数论方法(学生版)

数论的方法技巧

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题表达简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事〞。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。〞所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：

1．带余除法：假设a，b是两个整数，b＞0，那么存在两个整数q，r，使得

a=bq+r〔0≤r＜b〕， 且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．假设a|c，b|c，且a，b互质，那么ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即312123kaaaakpppp〔1〕 其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。〔1〕式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为〔1〕，那么它的正约数个数为：

d〔n〕=〔a1+1〕〔a2+1〕…〔ak+1〕。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法

对于某些研究整数本身的特性的问题，假设能合理地选择整数的表示形式，那么常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：

1．十进制表示形式：n=1101010nnnnaaa

2．带余形式：a=bq+r；

3、标准分解式：312123kaaaakpppp； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。

例1、红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下列图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？

例2、在一种室内游戏中，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc，然后魔术师再要求他记下5个数acb，bac，bca，cab，cba，并把这5个数加起来求出和N。只要参赛者讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是多少。如果N=3194，那么abc是多少？

例3、从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？

例4、求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。

例5、如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？

二、枚举法

枚举法〔也称为穷举法〕是把讨论的对象分成假设干种情况〔分类〕，然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原那么是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

例6、求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

例7、将自然数N接写在任意一个自然数的右面〔例如，将2接写在35的右面得352〕，如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？

例8、有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23。问：这3张牌的数字分别是多少？

例9、写出12个都是合数的连续自然数。

三、归纳法 当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜测，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。

例10、将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：〔1〕将左边第一个数码移到数字串的最右边；

〔2〕从左到右两位一节组成假设干个两位数；

〔3〕划去这些两位数中的合数；

〔4〕所剩的两位质数中有相同者，保存左边的一个，其余划去；

〔5〕所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。

问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？

例11、有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？

例12、要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？

四、反证法

反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否认了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。

反证法的过程可简述为以下三个步骤：

1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；

2．归谬：由“反设〞出发，通过正确的推理，导出矛盾——与条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；

3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设〞的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

例13、是否存在三位数abc，使得abcabbcac？

例14、将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。

例15、有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？

例16、在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过假设干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？

五、构造法

构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。

例17、9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？

例18、从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？

六、配对法

配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对〔可用于计数〕。传说高斯8岁时求和〔1+2+…+100〕首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些外表上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。

例19、求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。

例20、某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。假设号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，那么称这张购物券为“幸运券〞。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。

例21、最简分数mn可以表示成：11112388mn。试说明分子m是质数89的倍数。

七、估计法

估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，到达解题的目的。

在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。

例22、一个整数等于4个不同的形如1mm〔m是整数〕的真分数之和， 求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。

例23、在乘积1×2×3×…×n的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。

【分析】假设n的具体数值，求1×2×…×n的尾部零的个数，那么比拟容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。