二次函数基础知识

第- 1 -页 共31页 二次函数知识点(第一讲)

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2yax的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2yaxc的性质：（上加下减）

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．

0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．

第- 2 -页 共31页 3. 2yaxh的性质：（左加右减）

4. 2yaxhk的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；

⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律

一、二次函数的概念

1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三、二次函数图像的画法--------五点作图法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

四、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2yax的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2yaxc的性质：上加下减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；

0x时，y随x的增大而减小；

0x时，y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；

0x时，y随x的增大而增大；

0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

九年级二次函数知识点总结

一、二次函数的基本形式

二次函数一般写为y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。其中a决定了抛物线开口的方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

二、二次函数的图像

1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。

3. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴方程为x=-b/2a。

4. 抛物线的焦点：抛物线没有焦点。

5. 抛物线的焦距：抛物线没有焦距。

三、二次函数的性质

1. 零点：二次函数的零点即为其实根，求零点的方法可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。

2. 正负性：当a>0时，抛物线上方为正区间，下方为负区间；当a<0时，抛物线上方为负区间，下方为正区间。

3. 单调性：当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减。

4. 极值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。

四、二次函数的相关应用

1. 最值问题：通过求解二次函数的极值来解决相关的最值问题，如求解最大值、最小值等。

2. 零点问题：通过求解二次函数的零点来解决相关的方程问题，如求解方程ax^2+bx+c=0的解。

3. 切线问题：通过求解二次函数的导数来得到其切线的斜率，从而解决相关的切线问题。

4. 抛物线运动问题：通过二次函数的图像特点，解决相关的抛物线运动问题，如抛体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等。

五、二次函数的解题方法

1. 求解零点：通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到函数的零点。 2. 求解极值：通过求解函数的导数来得到函数的极值点，并求解其极值。

3. 求解对称轴：通过求解函数的顶点来得到函数的对称轴。

高中二次函数知识点总结

在高中数学的学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，它贯穿了代数、几何等多个领域，对于我们解决各种数学问题都有着重要的作用。接下来，就让我们一起深入了解一下二次函数的相关知识。

一、二次函数的定义

一般地，形如 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的最高次必须是二次，并且二次项系数 a

不能为 0。如果 a ＝ 0，那么函数就变成了一次函数。

二、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线。抛物线的形状由二次项系数 a 决定：

1、 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

2、 ｜a|的值越大，抛物线的开口越窄；｜a|的值越小，抛物线的开口越宽。

抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ （2a)。顶点坐标为（b ／ （2a) ，

（4ac b²) ／ （4a)）。

三、二次函数的三种表达式 1、 一般式：y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a ≠ 0）

2、 顶点式：y ＝ a(x h)² ＋ k（a ≠ 0），其中顶点坐标为（h，k）

3、 交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂ 是抛物线与 x 轴交点的横坐标。

四、二次函数的性质

1、 单调性

当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。

当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减。

2、 最值

当 a ＞ 0 时，函数有最小值，最小值为 （4ac b²) ／ （4a)。

当 a ＜ 0 时，函数有最大值，最大值为 （4ac b²) ／ （4a)。

3、 与 x 轴的交点

令 y ＝ 0，解一元二次方程 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0。