2x+1
，方程 f(x2-2x-a)=0 在(0,3)

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用1. 引言1.1 分类讨论思想在数学教学中的重要性在高中数学教学中，分类讨论思想是一种非常重要的教学方法。

分类讨论思想可以帮助学生建立起系统的思维结构，培养学生的逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。

通过分类讨论思想，学生可以将知识点整理成一种有机的体系，更加深入地理解和掌握数学知识。

分类讨论思想还可以帮助学生发现知识之间的联系和规律，从而激发学生对数学的兴趣，提高学习的积极性和主动性。

在高中数学教学中，引导学生采用分类讨论思想是非常必要的。

通过分类讨论思想的应用，可以使教学更加系统化、深入化，提高教学的效果和质量，培养学生全面发展的数学素养，使他们具备扎实的数学基础和优秀的数学思维能力。

分类讨论思想不仅是教师教学的方法，更是促进学生全面发展的重要途径，它在高中数学教学中具有不可替代的重要作用。

2. 正文2.1 分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念涉及到对问题或者知识点进行分类，然后在每一个类别里进行讨论和分析的方法。

这种思想贯穿于数学教学的各个环节，可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高他们的逻辑思维能力。

在高中数学教学中，分类讨论思想可以应用在各种数学问题中。

比如在解题过程中，通过将问题分解成几个小问题，然后分别讨论和解决，可以使学生更加清晰地理解问题的结构和解题思路。

分类讨论思想也可以帮助学生在实验教学中更好地总结实验数据，分析实验现象，从而加深对数学原理的理解。

分类讨论思想还可以在数学知识点梳理和素养培养中发挥重要作用。

通过将数学知识点按照特定的规则分类，可以帮助学生系统地掌握知识结构，提高记忆和理解效果。

而在素养培养方面，分类讨论思想可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使他们具备独立思考和解决问题的能力。

2.2 分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用是非常重要的。

浅谈分类思想在初中数学教学中运用

浅谈分类思想在初中数学教学中运用

浅谈分类思想在初中数学教学中运用摘要：初中学生入学后在学习数学方面面临着知识和方法的双重变化，由于个性与思维在初中阶段处于一个高速发展阶段，因此适宜进行数学思想的启蒙与教学。

分类讨论是一种相对简易、普通而且实用的数学思想，对初中学生而言能够起到重新审视数学问题、分类化解学习目标并合理进行比较研究的思维作用，能帮助学生将复杂问题简化为若干个简单问题，更容易达成解题目标，因此适宜在课堂上进行指导性的教学。

关键词：分类思想；初中数学；教学运用；引言数学是中考的必修科目，一直被认为是一门十分重要的学科。

初中数学不仅与高考分数有关，而且为学生以后进入大学学习进阶数学奠定了基础。

如今，教育界意识到以前的教学模式是错误的，因此对现阶段的初中数学教学提出了更高要求。

总的来说，应改变现阶段我国初中固有的教育模式，进行相应的数学教学改革，以更好地满足新课程改革的要求。

在此基础上，本文讨论并分析了在初中数学教学过程中数学分类思想方法的有效渗透，对发展学生创新思维能力的重要性和具体策略。

一、在初中数学解题过程中应用分类讨论思想的重要意义分类思想可以根据数学本质属性的相同点以及不同点将数学研究对象分为不同种类，涉及数学概念定义分类，运用数学定理或者公式性质运算、求解的数学题目结果有多种可能，数学问题中含有参变量等多个数学方向。

数学是初中阶段最为重要的学科之一，数学具有一定的抽象性，需要学生有较强的逻辑思维能力，这样才能准确解答数学题目。

但是现阶段，我们看到很多学生在解答数学题目时存在找不到准确思路的现象，也正是因为这种现象的存在使学生的数学解题准确性很难得到保障。

在初中数学学习中应用分类讨论思想进行解题，可以使学生的解题视野更加开阔，在较短的时间内找到准确的解题思路。

同时，分类过程可以培养学生思维的周密性以及条理性，从而起到对学生数学综合素质进行培养以及提升的作用。

二、在初中数学教学中渗透数学思想与方法的基本现状1.突出知识的传授与技能的发展受传统教学模式的影响，很多教师只局限于训练学生的解题技能，让学生熟练掌握解题技巧，却忽略了数学思想与方法的渗透。

一次函数中分类讨论思想的应用

一次函数中分类讨论思想的应用

一次函数中分类讨论思想的应用葛㊀松(江苏省泗阳实验初中开发区校区㊀２２３７００)摘㊀要:在一次函数学习过程中ꎬ学生接触 数 与 形 的知识比较多ꎬ因而增加了学习的难度.这里除了首先要运用数形结合的思想方法去深刻理解和掌握一次函数的有关概念外ꎬ还要使学生学会用分类讨论的数学思想方法去研究一次函数的解题方法和技巧ꎬ力求在分类中做到不重复解和不漏解.关键词:初中数学ꎻ一次函数ꎻ分类讨论中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２９－０００２－０２收稿日期:２０２０－０７－１５作者简介:葛松(１９７７.８－)ꎬ男ꎬ江苏省泗阳人ꎬ本科ꎬ中小学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀一㊁遇到有坐标轴名称不明确时需要讨论例１㊀已知正比例函数ｙ＝ｋ１ｘ和一次函数ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ的图象都经过点Ｐ(－２ꎬ１)ꎬ且一次函数ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ的图象与ｙ轴交点坐标是Ａ(０ꎬ３)ꎬ求直线ｙ＝ｋ１ｘ和直线ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ与坐标轴围成的三角形的面积.解㊀如图１ꎬȵ直线ｙ＝ｋ１ｘ经过点Ｐ(－２ꎬ１)ꎬʑ正比例函数解析式是ｙ＝－１２ｘ.ȵ直线ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ经过点Ｐ(－２ꎬ１)和Ａ(０ꎬ３)ꎬʑ一次函数的解析式为ｙ＝ｘ＋３.(１)两条直线与ｙ轴围成的әＡＯＰ的面积(如图).过点Ｐ作ＰＭʅＯＡꎬ垂足为ＭꎬʑＳәＡＯＰ＝１２ＯＡ ＰＭ＝３.(２)两条直线与ｘ轴围成的әＢＯＰ的面积.过点Ｐ作ＰＮʅｘ轴ꎬ垂足为Ｎꎬ设直线ｙ＝ｘ＋３与ｘ轴相交于点ＢꎬʑＳәＢＯＰ＝１２ ＯＢ ＰＮ＝３２.综上所述ꎬ两条直线与坐标轴围成的三角形的面积是３或３２.归纳㊀由已知条件可以求出正比例函数和一次函数的解析式ꎬ但求两条直线与坐标轴围成的三角形的面积ꎬ并没有指明是与ｘ轴围成的三角形的面积ꎬ还是与ｙ轴围成的三角形的面积ꎬ致使需要进行分类讨论.㊀㊀二㊁遇到有点的位置不明确时需要讨论例２㊀在平面直角坐标中ꎬ已知点Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ６)ꎬ在ｘ轴上有一点Ｃꎬ满足ＳәＡＢＣ＝１２ꎬ试求点Ｃ的坐标.解㊀如图２ꎬ过点Ｂ作ＢＤʅｘ轴ꎬ垂足为Ｄ.ȵＳәＡＢＣ＝１２ꎬʑＡＣ＝４.(１)当点Ｃ在点Ａ的右侧时ꎬ则点Ｃ坐标为(１ꎬ０)ꎻ(２)当点Ｃ在点Ａ的左侧时ꎬ则点Ｃ坐标为(－７ꎬ０).综上所述ꎬ点Ｃ的坐标为(１ꎬ０)或(－７ꎬ０).归纳㊀因在ｘ轴上存在一点Ｃ位置的不确定ꎬ致使需要进行分类讨论ꎬ点Ｃ可以在点Ａ的左侧ꎬ也可以在点Ａ的右侧ꎬ这样的点Ｃ有两个.㊀㊀三㊁遇到有两个量大小不明确时需要讨论例３㊀已知一次函数ｙ＝ｘ＋３的图象与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于Ａ㊁Ｂ两点.直线ｌ经过原点ꎬ与直线ＡＢ交于Ｃ点ꎻ直线ｌ把әＡＯＢ的面积分成２ʒ１两部分ꎬ试求直线ｌ的解析式.解㊀如图３ꎬ过点Ｃ作ＣＭʅＯＡꎬ垂足为Ｍ.ȵＡ(－３ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ３)ʑＳәＡＯＢ＝４.５.(１)若ＳәＡＯＣʒＳәＢＯＣ＝２ʒ１ꎬ则ＳәＡＯＣ＝３ꎬ即ＣＭ＝２ꎬ求出点Ｃ坐标为(－１ꎬ２)ꎬʑ直线ｌ的解析式为ｙ＝－２ｘ.(２)若ＳәＢＯＣʒＳәＡＯＣ＝２ʒ１ꎬ则ＳәＡＯＣ＝１.５ꎬ即ＣＭ＝１ꎬ求出点Ｃ的坐标为(－２ꎬ１)ꎬʑ直线ｌ的解析式为ｙ＝－０.５ｘ.综上所述ꎬ直线ｌ的解析式为ｙ＝－２ｘ或ｙ＝－０.５ｘ.２归纳㊀因ＳәＡＯＣ和ＳәＢＯＣ的大小不明确ꎬ可能是ＳәＡＯＣʒＳәＢＯＣ＝２ʒ１ꎬ也可能是ＳәＢＯＣʒＳәＡＯＣ＝２ʒ１ꎬ所以需要进行分类讨论.㊀㊀四㊁遇到有相等线段位置不确定时需要讨论例４㊀已知一次函数ｙ＝４３ｘ＋４的图象分别交ｘ㊁ｙ轴于Ａ㊁Ｂ两点ꎬＣ为ｘ轴上一点ꎬ且әＡＢＣ为等腰三角形ꎬ求点Ｃ的坐标.解㊀如图４(１)ꎬ一次函数ｙ＝４３ｘ＋４分别交ｘ㊁ｙ轴于Ａ㊁Ｂ两点ꎬʑＡ(－３ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ４)ꎬʑＯＡ＝３ꎬＯＢ＝４. (１)当点Ａ为顶点时ꎬ此时有ＡＢ＝ＡＣꎬ如图４(２).ȵＡＢ＝ＯＡ２＋ＯＢ２＝５ꎬʑＡＣ＝５.①若点在Ａ点的右侧时ꎬ则点Ｃ的坐标是Ｃ(２ꎬ０)ꎬ②若点Ｃ在Ａ点的左侧时ꎬ则点Ｃ的坐标是Ｃ(－８ꎬ０). (２)当点Ｂ为顶点时ꎬ此时有ＢＡ＝ＢＣꎬ如图４(３)ꎬ则点Ｃ的坐标是(３ꎬ０).(３)当点Ｃ为顶点时ꎬ此时有ＣＡ＝ＣＢꎬ如图４(４).由题意可知线段ＡＢ的垂直平分线与ｘ轴的交点就是点Ｃꎬ且点Ｃ在原点的右侧.设点Ｃ坐标为(ｘꎬ０)ꎬ则ＡＣ２＝(ｘ＋３)２ꎬＢＣ２＝ｘ２＋４２.由(ｘ＋３)２＝ｘ２＋４２ꎬ可得ｘ＝７６.ʑ点Ｃ的坐标是(７６ꎬ０).综上所述ꎬ符合条件的Ｃ点坐标为Ｃ(２ꎬ０)ꎬＣ(－８ꎬ０)ꎬＣ(３ꎬ０)ꎬＣ(７６ꎬ０).归纳㊀要使әＡＢＣ为等腰三角形ꎬ因没有指明哪一个点为顶点(或哪一条边为底边)ꎬ所以要分(１)点Ａ为顶点ꎻ(２)点Ｂ为顶点ꎻ(３)点Ｃ为顶点三种情况进行逐一分类讨论.㊀㊀五㊁遇到有ｋ或ｂ的符号不确定时需要讨论㊀㊀例５㊀一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与ｘ轴㊁ｙ轴分别交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ且ＳәＡＯＢ＝４ꎬＯＡʒＯＢ＝１ʒ２ꎬ试求一次函数的解析式.解㊀如图５ꎬȵＳәＡＯＢ＝４ꎬʑ１２ ＯＡ ＯＢ＝４ꎬʑＯＡ ＯＢ＝８.ȵＯＡʒＯＢ＝１ʒ２ꎬʑ设ＯＡ＝ｘꎬＯＢ＝２ｘ(ｘ>０)ꎬ则ｘ ２ｘ＝８ꎬ即ｘ＝２(－２舍去)ꎬʑＯＡ＝２ꎬＯＢ＝４.(１)当ｋ>０ꎬｂ>０时ꎬ一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过一㊁二㊁三象限ꎬ此时Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ４).则一次函数的解析式为ｙ＝２ｘ＋４.(２)当ｋ>０ꎬｂ<０时ꎬ一次函数ｙ＝ｋｘ＋４的图象经过一㊁三㊁四象限ꎬ则一次函数的解析式为ｙ＝２ｘ－４. (３)当ｋ<０ꎬｂ>０时ꎬ一次函数ｙ＝ｋｘ＋４的图象经过一㊁二㊁四象限ꎬ则一次函数的解析式为ｙ＝－２ｘ＋４. (４)当ｋ<０ꎬｂ<０时ꎬ一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过二㊁三㊁四象限ꎬ则一次函数的解析式为ｙ＝－２ｘ－４.综上所述ꎬ一次函数解析式为ｙ＝２ｘʃ４或ｙ＝－２ｘʃ４.归纳㊀由ＳәＡＯＢ＝４ꎬＯＡʒＯＢ＝１ʒ２ꎬ可以求出ＯＡ和ＯＢ的长度ꎬ但由于ｋ和ｂ的符号不确定ꎬｋ和ｂ的值存在多种可能ꎬ所以需要分四种情况进行讨论.㊀㊀六㊁遇到有增减性不明确时需要讨论例６㊀已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的自变量ｘ的取值范围是－２ɤｘɤ６ꎬ相应的函数值ｙ的取值范围是－１１ɤｙɤ９ꎬ试求一次函数的解析式.解㊀(１)若函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ为增函数ꎬ则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图象的两个端点坐标分别是(－２ꎬ－１１)和(６ꎬ９)ꎬ即一次函数的解析式为ｙ＝２.５ｘ－６.(２)若函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ为减函数ꎬ则函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图象的两个端点坐标分别是(－２ꎬ９)和(６ꎬ－１１)ꎬ即一次函数的解析式为ｙ＝－２.５ｘ＋４.综上所述ꎬ一次函数的解析式是ｙ＝２.５ｘ－６或ｙ＝－２.５ｘ＋４.归纳㊀由于一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的ｋ值符号未明确ꎬ因此函数的增减性也不确定ꎬ与之相对应的两个端点的坐标同样也不确定ꎬ所以需要进行分类讨论.总之ꎬ分类讨论思想是研究数学极为重要的一种数学思想和解题方法.在解题中ꎬ重在考查思考数学问题的逻辑性㊁周密性和全面性ꎬ力求做到正确㊁合理和严谨的分类.㊀㊀参考文献:[１]谭法ꎬ魏创.例说分类讨论思想在一次函数中的运用[Ｊ].中学生数学ꎬ２０１８(１８):６－８.[责任编辑:李㊀璟] ３。

简化函数与不等式问题中分类讨论10策略

简化函数与不等式问题中分类讨论10策略
分 离 ．由 于 概 念 不 清 ， 现 出 思 路 闭 塞 ， 辑 紊 乱 ；由 表 逻
因 此 函 数 对 称 轴 ｚ一 ２ ａ
在［ ｎ＋ １ ｎ ２ ， ＋ ３的 左 侧 ，
分析
本 题 常 规 解 法 是 对 二 次 函 数 坐 标 轴 的 位
置 进 行 分 类 讨 论 ， 且 至 少 要 分 ３种 情 况 ， 的 要 分 而 多 ５ ６种 情 况 讨 论 ． 是 ， 仔 细 研 究 条 件 （ ＜ “ １ 的 、 但 从 ｏ ＜ ）
（ ｚ— １ （ ｚ＋ １ ） ＿（ ）一 １ ； Ｔ＞ １ 时 ， ） ０； ）３ １ ， ２ 厂 ８ 当 ｆ （ ＞ 当 一 ＜ －＜ １时 ， ｚ） ０， ／（ 在 ｚ＝ １处 有 极 ｚ ｆ （ ＜ 即 ｚ） ＝ ＝
作 用 ， 现 对 称 轴 ｚ一 ２ 发 ａ位 置 活 动 范 围 很 有 限 ， 仅 仅
介于 （ ，） 间 ， 细 看发 现 ２ ０２ 之 再 ａ— ａ ａ ａ＋ １， 此 ， ＋ ＜ 因 对 称 轴 ｚ一 ２ 在 Ｅ － ， ａ ａ４ １ ａ＋ ２ ］的 左 侧 ． 样 分 类 讨 论 这 就 大 大 简 化 了． 解 因 为 ０ ａ １ ＜ ＜ ，
ｂ ，依 题 设 解 得 分 类 讨 论 是 一 种 “ 整 为 零 、 个 击 破 ， 积 零 为 化 各 再 整 ” 解 题 策 略 ， 是 一 种 重 要 的 数 学 思 想 方 法 ， 透 的 它 渗
１。．
到 整 个 中 学 数 学 的 每 个 章 节 ， 于 这 类 题 目综 合 性 由 强 ， 辑 性严 ， 索 性 开放 ， 然 也 是 高 考 的 重 点 、 逻 探 自 难 点． 而 ， 们在 重视 分类讨 论思 想 应 用 的基础 上 ， 然 我 也

如何利用数形结合解决函数中分类讨论问题

龙源期刊网
如何利用数形结合解决函数中分类讨论问题作者：李瑞萍
来源：《新课程·下旬》2017年第12期
摘要：函数中的分类讨论是高中一大重点和难点。

主要阐述了如何利用图象简单直观地
对函数进行分类讨论，如分类讨论的临界点是如何产生的，怎样讨论不重不漏。

关键词：数形结合；分类讨论；函数
在高考中，对含参函数的考查是一个重点，其中对参数的讨论更是重点中的难点，很多同学不知道为什么要分类讨论，即使知道要分类讨论，又不知道如何选取讨论的分界点，每当看见参考答案时都会觉得神奇——他是如何想到要这样分类的？下面本着“自然”的原则，我们借助数形结合来说明为什么要分类讨论，分类讨论的分界点是如何产生的。

对参数的讨论问题多在解不等式和函数问题中出现，我们只需选择恰当的函数，画出其简图，在画图时就很“自然”地分析出是否要分类讨论，并根据图象可很快地求出讨论的分界点，这是数形结合思想的又一体现，惯用图象，善用图象是有效解决问题的重要途径。

参考文献：
邱德跃.用数形结合法研究函数问题[J].初中数学教与学，2002（3）.
编辑赵飞飞。

函数问题中的分类讨论

厂（ ２ ） 一３ —４ ａ ．
Ｉ Ｊ
２ ］ 的 最大值 和 最 小值 ． 首先 ， 你 要 先 理 解 题 意． 这 道 题 已知 量 是 什 么？ 二 次 函数 的 定 义 域 和 含 参 数 解 析 式． 要求 量 是 什 么？ 二 次 函 数 最 值 ． 我 们 以 前 做过 类 似 的 题 目吗？ 你 之 前 应 该 都 解 决 过 常系 数 的二次 函数 求最 值 的题 目． 那 我们 就要 学 会 类 比 ， 先 将 参 数 当 成 常
数 来处 理 ， 将 函数 配 方 为 厂 （ － ｚ ） 一（ － －ａ ） 一１ 一ｎ ， 可 得 到 对 称 轴 为 ｚ—ａ ． 其次 ， 二 次 函数
Ｉ ｌ ＇ ’ 、 ８ ６ ４ ２ ／ ｌ
～
、 、
、
Ｄ ／ ２
●
－
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＇ ２ － ４ ＿
ｆ
ｆ ， ， ，
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４ ６
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一
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２ －
、
， ，
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８
＿
、 、
一 ２
｜ 。
ｄ
、 ｐ 、 ＼ ／ ２
图 ２
图 ４
从 上面 的分析 可知 ， 求 此 函 数 的 最 小
Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ２ ９
和 右端 点都有 可 能 取 到最 大 ， 所 以求 这个 区
问 内的最大 值还需 再 分类．
由 ／（ Ｏ ） ＝ ＝ ＝ 一１ ， （ ２ ） 一３ —４ ａ，

例谈函数问题中减少分类讨论的策略


行整合）或分而治之（参数不同取值状态下自变量 解 ｆ（ｘ）是偶函数，其图像关于ｙ 轴对称．
（主元）的结果））关系，表明学生无法准确理解题 ｆ（ｘ）有唯一零点，其唯一零点只能为０，由ｆ（０）＝
意；多数学生难以确定分类讨论的标准，表明学生 ，得 或 ０ ｍ＝２ ｍ＝－４．
对数学模型的认知与把握（理想状态与现实情况 当ｍ＝２ 时，
击破，再聚零为整”的解题策略． 分类讨论是高中 的大小沟通的桥梁，它决定着函数变化的大致趋
数学最重要的思想方法之一． 涉及分类讨论的试题 势，而函数的对称性、周期性、凹凸性等性质则对函
知识容量较大，具有明显的探索性、逻辑性、综合 数变化进一步精确化． 通过函数的奇偶性（包括推
性，能较好地甄别学生思维的条理性、概括性、严谨 广到一般的中心对称和轴对称）、周期性等性质的
从而
， ２ａ－４＜２－ａ
解得ａ＜２． 因此，实数ａ 的取值范围是（－∞ ，２）．
评注 所有学生（先入为主）都对ａ 和２ａ－４
所在的区间分类讨论，代入解析式进行计算，过程
(间π ２
，π)
上存在零点，不合题意，舍去． 故实数ｍ
等引起的分类讨论）和分类讨论的基本步骤（明确 的取值集合为｛２｝．
讨论对象、确定分类标准、深化分类层次、整合相关 评注 多数学生直接探寻结论的等价条件，即
结论）等内容，更要借助审题与反思来思辨分类讨 以导数为工具研究函数ｆ（ｘ）的单调性进而求其最
或ｍ ＝ － ４． 化无限为有限，化抽象为具体． 注意 点，即ｆ（ｘ）至多只有一个零点． 由
“ｆ（０）＝ ０”只是定义域包含０ 的奇函数或偶函数 ｆ（ｘ）有唯一零点的必要条件，故需检验其充分性．
（） （ ） （ ）， ｆ ｘ ＝ １ ｘ３－ ｍ＋１ ｘ２＋ ｘ２－ｍｘ－ｍ ４

二次函数中的分类讨论问题

二次函数中的分类讨论问题
教学目标：
1 学生经历课上对简单动点问题的讲解，对简单动点问题的解题方法有初步的理解。

2.在学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。

教学重点：在二次函数中探讨分类讨论问题。

教学难点：运用图形的性质和判定寻找特殊位置，利用分类讨论思想解决问题。

教学过程：
一、教师导学：
本节课就二次函数中的分类讨论问题进行讲解。

（一）常见考点:
（1）确定二次函数解析式
（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）
（3）函数类最值问题
（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）本节课主要解决与动点有关的存在性问题。

二例题解析
1已知抛物线y=-x2-2x+3与直线y=x+3相交于点B(-3,0), C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为A（1，0）.
设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.
2已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴负半轴交于点A，
与y轴交于点B.在抛物线的对称轴上是否存在点Q,
使ΔQAB为等腰三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由。

三 练习思考
（2）在（1）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标（1）作垂直x 轴的直线x=t,在第一象限交直线AB 于M ，
交这个抛物线于N ，求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少
思考题：直线y=-12x+2与抛物线y=-x 2+72
相交于A 、B 两点。

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◇ 湖北 王朝璇 ( 特级教师)
研究发现 , 对称轴 x = 2a 位置活动范围很有限 . 因 为 0 < a < 1 , 故对称轴 x = 2a 介于 ( 0 , 2 ) 之间 , 再 细挖掘发现 2 a = a + a < a 图2 + 1 , 因此 , 对称轴 x = 2a 在 [ a + 1 , a + 2 ] 的左侧 , 且 f ( x ) 与 y 轴的交点在负 半轴 , 函数在 [ a + 1 , a + 2 ]上单调递减 . | f ( x ) | ≤a Ζ - a ≤f ( x ) ≤a ,
1 反客为主
若 A ∪B = R , 求 a 的范围 . 由 A = { x| lg ( x 2 - 2 a x + a 2 + 1 ) < lg 2} , 解 得 A = ( a - 1 , a + 1) .
令
f ( x ) = ( x - a) ( x - 2 ) > 0 ,
如图 1 所示 , 不论 y = f ( x ) 的 Δ> 0 ,Δ= 0 ,Δ< 0 , 由
a , 又 t ≥0 , 所以 0 ≤t < a , 即 0 ≤ a ( a - x ) < a , 解得 0 < x ≤a. 故原不等式的解为 x ∈( 0 , a].
即 bn + 1 = bn + 1 , bn + 1 ( 2 ) 由 ( 1 ) 有 b1 = 1 , bn = n , an = n2 n - 1 . 所以 S n = 2 n- 1 1 + 2 ×2 + 3 ×2 + … + n ×2 , 在公式 1 中 , 令 x
4 故 f ( a + 1 ) ≤a , f ( a + 2 ) ≥- a. 解得 ≤a ≤1 . 5
纵观近几年的高考试题中有关数列的考题 , 不少 n- 1 试题涉及到数列 { n ・ x } 求和 . 对于这种类型的题 目 , 一般采用错位相减法求和 . 在这里 , 我们介绍另一 种求和方法 , 即是利用导数求和 . 这种方法能够简化 运算过程 , 准确地得到结果 . 注意到当 x ≠1 时 , 利用等比数列求和公式有
况 , 转化为有理不等式组来解 . 仔细研究发现如能采 用引入参变量换元的方法 , 则可避免讨论 . 设
a ( a - x ) = t ( t ≥0 ) , 则 x = a t ). a a <t< 2
2
( 1 ) 设 bn =
2
n n- 1
a
. 证明 :数列{ bn } 是等差数列 ;
原不等式得 t > a - 2 ( a -
n
引入参变量 , 作为 揭示 变量 之间 联系的 媒 介 , 帮助我们对变量的变化过程作出定量的 刻画 , 化繁为简 , 化难为易 . ( 作者单位 : 河北省遵化市高级中学)
8
= 2 , 即有 S n =
i =1
∑a
i
= n・ 2 - 2 + 的前 n 项和为 S n , 已知
・ 通法研究 ・
此题的常规思维是对底数分 0 < a < 1 ,a > 1 来讨论确定函数 y = a x 的单调性 , 再分别求 出 y = a x 在 [ 0 , 1 ] 上的最大值与最小值后求 a 值 ; 若 从整体思维出发 ,单调函数在闭区间上的最值是在端 点处达到 ,则可回避讨论 ,直接求解 . 3 数形结合 例3 已知集合 2 2 A = { x| lg ( x - 2a x + a + 1 ) < lg 2} ,
( 2 ) 求数列{ an } 的前 n 项和 S n . ( 1 ) 由 an + 1 = 2 a n + 2 n , 有 an + 1 an = n- 1 + 1 , n 2 2 - bn = 1 , 即{ bn } 为等差数列 .
因为 a > 0 , 所以 2t 2 - at - a 2 < 0 , 则 -
a1 = 1 2 , S n = n a n - n ( n - 1) , n = 1 , 2 , … 2
1952 年 8 月 1 日 ,人民英雄纪念碑动工兴建 .
x1 x 2 = 1 ≥0 m m> 0
所以
f ( 1) > 0 , 即 - 6 log 3 a + 1 + 1 > 0 , a> 0,
本题通过变换主元 , 把曲线问题转化为直线 问题 , 不仅避免了分类讨论 , 又简化了考察 对象 .
2 整体化归
例2 函数 y = ax 在 [ 0 , 1 ]上的最大值与最小值 的和为 3 , 则 a = . 由题设得 y max + y min = a 0 + a 1 = 1 + a = 3 , 故
- ( 2 n + 1) x ( x 2 - 1) 2
2n
+x +1
下面举例说明 2 个公式在高考题中的应用 .
1 公式 1 的应用
) 在数列 { an } 中 , a 1 = 例 1 ( 2008 年全国卷 Ⅰ 1 , an + 1 = 2a n + 2 . t , 代入 a
2 n
分析 按常规方法需分 x >
◇ 河北 梁玉凤
浅谈函数问题中分类 讨论的简化
B = { x| ( x - a) ( x - 2 ) > 0} ,
分类讨论的思想方法是高中数学的基本方法之 一 ,是历年来高考的重点 . 运用此法解题需要有一定 的分析能力和分类技巧 . 学习中要求同学们在重视分 类讨论思想应用的同时 , 也要避免见参数就讨论 , 应 树立辩证的解题观点使分类讨论用得更为合理 . 如何 简化或避免分类讨论 ,本文以函数问题为例作一简要 探讨 ,供同学们学习参考 .
6 巧引参数
=
1- x ( x - 1)
+
nx . x - 1
n
分别对式 ② 的两边求导 , 得到公式 2 : 2 2n 1 + 3 x + …+ ( 2n - 1 ) x
( 2 n - 1) x
2n + 2
2 2
= .
例6 当 a > 0 时 , 解关于 x 的不等式
a ( a - x) > a - 2 x . a a 和 x ≤ 这 2 种情 2 2
5 挖掘隐含
利用导数求数列的和
2 2
例5 已知 f ( x ) = - x + 4a x - 3 a ( 0 < a < 1 ) . 若函数| f ( x ) | ≤a 在 [ a + 1 , a + 2 ]上恒成立 , 求 a 的取值范围 . 画出草 图 ( 如 图
2) , 从 图 中 仔 细
1 + x + x + …+ x = x + x + …+ x
3 2n - 1 2 n
x x
n+ 1
- 1 , x - 1
① ②
=
- x , 2 x - 1
n 2
2n + 1
分别对式 ① 的两边求导 , 得到公式 1 :
1 + 2 x + 3 x + …+ n x
2 n- 1
本题如果不对函数自身特点去进行研究分 析 , 必然要对二次函数坐标轴的位置进行分 类讨论 , 而且至少要分 3 种情况讨论 .
a = 2.
1952 年 8 月 1 日 ,八一电影制片厂创建 .
] m ≥9 . 所以 m < 9. 又二次函数与 x 轴有交点须有 Δ≥0 ( m ≤1) 及 m ≠0. 故 m 取值范围为 0 < m ≤1 或 m < 0. 7
・ 名师大课堂 ・
本题若直接从正面解决 , 需要考虑的因素太 多 , 解题思路不明朗 , 用补集思想考虑其对 立面 , 即从问题的反面去思考探索 , 可得到正面结论 .
A∪ B=R ] f ( a + 1) > 0 , f ( a - 1) > 0 < 3.
例1 若函数 y = ( x - 1 ) log a - 6 x log 3 a + x +
1在x ∈ [ 0 , 1 ]内恒正 , 求 a 的取值范围 .
2 3
]
1 < a
图1
分析 本题若用条件 y > 0 , 即 ( x - 1 ) log a 6 x log 3 a + x + 1 > 0 在 x ∈ [ 0 , 1 ]内恒成立 , 解关于 a 的不等式 , 再利用 0 ≤x ≤1 求 a 的取值范围 . 运算十 分复杂 , 若将 y = ( x - 1 ) log a - 6 x log 3 a + x + 1 看 成直线 , 则可得如下简捷的解法 . 2 2 f ( x ) = ( log 3 a - 6 log 3 a + 1 ) x + 1 - log 3 a , 因为函数 y = f ( x ) 在 x ∈[ 0 , 1 ] 内恒正 , 所 以 f ( x ) 表示的线段 A B 恒在 x 轴上方 , 即 2 端点在 x 轴上方 .
f ( 0) > 0 , 1 - log 3 a > 0 , a> 0,
3 1 < a < 3. 3 2 2 3
2 3
按照不等式知识须分 a > 0 ,a = 0 ,a < 0 分类 讨论求出集合 B , 而用数形结合有效避免了 分类讨论 .
4 正繁则反
例4 二次函数 y = m x 2 + ( m - 3 ) x + 1 的图象 与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 , 求 m 的取值 范围 . 分析 此题若从正面直接解 , 须分 “ 2 个交点分 别在原点的两侧” 和 “ 2 个交点都在原点的右侧” 2种 情况讨论 , 运算量大且易出错 . 若用补集思想考虑其 对立面 , 即 “ 2 个交点都在原点的左侧 ( 含原点 ) ” ,问 题就简捷多了 , 而且避免了分类讨论 . 设一元二次方程 m x 2 + ( m - 3 ) x + 1 = 0 的 2 个根为 x 1 和 x 2 , 则 2 个交点都在原点的 左侧 ( 含原点) , 必须满足 : Δ= ( m - 3 ) 2 - 4m ≥0 , m ≥9 或 m ≤1 , m- 3 x1 + x2 = ≤0 , m ] m ≥3 或 m < 0 ,