二次函数基础知识(详细)

二次函数基础知识脉络

一、二次函数图像性质

二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 抛物线的三要素：开口方向、

对称轴、顶点.

①. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、

形状相同.

②. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.

③.

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、口大小完全相同，

只是顶点的位置不同.

④. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 对称轴 顶点坐标 最值

2axy 0x（y轴） （0,0）

kaxy2 0x（y轴） (0, k)

2hxay hx (h,0)

hx (h,k)

cbxaxy2 ( )

⑤.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

2、二次函数表达式

（1）一般式；2yaxbxc，当已知抛物线上 普通三点坐标 用一般式求表达式.

（2）顶点式：2()yaxhk，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值和另外一点坐标用顶点式求表达式。

（3）交点式：12()()yaxxxx，当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时及另外一点坐标用交点式求表达式。

（4）特别情况：

《1》顶点是坐标原点的二次函数解析式可以设为 2yax

《2》对称轴为y轴（或顶点在y轴上）的二次函数解析式可以设为 2yaxc khxay2abacab4422，abx2

《3》顶点在x轴上的二次函数表达式可以设为 2()yaxh

《4》经过原点的二次函数表达式可以设为2yaxbx

3、二次函数图像符号问题

（1）a的符号：

0a的时候，抛物线图像开口 向上；0a的时候，抛物线图像开口 向下; ||a决定抛物线的开口程度；

||a越大，开口越小

（2）b的符号：判断口诀

左同右异

ab、同号时，对称轴在y轴左侧；ab、异号时，对称轴在y轴右侧；0b时，对称轴为y轴。

（3）c的符号：

0c时，抛物线与y轴的交点交与负半轴；0c时，抛物线与y轴的交点交于正半轴；

0c时，抛物线经过原点。

（4）24bac的符号：

240bac时，抛物线与x轴有两个交点； 240bac时，抛物线与x轴没有交点；

240bac时，抛物线与x轴只有一交点（顶点在x轴上）；

（5）2ab、2ab的符号：

根据对称轴2bxa在直线1x、直线1x的位置关系，列出不等式，求解不等式即可。

（6）abcabc、等的符号

描出在抛物线上当1x、1x的点，观察点在x轴上方还是下方。

4、二次图像变换

（1）对称变换（翻转变换）：

2(0)yaxbxca关于x轴对称的二次函数的表达式为2(0)yaxbxca；

2(0)yaxbxca关于y轴对称的二次函数的表达式为2(0)yaxbxca；

2(0)yaxbxca关于原点对称的二次函数的表达式为2(0)yaxbxca；

（2）平移变换：“左加右减，上加下减_”

把2(0)yaxbxca向左平移m个单位，向上平移n个单位后的表达式是

五.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点坐标为（0，c）。

（2）抛物线与x轴的交点

二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程20axbxc的两个实数根，且有12xx=ba，12xx=ca_抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：且两交点距离公式为24baca

（3）抛物线与直线（双曲线）的交点问题联立方程组求解。

附：1、将一般式转变成顶点式

2、交点距离公式推导

22121122222()444()4ABxxxxxxbcbacbacaaaa

2()()(0)yaxmbxmcna2222222222222()22224244424yaxbxcbaxxcabbbaxxcaaabbbaxxacaaabbbacaxxaaaabacbaxaa

二次函数基础知识默写

一、二次函数图像性质

二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线. 抛物线的三要素： 、

、 .

①. a的符号决定抛物线的 ：当0a时，开口向 ；当0a时，开口 ； 相等，抛物线

的开口大小、形状相同.

②. 平行于y轴（或重合）的直线记作 .特别地，y轴记作直线 .

③. 顶点决定抛物线的 .几个不同的二次函数，如果 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

④. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 对称轴 顶点坐标 最值

⑤.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法： ，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直

线hx.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

2、二次函数表达式

（1）一般式； ，当已知抛物线上 用一般式求表达式.

（2）顶点式： ，当已知抛物线的 和 用顶点式求表达式。

（3）交点式： ，当已知抛物线与4 x轴的 和 用交点式求表达式。

（4）特别情况：

《1》顶点是坐标原点的二次函数解析式可以设为 khxay2cbxaxy2cbxaxy22hxay2axykaxy2

《2》对称轴为4 y轴（或顶点在4 y轴上）的二次函数解析式可以设为

《3》顶点在4 x轴上的二次函数表达式可以设为

《4》经过原点的二次函数表达式可以设为

3、二次函数图像符号问题

（1）a的符号：

4 0a的时候，抛物线图像开口 ；4 0a的时候，抛物线图像开口 ; 4 ||a决定抛物线的 ；

4 ||a越大，开口

（2）b的符号：判断口诀

4 ab、同号时， ；4 ab、异号时， ；4 0b时，对称轴为4

y轴。

（3）4 c的符号：

4 0c时，抛物线与4 y轴的交点交与 ；4 0c时，抛物线与4 y轴的交点交于 ；

4 0c时，抛物线 。

（4）4 24bac的符号：

4 240bac时，抛物线与4 x轴 ； 4 240bac时，抛物线与4 x轴 ；

4 240bac时，抛物线与4 x轴 （顶点在4 x轴上）；

（5）4 2ab、4 2ab的符号：

根据对称轴4 2bxa与 的位置关系，列出不等式，求解不等式即可。

（6）4 abcabc、等的符号

描出在抛物线上当4 x 、4 x 的点，观察点在4 x轴上方还是下方。

4、二次图像变换

（1）对称变换（翻转变换）：

4 2(0)yaxbxca关于4 x轴对称的二次函数的表达式为_________ ______；

4 2(0)yaxbxca关于4 y轴对称的二次函数的表达式为_____________ ______；

4 2(0)yaxbxca关于原点对称的二次函数的表达式为_____________ ______；

（2）平移变换：“左____右_____，上_____下______”

把4 2(0)yaxbxca向左平移4 m个单位，向上平移4 n个单位后的表达式是___________________。

五.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点坐标为_________。

（2）抛物线与x轴的交点

二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程______________________的两个实数根，且有4 12xx=_________，4 12xx=___________抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：且两交点距离公式为

（3）抛物线与直线（双曲线）的交点问题

联立方程组求解。

附：1、将一般式转变成顶点式