二元一次方程组辅导班讲义

乐杰数理化教师辅导讲义
基础知识：
1．二元一次方程
含有个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫作二元一次方程。

2．二元一次方程的一个解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。

温馨提示：
二元一次方程的的解有无数个，但在限定条件的情况下，它的解会变成有限个或一个.如求方程x+y=2的正整数解只有一个，即 .
3．二元一次方程组和二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的，叫作这个二元一次方程组的解。

4．二元一次方程组的解法有: 和 .
⑴代入法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

规律点拨
一般来说，用代入法解二元一次方程组的步骤如下：
①求表示式：从方程组中选一个系数比较简单的方程（最好是系数为1），将此方程中一个未知数，例如 y 用含x的代数式表示出来，如写成y=ax+b的形式；
②代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
③解一元一次方程：求出x的值；
④回代得解：将求出的x的值代入y=ax+b中，求出y的值。

⑵加减法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。

规律点拨
用加减法解二元一次方程组的步骤如下：
①变换系数：即把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；
② 加减消元：即把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程； ③ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④ 回代得解：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。

【考点例析】
一、考查方程组解的定义
例1. 已知方程组⎩
⎨⎧=+=-2,4by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==1,2y x ，则b a 32-的值为（ ）. A. 6 B. 4 C.－4 D.－6
例2. 在解方程组②①⎩⎨⎧-=-=+2415
5by x y ax 时，由于粗心，小李看错了方程组中的a 而得到的解为⎩
⎨⎧-=-=13y x ，小王看错了方程组中的b 而得到解为⎩⎨
⎧==45y x ，试问：（1）小李把a 错看成了什么？小王把b 看成了什么？方程组中的工a ，b 的正确值分别是多少/
（2）请你求出原方程组的解.
二、构造二元一次方程组解题
例3. 已知代数式1312
a x y -与23
b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A.21a b =⎧⎨=-⎩
B.21a b =⎧⎨=⎩
C 21a b =-⎧⎨=-⎩
D.21
a b =-⎧⎨=⎩
三、考查方程组的解法
例4. 解方程组：233511x y x y +=⎧⎨
-=⎩（１）（２） 四、开放性问题
例5.（1） 请你编织一个有⎩⎨⎧==2
,1y x 这个解且未知数系数不是1的二元一次方程 .
（2） 如下图，在33⨯的方格内，填写了一些代数式和数．
①在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x ，y 的值；
②把满足①的其它6个数填入图2中的方格内．
五、二元一次方程的正整数解 例6.（’09荆州）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．
(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？
2 3- 4y 2 3-
（图1） （图2）
3 2x y 3
(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？
六、考查二元一次方程组的应用
例7.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？
解：设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为x 亩，y 亩，
依题意，得：⎩
⎨⎧=•+•-=+.800%30%20,8004200y x y x 解这个方程组，得⎩⎨
⎧==.1200,2200y x
答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是2200亩，1200亩．
【点对点练习】
1． 已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩
，的解为21x y =⎧⎨=⎩，，则23a b -的值为_____________． 2. （’09江西省）方程组233
x y x y -=⎧⎨+=⎩，的解是（ ）
A ．12x y =⎧⎨=⎩，．
B ．21x y =⎧⎨=⎩，．
C ．11x y =⎧⎨=⎩，．
D ．23x y =⎧⎨=⎩
，． 3．（’09山东省）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 ( )
（A ）43- （B ）43 （C ）34 （D ）3
4- 4. 方程5x y +=的非负整数解有（ ）C
（A ）4组．（B ）5组．（C ）6组．（D ）7组．
7.（’09江苏）一辆汽车从A 地驶往B 地，前13
路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2h ．
请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．
解决的问题，并写出解答过程．
8. 某人从绥化驱车赶往哈尔滨共用2小时，绥化至哈尔滨全程为120km ，全程分为公路和市区道路两部分，在公
路上行驶的平均速度为80km/h ，在市区道路上行驶的平均速度为40km/h ．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下： 甲：1208040x y x y
+=⎧
⎪⎨+=⎪⎩ 乙：8040x y ⎧+=⎪⎨⎪⎩ ＝ （1）请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组．
（
2）求这个人在公路上驱车行驶的时间．
二元一次方程组错题剖析
【例3】 解方程组
【例4】 某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？
【例5】 解方程组
【例6】解方程组
经典例题
例1 如果是同类项，则、的值是（）
A、＝－3，＝2
B、＝2，＝－3
C、＝－2，＝3
D、＝3，＝－2
例2 计算：
例4 王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。

其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。

问王大伯一共获纯利多少元？
例5 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。