2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷第1至2页第II 卷3至8页共150分考试时间120分钟第I 卷（选择题共60分）注意事项1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数和差化积公式2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin2sin2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 复数,1,321i z i z -=+=则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2） 设全集{},,,,,e d c b a I =集合{},,,,d c a M ={},,,e d b N =那么N M ⋂是 （A ）φ （B ）{}d （C ）{a,c } （D ）{b,e }（3）双曲线12222=-ay bx 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23（4）曲线1=xy 的参数方程是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧==-.,2121t y t x （B ）⎩⎨⎧==.csc ,sin ααy x （C ）⎩⎨⎧==.sec ,cos ααy x （D ）⎩⎨⎧==.,ααctg y tg x（5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（A ）3:1 （B ）3:2 （C ）2:1 （D ）9:2 （6）直线a =θ和直线()1sin =-a θρ的位置关系是（A ）垂直 （B ）平行 （C ）相交但不垂直 （D ）重合 （7）函数x y lg =（A ）是偶函数，在区间()0,∞-上单调递增 （B ）是偶函数，在区间()0,∞-上单调递减 （C ）是奇函数，在区间()+∞,0上单调递增 （D ）是奇函数，在区间()+∞,0上单调递减（8）从单词“equation ”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“qu ”相连且顺序不变）的不同排列共有（A ）120个 （B ）480个 （C ）720个 （D ）840个 （9）椭圆短轴长是2，长轴长是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是 （A ）558 （B ）554 （C ）338 （D ）334（10）函数xx y cos sin 21++=的最大值是（A ）122- （B ）122+（C ）221-（D ）221--（11）设复数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=24cos sin 21πθπθθi z 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转π43后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()ϕϕsin cos 2i r z += ，则=ϕtg（A ）1212-+θθtg tg （B ）1212+-θθtg tg （C ）121+θtg （D ）121-θtg（12）设βα,是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是 （A ）1<βαtg tg （B ）2sin sin <+βα（C ）1cos cos >+βα （D ）()221βαβα+<+tgtg（13）已知等差数列{}n a 满足,0101321=++++a a a a 则有（A ）01011>+a a （B ）01002<+a a （C ）0993=+a a （D ）5151=a （14）已知函数()d cx bx ax x f +++=23的图象如右图，则（A ）()0,∞-∈b （B ）()1,0∈b （C ）()2,1∈b （D ）()+∞∈,2b2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷） 数 学（理工农医类）第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II 卷共6 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（15）函数⎪⎭⎫⎝⎛+=432cos ππx y 的最小正周期是__________（16）右图是一体积为72的正四面体，连结两 个面的重心E 、F ，则线段EF 的长是（17）1031⎪⎭⎫⎝⎛-x x 展开式中的常数项是___________（18）在空间，下列命题正确的是____________ 的序号都填上）①如果两条直线a 、b 分别与直线l 平行，那么a ∥b②如果两条直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a ∥β ③如果直线a 与平面β内的一条直线b 、c 都有垂直，那么a ⊥β ④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （19）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c证明：().sin sin 222CB A cb a -=-（20）（本小题满分12分）在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BAD= 90，AD=DC=21AB=a （如图一）ADC∆沿AC 折起，使D 到D 记面D AC '为α，面ABC 为β，面D BC '为γ（I ）若二面角βα--AC 为直二面角（如图二），求二面角γβ--BC 的 大小；（II ）若二面角βα--AC 为 60（如图三），求三棱锥ABC D -'的体积（21）（本小题满分12分）设函数()x x f lg =，若b a <<0，且()()b f a f >，证明：.1<ab（22）（本小题满分12分）如图，设点A 和B 为抛物线()042>=p px y 上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线（23）（本小题满分12分）某地区上年度电价为8.0元/kW h ⋅，年用电量为a kW h ⋅价降到55.0元/kW h ⋅至75.0元/kW h ⋅之间，而用户期望电价为4.0元/kW h ⋅经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K ）该地区电力的成本为3.0元/kW h ⋅（I ）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；（II ）设a k 2.0=，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价）） （24）（本小题满分14分）已知函数()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=,1,21,,21,0,21x x f x x f x f其中()().22,1212221+-=+⎪⎭⎫⎝⎛--=x x f x x f（I ） 在下面坐标系上画出()x f y =的图象；（II ） 设()⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=1,212x x f y 的反函数为()() ,,1,121a g a a x g y ===，(),1-=n n a g a 求数列{}n a 的通项公式，并求n n a ∞→lim ；（III ）若()()01010,,21,0x x f x f x x ==⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈，求.0x2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解 法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基础运算1）—（10）每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，满分60分（1）D （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）B （8）B （9）D （10）B （11）A （12）D （13）C （14）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算4分，满分16分（15） （16）22 （17）210（18）①，④ 三、解答题（19）本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能满分12证明：由余弦定理 ,c o s 2222A bc c b a -+=,c o s 2222B ac c a b -+= ———3分 ∴ B ac A bc a b b a cos 2cos 22222+--=- 整理得cAb B a cb ac o s c o s 222-=- ———6分依正弦定理，有 ,s i n s i n ,s i n s i n CBc b C A ca ==———9分∴CAB B A cb a s i nc o s s i n c o s s i n 222-=-().s i n s i nCB A -=———12分（20）本小题主要考查空间线间关系，及运算、推理、空间想象能力12 分解：（I ）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形，∴45,2=∠=CAB a AC过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ， 可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ———2分 取 AC 的中点E ，连结E D '， 则 E D '⊥AC又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角， ∴ E D '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β∴ BC ⊥E D '∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ———4分 ∴ CA D '∠为二面角γβ--BC 的平面角由于 45='∠CA D ，∴二面角γβ--BC 为 45 ———6分（II ）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结 OE∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE∴ EO D '∠为二面角β--AC a 的平面角，∴ EO D '∠ 60= ———9分在OE D Rt '∆中，aAC E D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31，OD BC AC '⋅⋅⨯=2131 aa a 462261⨯⨯⨯=.1263a =———12分（21）本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力满分12证明：由已知()()()⎩⎨⎧<<-+∞<≤==.10,lg ,1,lg lg x x x x x x f ———2分∵ b a <<0，()()b f a f >，∴ a 、b 不能同时在区间[)+∞,1 上，又由于b a <<0，故必有()1,0∈a ；———6分 若 ()1,0∈b ，显然有1<ab ———8分 若 [)+∞∈,1b ，由()()0>-b f a f ， 有 0lg lg >--b a ， 故 0lg <ab ，∴ .1<ab ———12分（22）本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基 本方法以及方程化简的基本技能满分12分解：如图，点A ，B 在抛物线px y 42=上，设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B B AAy p y B y p y A ,4,,422，OA 、OB 的斜率分别为OA k 、OB k ∴ BOB AAA OA y p k y p pyy k 4,442===———2分由OA ⊥AB ，得1162-==⋅BA OB OA y y pk k ① ———4分依点A 在AB 上，得直线AB 方程()(),442⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+py x p y y y y AA B A ② ———6分 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程 x py y y B A 4-+=③ ———8分设点M ()y x ,，则y x ,满足②、③两式，将②式两边同时乘以px 4-，并利用③式整理得().04222=+-+yx yy ypx A A④ ———10分由③、④两式得 ().0422=+--yx y y px B A由①式知， 216p y y B A -= ∴ 0422=-+px y x因为A 、B 是原点以外的两点，所以.0≠x所以M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点 ——12分（23）本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数 学知识、思想和方法解决实际问题的能力12分解：（I ）：设下调后的电价为x 元/h kw ⋅，依题意知用电量增至ax k +-4.0，电力部门的收益为 ()()75.055.03.04.0≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x a x ky———5分（II ）依题意有()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-⨯≥-⎪⎭⎫⎝⎛+-.75.055.0,%2013.08.03.04.02.0x a x a x a ———9分 整理得⎩⎨⎧≤≤≥+-75.055.003.01.12x x x解此不等式得 75.060.0≤≤x答：当电价最低定为6.0x 元/h kw ⋅仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%（24）本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、 运算的能力满分14 解（I ）：函数图象：说明：图象过⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0、⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21、()0,1点；在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0上的图象为上凸的曲线段；在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上的图象为直线段（II ）：f 2(x )=-2x -2，]1,21[∈x 的反函数为：]1,0[,21∈-=x x y ———5分由已知条件得： ,11=a ,21121112-=-=a a,21211211223⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=a a,21212113214⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=a……∴,211211212121211210⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn n a即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=nn a 21132，———8分∴ .3221132lim lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→nn n n a ———10分（III ）：由已知⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,00x ， ∴ ()200112121⎪⎭⎫⎝⎛--==x x f x ，由 ()x f 1的值域，得.1,211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x ∴()202012214212122⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x f由()012x x f =，整理得 0154020=+-x x ， 解得 .41,100==x x因为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,00x ，所以.410=x ———14分2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页3至8页共150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台的侧面积公式l S )c c (21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式h S S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合],43,2,1[=A ，那么A 的真子集的个数是： （A ）15 （B ）16 （C ）3 （D ）4 （2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是：（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6（4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是 （A ）若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β （B ）若α、β是第二象限角，则tg α＞tg β （C ）若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β （D ）若α、β是第四象限角，则tg α＞tg β （5）函数x x y cos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A ）800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元 （7）若a ＞b ＞1，⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ，则 （A ）R ＜P ＜Q （B ）P ＜Q ＜R （C ）Q ＜P ＜R （D ）P ＜R ＜Q （8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （A ）⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ （C ）()1cos 2-=θρ （C ）()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+（10）过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A ）x y 3=（B ）x y 3-= （C ）x y 33=（D ）x y 33-=（11）过抛物线)0(2a ax y =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则p1+q1等于（A ）a 2 （B ）a21 （C ）a 4 （D ）a4（12）如图，OA 是圆雏底面中心O 互母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（A ）321（B ）21 （C ）21 （D ）n212000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号二、填空题：本大题共4分，把答案填在题中横线上（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）（14）椭圆14922=+yx的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是（15）设n a 是首项为1的正项数列，且（n+1）01221=+-++n n n n a a na a (n=1，2，3，…)，则它的通项公式是=n a（16）如图，E 、F 分别为正方体面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是（要求：把可能的图序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知函数R x x x y ∈+=,cos sin 3（Ⅰ）当函数γ取得最大值时，求自变量x 的集合；（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（18）（本小题满分12分）设{}n a 为等比数例，n n n a a a n na T ++-+=-1212)1( ，已知11=T ，42=T （Ⅰ）求数列{}n a 的首项和公式； （Ⅱ）求数列{}n T（19）（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 上菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ，（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；（Ⅱ）当1CCCD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明（20）设函数 ax x x f -+=1)(2，其中0 a （Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数（21）（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f p =； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为伪点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率c 的取值范围2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分A 型卷答案（1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A（10）C （11）C （12）DB 型卷答案（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B （8）A （9）C （10）A （11）A （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分（13）252 （14）5353x -（15）n1 （16）○2○3 三、解答题（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力满分12分解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin cos 6cos sin 2 cos 21sin 232 cos sin 3ππx x x x xx yR x x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,6sin 2π …………3分γ取得最大值必须且只需即,,23,,226Z k k x Z k k x ∈+=∈+=+πππππ所以，使函数γ取得最大值的自变量x 的集合为},,23|{Z k k x x ∈+=ππ…………6分（Ⅱ）变换的步骤是：（1）把函数x y sin =的图象向左平移,6π得到 …………9分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πx y 的图象；（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πx y 的图象；经过这样的变换就得到函数x x y cos sin 3+=的图象 …………12分（18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 以比为q ，则2(2,121211q a a a T a T +=+== …………2分∵4,121==T T ，∴,11==q a …………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知2,11==q a ，故1112--==n n n q a a ,因此，1221222)1(1--⋅+⋅++⋅-+⋅=n n n n n T ， (6)分∴22- 21222- 2222 ]21222)1(1[- 21222)1(2 21121-n 212-+=⋅+=+++++=⋅+⋅++⋅-+⋅⋅+⋅++⋅-+⋅=-=+---n nnn n nn nn n n ~-n -n n n n n T T T2)2(+++-=n n …………12分解法二：设n n a a a S +++= 21由（Ⅰ）知12-=n n a∴12 2211-=+++=-nn n S …………6分∴分分12 22 21222 222121212 10 S )()(a 2)1(121121211121 n n)-n ( )-()-()(S S a a a a a a a a a n na T n n nnn n n n n nn n --=--⋅-=+++=++++=+++=++++++++=+++-+=+--（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分 （Ⅰ）证明：连结1A 1C 、AC 和BD 交于O ，连结O C 1∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BC 1C =∠1DCC ，C C 1=C C 1， ∴DC C BC C 11∆≅∆， ∴1C B=1C D ， ∵OB DO =∴BD O C ⊥1， 3分 但O O C AC BD AC =⊥1, ， ∴⊥BD 平面1AC又⊂C C 1平面1AC ，∴⊥C C 1BD …………6分（Ⅱ）当11=CC CD 时，能使⊥C A 1平面BD C 1证明一： ∵11=CC CD ，∴C C CD BC 1==，又CD C CB C BCD 11∠=∠=∠， 由此可推得D C B C BD 11==∴三棱锥BD C C 1-是正三棱锥 …………9分设C A 1与O C 1相交于G∵AC C A //11，且11C A ：2=OC ：1， ∴G C 1：GO =2：1又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴点G 是正三角形BD C 1的中心， ∴⊥CG 平面BD C 1，即⊥C A 1平面BD C 1 …………12分证明：由（Ⅰ）知，⊥BC 平面1AC ，∵⊂C A 1平面1AC ，∴C A BD 1⊥ …………9分当11=CC CD 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同C A BD 1⊥的正法可得C A BC 11⊥又B BC BD =1 ，∴⊥C A 1平面BD C 1 …………12分（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力，满分12分（Ⅰ）解：不等式1)(≤x f 即 ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0 a 所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥02)1(,02a x a x …………3分所以，当10 a 时，所给不等式的解集为}120|{2aa x x -≤≤；当1≥a 时，所给不等式的解集为0|{≥x x …………6分（Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取21,x x 使得21x x分9 .11)( )(11 )(11)()(22212121212221222121222121 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++++-=--+++-=--+-+=-a x x x x x x x x a x x x x x x a x x x f x f∵1a ,111222121≥++++且 x x x x ，∴011222121 a x x x x -++++，又021 x x -， ∴0)()(21 x f x f -， 即)()(21x f x f所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数 …………12分（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为⎩⎨⎧≤-≤≤-=300t 200 3002 200,t 0 ,300)( t t t f分2由图二可得种植成本与时间的函数关系为300t 0 ,100)150(201)(2≤≤+-=t t g …………4分（Ⅱ）设t 时刻的纯收益为)(t h ，则由题意得)(t h =)(t f )(t g -，即)(t h =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+≤≤++-300t 200 ,21025272001-200,t 0 ,2175******** t t t t …………6分 当2000≤≤t 时，配方整理得)(t h =100)50(20012+--t所以，当50=t 时，)(t h 取得区间[0，200]上的最大值100； 当300200≤t 时，配方整理得)(t h =100)350(20012+--t ，所以，当300=t 时，)(t h 取得区间（200，300）上的最大值87.5 …………10分综上，由5.87100 可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大…………12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分解：如图，以AB 的垂直平分线为γ轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系γxO ，则γ⊥CD 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于γ轴对称，…………2分依题意，记()),(,,),0,(002y x E h C c A c-，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得.1,)1(2)2(1020λλγλλλλ+=+-=++-=h c c x c设双曲线的方程为12222=-by ax ，则离心率ac e =，由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E坐标和ac e =代入双曲线的方程，得14222=-bh e， ○11112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bhe λλλλ. ○2 …………7分由○1式得14222-=ebh ， ○3 将○3式代入○2式，整理得 λλ21)44(42+=-e，故2312+-=e λ …………10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e解得107≤≤e ，所以，双曲线的离心率的取值范围为[10,7]， …………14分2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(2) 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) i 32-(C)i 33-(D) 3i 3+(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则βαcos cos > (B) 若α、β是第二象限角，则βαtg tg > (C) 若α、β是第三象限角，则βαcos cos > (D) 若α、β是第四象限角，则βαtg tg >(5) 函数x x y cos -=的部分图像是 ( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800~900元(B) 900~1200元(C) 1200~1500元 (D) 1500~2800元(7) 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫⎝⎛+2lg b a ，则 ( )(A) R <P <Q (B) P <Q <R (C) Q <P <R (D) P <R <Q(8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛-=4sin 2πθρ (C) ()1cos 2-=θρ (D) ()1sin 2-=θρ(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+(10) 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) x y 3=(B) x y 3-= (C) x y 33=(D) x y 33-=(11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( ) (A) a 2(B)a21(C) a 4(D)a4(12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )(A) 321arccos(B) 21arccos(C) 21arccos (D) 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+yx的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________(15) 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分) 已知函数1cos sin 23cos212++=x x x y ，R ∈x ．(I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；(III) 当1CC CD 的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．(19) (本小题满分12分) 设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ．(I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数． (20) (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ； (II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．(21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．C 1CDABD 1B 1A 1(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1 (16)②③三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x ·sin6π＋sin2x ·cos6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分y 取得最大值必须且只需 2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x =6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋k π，k ∈Z } ——8分(Ⅱ)将函数y =sin x 依次进行如下变换： (i)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x ＋6π)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =21sin(2x＋6π)的图像；(iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分 但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ，OHGC 1CDABD 1B 1A 1∴ BD ⊥平面AC 1， 又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角． 在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413 ——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1．∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-，∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23，所以cos ∠C 1OC=OC OH 1=33． ——8分(Ⅲ)当1CCCD =1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD证明一： ∵1CCCD =1，∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ， 由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分 设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．OHGC 1CDABD 1B 1A 1又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分 当1CCCD =1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ， 又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即 12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0． 所以，原不等式等价于 ⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分 所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212aa x -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2) =1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++xx x x －a )． ——8分 (ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++xx x x <1 ∴11222121++++xx x x －a <0， 又x 1－x 2<0， ∴ f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa -，满足f (x 1)=1，f (x 2)=1，即f (x 1)=f (x 2)，所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分． 解：(Ⅰ)因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=( c n +2－pc n+1)(c n －pc n －1)， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p (2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p (2n +1＋3n +1)]·[2n +3n －p (2n －1＋3n －1)]， ——3分 即[(2－p )2n +(3－p )3n ]2=[(2－p )2n+1+(3－p )3n+1][ (2－p )2n －1+(3－p )3n －1]， 整理得61(2－p )(3－p )·2n ·3n =0，解得p =2或p =3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ． 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3． 事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)． 由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分(Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002175********t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2＋100，所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2＋100所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5． ——10分 综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对。
