2005年全国统一高考数学试卷及解析(理)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f-=__________。

2、方程0224=-÷xx的解是__________。

3、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________。

4、在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________。

5、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。

6、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

7、计算：112323lim-+∞→+-n n nn n =__________。

8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程。

从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。

（结果用分数表示）9、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ∆的面积S=__________。

10、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。

11、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。

用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________。

12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海理工农医类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】4log (1)y x =+，41y x =+，得41yx =-（1x >-）.所求反函数为：1()41x f x -=-（x R ∈）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程4220x x+-=的解是__________.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令2(0)x t t =>，原方程化为：220t t +-=，得1t =或2t =-（舍）.由此可得0x =.解法2：0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x x x x x x【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错.3、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设(,)P x y ，由数量积公式及4=∙知04242=-+⇒=+y x y x 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地11(,)A x y ，22(,)B x y 则2121(,)AB x x y y =--，11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ∙==+.4、在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________.【思路点拨】本题考查了二项式定理的指定项的系数，可根据通项公式处理.【正确解答】展开式的一般项为10110()r r r r T C x a -+=-，令r=7,7x 的系数为73310()12015C a a -=-=，解得12a =-. 【解后反思】要注意二项式展开式的二项式系数r n C 和某一项系数的区别与联系.5、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________. 【思路点拨】本题考查了双曲线的几何性质，因为已知了焦点坐标，就确定了实轴，由渐近线方程可确定b a，联想隐含条件222a b c +=的运用就可解决. 【正确解答由双曲线的渐近线方程为x y 3±=，知3=ab ， 它的一个焦点是()0,10，知c =，即1022=+b a ，因此3,1==b a 双曲线的方程是1922=-y x 【解后反思】圆锥曲线的定义及简单性质是考查的基础知识，因此，夯实基础是取得好成绩的必要条件.6、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________.【思路点拨】本题考查了参数方程，化为普通方程，直接消元，产生x,y 的关系式，化简即可.【正确解答】22221cos 12cos 12(cos )(sin )()()12sin 22sin 2x x x y y y θθθθθθ-⎧=⎪=+⎧-⎪⇒⇒+=+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩， 整理后得：22(1)4x y -+=【解后反思】按大纲要求，要掌握圆和椭圆的参数方程并能进行简单的应用，一般地与圆和椭圆上的点有关问题时，用参数方程能达到消元的目的，便于问题的解决，有时还要理解参数的几何意义及取值范围. 7、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =__________. 【思路点拨】本题考查了数列的极限求法，是属于lim 0n q →∞=（1q <）型，由分母分子都除以3n进行求极限. 【正确解答】1123()323lim lim 312321()23n n nn n n n n+-→∞→∞--==++. 【解后反思】要掌握数列常规极限的方法.8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得. 【正确解答】11153525037C C P C == 解法2：734915503549355015=⨯+⨯ 【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ∆的面积S=__________.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 2222AC BC AC BC AB解得8AC =-（舍）或AC=3，因此ABC ∆的面积4315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB 【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC 的方程，求出AC 的目的，在于求ABC ∆的面积，若利用正弦定理求AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.10、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[]0,2π正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出k 的取值范围.【正确解答】3sin [0,]()sin 2|sin |sin (,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩， 从图象可以看出于直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k123123123123123123【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数()y f x =的图象作出(),()y f x y f x ==的图象.11、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a ，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记12323(1)n i i i i i nb a a a n a =-+-++-，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++=__________.【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子()1n-的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的 12!11121312122232!1!2!3!1121!11222!212!1121!1(23(1))(23(1))(23(1))()2()(1)()(123(1))()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b a a a na a a a na a a a na a a a a a a n a a a n a a a +++=-+-++-+-+-++-++-+-++-=-+++++++++-+++=-+-++-+++=1111(1)(221(1)()()22n n n n n n n A n n n n n A n ----+⎧⨯⨯⎪⎪⎨-+⎪-⨯⨯⎪⎩为偶数）为奇数 5n =时，412120456310802b b b A ⨯+++=-⨯⨯=-. 解法2：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】21x y =+为增函数，1y x =在(1,)+∞上是减函数，因此121)(+=x x f 是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|， {}Z x x x P ∈≤≤=,40|P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意10x +>的隐含条件.在计算P 时，注意10x +>的提示作用.，如果去分母时忽视了10x +>，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【思路点拨】本题考查抛物线过焦点弦的性质.而过此点弦的最小值是通径长（2p ）然后与之比较.【正确解答】当过焦点的直线与x 轴垂直时，与抛物线两焦点的横坐标之和为4<5，因此横坐标之和为5这样的直线有且仅有两条.选B.解法2：x y 42=的焦点是(1，0)，设直线方程为0)1(≠-=k x k y (1)将(1)代入抛物线方程可得0)42(2222=++-k x k x k ，x 显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是33243542222±=⇒=⇒=+k k k k ，选B 【解后反思】一般地，过抛物线22(0)y px p =>焦点弦11(,)A x y 、22(,)A x y 的所在直线的一些特殊性质要理解和记住：22sin p AB α=，12AB x x p =++，双曲线和椭圆也有类似的性质. 16、设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c【思路点拨】本题是综合考查函数的图象和性质和一元二次方程根的分布的思维能力题，本题的突破口在于有奇数根，必有0c =，这时()0f x =，其根均在()0f x b +=中，就不难解决.【正确解答】令()y f x =，则关于x 的方程可以写为关于y 的方程20y by c ++=. 方程有7个不同的实数解，则方程必有一个解为1x =，即0y =，代入方程得0c =.而且另一个根的取值范围是(0,)+∞，即0y b =->，得0b <，选C解法2：个不同实数解有个不同实数解有3,0)2(4,0)1()(=>=a a a x f没有实数解,0)3(<a0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02=++c bx x 有两个根，一个等于0，一个大于0。

浙江省2005年高考试题数学(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 解：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)2解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离2=,选(D) 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541 解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B)4．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：1i i ++(1＋3i )2=12i --i=32-i,故在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点为(32-故选(B)5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121解：(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=--,(1-x)5中x 4的系数为455C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5) (D){1，2，6，7}解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},选(A) 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )解：由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤由得,得()0e a e -=,即()a a e ⊥-,选(C)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2005年普通高等学校招生全国统一测试(北京卷)数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两局部,第 I 卷1至2页,第II 卷3至9页,共 150分.测试时间120分钟.测试结束,将本试卷和做题卡一并交回.第I 卷(选择题共40分)考前须知：1 .答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目涂写在做题卡上.2 .每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、本大题共8小题.每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 .(1)设全集U=R,集合M={x| x>1 , P={x| x 2>1},那么以下关系中正确的选项是(A) M=P(B) P uM(C) M u P ( D) eUM QP=0(2) "mu 1"是"直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m —2)x+(m+2)y —3=0 相互垂直〞的2(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件(3)假设|a| = 1,|b|=2,c = a+b,且c_La,那么向量a 与b 的夹角为(4)从原点向圆x 2+y2—12y+27=0作两条切线,那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为14名志愿者参加接待工作.假设每天排早、中、晚三班,每班(A) 30°(B) 60° (C) 120° (D) 150°(5) (A)兀 (B) 2兀(C) 4兀 (D) 6 天对任意的锐角 〞,3 ,以下不等关系中正确的选项是(A) sin( a+ 9>sin o+sin 3 (B) sin( +- 3)>cos o+cos 3 (C) cos(c+,<sin 仆 sin (D) cos(o+/cos 时cos 3(6) 在正四面体P —ABC 中,D, E, F 分别是AB, BC, CA 的中点,下面四个结论中不成立的是(A) BC 〃平面 PDF (B) D F,平面PAE (C)平面PDF ,平面 ABC(D) 平面PAE ,平面ABC北京?财富?全球论坛期间,某高校有人,每人每天最多值一班,那么开幕式当天不同的排班种数为1244(B) CHA4 (C)竺业 (D) c ；2Ci ：cX1 -cos2x (8)函数 f(x)= ---------------------cosx3 二 3 二(A)在［0,—),(一,五］上递增,在［冗,一),(一,2n ］上递减 22 2 2 ._ 二3 二 ............... 二 3二一 ...(B)在［0,一),［巩——)上递增,在(一,叫,(——,2山上递减 22 2 2.二 3 三 三 3 二...(C)在(一,町(一,2冗］上递增,在［0,—),［%—)上递减 2 22 2 ..3二、,3二(D)在［%——),(——,2冗］上递增,在［0,一),(一1］上递减 2222二、填空题：本大题共 6小题；每题5分,共30分.把答案填在题中横线上. (9)假设 4 =a+2i , z 2 =3—4i ,且至为纯虚数,那么实数 a 的值为Z 2—— Q... .冗 .......................(10)tan — =2,那么tan 由勺值为, tan (.+7)的值为.(11) (x-；)6的展开式中的常数项是 (用数字作答)(12)过原点作曲线y=e x 的切线,那么切点的坐标为 ,切线的斜率为 . (13)对于函数f(x)定义域中任意的xi, x 2 (X I WX2),有如下结论：当f(x)=lgx 时,上述结论中正确结论的序号是 (14) n 次多项式 F n (x) =a 0x n +a i x n ^i +IU + a n ^x + a n ,如果在一种算法中,计算 x 0k (k = 2, 3, 4,…,n)的值需要k —1次乘法,计算F 3(x 0)的值共需要9 次运算(6次乘法,3次加法),那么计算P n (x 0)的值共需要 次运算.P0(x) =a°,Fk 卡(x) =xR(x)+ak 由(k=0, i, 2,…,n —i).利用该算法,计算F 3(X 0)的值共需要6次运算,计算P n (%)的(A )G 1C C ：①f(x i + x 2)=f(x i ) f(X 2)；② f(x i X 2)=f(X l )+f(X 2)；f (X i ) - f (X 2)X i X 2f (X i ) f (X 2)X 1-X 2 >0；④“一"2卜面给出一种减少运算次数的算法:值共需要次运算.三、解做题：本大题共6小题,共80分.解容许出文字说明,证实过程或演算步骤.(15)(本小题共13分)函数f(x)= —x3 + 3x2+9x+a,(I)求f(x)的单调递减区间;(II)假设f(x)在区间［— 2, 2］上的最大值为20,它在该区间上的最小值.GC B(16)(本小题共14分)如图,在直四棱柱ABCD —A1B1C1D1 中,AB=AD = 2, DC =2^3, AA〔=J3, ADXDC, ACXBD, 足未E,(I)求证：BDXA1C;(II)求二面角A 1 —BD—C1的大小;(III)求异面直线AD与BC1所成角的大小.(17)(本小题共13分) (1)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为一,乙每次击中目标的概率2(I)记甲击中目标的次数为已求E的概率分布及数学期望EE;(II)求乙至多击中目标2次的概率;(III)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.(18)(本小题共14分)如图,直线11：y= kx (k>0)与直线l2： y = —kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半局部记为W I,右半局部记为W2.(I)分别用不等式组表小W I和W2；(II)假设区域W中的动点P(x, y)到11, 12的距离之积等于d2,求点P的轨迹C的方程；(III)设不过原点O的直线1与(II)中的曲线C相交于M i, M2两点,且与1i, 12分别交于M3, M4两点.求证△ 0M l M2的重心与^ OM3M4的重心重合.(19)(本小题共12分)［-a n n为偶数1 - 2设数列｛a n｝的首项a i=aw —,且a n+ = ｛a a n+—n为奇数4 (1)记b n= a2n1 —— , n==1, 2, 3,…：4(I)求a2, a3；(II)判断数列｛%｝是否为等比数列,并证实你的结论；(III)求n吗n +b2 +/ + 川+b n).(20)(本小题共14分)设f(x)是定义在［0, 1］上的函数,假设存在x*C(0, 1),使得f(x)在［0, x*］上单调递增,在［x*, 1］上单调递减,那么称f(x)为［0, 1］上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的［0, 1］上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(I)证实：对任意的x1, x2C(0, 1), x1vx2,假设f(x1) A f(x2),那么(0, x2)为含峰区间;假设f(x1)Wf(x2),那么(x* ,1)为含峰区间；(II)对给定的r (0vrv0.5),证实：存在x1,x26 (0, 1),满足x?—为＞2r,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；(III)选取x〔,x zC (0,1), x1vx2,由(I)可确定含峰区间为(0, x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下,试确定x1, x2, x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)2005年普通高等学校招生全国统一测试数学(理工农医类)(北京卷)参考答案(II)由于 f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=- 8+ 12+ 18+a=22 + a,所以f(2)>f(-2).由于在(一1, 3)上f (x)>0,所以f(x)在［-1,2］上单调递增,又由于 f(x)在［ — 2,— 1］上单调递减,因此 f(2)和f(—1)分别是f(x)在区间［ — 2, 2］上的最大值和最小值,于是有 22+a = 20,解得故 f(x)= —x 3+3x 2+9x — 2,因此 f(-1)= 1 + 3-9-2=- 7, 即函数f(x)在区间［―2, 2］上的最小值为一7.(II)连结 A I E, C I E, A I C I .与(I)同理可证 BDXA I E, BDXC I E,又 A I D I =AD = 2, D I C I = DC=2 <3 , AA I =J 3且、选择题 (本大题共8小题,每题 5分,共40分)(1)C (2)(3) C(4) B (5) D (6) C (7) A(8) A二、填空题 (本大题共 6小题,每题5分,共 30分)(13) ②③三、解做题 (15 ) ,、4 (10)——；(本大题共 (共13分)37 , (1)(14)n(n+3); 2n26小题,共80分)(11) 15(12) (1, e); e解：⑴ f ,(x) = —3x 2+6x + 9.令 f (X)<0, 解得x<- 1或x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为(一8,—1) , (3, +8).影.(16)(共 14 分)(I)在直四棱柱 ABCD —AB I C I D I 中,AA I ,底面 ABCD. AC 是 A I C 在平面 ABCD••• BDXAC.BD± A I C;/A 1EC 1为二面角 A I —BD —C I 的平面角.ADXDC, ••• /A I D I C I = /ADC = 90° ,ACXBD ,上的射CBAiCi = 4, A E= 1, EC= 3, •'- A I E=2,C I E=25/3,在^A i EC i 中,A I C I2=A I E2+C I E2, /A i EC i = 90°,即二面角A i —BD —C i的大小为90°.(III )过B 作BF//AD 交AC 于F,连结FC i,那么 / C i BF 就是AD 与BC i 所成的角.AB = AD=2, BDXAC, AE=i, 「. BF=2, EF = i , FC =2, BC=DC, FC i=", BC i= Vi5,i5 4 -7 i5 J5在△ BFC i 中,cosZC i BF = ------------ = ---------- ,ZC i BF= arccosi 2 i5 5 5即异面直线AD与BC i所成角的大小为arccos解法二：(I)同解法一.(U)如图,以.为坐标原点,DA t DC, DD X所在直线分别为黑轴,y轴,工轴,建立空间直角坐标系,连结4& G% 4G.与(I )同理可证,HD1A.E, ED_L GE,£&EG为二面角4-BD-G的平面角.由4(2, 0,百),G(.,2百,⑶,矶方,亨,0), JW 乙得可=©,-亨,⑶,居=(等明⑶,EA। * EC, —— 3 - -7- + 3=0,4 4可＞L启,即画L_LEG.,二面角A, -BD-C,的大小为90t(皿)如图,由.(.,0, 0), 乂(2, 0, 0), G(.,2 万,以),8(3,百,0), 得;® =( -2, 0,0),居=(-3,有,有),二万•居=6,电| =2, |困| =/1?,—►——►AD,RC、西/Tc-/. cos(AZ), BCt)= 1—二--- -=~~~福||耐| 2715 5 ' A异面直线AD与g 所成角的大小为arsos 争.解法三：(I)同解法一.(II)如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为£ 连结A 逐,GE, 4G.与(I )同理可证,RD工％E, RD工GE, A SEC】为二面角4 -如-G的平面角.由-0,0, 0), 4(0, -1,4), 0(0, 3,⑶, 得初=(0, -1,丹),居=(0, 3,4).班t ■ EC] - -3+3=0,;就_1 弱,即EA I_LEG,二二面角4-HD-G的大小为90 L(17)(共13 分)A A A Q AQ 解：(I) P(E=o)=c；(一)3 =—, P(^=1)=C3(-)3 -- ,P(^2)=cf(-)2 8 2 8 28八1,3八3八1 ,一 ,、 1 EE= 0,一+1,-+2+ 31-=1.5,(或 E 乒3 •— =1.5);8 8 88232 3 19 (II)乙至多击中目标 2次的概率为1— C3(—)=——；327(III)设甲恰比乙多击中目标 2次为事件A,甲恰击中目标 2次且乙恰击中目标 0次为事件B 1,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2,那么人=31+32,B 1, B 2为互斥事件.所以,甲恰好比乙多击中目标 2次的概率为 —.24(18)(共 14 分) 解：(I) W [={( x, y)| kx<y<— kx, x<0} , W 2={(x, y)| — kx<y<kx, x>0},(II)直线1I ： kx-y=0,直线l2： kx+y=0,由题意得2 2 2|kx -y| |kx y| 2 |k x -y | 2। 1—, = d ,即 ------- 2 ------------- = d .k 21.k 21k 1由 P(x, y) e W ,知 k 2x 2-y 2>0,所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2 — y 2 —(k 2+1)d 2 =0 ；(III)当直线l 与x 轴垂直时,可设直线l 的方程为x=a (aw0).由于直线l,曲线C 关于x 轴对称,且1I 与l 2关于x 轴对称,于是 M 1M 2, M 3M 4的中点坐标都为(a, 0),所以△OM 1M 2, 4OM 3M 4的重心坐标都 、,2为(一a, 0),即匕们的重心重合,3当直线1I 与x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为y=mx+n (nw .).-L k 2x 2 -y 2 -(k 2 1)d 2 =0222 2222由 «,得(k —m )x -2mnx-n -k d -d =0y 二 mx n由直线l 与曲线C 有两个不同交点,可知 k 2—m 2w0且31 31P( E= 3)= C 3 (-) =q , 2 8E 的概率分布如下表:3 1 1 2 HAXP^+P.二百+8’9124所以.2 2 2k x -y k 2 1=d 2,即 k 2x 2 -y 2 -(k 2 +1)d 2=0,_2 2 2 2 2 2 2△ = (2mn)2 4(k 2 -m 2) (n 2 k 2d 2 d 2)>0设M i, M 2的坐标分别为(x i , y i ), (x 2, y 2),那么 x 1 x 2 二 2mn 2 , y 1 y 2 ; m(x , x 2) 2n , k -m 设M 3, M 4的坐标分别为(x 3, y 3), (x 4, y 4),, y = kx p y - -kxn由?,及%'得x 3 = -------- , x 4y=mxn y=mxn k - m2mn从而 x 3 + x 4 = - ------- 2 = X + x 2,k - m所以 y 3+y 4=m(x 3+x 4)+2n= m(x 1+x 2)+2n= y 1+y 2, 于是△ OM 1M 2的重心与^ OM 3M 4的重心也重合. (19)(共 12 分)1斛：(I) a 2 = a [+ 一4证实如下:所以｛b n ｝是首项为a-1,公比为1的等比数列• 4 2a .- 2 (111) lim(bi +b 2 +l"+b n )=圾 ----------- 2 n n 1 -2(20)(共 14 分)(I)证实：设x*为f(x)的峰点,那么由单峰函数定义可知,f(x)在［0, x*］上单调递增,在［x*, 1］上单调递 减.当 f(x 1)Rf(x 2)时,假设 x* 更(0, x 2),那么 x 1<x 2<x* ,从而 f(x*) Af(x 2)>f(x 1), 这与f(x 1)>f(x 2)矛盾,所以x* € (0, x 2),即(0, x 2)是含峰区间.当 f(x 1)Wf(x 2)时,假设 x* 2 ( x 2, 1),那么 x*< < x 1<x 2,从而 f(x*) Af(x 1)>f(x 2),-n k m=a+ — , a 3= - a 2= - a+ 一 ；(11)a4=a3+ — = — a+ —,所以 a5= - a4= — a+ —,4 1 所以 b 1=a 1=a — 4 猜测：｛b n ｝是公比为2 8 1 1 ,b 2=a 3- 4 41 ,一,一1的等比数列221 2(" 4 1611),b 3=a 5一44("1 4),由于bn+1 = a 2n+1 --------- = — a 2n -------- =一 (a 2n 1 ------------ )= 一 b n , (nC N*) b 1 = ------------1-1 2 1二2(aZ )这与f(X l)W f(X2)矛盾,所以x* C (x i, 1),即(x i, 1)是含峰区间.(II)证实：由(I)的结论可知：当f(X l)Rf(X2)时,含峰区间的长度为l l=X2；当f(X l)Wf(X2)时,含峰区间的长度为12 = 1-X1；对于上述两种情况,由题意得f X2 0 0.5 + r22①1 -X1 < 0.5+r由①得 1 + X2—x1w 1+2r,即x1一x1w 2r.又由于X2-X1>2r,所以X2 —X1=2r, ②将②代入①得X1<0.5-r, X2>0.5-r, ③由①和③解得X1 = 0.5-r, X2= 0.5+r.所以这时含峰区间的长度11= 11= 0.5+r,即存在X1, X2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r. (III)解：对先选择的X" x2, x1<x2,由(II)可知X1 + X2 = 1, ④在第一次确定的含峰区间为(0, X2)的情况下,X3的取值应满足X3 + X1 = x2 , ⑤x2 = 1 - X1由④与⑤可得,X3 =1 -2X1当X1>X3时,含峰区间的长度为X1,由条件X1-X3>0.02,得X1-(1-2X1)>0.02,从而X1>0.34. 因此,为了将含峰区间的长度缩短到0.34,只要取X1 = 0.34, X2 = 0.66, X3=0.32.。

2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）源头学子小屋本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题 （1）复数ii 2123--=（A ）i（B ）i -（C ）i -22（D ）i +-22（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（）（C ）123I I I C S C S C S ⋂⋂=Φ（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（A ）），（2222- （B ）），（22- （C ）），（4242-（D ）），（8181- （5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33（C ）34（D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（A ）23（B ）23（C ）26 （D ）332 （7）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（8）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为 （A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+-（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23 （C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③ （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A ）18对 （B ）24对 （C ）30对（D ）36对第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02≈（14）9)12(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和,2,1( 0 =>n S n （Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到01.0）（21）（本大题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=a 共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值（22）（本大题满分12分）（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）证明：∵ 33|||(sin(2))||2cos(2)|244y x x ππ''=-=-≤ 所以曲线)(x f y =的切线斜率的取值范围为[-2,2]， 而直线025=+-c y x 的斜率为522>， 所以直线025=+-c y x 于函数3()sin(2)4y f x x π==-的图像不相切 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90°在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==.510,cos ,2,5||,2||=>=<=⋅==PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN 0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.4|||.555AN BN AN BN ==⋅=-2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅2arccos().3-故所求的二面角为19．（Ⅰ）).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）0,100,n S q q >-<<>又因为且或1,12,0,;2n n n n q q T S T S -<<->->>所以当或时即120,0,;2n n n n q q T S T S -<<≠-<<当且时即1,2,0,.2n n n n q q T S T S =-=-==当或时即ξ的数学期望为:75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 满分12分（Ⅰ）解：对函数()f x 求导数：22()(log )[(1)log (1)]f x x x x x '''=+--2211log log (1)ln 2ln 2x x =--+- 22log log (1)x x =-- 于是1()02f '=，当12x <时，22()log log (1)0f x x x '=--<，()f x 在区间1(0,)2是减函数， 当12x >时，22()log log (1)0f x x x '=-->，()f x 在区间1(,1)2是增函数，所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（II ）用数学归纳法证明(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k 时命题成立即若正数1232,,,,k p p p p 满足12321k p p p p ++++= ， 则121222323222log log log log k k p p p p p p p p k ++++≥-当n=k+1时，若正数11232,,,,k p p p p + 满足112321k p p p p +++++= ， 令1232k x p p p p =++++11p q x =，22pq x =，……，22k k p q x= 则1232,,,,k q q q q 为正数，且12321k q q q q ++++= ，由归纳假定知121222323222log log log log k k q q q q q q q q k ++++≥-121222323222log log log log k kp p p p p p p p ++++1212223232222(log log log log log )k k x q q q q q q q q x =+++++2()l o g x k x x ≥-+ ①同理，由1212221k k k p p p x ++++++=- ，可得112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++2(1)()(1)log (1)x k x x ≥--+-- ②综合①、②两式11121222323222log log log log k k p p p p p p p p ++++++22()log (1)()(1)log (1)x k x x x k x x ≥-++--+-- 22()log (1)log (1)k x x x x =-++--1(1)k k≥--=-+ 即当n=k+1时命题也成立根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n 命题成立。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）第I 卷（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）2211(1)(1)i ii i -++=+-（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-（2）函数1(0)xy x x-=≠的反函数图像大致是（A ） （B ） （C ） （D ）（3）已知函数sin()cos()1212y x x ππ=--，则下列判断正确的是（A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是(,0)12π（B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是(,0)12π（C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是(,0)6π（D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是(,0)6π（4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 （A ）()sin f x x = （B ）()1f x x =-+ （C ）1()()2x x f x a a -=+ （D ）2()ln 2x f x x-=+ （5）如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-（6）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（A ）1 （B ）-（C ）1,- （D ） （7）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D（8）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（A（B ）6R π（C ）56R π（D ）23R π （9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ≠⊂是()U C A B U ⋃=的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 （11）01a <<，下列不等式一定成立的是（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> （B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+>(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第II 卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）2222lim__________(1)n n nn C C n -→∞+=+. (14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.(15)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是____________(16)已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题：①若//,m αβα⊂，n β⊂则//m n ；②若,,//,m n m αβ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ④,m n 是两条异面直线，若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且82m n +=求A1A BCD1B F1C 1D Ecos(28θπ+的值.(18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（I ）求袋中原有白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率. （19）（本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.(20)(本小题满分12分)如图，已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点.（I ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离. （21）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.(22)(本小题满分14分)已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（试题参考答案）理科数学（必修+选修II ）一．选择题1． [答案] D[思路] 本题考查复数的概念和基本运算，()()221111iii i -++=+-111112222i i i ii i -+---++=+=--. 2． [答案] B[思路] 本题考查反函数的概念及函数的图象。

2005年⾼考理科数学（江西卷）试题及答案2005年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江西卷）理科数学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表⾯积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独⽴，那么其中R 表⽰球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是球的体积公式 P ，那么n 次独⽴重复试验中恰好发⽣k 334R V π=次的概率kn k k nn P P C k P --=)1()( 其中R 表⽰球的半径⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的． 1．设集合?--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（I eB ）= （） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2} 2．设复数：2121), (2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x = （） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3． “a =b ”是“直线相切与圆2)()(222=-+-+=b y a x x y ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分⼜不必要条件 4．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（） A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项 5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（）A ．周期函数，最⼩正周期为3πB ．周期函数，最⼩正周期为32πC ．周期函数，最⼩正周期为π2D ．⾮周期函数6．已知向量的夹⾓为与则若,25)(,5||),4,2(),2,1(=?+=--=（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 7．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所⽰))(的导函数是函数x f ，下⾯四个图象中)(x f y =的图象⼤致是（）8．=--=--→→)22(1lim ,11)1(lim 11x f x x x f x x 则若（）A ．－1B ．1C ．－21D ．219．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成⼀个直⼆⾯⾓B －AC －D ，则四⾯体ABCD 的外接球的体积为（）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a , b 满⾜等式,)31()21(b a =下列五个关系式①0④bA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的⾯积达到最⼤值时，=θ（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（）A ．561 B ．701 C ．3361 D ．4201 ⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共15分，请将答案填在答题卡上. 13．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a = .14．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- .15．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2， 90=∠ABC ，E 、F分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表⾯从E 到F 两点的最短路径的长度为 . 16．以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为⾮零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上⼀定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③⽅程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离⼼率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题：本⼤题共6⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且⽅程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式；xkx k x f --+<2)1()(18．（本⼩题满分12分）已知向量x f x x x x ?=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ.是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.19．（本⼩题满分12分）A 、B 两位同学各有五张卡⽚，现以投掷均匀硬币的形式进⾏游戏，当出现正⾯朝上时A 赢得B ⼀张卡⽚，否则B 赢得A ⼀张卡⽚.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某⼈已赢得所有卡⽚时游戏终⽌.设ξ表⽰游戏终⽌时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围；（2）求ξ的数学期望E ξ. 20．（本⼩题满分12分）如图，在长⽅体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AD 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到⾯ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，⼆⾯⾓D 1—EC —D 的⼤⼩为4π.21．（本⼩题满分12分）已知数列:,}{且满⾜的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n .22．（本⼩题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重⼼G 的轨迹⽅程. （2）证明∠PFA=∠PFB.2005年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江西卷）理科数学参考答案⼀、选择题1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A ⼆、填空题 13．22 14．23 15．223 16．③④三、解答题17．解：（1）将0124,3221=+-+==x bax x x x 分别代⼊⽅程得).2(2)(,2184169392≠-==-=-=+-=+x x x x f b a ba ba 所以解得（2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-xkx k x x k x k x x 可化为即.0))(1)(2(>---k x x x①当).,2(),1(,21+∞?∈<②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞?∈>--=x x x k 解集为不等式为时③),()2,1(,2+∞?∈>k x k 解集为时当. 18．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ-+++=?=x x x x x f 12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan 1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-?-+++=x x x x x x x x x x .cos sin x x +=xx x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:,0)()(-++='+='+即令.0cos 2==x.0)()(],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得πππ19．解：（1）设正⾯出现的次数为m ，反⾯出现的次数为n ，则??≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====?==C P P ξξ.322756455964571615;64556451611)9(=?+?+?==--==ξξE P20．解法（⼀）（1）证明：∵AE ⊥平⾯AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E（2）设点E 到⾯ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，故.2121,232152211=??==-??=BC AE S S ACE C AD ⽽ .31,23121,3131111=∴?=?∴?=?=∴??-h h h S DD S V C AD AEC AEC D（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为⼆⾯⾓D 1—EC —D 的平⾯⾓. 设AE=x ，则BE=2－x,,,1,.1,4,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =?∴+=?=∴=∠?中在中在中在π.4,32.32543.54,3122π的⼤⼩为⼆⾯⾓时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=+∴+-=?=?解法（⼆）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AE=x ，则A1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），从⽽)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ，设平⾯ACD 1的法向量为),,(c b a =，则=?=?,0,01AD AC n也即=+-=+-002c a b a ，得==ca b a 2，从⽽)2,1,2(=，所以点E 到平⾯AD 1C 的距离为.313212||1=-+==n h （3）设平⾯D 1EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x由=-+=-=?=?.0)2(02,0,01x b a c b CE n D 令b=1, ∴c=2,a =2－x ，∴).2,1,2(x n -= 依题意.225)2(222||4cos211=+-?==x DD π∴321+=x （不含，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，⼆⾯⾓D 1—EC —D 的⼤⼩为4π. 21．解：（1）⽅法⼀⽤数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<1)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----⽽.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a ⼜.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对⼀切n ∈N 时有.21<<+n n a a⽅法⼆：⽤数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(22 1)4(21)4(2111-??<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成⽴，所以对⼀切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下⾯来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==?-=--=-=-= 则令, ⼜b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112x x x x x x ≠和，∴切线AP 的⽅程为：;0220=--x y x x 切线BP 的⽅程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重⼼G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从⽽得到重⼼G 的轨迹⽅程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）⽅法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+?+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+?+==∠∴∠AFP=∠PFB.⽅法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2 (1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的⽅程⽽直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的⽅程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即直线BF 的⽅程：,041)41(),0(0414********=+-----=-x y x x x x x x y 即所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.。