2000年高考.广东卷.数学试题及答案

2000年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税 款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年全国高考数学试题(新课程/理工农医类)江西、天津卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是 （ ）（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是 （ ）（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+ （3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体 对角线的长是 （ ）（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-⋅+中，是真命题的有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ （5）函数x x y cos -=的部分图象是 （ ）（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）（A ） 800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元 （7）若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q （8）右图中阴影部分的面积是（A ）32 （B ）329- （C ）332 （D ）335 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ）（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+（10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是 （ ）（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x 33 （D ）x 33- （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A ）321arccos （B ）21arccos （C ）21arccos（D ）421arccos二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（A）11 （B）10 （C）16 （D）15（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6 （D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y=-xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q（8）已知两条直线，其中a为实数。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在同一坐标系中，表示直线ax y =与a x y +=正确的是（ ）2． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7243．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ4．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为 （ ）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36 D ．33 5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．28．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a y a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π 10．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ， 则θtan 的取值范围是（ ）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13．不等式x x x <-24的解集是14．9)12(2x x -展开式中9x 的系数是15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可 以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂 直，则 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得 使用同一颜色，现有4种颜色可 供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离. 18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .19．（本小题满分12分）已知c>0，设P ：函数xc y =在R 上单调递减Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分） 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=+-（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题： 13．]4,2( 14．221-15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S △BCD 16．72三、解答题：（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （II ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的 距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分 ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 33223222=⨯=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即19．函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； （ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=.2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n na a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(52)1(301a a n n nn n n -+-+=-（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201N n a n n ∈<----……①（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……②②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为.)23()15()1(22012--<--k k a即为.51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0(解法二：如果1->n na a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a 下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->023********=⨯⨯-⨯+⨯---n n n（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n故a 0的取值范围为).31,0(。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税 款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷(非选择题）两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至8页.共150分。

考试时间120分钟.第I卷(选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答,不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A=｛x|x∈Z且—10≤x≤—1}，B={x｜x∈Z且｜x|≤5｝，则A∪B中的元素个数是（A）11 （B)10 （C)16 （D）15（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A)（B）(C）（D）（3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B） (C）6 （D)（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A)若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα〉tgβ（C)若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y=—xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算.全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5％超过500元至2000元的部分10％超过2000元至5000元的部分15％……某人一月份应交纳此项税款26。

2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式31--x x ＞０的解集为 A ．｛ｘ｜ｘ＜１｝ B ．｛ｘ｜ｘ＞３｝ C ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是Ａ．３π Ｂ．３3π Ｃ．6π Ｄ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是A ．（０，21） Ｂ．（０，21] Ｃ．（21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3π Ｂ．35πＣ．6π Ｄ．611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）； Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则 A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为 A ．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减； ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减 A ． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的取值范围是 A ．（－∞,０） B ．（－∞,２） C ．［０,２］ D ．（０,２）11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ Ｂ．P ３＞P ２＝P １ Ｃ．P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能(用数字作答)14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０．(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→ 19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相 交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥x 轴 求证直线AC 经过线段EF 的中点． 22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.51615.1 16.2n (n -1) 三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k ∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１）， 12111111111111(-)(-)(-)1223(1)12231n S S S n n n n +++=+++=+++⨯⨯++ 111+-=n 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分 ∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面M SA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222 ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SB BC 即所求二面角的正切值为2212分 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分55(1)88λ==<即时，S 取得最小值，此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分如果λ∈［43,32］，可设122334λλ≤<≤，则由S 的表达式得Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+ =)58)((104421121λλλλ--25,8038≥>>故 因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ 时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分 若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N. 若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214kk x x k k +-=+ １０分 又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０，故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k k k k∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）,所以22)]41([)41()41()4141()21()]21([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x xf x f x x f x f =⋅=+==⋅=+=∈≥⋅=+=ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分∴4121)41(,)21(a f a f == 6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21(n n n f n n f f ⋅-+=⋅=11()[(1)]22f f n n n =⋅-⋅=1111()()()[()]2222n f f f f n n n n=⋅⋅⋅=21)21(a f = ∴n a nf 21)21(= 12分 ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n21）,因此a n =n a 210)ln 21(lim )(ln lim ==∴∞→∞→a na n n n 14分。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2 （B）3（C）4（D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6（D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y＝－xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q（B）P<Q<R（C）Q<P<R（D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ 的长分别是p、q，则等于（A）2a（B）（C）4a（D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学（广东卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S（2） 已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b （4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称 （B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 （D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123 （8）若(),323322103x a x a x a a x +++=+则()()231220a a a a +-+的值为（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）2 （9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29（B ）5 （C ）6（D ）215（11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α（A ）⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ）⎪⎭⎫⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ（12）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒， 则不同的选购方式共有（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（广东卷） 第II 卷（非选择题 90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（A）11 （B）10 （C）16 （D）15（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6 （D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y=-xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q（8）已知两条直线，其中a为实数。