三角形判定全等的方法

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初中数学全等三角形的判定方法

作者：欧珠

来源：《科学导报·学术》2018年第20期

摘 要：全等三角形是初中数学几何图形中重要的一章，在几何证明题中也经常运用到构造全等三角形来证明线段相等或者角度相等。全等三角形的判定也是常考的知识点，它在生活中的运用也很广泛。因此，本文将从全等三角形的构造、判定以及在生活中的实际应用进行分析。

关键词：初中数学；全等三角形；构造；判定；实际应用

全等三角形是人教版八年级上册的知识点，它为学习后面的相似三角形和四边形做好铺垫。掌握全等三角形是做一系列复杂的几何证明题的前提，因为在几何证明中经常用到全等三角形证明线段相等和角度相等。如果没有掌握好全等三角形，很多几何证明题会变得棘手。在现实生活中，很多问题可以用全等三角形来解决，例如用全等来测河面的距离等。

一、全等三角形的构造

在初中的几何证明题中，有时题目给出的图形是没有现成的全等三角形，需要学生自己想办法去构造。那么问题来了，如何构造全等三角形呢？构造全等三角形，从大方向来说主要有2种方法：旋转法和作辅助线法。作辅助线一般都是指中线、角平分线、三角形的高、平行线等等。

1.旋转法构造全等三角形

旋转法构造全等三角形通常是通过旋转对应线段或者旋转等腰三角形的顶角来得到。

旋转等腰三角形的顶角一定角度，得到全等的三角形也是跟旋转三角形对应线段所用的思想是一样的。

2.作辅助线构造全等三角形

三角形的辅助线我们一般用得较多的是中线、角平分线和三角形的高。但是通过作平行线来构造全等三角形这种方法就比较少用，下面笔者主要分析作平行线来构造全等三角形。因为只要提到线段的中点，我们很容易想到把中点和顶角连接起来；提到角度，也容易想起角平分线；提到直角三角形或者等腰三角形，会想起三角形的高。唯独平行线我们是最容易遗忘的一种辅助线。 龙源期刊网

初一数学·全等三角形

1

全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．

2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等

（2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEFABC与全等，记作ABC≌DEF

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．

如图，在ABC和DEF中DFACEFBCDEAB

ABC≌DEF

【典型例题】

例1．如图，ABC≌ADC，点B与点D是对应点，26BAC，且20B，1ABCS，求ACDDCAD,,的度数及ACD的面积． 例2．如图，ABC≌DEF，cmCEcmBCA5,9,50，求EDF的度数及CF的长．

例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE

例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：

（1）ABC≌DEF

（2）AB//DE，BC//EF

A

B C D

E F

A

B D C A

B E C F D

A

B

E C D

A

B C D

F E 初一数学·全等三角形

2

例5．如图，在,90CABC中D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：（1）ABDE；

11.3三角形全等的判定定理二（SAS）

2012-10-24

一、教材分析

全等三角形的判定是《全等三角形》这一章的主要内容之一，更是本章的主线,在知识结构上,尺规作图中的角的平分线、线段的垂直平分线，逆命题与逆定理中的等腰三角形的判定,线段的垂直平分线,角的平分线等内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决；在能力培养上,无论是逻辑思维能力,推理论证能力,还是分析问题解决问题的能力,都可在全等三角形的教学中得以培养和提高.因此,全等三角形的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的

二、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：在本章前几节课的学习中，学生认识了三角形，了解了三角形全等的概念及特征，掌握了判定三角形全等的方法（SSS）,这为探究本节知识做了准备.但本节课中“两边一角”的两种情况较复杂，因此学生需要充分的操作、探讨和时间来体会这一过程体现的数学问题.

学生的活动经验基础：在相关知识的学习中，学生积累了活动经验.表现为学生熟悉各环节的要求，了解作图对比验证的重要性.同时在以前的数学学习中，学生具备了一定的合作交流能力和合情推理能力。

三、教学目标分析

基于学生对前面判定三角形全等的方法的认识，本节课在延续前两课时的探索模式的基础上，力图在多样的活动中激发学生的学习潜能，使学生更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力.为此，确定本节课的教学目标是：

1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，积累数学活动经验.

2.掌握三角形全等的“边角边”条件，解决简单数学问题.

3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理. 4.通过作图、思考、探索来激发学生学习的积极主动性，并使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力与创新精神.

教学重点：经历对三角形“两边一角”全等条件的分析与作图验证的过程；能应用“边角边”判定两个三角形全等.

1 FEDCBA１．三角形全等的判定一（SSS）

1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？

２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．

求证△ACD≌△CBE．

３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，

BE=CF． 求证∠A=∠D．

４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：∠B=∠D。

５．如图, AD＝BC, AB＝DC, DE＝BF. 求证：BE＝DF.

CDABDACBEA D C

B

2

２．三角形全等的判定二（SAS）

1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．

2．如图，△ABC≌△ABC，AD，AD分别是△ABC，△ABC的对应边上的中线，AD与AD有什么关系？证明你的结论．

3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．

4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．

5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB．

6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE．

A C

E D

B

A

E

B C F D A

B C

D

2 A

C

BE D 1

3 HFEDCBA

7．已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC∥DF．

8．已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

9．如图, 在△ABC中, 分别延长中线BE、CD至F、H, 使EF＝BE, DH＝CD, 连结AF、AH． 求证：(1) AF＝AH；

(2)点A、F、H三点在同一直线上； (3)HF∥BC.

10．如图, 在△ABC中, AC⊥BC, AC＝BC, 直线EF交AC于F, 交AB于E, 交BC的延长线于D, 连结AD、BF, CF＝CD. 求证：BF＝AD, BF⊥AD.