课时作业4单位圆与三角函数线

1.2.2单位圆与三角函数线一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A.在x 轴上B.在y 轴上C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上2.如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎫π4，5π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π24.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6.已知θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.7.函数y ＝1－2sin x 的定义域为________.8.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为________.三、解答题9.画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.2 2的定义域.10.求函数f(x)＝1－2cos x＋ln⎝⎛⎭⎫sin x－参考答案一、选择题1.B【解析】 ∵sin α＝1或sin α＝－1，∴角α终边在y 轴上.故选B.2.A【解析】由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.3.C【解析】如图阴影部分(不包括边界)即为所求.4.D【解析】当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角.5.B【解析】根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.6.AT >MP >OM【解析】作图如下：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 7.⎣⎡⎦⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 【解析】要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12， 如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π 所求函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ). 8.第四象限【解析】因为5π6＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP →，OM →的数量分别为a ，b ，所以sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0，所以sin 3－cos 3＞0.因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限.9.解:如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线.sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10.解:由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .。

课时分层作业(四) 单位圆与三角函数线(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．y 轴的非负半轴上 B ．y 轴的非正半轴上 C ．x 轴上D ．y 轴上D [由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y 轴上．]2.如果MP 、OM 分别是角α＝3π16 的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP <0<OMC ．MP >OM >0D ．OM >MP >0D [如图可知，OM >MP >0.]3.有三个命题：① π6 与5π6 的正弦线相等；② π3 与4π3 的正切线相等；③ π4 与5π4的余弦线相等．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0B [根据三角函数线定义可知，π6 与5π6 的正弦线相等，π3 与4π3 的正切线相等，π4与5π4的余弦线相反．] 4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <bC [如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM >0，a ＝MP <0，c ＝AT <0，且MP >AT .∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .]5．设a ＝sin 5π7 ，b ＝cos 2π7 ，c ＝tan 2π7 ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <cD [如图，在单位圆O 中分别作出角57π、27π、27π的正弦线M 1P 1，余弦线OM 2、正切线AT .由57π＝π－27π知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<27π<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2，∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .]6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin αA [如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.]二、填空题7．若单位圆中角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 1 [角α的终边在y 轴上，其正弦线的长度为1.] 8．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) [sin θ≥0，如图利用三角函数线可得2k π≤θ≤2k π＋π，k ∈Z .]9．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．< [0<1<π3<π2 ，结合单位圆中的三角函数线知sin 1<sin π3.]三、解答题10．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. [解](1)图(1)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2k π－23 π≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .(1) (2)[等级过关练]1.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b .sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0，所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．] 2.使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]A [如图，画出三角函数线 sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，sin π4＝cos π4 ， 为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.]3.若0<α<2π，且sin α<32 ，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π [利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π.] 4．函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．⎝⎛⎭⎪⎫n π－π3，n π＋π3(n ∈Z ) [∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 如图所示．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π3，n π＋π3(n ∈Z )．] 5．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln(sin x －22)的定义域 [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >22.cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .。

1.2.2 单位圆与三角函数线学习目标：1.了解三角函数线的意义．(重点)2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． 2．三角函数线思考：三角函数线的方向是怎样确定的？[提示] 三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x 轴或y 轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)若单位圆的圆心与坐标原点重合，判断下列结论的正误． (1)单位圆上任意一点到原点的距离都是1.( ) (2)单位圆与x 轴的交点为(1,0)．( ) (3)过点(1,0)的单位圆的切线方程为x ＝1.( ) (4)与x 轴平行的单位圆的切线方程为y ＝1.( ) [解析] (1)√(2)单位圆与x 轴交点坐标为(±1,0)． (3)√(4)与x 轴平行的单位圆的切线方程为y ＝±1. [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2.如图1-2-1，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →图1-2-1C [由三角函数线的定义知C 正确．]3．角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．[解析] 由于角5π6的终边与单位圆的交点横坐标是cos 5π6＝－32，纵坐标是sin 5π6＝12，∴角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12[合 作 探 究·攻 重 难]三角函数线的概念(1)设P 点为角α的终边与单位圆O 的交点，且sin α＝MP ，cos α＝OM ，则下列命题成立的是( ) A ．总有MP ＋OM ＞1 B ．总有MP ＋OM ＝1 C ．存在角α，使MP ＋OM ＝1 D ．不存在角α，使MP ＋OM ＜0(2)分别作出34π和－47π的正弦线、余弦线和正切线．[解析] (1)显然，当角α的终边不在第一象限时，MP ＋OM ＜1，MP ＋OM ＜0都有可能成立；当角α的终边落在x 轴或y 轴正半轴时，MP ＋OM ＝1，故选C.[答案] C(2)①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox 轴为始边作34π角，角的终边与单位圆交于点P ，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 轴正方向的交点A 作Ox 轴的垂线，与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 34π＝MP ，cos 34π＝OM ，tan 34π＝AT ，即34π的正弦线为MP →，余弦线为OM →，正切线为AT →.②同理可作出－47π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝M 1P 1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝O 1M 1， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π＝A 1T 1，即－47π的正弦线为M 1P 1→，余弦线为O 1M 1→，正切线为A 1T 1→.1．下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3C [由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如5π6与π6；③中当α＝π2时，α与α＋π都没有正切线．]利用单位圆解三角不等式在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.[思路探究] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．[解] (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .2．求y ＝lg(1－2cos x )的定义域． [解] 如图所示， ∵1－2cos x ＞0，∴cos x ＜22，∴2k π＋π4＜x ＜2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数定义域为：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．三角函数线的综合应用[探究问题]1．为什么在三角函数线上，点P 的坐标为(cos α，sin α)，点T 的坐标为(1，tan α)呢？[提示] 由三角函数的定义可知sin α＝y r ，cos α＝xr ，而在单位圆中，r ＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x ＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝yx ，知纵坐标y ＝tan α，所以点T 的坐标为(1，tan α)． 2．如何利用三角函数线比较大小？[提示] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，试比较sin α，α，tan α的大小．[思路探究] 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．[解] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，单位圆交x 轴正半轴于点A ，作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，作AT ⊥x 轴，交α的终边于点T ，由三角函数线定义， 得sin α＝MP ，tan α＝AT ， 又α＝AP ︵的长，∴S △AOP ＝12·OA ·MP ＝12sin α， S 扇形AOP ＝12·AP ︵·OA ＝12·AP ︵＝12α，S △AOT ＝12·OA ·AT ＝12tan α. 又∵S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ， ∴sin α＜α＜tan α.3．利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1.[证明] 在△OMP 中，OP ＝1，OM ＝|cos α|，MP ＝|sin α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cos α|＞1. 当点P 在坐标轴上时，|sin α|＋|cos α|＝1. 综上可知，|sin α|＋|cos α|≥1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．角π5和角6π5有相同的( )【导学号：79402007】A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定C [π5与6π5的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]2．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4C [由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4.] 3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π B [画出单位圆，结合正弦线得出sin x ≥12的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.]4．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________． [解析] ∵π4<1<π3，∴正弦线大于余弦线的长度， ∴sin 1>cos 1. [答案] sin 1>cos 15．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝23；(2)cos α＝－35.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图甲．甲 乙(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图乙．。

课时作业4 单位圆与三角函数线时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列四个说法中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上．不正确的说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：根据三角函数线的知识可知①③④正确．②不正确，因为有相同正弦线的角不一定相等，而是相差2π的整数倍，故选B.答案：B2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在________上( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线y ＝x 或y ＝－x解析：由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．答案：A3．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin(－3π4)＝cos(－3π4)，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，则由图可得－3π4≤x ≤π4.答案：A4．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线的长度分别是a ，b ，c ，则它们的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a解析：由三角函数线易得AT >MP >OM ，即c >a >b . 答案：B5．已知sin α>sin β，那么下列说法成立的是( ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β解析：分别在四个象限内作出满足sin α>sin β的两个角α，β，再作出要比较的余弦线或正切线．通过图形易得选D.答案：D6．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，所以α必为钝角．答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．解析：cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点坐标是(32，12)．答案：(32，12)8．若x ∈[0,2π)，且－22≤cos x ≤12，则x 的取值范围是________．解析：在单位圆中画出余弦线OM 和OM ′，其中OM ＝－22，OM ′＝12，它们在[0,2π)内所对应的角分别为34π，54π和π3，53π，则满足－22≤cos x ≤12的区域是图中阴影部分，则在[0,2π)内所求x 的范围是[π3，34π]∪[54π，53π]．答案：[π3，34π]∪[54π，53π]9．函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，即⎩⎨⎧sin x >0，sin x ≠1，cos x >－12.如图，作出三角函数线，阴影部分区域(不包括边界)即为所求角的范围．即0<x <π2或π2<x <23π，再考虑终边相同的角可得． 答案：{x |2k π<x <2k π＋π2或 2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z }三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．比较大小：(1)sin 2π3与sin 4π5.(2)tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，作出2π3对应的正弦线、正切线分别为AB 和EF . 作出4π5对应的正弦线、正切线分别为CD 和EG . 由图可知：|AB |>|CD |，|EF |>|EG |.又tan 2π3与tan 4π5均取负值， 故sin 2π3>sin 4π5，tan 2π3<tan 4π5.11．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α<－12.解：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P 和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4，∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z .}(2)如图②所示，过点(0，－12)作x 轴的平行线，交单位圆于点P 和P ′，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12， ∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z . 12．利用三角函数线证明：若0<α<β<π2，则有β－α>sin β－sin α. 证明：如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α，β的终边分别交于点Q ，P ，过P ，Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别为M ，N ，则由三角函数线定义可知：sin α＝NQ ，sin β＝MP ，过点Q 作QH ⊥MP 于H ，于是MH ＝NQ ，则HP ＝MP －MH ＝sin β－sin α.由图可知HP <＝β－α，即β－α>sin β－sin α.。