二次函数中分类讨论问题.doc

专题07 二次函数中基于对称轴进行分类讨论及求解函数最值题型 ·. 二次函数222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的最值问题为： （1）当a >0时，当x =2b a-时有最小值，最小值为：244ac b a -； （2）当a <0时，当x =2b a-时有最大值，最大值为：244ac b a -. ·. 当二次函数的自变量取值范围不是全体实数时，需要考虑取值范围与对称轴的关系，再进行求解. 题型一、二次函数函数值的取值范围与一元二次方程的解的关系1.（2019·山东潍坊中考）抛物线y ＝x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．2≤t ＜11B ．t ≥2C ．6＜t ＜11D ．2≤t ＜6 二、二次函数对称轴位置不同产生的不同最值问题2. （2019·浙江台州中考）已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．题型三、二次函数增减性与对称轴的关系3. （2019·山东临沂中考）在平面直角坐标系中，直线y =x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a ＜经过点A 、B .（1）求a 、b 满足的关系式及c 的值.（2）当x <0时，若2(0)yax bx c a ＜的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围. （3）如图，当1a 时，在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积为1，若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标，若不存在，请说明理由.题型四、二次函数图象与直线公共点个数的判别4. （2019·北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线21y ax bxa与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P 11,2a，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．5. （2019·湖北仙桃中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y =ax 2+2x －1(a ≠0)和直线l ：y =kx +b ，点A (－3，－3)，B (1，－1)均在直线l 上．(1)若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；(2)当a =－1，二次函数y =ax 2+2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值为－4，求m 的值；(3)若抛物线C 与线段．．AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．题型五、一些综合题型（含参数的二次函数等）6. （2019·广东广州中考）已知抛物线G ：32y 2--=mx mx 有最低点.（1）求二次函数32y 2--=mx mx 的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1。

函数单调性之分类讨论本文介绍了含参函数单调性的分类讨论方法。

首先，根据函数的形式（一次函数、二次函数、分式函数、含ex函数）进行分类讨论。

对于一次函数，根据参数k的正负和零来标记数轴上的根，并确定单调区间；对于二次函数，先进行因式分解，然后根据参数a的正负和零以及判别式Δ的大小来确定单调区间；对于分式函数和含ex函数，需要进行通分或提取e 等操作，然后根据参数分类讨论。

接下来，通过两个例题来演示如何使用分类讨论方法讨论函数单调性。

第一个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax，根据导数的正负确定函数在定义域上的单调性；第二个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax+(a-1)x^2/2，先求导得到导数，然后根据判别式Δ的大小和根的位置确定函数在定义域上的单调性。

总的来说，分类讨论法是一种通用的方法，适用于各种含参函数单调性的讨论。

在具体操作时，需要根据函数的形式和参数的取值进行分类讨论，然后根据导数的正负、判别式的大小和根的位置等来确定函数在定义域上的单调性。

首先需要进行一些符号的修正和排版调整，然后再进行改写。

1.讨论函数$f(x)=ae^x$的单调性。

解析：定义域为$(-\infty。

+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=ae^x$。

当$a0$时，$f(x)$在$(-\infty,1)$单调递减，在$(1,+\infty)$单调递增。

2.讨论函数$f(x)=\ln x+ax^2+(2a+1)x$的单调性。

解析：定义域为$(0,+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=\frac{1}{x(x+1)}+(4a+2)x+2a+1$。

当$a\geq 0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增；当$a<0$时，令$f'(x)=0$得到$x_1=-\frac{1}{2a}$和$x_2=-1$，因此$f(x)$在$(0,x_1)$和$(x_2,+\infty)$单调递减，在$(x_1,x_2)$单调递增。

二次函数在几何方面的应用——存在性问题一、教学目标：知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。

过程与方法：利用数形结合思想，把“数''与“形”结合起来，互相渗透.同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。

情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。

难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。

教学方法：自主探索、合作交流。

教学手段：运用多媒体教学三、教学过程：类型一特殊三角形的存在、探究问题【方法指导】1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；（3）设未知量，求边长.在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x, ax2^-hx+c）；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-二，）；），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；2a（4）计算求解.根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式, 根据等量关系求解即可.探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.2.探究直角三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步;分三种情况讨论：①如二朋,c=~3,(2) 当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90° ；(3) 设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标(若所求的点在抛 物线上时，该点的坐标可以设为3 以斗靛+Q ；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为(・=，y)，利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解. 2a【范例解析】例1 (2013铜仁)如图，已知直线尸3/3分别交x 轴、火轴于/、月两点，抛物线y^x+bx^c经过从B 两点、,点。

专题14 二次函数的分类讨论问题1、已知抛物线y ＝﹣16x 2﹣23x +2与x 轴交于点A ，B 两点，交y 轴于C 点，抛物线的对称轴与x 轴交于H 点，分别以OC 、OA 为边作矩形AECO ．（1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M ，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM ﹣OM |的最大值．（3）如图3，将△AOC 沿直线AC 翻折得△ACD ，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△A 'C ′D '．使得点A ′、C '在直线AC 上，是否存在这样的点D ′，使得△A ′ED ′为直角三角形？若存在，请求出点D ′的坐标；若不存在，请说明理由．2、已知抛物线1l :212y ax =-的项点为P ，交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin 5ABP ∠=．(1)求抛物线1l 的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ,交y 轴于点D ,若ABC ∆的面积被y 轴分为1: 4两个部分，求直线AC 的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线2l ,点M 为抛物线2l 上一点，当点M 的横坐标为何值时，BDM ∆为直角三角形？3、已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=12x 2+bx+c 的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上有一动点P ，从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，是否存在点P 使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 运动的时间t 的值，若不存在，请说明理由．（4）若动点P 在x 轴上，动点Q 在射线AC 上，同时从A 点出发，点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．4、已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．5、如图，动直线 y ＝kx+2（k ＞0）与 y 轴交于点 F ，与抛物线 y ＝14x 2+1 相交于A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，连接 CF ，DF ，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．6、如图，已知直线y ＝﹣x+4分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，抛物线过y ＝ax 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC△x 轴于点C ，交抛物线于点D ．（1）若抛物线的解析式为y ＝﹣12x 2+x+4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N ． △求点M 、N 的坐标；△是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；（2）当点P 的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B 、P 、D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．7、如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0，8)，点C 的坐标为(6，0)，抛物线249y x bx c =-++经过点A 、C ，与AB 交于点D ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ．△求S 关于m 的函数表达式；△当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图1，对称轴为直线1x 2的抛物线经过B （2，0）、C （0，4）两点，抛物线与x 轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝√22x 2+5√22x−3√2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D(0，2√2)在y 轴上，连接BD ．（1）请求出直线AC 、BD 的解析式；（2）如图1，点P 为第三象限内抛物线上一动点，过点P 作PE△y 轴交直线AC 于点E ，连接OE ．当△AOE=△BDO 时，点M 为直线x 轴上一点，点N 为y 轴上一点，连接EM 、NP ，当四边形MNPE 周长最小时，请求出点N 的坐标并直接写出此时四边形MNEP 的周长；（3）如图2，在（2）的结论下，连接OP ，将△OEP 绕点O 旋转，点E 旋转后对应点为E 1，点P 旋转后对应点为P 1，直线E 1P 1与y 轴交于点F ，与直线BD 交于点Q ．在旋转过程中，△DQF 能否为直角三角形，若能，请求出DF 的长度；若不能，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．11、在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得△OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．。

导数中含参数问题该如何进行分类讨论
一、导函数是二次函数或者类二次函数形式的
注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符号相同，很容易判断a 非负状态下的单调性，切记，切记。

二、导函数不是二次函数和类二次函数形式
能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义，如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。

三、最高次项系数含有参数，对该系数分类讨论
四、根的个数不确定时，对判别式Δ分类
五、两根大小不确定时，对两根大小分类讨论
六、不确定根是否在定义域内时，对根与定义域端点值的大小分类讨论
七、复杂问题，按顺序分类讨论。

二次函数一、单选题1．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞；2．已知函数24y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则m M ⋅等于（ ） A ．82B ．62C ．42D ．223．设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是A ．1122t -≤≤ B ．2t ≥或2t ≤-或0t = C ．12t ≥或12t ≤-或0t =D ．22t -≤≤4．设二次函数()()2R f x x bx b =+∈，若函数()f x 与函数()()ff x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．（－∞，0］∪［2，＋∞） B ．（－∞，0］ C ．（－∞，2］D ．［2，＋∞）5．函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()f x 的定义域为{}|,1x x R x ∈≠，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）A ．5[,)4+∞B ．7[,)4+∞C ．5(1,]4D ．7(1,]47．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点构成一个正方形区域，则a 的值为（ ） A ．2-B ．4-C ．D ．8-8．已知函数()2221f x x ax a =-+- ，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）． A ．(-3，-2) B ．(-∞，-1)C ．(-∞，-2)D ．(-∞，-2]二、多选题9．（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()fx 的单调递增区间是（ ） A ．(),1-∞-B ．()3,1--C ．()0,1D ．()1,310．关于x 的方程()()2222220x xx x k ---+=，下列命题正确的有（ ）A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根第II 卷（非选择题）三、填空题11．已知a R ∈，函数()223f x x x a a =--+在区间[]0,3上的最大值是4，则a 的取值为________.12．已知f （x ）=x 2﹣3x+4，若f （x ）的定义域和值域都是[a ，b]，则a+b= ．13．已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x恒成立，则a 的取值范围是__________．14．定义区间[]12,x x 长度()2121x x x x ->为，已知函数()()221(,)0a a x f x a xa R a ∈=≠+- 的定义域与值域都是[],m n ，则区间[],m n 取最大长度时a 的值为__________.15．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．16．若不等式223x x a a --≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，则正实数a 的取值范围是____.三、解答题17．已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点()1,13，且函数对称轴方程为12x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数2()()13||g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求()g x 在区间[],2t 上的最小值()H t ；（Ⅲ）探究：函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.18．设函数()25(2){5(2)x ax a x f x ax x -+≥=+<（a 为常数），（1）对任意12,x x R ∈，当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求2()43g x x ax =-+在区间[1,3]上的最小值()h a ．19．已知函数()22f x ax bx =--(,a b ∈R 且0a ≠)，()4g x kx =+（1）若()10f =，且函数()f x 的值域为(],0-∞，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()()h x f x g x =+时单调函数，求实数k 的取值范围；（3）当1a =，[]0,4b ∈时，若对于任意[]0,3x ∈，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围20．设二次函数()()2ax bx c a f x b R ++=∈，满足我们的：①当x ∈R 时，()f x 的最大值为0，且()()13f x f x -=-成立； ②二次函数()f x 的图象与直线2y =-交于A B 、两点，且AB 4=. （1）求()f x 的解析式；（2）求最小的实数()1n n <-，使得存在实数t ，只要当[],1x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立．21．已知函数2()2f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(,1]-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对对任意的1x ，21,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有212()()44m f x f x -≤-，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由． 23．设()2f x x x a x =-+ (a ∈R)(1) 若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值； (2) 若2a >，写出()f x 的单调区间；(3) 若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.24．设函数()22f x x ax =+，其中a ∈R ．（1）求函数()y f x =在[)1,+∞的最小值()g a 的表达式； （2）若函数()y f x =和()()y ff x =的值域相同，求实数a 的取值范围；（3）记()[]{},,1A y y f x x a a ==∈--+，()()[]{},,1B y y f f x x a a ==∈--+，若A B =，求实数a 的值．二次函数一、单选题1．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞；【解析】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=，当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=， 若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立， 即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A2．已知函数y M ，最小值为m ，则m M ⋅等于（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】2246y x x =-+++=+2666y y ≤≤+=≤≤即m M ⋅==故选B.3．设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是A ．1122t -≤≤ B ．2t ≥或2t ≤-或0t = C ．12t ≥或12t ≤-或0t =D ．22t -≤≤【解析】若函数f （x ）≤t 2﹣2at+1对所有的x ∈[﹣1，1]都成立，由已知易得f （x ）的最大值是1，∴1≤t 2﹣2at+1⇔2at ﹣t 2≤0，设g （a ）=2at ﹣t 2（﹣1≤a≤1），欲使2at ﹣t 2≤0恒成立，则()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩ ⇔t≥2或t=0或t ≤﹣2．故选B ． 4．设二次函数()()2R f x x bx b =+∈，若函数()f x 与函数()()ff x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．（－∞，0］∪［2，＋∞） B ．（－∞，0］ C ．（－∞，2］ D ．［2，＋∞）【解析】当0b =时，()2f x x =，()[]0,f x ∈+∞，()()[]0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，对称轴为02bx =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞）故选：A5．函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】依题意，函数开口向下，故，或；解得.6．已知函数()f x 的定义域为{}|,1x x R x ∈≠，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ）A ．5[,)4+∞B ．7[,)4+∞C ．5(1,]4D ．7(1,]4【解析】令()()1F x f x =+，则由已知得()F x 的定义域为{}|,0x x R x ∈≠， 且()F x 为奇函数，当0x <时，()2232F x x x =++，所以当0x >时，有()2232F x x x =-+-，此时其单调递减区间为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，()F x 图象向右平移1个单位得到()f x 的图象，所以对于函数()f x 来说，其单调递减区间为7[,)4+∞.故选：B. 7．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点构成一个正方形区域，则a 的值为（ ） A ．2-B ．4-C ．D ．8-【解析】设函数u=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标为：x 1，x 2，x 1＜x 2∵s 为定义域的两个端点之间的部分，就是[x 1，x 2],f （t ）（t ∈D ）就是f （x ）的值域，也就是[0，f （x ）max ]，且所有的点（s ，f （t ））（s ，t ∈D ）构成一个正方形区域∴|x 1-x 2,∵|x 1-x 2a=-,∴22244, 4.4b ac ac b a a a --=∴=- 8．已知函数()2221f x x ax a =-+- ，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）． A ．(-3，-2)B ．(-∞，-1)C ．(-∞，-2)D ．(-∞，-2]【解析】函数()2221f x x ax a =-+-()()2211x ax a a =-+-+ ()()11x a x a =---+由()0f x <，即()()110x a x a ⎡⎤⎡⎤---+<⎣⎦⎣⎦， 解得11a x a -<<+， 那么不等式()()()011ff x a f x a <=-<<+ ，①又()()21f x x a =+-，当x a =时，()f x 取得最小值-1 , 即函数的值域为[)1,-+∞，若不等式的解集为空集，则①的解集为空集， 那么()1,1a a -+与值域的交集为空集，11a ∴+≤-，2∴≤-a ，即实数a 的取值范围是(],2-∞-，故选D .二、多选题9．（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()fx 的单调递增区间是（ ） A ．(),1-∞-B ．()3,1--C ．()0,1D ．()1,3【解析】因为函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，对称轴为直线1x =，开口向下，所以函数()fx 满足23x -<<，所以33x -<<.又()22221,03,2121,30,x x x f x x x x x x ⎧-++≤<=-++=⎨--+-<<⎩且221y x x =--+图象的对称轴为直线1x =-，所以由二次函数的图象与性质可知，函数()fx 的单调递增区间是()3,1--和()0,1.故选BC.10．关于x 的方程()()2222220x xx x k ---+=，下列命题正确的有（ ）A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 【解析】设22t x x =-，方程化为关于t 的二次方程()220*t t k ++=.当1k >时，方程()*无实根，故原方程无实根.当1k =时，可得1t =-，则221x x -=-，原方程有两个相等的实根1x =.当1k <时，方程()*有两个实根()1212,t t t t <，由122t t +=-可知，11t <-，21t >-.因为()222111t x x x =-=--≥-，所以212x x t -=无实根，222x x t -=有两个不同的实根.综上可知：A ，B 项正确，C ，D 项错误.故选：AB第II 卷（非选择题）四、填空题11．已知a R ∈，函数()223f x x x a a =--+在区间[]0,3上的最大值是4，则a 的取值为________.【解析】因为22()23(1)13f x x x a a x a a =--+=---+， 结合二次函数的图象以及绝对值的意义，可以得到函数()f x 在[0,3]上的最大值可能取的位置有1,3x x ==这两个，当(1)f 为最大值时，有(1)134f a a =++=，解得34a =， 当34a =时，279()(1)44f x x =--+，此时799(3)44442f =-+=>，不满足条件，当(3)f 为最大值时，有(3)334f a a =-+=，解得12a =， 当12a =时，233()(1)22f x x =--+，此时(1)3,(3)4f f ==，满足条件， 所以a 的值为12，故答案为：12. 12．已知f （x ）=x 2﹣3x+4，若f （x ）的定义域和值域都是[a ，b]，则a+b= ． 【解析】∵f （x ）=x 2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b ＜2时，函数在区间[a ，b]上递减，又∵值域也是[a ，b]，∴得方程组即，两式相减得（a+b ）（a ﹣b ）﹣3（a ﹣b ）=b ﹣a ，又∵a≠b ，∴a+b=，由，得3a 2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f （2）=1≠，故舍去．②当a ＜2＜b 时，得f （2）=1=a ，又∵f （1）=＜2，∴f （b ）=b ，得，∴b=（舍）或b=4，∴a+b=5③当a ＞2时，函数在区间[a ，b]上递增，又∵值域是[a ，b]，∴得方程组，即a ，b 是方程x 2﹣3x+4=x 的两根，即a ，b 是方程3x 2﹣16x+16=0的两根，∴，但a ＞2，故应舍去．故答案为513．已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x恒成立，则a 的取值范围是__________．【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知： 当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．定义区间[]12,x x 长度()2121x x x x ->为，已知函数()()221(,)0a a x f x a xa R a ∈=≠+- 的定义域与值域都是[],m n ，则区间[],m n 取最大长度时a 的值为__________. 【解析】 因为()()222111a a x a a xa a f xx +-+==-，所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都是单调递增函数，所以0m n <<或0m n << 因为值域是[],m n ，所以221111,,a a m n a a m a a n++=-=- 即m n ，为方程222211,()10a x a x a a x a a x+=--++=两个不同的实根, 所以222()401a a a a ∆=+->∴>或3a <-[],m n长度为2a ∆==所以当11,33a a ==时，[],m n 长度取最大值， 故答案为：315．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________． 【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭()0x >，则PA === 令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.16．若不等式223x x a a --≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，则正实数a 的取值范围是____.【解析】设()22f x x x a =--，其中[]1,1x ∈-.①当21a ≥时，即当12a ≥时，()22f x x x a =+-，则函数()y f x =在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， ()122f a =-，()12f a -=-，则()max 223f x a a =-≤-，解得53a ≥，此时53a ≥；②当021a <<时，即当102a <<时，()222,122,21x x a x a f x x x a a x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩. （i ）若1022a <<时，即当104a <≤时，函数()y f x =在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间12,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.()12f a -=-，()224f a a =，()12f a =，()()21f a f <，所以，()max 23f x a a =≤-，解得3a ≤-，不合题意； （ii ）当1212a ≤<时，函数()y f x =在区间11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，()12f a -=-，()12f a =，()()11f f >-，则()max 23f x a a =≤-，解得3a ≤-，不合题意.综上所述，正实数a 的取值范围是5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.三、解答题17．已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点()1,13，且函数对称轴方程为12x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数2()()13||g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求()g x 在区间[],2t 上的最小值()H t ；（Ⅲ）探究：函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】(Ⅰ) ∵ ()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，∴ 1b =． 又的图象过点（1，13），∴，∴．∴的解析式为．(Ⅱ) 由(Ⅰ)得：结合图象可知：当，；当，； 当，．∴ 综上：（Ⅲ）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为，其中为正整数，为自然数，则， （法一）从而， 即． 注意到是质数，且，又，所以只有， 解得：．因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．（法二）从而的偶数，∴的奇数 ∴ 取验证得，当时符合因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．18．设函数()25(2){5(2)x ax a x f x ax x -+≥=+<（a 为常数），（1）对任意12,x x R ∈，当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求2()43g x x ax =-+在区间[1,3]上的最小值()h a ．【解析】（1）由题意，函数在定义域上增，则2{20,a a ≤>，而且222525a a a -+≥+,所以14a ≤≤；（2）()222()43=234g x x ax x a a =-+-+-，对称轴为2,x a = 由（1）得228,a ≤≤ ①223a ≤≤时，即312a ≤≤时，()2min ()234f x f a a ==-； ②328a ≤≤时，即342a <≤时，()min ()3126f x f a ==-． 综上：()2334,12{31212,42a a h a a a -≤≤=-<≤. 19．已知函数()22f x ax bx =--(,a b ∈R 且0a ≠)，()4g x kx =+（1）若()10f =，且函数()f x 的值域为(],0-∞，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()()h x f x g x =+时单调函数，求实数k 的取值范围；（3）当1a =，[]0,4b ∈时，若对于任意[]0,3x ∈，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围 【解析】（1）函数()f x 的值域为(],0-∞，所以20,80a b a <⎧⎨∆=+=⎩， 又()10f =，所以20a b --=，解得：2,4,a b =-⎧⎨=-⎩所以()2242f x x x =-+-.（2）因为()()()h x f x g x =+22(4)2x k x =-+++，对称轴为44kx +=，所以424k +≤-或424k+≥，解得：12k ≤-或4k ≥. （3）当1a =时，()22f x x bx =--，因为()()f x g x ≤2|2|4x bx kx ⇔--≤+2424kx x bx kx ⇔--≤--≤+，所以不等式组2224,24,x bx kx x bx kx ⎧--≤+⎨--≥--⎩对于任意[]0,3x ∈，[]0,4b ∈恒成立.所以不等式组22()60,()20,x b x kx x b x kx ⎧-⋅+--≤⎨-⋅+++≥⎩对于任意[]0,3x ∈，[]0,4b ∈恒成立. 所以2260,(4)20,x kx x k x ⎧--≤⎨+-+≥⎩对于任意[]0,3x ∈恒成立.先考虑不等式260x kx --≤对于任意[]0,3x ∈恒成立，所以1k；再考虑不等式24)20(x k x -++≥对于任意[]0,3x ∈恒成立（此时只考虑1k 情况），因为函数的对称轴为42k x -=-， ①当4042k k --≤⇒≥时，不等式24)20(x k x -++≥对于任意[]0,3x ∈恒成立；②当14k ≤<时，43022k -<-≤，则2(4)8044k k ∆=--≤⇒-≤≤+，所以44k -≤<；综上所述：4k ≥-.20．设二次函数()()2ax bx c a f x b R ++=∈，满足我们的：①当x ∈R 时，()f x 的最大值为0，且()()13f x f x -=-成立； ②二次函数()f x 的图象与直线2y =-交于A B 、两点，且AB 4=. （1）求()f x 的解析式；（2）求最小的实数()1n n <-，使得存在实数t ，只要当[],1x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立． 【解析】（1）由(1)(3)f x f x -=-得，函数()f x 的图象的对称轴是1x =，又()f x 的最大值是0，可设2()(1)(0)f x a x a =-<，令2(1)2a x -=-，得1x =±4AB ==，12a =-．∴21()(1)2f x x =--； （2）由()2f x t x +≥，得21(1)22x t x --+≥，即222(1)(1)0x t x t +++-≤，解得11t x t ---≤≤--+（0t ≥，否则不等式无解）， 又()2f x t x +≥在[,1]x n ∈-上恒成立，∴1(1)11(2)t n t ⎧---⎪⎨--+≥-⎪⎩， 由（2）得04t ≤≤，令()1g t t =---()1g t t =---()(4)9g t g ≥=-， 由于只需存在实数t ，故9n ≥-，则n 的最小值是9-，此时存在实数4t =，只要当[,1]x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立． 21．已知函数2()2f x x mx =-+．（1）若()f x 在区间(,1]-∞上有最小值为1-，求实数m 的值；（2）若4m ≥时，对对任意的1x ，21,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有212()()44m f x f x -≤-，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）22()()224m m f x x =-+-，对称轴为2m x =，因此按2m 1≤或12m >分类得最小值，可求得m ； （2）显然[1,1]22m m ∈+上，min ()()2mf x f =，max ()(1)(4)f x f m =≥，题中不等式恒成立，即2max min ()()44m f x f x -≤-，解不等式可得m 范围. 试题解析：（1）函数()22f x x mx =-+，其图象的对称轴方程为2m x =．当2m ≤时，()2min2124m m f x f ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，m =-当2m >时，()f x 在区间(],1-∞上单调递减，()()2min 1121f x f m ==-+=-，∴4m =，综上可知，m =-4m =． （2）1,122m m x ⎡⎤=∈+⎢⎥⎣⎦，且11222m m m⎛⎫+-≤- ⎪⎝⎭， ∴()()max 13f x f m ==-，()2min224m m f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，∵对任意的1x ，21,12m x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，总有()()21244m f x f x -≤-，∴()()222max min3214444m m m f x f x m m -=-+-=-+≤-，得5m ≥，故实数m 的取值范围是[)5,+∞．点睛：二次函数2()f x ax bx c =++的最值问题，不妨设0a >，[,]x m n ∈，则有当22b m n a +-≥时，max ()()f x f m =，当22b m n a +-<时，max ()()f x f n =，当[,]2bm n a-∈时，min ()()2b f x f a =-，当2b m a ->时，min ()()f x f n =，当2b m a -<时，min ()()f x f m =.22．已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由． 【解析】(Ⅰ)因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-，所以当02a-≤，即0a ≥时，()()2()12max g a f x f a a ===++； 当02a->，即0a <时，()()2()1 2.max g a f x f a a ==-=-+ 所以()22,022,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩.(Ⅱ)假设存在符合题意的实数m ，n ，则由(Ⅰ)可知，当a R ∈时，()[)2,.g a ∈+∞所以若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0.m n << 所以()22g a a a =++，且为单调递增函数.所以()()225225g m m m m g n n n n =++=⎧⎪=++=⎨⎪⎩,所以22m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩23．设()2f x x x a x =-+ (a ∈R)(1) 若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值； (2) 若2a >，写出()f x 的单调区间；(3) 若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【解析】（1）当2a =时， ()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥, ∴ ()f x 在R 上为增函数， ∴ ()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f == .（2）()()()222,{2,x a x x af x x a x x a-++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时， 22a a ->， ∴ ()f x 在(),a +∞为增函数 ,当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<, ∴ ()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数 , 则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭. （3）由（2）可知，当22a -≤≤时， ()f x 为增函数， 方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得 ()()22a f a tf a f +⎛⎫<<⎪⎝⎭, ()22224a a at +<<,即()2218a t a +<<在(]2,4有解,由()22118822a a aa +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时， ()228a a+的最大值为98, 则918t <<. 24．设函数()22f x x ax =+，其中a ∈R ．（1）求函数()y f x =在[)1,+∞的最小值()g a 的表达式； （2）若函数()y f x =和()()y ff x =的值域相同，求实数a 的取值范围；（3）记()[]{},,1A y y f x x a a ==∈--+，()()[]{},,1B y y ff x x a a ==∈--+，若A B =，求实数a 的值．【解析】 （1）对称轴22ax a =-=- 当1,1a a -≤≥-即时[)1,x ∈+∞，()f x 单调递增，所以()min (1)12f x f a ==+即()12g a a =+当1,1a a -><-即时()f x 在[)1,+∞的最小值()222min ()2f x f a a a a =-=-=-即()2g a a =- 综上所述：()212,1,1a a g a a a +≥-⎧=⎨-<-⎩（2）()y f x =和()()y f f x =的值域相同，易得()f x 在对称轴取得最小值 ()2min ()f x f a a =-=-，所以()2f x a ≥-。

含参数二次函数分类讨论的方法总结二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略。

它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类然后逐类解决问题。

对于二次函数y=a(x-m)+n，x∈[t，s]求最值的问题，解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

分类图如下：t+s/2为对称轴，①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论。

题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值。

例如，求函数f(x)=x-2ax+3在x∈[0,4]上的最值。

先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：f(x)=x-2ax+3=(x-a)+3-a，此函数图像开口向上，对称轴x=a。

①、当a＜0时，距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=0时，ymin=3，x=4时，ymax=19-8a。

②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a 最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=4时，ymax=19-8a。

③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=0时，ymax=3.④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=4时，ymin=19-8a，x=0时，ymax=3.题型二：“区间定动轴”型的二次函数最值。

例如，已知函数f(x)=ax^2+(1-2a)x-3在[0,1]上最小值为-2，求实数a的值。

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合八、二次函数含参数分类讨论综合问题1.（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；2.（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，∴mn＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，∴0＜mn＜．3.（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．4.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；5.（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；6.（2019•大连）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为2m﹣1（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a或a≥1或a≤﹣．7.（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），代入y＝x2+bx+c，得：，解得，所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C（0，﹣3），则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3，∴CP＝3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝33，∴CP＝33；综上，CP的长为3或33；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2（负值舍去）；综上，a的值为1或2．8.（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM ＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b +）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．。