高二12月月考(数学)试题含答案

高二12月月考（数学）

（考试总分：150 分）

一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）

1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（ ）

A． B．﹣ C． D．﹣

2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（ ）

A． B．3 C． D．9

3.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（ ）

A．﹣﹣+ B．+﹣ C．﹣++ D．++

4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ）

A．6.5尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺

5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D．﹣

6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（ ）

A． B．

C． D．

7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（ ）

A． B． C． D．

8.（5分）8．若等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足Sn＞0成立的最大正整数n是（ ）

A．4039 B．4040 C．4041 D．4042

二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）

9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（ ）

A．它们的实轴长相等 B．它们的渐近线相同

C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等

10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（ ）

A．|C1C2|＝2 B．直线AB的方程是x＝

C．AC1⊥AC2 D．|AB|＝

11.（5分）11．若数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{an}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（ ）

A．a7＝13 B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020

C．S7＝54 D．a2+a4+a6+……+a2020＝a2021

12.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（ ）

A．点E的轨迹是一个圆 B．点F的轨迹是一个圆

C．|EF|的最小值为﹣1 D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为

三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）

13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为 ．

14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为

．

15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为 ．

四、 解答题 （本题共计7小题，总分75分）

16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离 ．

17.（10分）17．在：

①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；

②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；

③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C存在，求出圆C的方程；若问题中的圆C不存在，说明理由． 问题：是否存在圆C，____，且圆心C在直线y＝x上。

18.（12分）18．已知等比数列{an}中，a2＝4，a5＝256。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn。

19.（12分）19．在平面直角坐标系中，已知抛物线y2＝2px)0p（的准线方程为x＝﹣。

（1）求p的值；

（2）直线l：y＝x+t（t≠0）交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段AB的长度。

20.（12分）20．已知数列{an}满足a1＝1，nan+1＝3（n+1）an。

（1）设bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn。

21.（12分）21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝PA＝PB＝2，PA⊥PB，平面PAB⊥平面ABCD．

（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；

（2）若M为PC中点，求平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值。

22.（12分）22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且过点D（，）．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与椭圆E相交于M，N两点（N在P，M之间）， 证明：直线MB与直线NA的交点的横坐标是定值。

答案

一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）

1.（5分）1.【分析】把直线的方程化为斜截式，从而求得直线的斜率．

【解答】解：由x﹣y+1＝0，

得：y＝x+，

故直线的斜率k＝，

故选：C．

【点评】本题主要考查直线的斜截式，求直线的斜率，属于基础题．

2.（5分）2.

【分析】利用向量坐标运算法则求出，由此能求出||．

【解答】解：∵向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），

∴＝（3，5，1），

∴|+|＝＝．

故选：C．

【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.（5分）3.

【分析】利用空间向量加法法则直接求解．

【解答】解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，

∴＝

＝++

＝（）

＝+（）

＝．

故选：D．

【点评】本题考查向量的表示法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.（5分）4.

【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，再求出结果．

【解答】解：∵冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种

这十二个节气的日影子长依次成等差数列．

冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，

设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种

这十二个节气的日影子长分别为an（n＝1，2，3，…，12），

则{an}是等差数列，∴，解得a1＝15.5．

则冬至的日影子长为15.5（尺）．

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.（5分）5．

【分析】由•＝（ ）•（）求出 • 的值，利用两个向量的数量积的定义求出•，

由此解出cos＜，＞＝，结论可得．

【解答】解：由题意可得 ＝，＝．

•＝（ ）•（）＝•+ +•+•

＝0+1×+0+0＝．

又•＝× cos＜，＞＝ cos＜，＞，

∴ cos＜，＞＝，∴cos＜，＞＝， 故选：C．

【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式，两条异面直线所成的角的定义，求出cos＜，＞，

是解题的关键．

6.（5分）6．

【分析】由已知可得卫星的近地点，远地点离地心的距离分别为R+r1，R+r2，则a﹣c＝R+r1，a+c＝R+r2，进而可以求解．

【解答】解：由已知可得卫星的近地点，远地点离地心的距离分别为R+r1，R+r2，

设轨道的标准方程为，

所以a﹣c＝R+r1，a+c＝R+r2，解得a＝，c＝，

所以椭圆形轨道的离心率为e＝，

故选：B．

【点评】本题考查了椭圆的性质，涉及到近地点和远地点的知识，考查了学生的理解能力，属于基础题．

7.（5分）7．

【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．

【解答】解：动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0，即 6x﹣8y+2＝0 上运动，

动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，∴m＝﹣8，

则|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，为 ＝，

故选：C．

【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．

8.（5分）【分析】等差数列{an}满足，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，可得等差数列{an}单调递减，a2020＞0，a2021＜0，再利用求和公式及其性质即可得出结论．

【解答】解：∵等差数列{an}满足，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，

∴等差数列{an}单调递减，a2020＞0，a2021＜0，