5种判定三角形全等的方法

２４　Ｌｉｆｅ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｌｏｎｇ，ａｎｄ　ｔｏｏ　ｍｕｃｈ　ｏｆ　ｉｔ　ｍｕｓｔ　ｎｏｔ　ｐａｓｓ　ｉｎ　ｉｄｌｅ　ｄｅｌｉｂｅｒａｔｉｏｎ　Ｏｉｌ　ｈｏｗ　ｉｔ　ｓｈａｌｌ　ｂｅ　ｓｐｅｎｔ．　

人生短暂，不要花费太多时间去考虑如何度过一生。——塞缪尔・约翰逊　，　，　一　竺ｗｈ　！　ｏｔ　：　竺　………一，／／　２５　凡是忘记过去的人注定要重蹈覆辙。——乔治・桑塔亚纳　，

　ＣＦＤ．　．ＢＥ／／ＤＦ．　８．能说明△ＢＤＥ　△ＧＤ层．　‘．・△　４　△　ＣＥ．．’．　＝ＣＥ，　义・．・Ｄ是８Ｃ　ｒ｛Ｉ点，．。．　Ｄ＝Ｄ　，　ｌ义。．‘ＤＥ为公共边　．△ＢＤＥ　△ＣＤＥ（ＳＳＳ）．　三角形全等的判定（二）ＳＡＳ判定方法专题训练（题在第１９页）　夯实基础　１．（１）ＳＳＳ（２）ＳＡＳ（３）ＳＳＳ　ＳＡＳ　２．Ｂ　３．Ｃ　巩固提高　１．Ｄ　２．　Ａ曰Ｃ＝／ＤＣＢ或　Ｃ＝ＤＢ　３．（１）　Ｄ＝ＡＥ（２）ＢＤ：ＣＥ（３）　．４ＤＢ：　Ｃ　４　（１）不全等．　（２）有两边和其中一边的对角对应相等的两　个三角形不一定仝等．　５．／点　．因为，由已知条件可得△脚Ｃ　△点　Ｃ（ＳＡＳ）．　６．‘．‘△ＡＣ　△　ＣＤ（ＳＡＳ）＋．‘．ＡＢ＝层　７．南已知可得到△Ａ曰Ｅ　△ＦＤ　（ＳＡＳ），　则有ＡＢ：ＤＦ，　ＡＢＤ＝　肋　，　然后在△　Ｄ和△ＣＡＤ中．ＡＤ为公共边，ＦＤ＝ＣＤ，　／ＡＤＦ＝　ＡＤＣ．　．’．△　Ｄ　△　Ｄ（ＳＡＳ）．．’．ＡＦ＝ＡＣ．　１　．‘．ＡＥ一　ＡＣ．　２　８．（１）’．　工ＣＡＢ＝　ＺＭ　．　．　．　ＣＡＢ一／ｃＡＥ＝　一　ｃＡＥ．　即　ｚＭＥ＝　ＤｄＣ　ｌ叉‘．‘ＡＢ＝ＡＣ，　ＢＡＥ＝　ＣＡＤ．ＡＥ＝ＡＤ，　．’．ＡＡ８Ｅ　△ＡＣＤ（ＳＡＳ），　．‘．廖　：ＣＤ．　（２）成立，理由略．　三角形全等的判定（三）ＡＳＡ判定方法专题训练（题在第２１页）　夯实基础　Ｂ　２．Ｄ　巩固提高　１．Ｃ　２．ＡＤ＝ＡＥ或ｃＤ：船或　ＣＤＡ＝　Ｂ　３．由　３＝／－．４．可得Ｚ＿ＡＢＤ＝／－ＡＢＣ，ＡＢ为公共边．工２＝　￡１。所以△ＡＢＤ　△ＡＢＣ（ＡＳＡ）．　４．（１）可得到　ｃＤ　ＺＸＢＥＤ（ＳＡＳ），所以／＿ＣＡｊ，＝／ＤＢＥ．　（２）。．。已ＣＡＤ＋　Ａ嚣Ｆ＝　ＢＥＤ＋￡Ｄ８Ｅ＝９０ｏ　．’．曰Ｆ上ＡＣ．　５．（１）△ＡＤＣ　△ＡＥＢ，△ＢＤＣ　△ＣＥＢ，ＢＥ＝ＣＤ等；　（２）△ＡＤＣ　△ＡＥＢ（ＡＳＡ）．　三角形全等的判定（四）ＭＳ判定方法专题训练（题在第２２页）　夯实基础　１．ＡＢ：ＤＣ，ＡＥ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＢ．　Ｇ　ＥＢ　２．Ｃ　３．Ｃ　巩固提高　１．ＢＤ＝ＣＥ或ＡＢ＝ＡＥ或￡　：　或　ＡＤＥ＝　ＣＢ或　乙ＢＤＥ＝　ＥＣＢ　２．两　３．Ｂ　４．连ＡＧ，ＡＤ，则△ＡＣＦ　ＡＡＤＦ（ＳＡＳ），　．・　／ｉＣ　’＝　ＡＤＦ．ＡＣ＝ＡＤ，￡ＢＣＦ：　ＥＤＦ，　．　．　ＣＢ＝￡ＡＤＥ．　螅０△　８Ｃ　坌△　ＥＤ（ＡＡＳ），　．‘．ＢＣ＝ＥＤ．　５．△ＢＯＡ　△ＣＯＤ（ＳＡＳ），则　Ｂ＝／Ｃ，　义　Ｂ《）Ｅ：厶（　（）Ｆ，０Ｂ＝０Ｃ．　则△ＢＯＥ　△ＣＯＦ（ＡＳＡ），　．’．ｒ）Ｅ：Ｏ　６．由已知可得△／ｌ　，Ｊ　△ＣＨＥ。　．‘．ＡＤ＝ＣＥ，曰Ｄ＝ＡＥ．　．　．ＤＥ＝ＡＥ—ＡＤ＝ＢＤ—ＣＥ．　７．同时到达，△Ａ　ＣＤ　△ＢＣＥ（ＳＡＳ）．　三角形全等的判定（￣ｒ）ＨＬ判定方法专题训练（题在第２４页）　夯实基础　，．ＡＣ＝ＡＤ或　Ｃ＝　或　＝　删　２．ＣＥ∥曰　提示：‘．’Ｊ　上ＡＤ，ＦＤ上ＡＤ，．　．　ＥＡＢ＝　ＦＤＢ　＝９０。，。．‘ＡＢ＝ＣＤ，．’．　Ｃ＝ＢＤ．又　．’Ｃ　＝ＢＦ．　．‘．Ｒｔ△ＡＥＣ　ｌｌｔ△ＤＦＢ，．’．　ＡＣＥ　ＤＢＦ．．＿．ｃ　∥ＢＥ　３．　ＣｌＡＪ１）　４．ＡＥ提示：’．　ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＥ　．ＲｔＬＸＡＢＤ些ＲｔＡＡ∞，　．‘．ＡＤ＝ＡＥ．　巩固提高　１．ＢＣ提示：连接ＢＥ．　．’　ＢＤＥ＝　Ｃ＝９０ｏ，ＤＥ＝ＣＥ，　．・．Ｒｔ△　Ｚ　Ｒｔ△曰ＣＥ－．１．肋＝ＢＣ　２．Ｄ　３．Ｄ　４．’．’ＡＥ上　Ｇ．．　．　ＡＥＣ＝９０￣；￡ｎ　．　ＤＣ＝ＣＥ　ＡＣ＝ＡＣ．－＿．Ｒｔ△ＡＤＣ　ＲｔＬＸＡＥ￡　．’．／ＡＣＢ＝　ＡＣＤ．　ＥＡＣ＝／ｃＡｎ　‘．。　ＡＣＢ＋　ＥＡＣ＝９０。．　ＢＡＣ＋　Ｃ　Ｄ＝９０。．　．’．工ＡＣ日＝　＆４Ｇ．　５．’．‘ＣＤ上ＡＢ．．’．　ＡＤＣ：９Ｏ。．　‘．‘　Ｅ上　Ｃ．．’．　，４　８：９０。．　．’．　ＡＤＣ＝　ＡＥＢ．　‘．　Ｃ＝／肌Ｃ，．　．　Ｃ：￡Ｂ。　又’．‘ＡＢ＝ＡＣ．．‘．△ＡＤＣ　△ＡＥ＆　．　．ＡＤ＝ＡＥ．　．Ｒｔ△ＡＤＦ　Ｒｔ△ＡＥ　．‘．　Ｆ＝　醐　．‘．Ａ，平分　Ｃ　６．‘．　上ＡＣ．．‘．　ＢＥＣ＝９０。．　‘．’Ｄ，上ＡＣ．．‘．　ＪＤＭ＝９０。．　１叉。．‘ＡＤ＝ｃ８．ＤＦ＝嚣葭．．’．１ｉｔＡＡＤＦ　盆Ｒｔ△ｃ８氍．　ｆ，　ＤＡＦ＝　ＢｃＥ．　．ＡＤｆｆ　Ｂｃ．　角的平分线的性质专题训练（题在第２６页）　夯实基础　１．１厘米２．　ＡＯＢ的平分线　Ｅ　３．５厘米　提示：通过计算得　Ａ＝３６。．然后证两个三角形　全等．　４．８．２厘米５　Ｄ上）＝Ｄ　巩固提高　１．Ｂ　２．Ａ　提示：设ＢＤ＝９ｘ，ＤＣ＝７ｘ，则　＋７ｘ＝３２。．‘．　＝　２＿－＿．，）Ｃ＝１４．．＿ｌ＿　Ｄ到Ａ曰的距离为ｌ４．　参考答案第３页（共４页）

第 1 页 共 5 页 全等三角形综合复习

1. 全等三角形的概念及性质；

2. 三角形全等的判定；

3. 角平分线的性质及判定。

知识点一：证明三角形全等的思路

通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：

SASSSSHLAASSASASAAASASAAAS找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边

例1. 如图，,,,AFEB四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。

第 2 页 共 5 页 知识点二：构造全等三角形

例2. 如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

例3. 如图，在ABC中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接,AEEF和CF。求证：AECF。

知识点三：常见辅助线的作法

1. 连接四边形的对角线

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

第 3 页 共 5 页 2. 作垂线，利用角平分线的知识

例5. 如图，,APCP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

3. “截长补短”构造全等三角形

例6. 如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

《全等三角形》导学案

使用说明：学生利用自习先预习课本探究7部分内容15分钟，然后30分钟独立做完学案。正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。 课题:全等三角形的判定（HL）

章节 第11章 节次 第2节 课时 5 课型 新授/预习 编写 审核

学习目标 1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等； 2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力； 3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。 学习重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习过程

一、复习思考

(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、

(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是

(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，

①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

二、课内探究：如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

(1)动手试一试。

已知线段a ，c (a

使∠C=∠，AB=c ，CB= a .

按步骤作图： a c ① 作∠MCN=∠=90°.

② 在射线 CM上截取线段CB=a .

③ 以B 为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A . 

④ 连结AB.

(2) 把△'''ABC剪下来放到△ABC上，观察△'''ABC与△ABC是否能够完全重合？

全等三角形的五种模型

手拉手模型

已知：△ABE和△ACD为两个的等腰三角形，∠BAE＝∠CAD＝∠α，连接EC，BD交于点O

①△ABD ≌△AEC；

②∠α＋∠BOC＝180°；

③OA平分∠BOC

已知：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O

①△ACD ≌△ABE；

②∠BOC＝90°；

③OA平分∠BOC

已知：直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE，CD，二者交点为H

①△ABE≌△DBC；②AE＝DC；③∠DHA＝60°；

④△AGB≌△DFB；⑤△EGB≌△CFB；⑥连接GF，GF∥AC；⑦连接HB，HB平分∠AHC

模型应用

1. (2010·深圳改编)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．

(1)求证：△AOC≌△BOD；

(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．

2. 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD与BE的位置关系，并说明理由．

半角模型

已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45

将△ADF绕点A旋转90°到△ABG，则：

①EF＝DF＋BE；

②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半 已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°

将△AEB绕点A为旋转90°到△ADE′，则：EF＝DF－BE

已知：在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A作AH⊥EF于点H，BE＝EH

①△ABE≌△AHE；

②△AHF≌△ADF；

③∠EAF＝45°；

④EF＝BE＋DF

模型应用

3. (2015·深圳改编)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：