初二数学 二元一次方程组辅导

八年级数学二元一次方程组知识点八年级数学中二元一次方程组是一个重要的知识点。

以下是几个常见的知识点和解题方法：1. 一次方程组的定义：二元一次方程组由两个一次方程组成，通常形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1, a2, b1, b2, c1, c2都是已知的实数系数。

2. 解二元一次方程组的方法：a. 消元法：通过适当的运算，将其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去这个未知数，求解另一个未知数；再将该未知数代回到方程中，求出另一个未知数；b. 代入法：将其中一个方程的一个未知数用另一个方程的未知数表示，然后代入到另一个方程中，得到一个含有一个未知数的一元一次方程，求解解。

3. 判断方程组有无解、唯一解或无穷解的条件：a. 方程组有无解：如果两个方程的系数a1/b1和a2/b2比值相等，同时c1/c2的比值与a1/b1的比值不等，则方程组无解；b. 方程组有唯一解：当两个方程系数a1/b1和a2/b2比值不等，或者c1/c2的比值与a1/b1的比值相等时，方程组有唯一解；c. 方程组有无穷解：当两个方程的系数a1/b1和a2/b2比值相等且c1/c2的比值与a1/b1的比值相等时，方程组有无穷解。

4. 解题例子：例1: 求解方程组2x + 3y = 75x - 4y = 2解：可以使用消元法或代入法解。

消元法：将第一个方程乘以4，第二个方程乘以3，然后相减消去y的系数，得到6x = 22，即 x = 22/6 = 11/3。

将x = 11/3代入第一个方程，得到2(11/3) + 3y = 7，解得 y = 1/3。

所以方程组的解为 x = 11/3， y = 1/3。

例2: 判断方程组是否有解3x - 4y = 109x - 12y = 30解：将第一个方程乘以3，第二个方程乘以1/3，然后比较系数。

比较系数发现：-4/3 ≠ 1/3。

所以方程组无解。

第10讲 二元一次方程组知识点1 二元一次方程的概念方程220x y +=、23+1035x y +=，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程，叫做二元一次方程. 二元一次方程需要满足的条件： 1、只含有两个未知数； 2、含未知数项的最高次数是1； 3、整式方程.【典例】1.若方程3(25)28a bb xy x y --+-=是关于x y ，的二元一次方程，则______a b +=．【答案】3【解析】解：由题意可知：250b -=且31a b -=. 解得：7562a b ==，. ∴7511623a b +=+=. 故答案为：113.【方法总结】有关二元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或概念需要满足的条件入手，通过建立方程模型，从而求出待定系数或相关字母值.【随堂练习】1．（2019春•新化县期末）下列各式中是二元一次方程的是( ) A ．240x y --=B ．3x -C ．0x y z ++=D ．20x y -=【解答】解：A 、该方程是二元二次方程的，故本选项错误；B 、3x -不是方程，故本选项错误；C 、该方程中含有3个未知数，属于三元一次方程，故本选项错误；D 、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确．故选：D ．2．（2019春•嘉兴期末）下列属于二元一次方程的是( ) A ．20x y +=B ．20x y -=C ．21x y=+ D ．12y x +【解答】解：A 、该方程中含有两个未知数，但是未知数的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误．B 、该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确．C 、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误．D 、它不是方程，故本选项错误．故选：B ．3．（2019春•满城区期末）已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为( )A ．1m =-，1n =B ．1m =，1n =-C ．1m =，4n =D ．13m =-，43n =【解答】解：方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程， ∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩，解得：11m n =⎧⎨=-⎩，故选：B ．4．（2019春•道外区期末）下列方程是二元一次方程的是( ) A ．90x +=B ．27x a -=C ．39ab =D ．17y x+=【解答】解：A 、该方程是一元一次方程，故本选项错误；B 、该方程是二元一次方程，故本选项正确；C 、该方程是二元二次方程，故本选项错误；D 、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：B ．5．（2019春•杜尔伯特县期末）若||2018||3(2019)(4)2019m n m x n y ---++=是关于x ，y 的二元一次方程，则( ) A ．2019m =±，4n =± B ．2019m =-，4n =± C ．2019m =±，4n =-D ．2019n =-，4n =【解答】解：||2018||3(2019)(4)2019m n m x n y ---++=是关于x ，y 的二元一次方程， ∴20190||2018140||31m m n n -≠⎧⎪-=⎪⎨+≠⎪⎪-=⎩，解得：2019m =-、4n =， 故选：D ．6．（2018秋•万州区期末）若|21|(1)10250m m x y --+=是关于x 的二元一次方程，则m 的值是( ) A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数【解答】解：依题意得：|21|1m -=，且10m -≠， 解得0m =． 故选：B ．7．（2019春•洛宁县期中）下列方程中，是二元一次方程的是( ) A ．46x y +=B ．690xy +=C ．324x y z -=D ．2x l y=+ 【解答】解：A 、是二元一次方程，故此选项正确；B 、是二元二次方程，故此选项错误；C 、是三元一次方程，故此选项错误；D 、是分式方程，故此选项错误；故选：A ．8．（2019春•道里区期末）若方程(3)24m x y --=是关于的x ，y 二元一次方程，则m 的取值范围是( ) A ．0m ≠B ．3m ≠C ．3m ≠-D ．2m ≠【解答】解：方程(3)24m x y --=是关于的x ，y 二元一次方程， 30m ∴-≠，即3m ≠，故选：B ．知识点2 二元一次方程的解适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解. 如83x y ==，是方程231035x y ++=的一个解，记作83x y =⎧⎨=⎩. 【典例】1.已知关于x y 、的二元一次方程34280x y mx m -+++=，当12x y =-⎧⎨=⎩时，_____m =；若无论m 取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为________．【答案】3；212x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 【解析】解：把12x y =-⎧⎨=⎩代入方程得：38280m m ---++=，解得：3m =；方程整理得：34(2)80x y m x -+++=， 令20x +=，得到2x =- ，把2x =-代入方程得：6480y --+=， 解得：y=，则方程固定的解为212x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为：3；212 xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩【方法总结】1、根据二元一次方程的解，求字母参数的取值，只需把它的解代入方程中，建立关于参数的方程，解方程即可求出参数的值.2、已知方程的解与某个字母参数的取值无关时，只需要对这个方程进行化简，把含字母参数的项进行合并，并令合并后的字母参数的系数为0，即可求得字母参数的值.【随堂练习】1．（2019春•雨花区校级期末）已知12xy=⎧⎨=⎩是方程7x ay+=的一个解，则a的值是()A．3B．1C．3-D．1-【解答】解：12xy=⎧⎨=⎩是方程7x ay+=的一个解，127a∴+=，解得：3a=．故选：A．2．（2019春•海淀区校级期末）若21xy=⎧⎨=-⎩是二元一次方程9y kx=-的一个解，则k的值为()A．3-B．3C．4-D．4【解答】解：21xy=⎧⎨=-⎩是二元一次方程9y kx=-的一个解，129k∴-=-，解得：4k=．故选：D．3．（2019春•通州区期末）已知关于x，y的二元一次方程23x y t-=，其取值如下表，则p 的值为()A ．9B ．11C ．13D ．15【解答】解：由表格可得235m n -=． 则2(2)3(2)m n p +--=， 整理得2310m n p -=-． 所以105p -=，解得15p =． 故选：D ．4．（2019春•永州期末）下列选项不是方程25x y -=的解的是( ) A ．43x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．31x y =⎧⎨=-⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩【解答】解：A 、将4x =，3y =代入25x y -=的左边得：835-=，右边为5，左边=右边，不合题意；B 、将2x =，1y =-代入25x y -=的左边得：4(1)5--=，右边为5，左边=右边，不合题意；C 、将3x =，1y =-代入25x y -=的左边得：617+=，右边为5，左边≠右边，符合题意； D 、将3x =，1y =代入25x y -=的左边得：615-=，右边为5，左边=右边，不合题意；故选：C ．5．（2019春•江汉区期末）若01x y =⎧⎨=⎩和11x y =-⎧⎨=-⎩是方程y kx b =+的解，则k ，b 的值分别是()A ．2k =，1b =-B ．2k =，1b =C ．12k =，1b =- D ．12k =，1b = 【解答】解：把01x y =⎧⎨=⎩和11x y =-⎧⎨=-⎩代入方程y kx b =+中得：11b k b =⎧⎨-+=-⎩，解得：21k b =⎧⎨=⎩．故选：B ．6．（2019春•余姚市期末）下列各组数中，是二元一次方程231x y -=的解的是( ) A ．11x y =⎧⎨=⎩B ．11x y =-⎧⎨=-⎩C ．11x y =-⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=-⎩【解答】解：A、把11xy=⎧⎨=⎩代入方程231x y-=得：左边1=-，右边1=，左边≠右边，所以不是方程231x y-=的解，故本选项不符合题意；B、把11xy=-⎧⎨=-⎩代入方程231x y-=得：左边1=，右边1=，左边=右边，所以是方程231x y-=的解，故本选项符合题意；C、把11xy=-⎧⎨=⎩代入方程231x y-=得：左边5=-，右边1=，左边≠右边，所以不是方程231x y-=的解，故本选项不符合题意；D、把11xy=⎧⎨=-⎩代入方程231x y-=得：左边5=，右边1=，左边≠右边，所以不是方程231x y-=的解，故本选项不符合题意；故选：B．7．（2019春•泰山区期中）下列数值是二元一次方程3224x y+=的解的是()A．29xy=-⎧⎨=⎩B．21xy=⎧⎨=⎩C．89xy=⎧⎨=⎩D．46xy=⎧⎨=⎩【解答】解：把46xy=⎧⎨=⎩代入二元一次方程3224x y+=，可得左边=右边．故选：D．8．（2019春•阳谷县期中）已知二元一次方程5(1)70x k y+--=的一个解是13xy=⎧⎨=-⎩，求k的值( ) A ．13B ．13-C ．53D ．53-【解答】解：二元一次方程5(1)70x k y +--=的一个解是13x y =⎧⎨=-⎩，513(1)70k ∴⨯---=， 解得：53k =．故选：C ．9．（2019春•惠阳区期末）若12x y =⎧⎨=-⎩是关于x 和y 的二元一次方程1ax y +=的解，则a 的值等于( ) A ．1-B ．3-C ．1D ．3【解答】解：把12x y =⎧⎨=-⎩代入方程得：21a -=，解得：3a =， 故选：D ．10．（2019春•遵义期末）已知1x =，3y =与1x =-，1y =都是方程y mx n =+的解，则m ，n 的值分别为( )A ．.2m =，1n =B ．.1m =，2n =C ．2m =-，1n =D ．.1m =，2n =-【解答】解：根据题意得：31m n m n =+⎧⎨=-+⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，故选：B ．11．（2019春•庐江县期末）下列各组数中，是二元一次方程54x y -=的一个解的是( ) A ．13x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．04x y =⎧⎨=⎩D ．26x y =⎧⎨=⎩【解答】解：把选项中四个解逐一代入，得到当2x =时，6y =符合方程54x y -=． 故选：D ．二．填空题（共1小题）12．（2019春•和田地区期末）已知21x y =⎧⎨=-⎩是方程26x ky +=的解，则k = 2- ．【解答】解：21x y =⎧⎨=-⎩是方程26x ky +=的一个解， ∴代入得：46k -=，解得：2k =-， 故答案为：2-．知识点3解二元一次方程组---代入消元法代入消元法：把方程组的一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.【典例】1.用代入法解方程组（1）2313x y x y -=⎧⎨+=⎩； （2）321235x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】略 【解析】解：（1）2313x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，由②得：3y x =-③，将③代入①得：23(3)1x x --=， 整理得：510x =， 解得：2x =，把2x =代入②得：1y =， 故方程组的解为．（2）321235x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由①得，2133x y =+③，把③代入②得，212()3533y y ++=， 解得1y =，把1y =代入③式得，1x =，故方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．【方法总结】用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.【随堂练习】1．（2018春•资中县期中）解方程组【解答】解：（1），把①代入②，5x ﹣3（3x ﹣2）=﹣2， 解得：x=2，将x=2代入①，得：y=3×2﹣2=4， 所以方程组的解为；知识点4 解二元一次方程组---加减消元法把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.【典例】1.用加减消元法解下列二元一次方程组（1）{2x +3(y −2)=6x −y 2=2；（2）{7x +4y =2①3x −6y =24②． 【答案】略．【解析】解：（1）方程组整理得：{2x +3y =12①2x −y =4②，①﹣②得：48y =， 解得：2y =，把2y =代入①得：3x =， 则方程组的解为{x =3y =2．（2）①×3+②×2得：2754x = ， 解得：2x =，把2x =代入①得：3y =-， 则方程组的解为{x =2y =−3．【方法总结】先将给出的二元一次方程组进行适当变形，再利用加减消元法进行求解，它的使用场景如下： 1.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相相减； 2.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反时，把两个方程的两边分别相加. 3.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数均不相等或互为相反数时，可以找其中一个相同未知数系数的最小公倍数，将它们通过变形，把系数变为相同或相反.【随堂练习】1．（2018•宿迁）解方程组：．【解答】解：，①×2﹣②得： ﹣x=﹣6， 解得：x=6， 故6+2y=0， 解得：y=﹣3， 故方程组的解为：．2．（2018•湘西州）解方程组：【解答】解：①+②得：4x=8， 解得：x=2，把x=2代入①得：2+y=3， 解得：y=1，所以原方程组的解为．【补充练习】1．（2019春•来宾期末）方程组3452410x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是( )A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =-⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩【解答】解：原方程组的两个方程相加可得515x =，解得3x =，把3x =代入第一个方程可得1y =-． 故选：A ．2．（2019春•谢家集区期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组524239x y x y -=⎧⎨+=⎩①②时，利用①a ⨯+②b ⨯消去x ，则a 、b 的值可能是( ) A ．2a =，5b =B ．3a =，2b =C ．3a =-，2b =D ．2a =，5b =-【解答】解：小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组524239x y x y -=⎧⎨+=⎩①②时，利用①a ⨯+②b ⨯消去x ，则a 、b 的值可能是2a =，5b =-， 故选：D ．3．（2019春•云梦县期末）方程组4(2)5123(2)3x y x y ++=⎧⎨++=⎩的解是( )A ．31x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=-⎩C ．31x y =-⎧⎨=-⎩D ．31x y =-⎧⎨=⎩【解答】解：方程组整理得：457233x y x y +=-⎧⎨+=-⎩①②，②2⨯-①得：1y =， 把1y =代入②得：3x =-， 则方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩．4．（2019•孝感）已知二元一次方程组1249x y x y +=⎧⎨+=⎩，则22222x xy y x y -+-的值是( ) A ．5- B ．5 C ．6- D ．6【解答】解：1249x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②-①2⨯得，27y =，解得72x =， 把72x =代入①得，712y +=，解得52y =-， ∴22222752()226()()1x xy y x y x y x y x y x y x y +-+--====-+-+． 故选：D ．5．（2019•从化区一模）已知326a b a b -=⎧⎨-=⎩，则a b +等于( )A ．1B ．3C ．1-D ．3-【解答】解：326a b a b -=⎧⎨-=⎩①②，②-①得：3a =， 把3a =代入①得：0b =， 则3a b +=， 故选：B ．6．（2019春•莒县期中）若|321|0x y --=，则点(,)x y 在第( )象限． A ．四B ．三C ．二D ．一【解答】解：|321|0x y --， ∴3212x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，则点(1,1)在第一象限，7．（2019•鞍山一模）若|2|0x y--=，则x，y的值为()A．31xy=⎧⎨=⎩B．13xy=⎧⎨=⎩C．2xy=⎧⎨=⎩D．31xy=⎧⎨=-⎩【解答】解：|2|0x y--=，∴24x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：26x=，解得：3x=，②-①得：22y=，解得：1y=，则方程组的解为31xy=⎧⎨=⎩，故选：A．8．（2019春•冠县期中）解方程组①3759y xx y=-⎧⎨+=-⎩，②35123156x yx y+=⎧⎨-=-⎩，比较简便的方法是()A．都用代入法B．都用加减法C．①用代入法，②用加减法D．①用加减法，②用代入法【解答】解：①中的第一个方程为2y x=-，用代入法比较简便；②中的x的系数相等，用加减法比较简便；故选：C．9．（2019•贵阳模拟）若关于x，y的二元一次方程组2132x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解为x ay b=⎧⎨=⎩，则4a b+的值为()A．17B．197C．1D．3【解答】解：2132x yx y+=⎧⎨-+=⎩①②，把③代入②得，3(12)2x x -+-=，解得17x =， 把17x =代入③得，25177y =-=， ∴1757a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1544377a b ∴+=+⨯=． 故选：D ．10．（2018秋•兰州期末）如果方程组4x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程35300x y --=的一个解，那么m 的值为( ) A ．7B ．6C ．3D ．2【解答】解：4x y m x y m +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：25x m =， 解得： 2.5x m =， ①-②得：23y m =-， 解得： 1.5y m =-，代入35300x y --=得：7.57.5300m m +-=， 解得：2m =， 故选：D ．二．解答题（共1小题）11．（2019春•海淀区校级期末）解关于x 、y 的二元一次方程组： （1）136224x y x y ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩（2）258325x y a x y a +=⎧⎨+=⎩【解答】解：（1）136224x y x y ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩①②，把③代入①，得1(42)362y y -+=-，解得4y =-，把4y =-代入③中得12x =． 所以原方程的解为124x y =⎧⎨=-⎩．（2）258325x y a x y a +=⎧⎨+=⎩①②，①3⨯-②2⨯，得1114y a =， 所以1411ay =， ②5⨯-①2⨯，得119x a =， 所以911a x =． 所以原方程的解为9111411a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．知识点5 二元一次方程组的解的概念二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.【典例】1.已知方程组40ax by ax by -=⎧⎨+=⎩ 的解为21x y =⎧⎨=⎩，则23a b +的值为________．【答案】﹣4 【解析】解：∵方程组40ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，∴把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组中得2420a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴23213(2)264a b +=⨯+⨯-=-=-． 故答案为：-4．【方法总结】已知二元一次方程组的解，求参数或某些含参代数式的值，只需把它的解代入方程组中，得到关于参数的新方程组，解这个新方程组，求出参数的值，进而求得含参代数式的值.【随堂练习】1．（2018春•白云区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、未知数的次数是2，错误； B 、含有三个未知数，错误； C 、不是整式方程组，错误；D 、符合二元一次方程组的定义，正确； 故选：D ．知识点6 同解方程组 【典例】1.（1）已知方程组2524x y ax by +=⎧⎨-=-⎩和方程组3208x y bx ay -=⎧⎨+=⎩的解相同，求2010(2)a b +的值．（2）甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①② ，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩．试计算：201320121()10ab +．【答案】略【解析】解：（1）∵方程组2524x y ax by +=⎧⎨-=-⎩和方程组3208x y bx ay -=⎧⎨+=⎩的解相同，∴方程组2+52320x y x y =⎧⎨-=⎩与上述两方程组有相同的解．解可得62x y =⎧⎨=-⎩．将其代入到48ax by bx ay -=-⎧⎨+=⎩中，化简得624628a b b a +=-⎧⎨-=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩.∴20102010(2)(1)1a b +=-=．（2）甲看错了方程①中的a ，则31x y =-⎧⎨=-⎩满足方程组②， 把31x y =-⎧⎨=-⎩代入②得：122b -+=-，即10b =；乙看错了方程②中的b ，则54x y =⎧⎨=⎩满足方程组①，把54x y =⎧⎨=⎩代入①得：52015a +=，即1a =-，则201320121()10ab +201320121(1)(10)10110=-+⨯=-+=【方法总结】1.已知两个含参方程组的解相同，只需把它们之中不含参的方程组成新的方程组，解方程组，求得它们共有的解，再将它们分别代入含参的方程中，求得参数的值.2.关于看错字母问题，只需把所得的解代入未看错的方程中，分别求解即可.【随堂练习】1．（2017秋•雁塔区校级期末）已知方程组与有相同的解，则m=____，n=___． 【解答】解：由（1）×2+（2），得10x=20， x=2，代入，得y=0．将x 、y 代入第一个方程组可得，解，得．知识点7 解三元一次方程组1、一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.2、解三元一次方程组的基本思想是消元，即应用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.【典例1】1.解三元一次方程组．【答案】略【解析】解：①×2﹣②，得57y z -=④①×3-③，得53y z +=⑤④+⑤，得1y =.将1y =代入⑤，得2z =-.将12y z ==，﹣代入①，得7x =.故原方程组的解是．【方法总结】解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，加减法比较常用，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案.例如：当三个方程中有一个方程是二元一次方程，则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中缺少的那个元，即“缺某元，消某元”.2.若2x ﹣3y+z=0，3x ﹣2y ﹣6z=0，且xyz≠0，求的值．【答案】略 【解析】解：由题意得：，②×3﹣①×2，得：5x=20z ，即x=4z ，将x=4z 代入①，得：8z ﹣3y=﹣z ，解得y=3z ， 将x=4z 、y=3z 代入原式，得： 原式===．【方法总结】已知两个一次方程，含有三个未知数（如：x y z ，， ），求关于这三个未知数的代数式的值，只需把其中一个未知数（如：z ）当作一个常数，解关于另外两个未知数（如：x y ， ）的二元一次方程组，将求得的解代入代数式中，即可求得代数式的值.【随堂练习】1．（2019春•武昌区期中）在等式2y ax bx c =++中，当0x =时，2y =；当1x =-时，0y =；当2x =时，12y =，则(a b c ++= ) A ．4B ．5C ．6D ．8【解答】解：把0x =时，2y =；1x =-时，0y =；2x =时，12y =分别代入2y ax bx c =++，得201242c a b ca b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩， 解得，132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，1326a b c ∴++=++=，故选：C ．2．（2019春•南江县期末）下列四组数值中，为方程组202132x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩的解是( )A ．012x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩B ．101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．010x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩D ．123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩【解答】解：202132x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩①②②，①+②得：31x y +=④， ①+③得：42x y +=⑤， ⑤-④得：1x =， 将1x =代入④得：2y =-， 将1x =，2y =-代入①得：3z =， 则方程组的解为123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故选：D ．3．（2019春•莘县期中）关于x ，y 的方程组232(1)10x y kx k y -=⎧⎨++=⎩的解互为相反数，则k 的值是( ) A ．8B ．9C ．10D ．11【解答】解：由x ，y 互为相反数得x y =-，代入（1）得1y=-，则1x=，把1x=，1y=-，代入（2）得：2110k k--=，则11k=．故选：D．4．（2018•丰润区一模）已知3243x y kx y k+=⎧⎨-=+⎩，如果x与y互为相反数，那么()A．0k=B．34k=-C．32k=-D．34k=【解答】解：已知3243x y kx y k+=⎧⎨-=+⎩，解得9651195kxky+⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，x与y互为相反数，∴961190 55k k++-=，即32k=-．故选：C．二．填空题（共4小题）5．（2018秋•九龙坡区校级期末）育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装一套包含有1个笔袋，2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文具厂将员工分为A、B、C三个组，分别生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点A组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点B组完成低务，再过几天（不少于一天）后的6时C组完成任务．已知A、B、C三个组每天完成的任务数分别是270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了1350套文具套装．【解答】解：设A组工作x天，B组工作1()2x m++天，C组工作11()24x m n++++天，(x，m ，n 都是正整数，且1m ，1)n ，则15x m n ++<，根据题意得，13602270211360327024x m x x m n x ⎧⎛⎫++=⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++++=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩①②由①得，21x m =+③， 由②得，5443x m n =++④， ④5-⨯③得，312m n +=， m ，n 是正整数，∴当1m =时，2n =，5x =，8m n x ∴++=，符合题意，当3m =时，5n =，7x =， 15m n x ∴++=，不符合题意，即：A 组工作5天，∴一共加个了27051350⨯=个笔袋，∴巅峰文具超市一共订购了1350套文具套装，故答案为：1350．6．（2019春•大丰区期中）若5a b b c a c +=+=+=，则a b c ++= 152． 【解答】解：根据题意得5a b +=，5b c +=，5a c +=， 三个式子左右两边分别相加得2()15a b c ++=， 则152a b c ++=． 故答案是：152． 7．（2019春•洛江区期末）三元一次方程组598x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解是236x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【解答】解：598x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③，①+②+③得：2()22x y z ++=，即11x y z ++=④， 将①代入④得：6z =，将②代入④得：2x =， 将③代入④得：3y =， 则方程组的解为236x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故答案为：236x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩8．（2019春•雨花区期末）已知：357a b c==，且3249a b c +-=，则a b c ++的值等于 15- ．【解答】解：设357a b ck ===， 则3a k =，5b k =，7c k =， 代入3249a b c +-=， 得910289k k k +-=， 解得：1k =-，3a ∴=-，5b =-，7c =-，于是35715a b c ++=---=-． 故本题答案为：15-． 三．解答题（共1小题）9．（2019春•武昌区期中）解方程组3232443210x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩．【解答】解：3232443210x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩①②③，①+②得：57x y -=④； ②2⨯+③得：852x y +=-⑤， ④5⨯+⑤得：3333x =，即1x =， 把1x =代入④得：2y =-， 把1x =，2y =-代入①得：4z =-，则方程组的解为124x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．综合运用1.关于x y ，的方程组的解是，其中y 的值被盖住了，不过仍能求出p ，则p 的值是____【答案】﹣【解析】解：根据题意，将1x = 代入3x y +=，可得2y =，将12x y ==，代入0x py +=，得：120p +=， 解得：12p =-.2.已知是方程组的解，则3_____m n +=．【答案】7 【解析】解：∵是方程组的解，∴把代入得：，解得：14m n =⎧⎨=⎩ .∴33147m n +=⨯+=， 故答案为：7． 3.已知方程326m n xy --+=是二元一次方程，则_____m n -=．【答案】3【解析】解：由题意得：31m -=，21n -=， 解得：41m n ==，，413m n -=-=，故答案为：3．4.解方程组1312428x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=-⎩．【答案】略．【解析】解：方程组化简，得 {−2x +3y =4①y =−8+2x②，把②代入①，得23(82)4x x -+-+=，解得7x =， 把7x =代入②，得8276y =-+⨯=，方程组的解是{x =7y =6．5.用加减消元法解二元一次方程组{3(x −1)=y +55y −6=3(x +4)．【答案】略【解析】解：方程组整理得：{3x −y =8①3x −5y =−18②，①﹣②得：4y=26， 解得：132y =， 把132y =代入①得：296x =， 则方程组的解为296132x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．6.已知方程组和有相同的解，求222a ab b +-的值．【答案】略 【解析】解：解方程组得， 把代入第二个方程组得，解得，则22222()(21)1a ab b a b +=-=-=-．7.甲、乙两人共同解方程组由于甲同学看错了方程①中的a ，得到方程组的解为434x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为59x y =⎧⎨=-⎩．请计算代数式20072008a b 的值． 【答案】略【解析】解：由甲同学看错了方程①中的a 可知，434x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩满足方程组②， 把434x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩代入②得，344()=14b -+⨯-，解得1b =-. 由乙看错了方程②中的b 可知，59x y =⎧⎨=-⎩满足方程组①，把59x y =⎧⎨=-⎩代入①得，55916a ⨯+=，解得1a =-.∴20072008a b=（﹣1）2007×（﹣1）2008=（﹣1）4015=﹣1．8.解方程组：{3x −y +z =10①x +2y −z =6②x +y +2z =17③．【答案】略．【解析】解：①+②得：4x+y=16④， ②×2+③得：3x+5y=29⑤， ④⑤组成方程组{4x +y =163x +5y =29解得{x =3y =4将x=3，y=4代入③得：z=5， 则方程组的解为{x =3y =4z =5．9.已知：4360270x y z x y z --=+-=，，求23657x y zx y z++++的值．【答案】略．【解析】解：由题意得{4x −3y −6z =0①x +2y −7z =0②，①﹣②×4得：11220y z -+=，解得：2y z =，将2y z =代入①得：3x z =， 即{x =3z y =2z， 把{x =3zy =2z 代入23657x y z x y z++++中 原式= 6669=310710z z z z z z ++++.。

教学目标1、学会用方程描述问题中数量之间的相等关系；2、通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型；3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；4、会解二元一次方程组。

重点、难点理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程；列方程组。

考点及考试要求考点 1：列方程考点 2：解二元一次方程组教 学 内 容第一课时二元一次方程组的解法和应用知识梳理课前检测1、若代数式 6x-5 的值与- 1互为倒数,则 x 的值为() 4A.1 B.-1 C.7 D. 366822、解下列方程 （1）3x+7=5x+11; （2）5(x-2)=4-(4-x)3、若关于 x 的方程：3x 3n -2+7=0 是一元一次方程,则 n= .4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为 1.98％， 今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96 元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为 .5、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20 元。

问这种商品的定价是多少？知识梳理1.二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3.二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．第二课时二元一次方程组的解法和应用典型例题⎨⎩ ⎩⎩例 1 若方程 x 2 m –1 + 5y 2–3n = 7 是二元一次方程.求 m 2＋n 的值。

初二数学教案解二元一次方程组教学目标：1. 理解二元一次方程组的概念和基本形式；2. 掌握解二元一次方程组的方法；3. 能够运用解二元一次方程组的方法解决实际问题。

教学内容：1. 二元一次方程组的定义和基本形式；2. 利用消元法解二元一次方程组；3. 利用代入法解二元一次方程组；4. 利用图解法解二元一次方程组；5. 实际问题应用：解决含有两个未知数的实际问题。

教学步骤：一、导入新知1. 创设情境，简要介绍解二元一次方程组的重要性和应用场景。

2. 引导学生回顾一元一次方程的概念和解法，为后续学习打下基础。

二、概念讲解1. 讲解二元一次方程组的定义，即两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。

2. 根据基本形式 a₁x + b₁y = c₁和 a₂x + b₂y = c₂，解释系数、未知数、常数项的概念。

3. 强调二元一次方程组的解即使找到一组满足两个方程的值。

三、消元法解二元一次方程组1. 介绍消元法的基本思路和步骤，即通过运算使两个方程中的某一未知数的系数相等，从而消去这一未知数。

2. 给出示例方程组，并逐步演示消元法的运用过程。

3. 强调消元法的关键在于选择合适的消元次序，通过适当的变形，将相同未知数的系数相等或互为相反数。

4. 练习让学生掌握消元法的具体操作步骤，并解答他们在解题过程中遇到的问题。

四、代入法解二元一次方程组1. 介绍代入法的基本思路和步骤，即通过将一个方程的解代入另一个方程，得到另一个未知数的值，再将该值代入任一方程求解另一未知数。

2. 给出示例方程组，并逐步演示代入法的运用过程。

3. 强调代入法的关键在于选择合适的方程和合适的未知数进行代入，以简化计算过程。

4. 练习让学生掌握代入法的具体操作步骤，并解答他们在解题过程中遇到的问题。

五、图解法解二元一次方程组1. 介绍图解法的基本思路和步骤，即通过在坐标平面上绘制两个方程的图像，找到它们的交点作为方程组的解。

2. 强调方程组的解即是两个方程的交点，解释交点在坐标平面上的几何意义。