√2是无理数的证明方法

反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。

反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。

一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。

例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。

例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。

例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。

例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。

三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。

例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。

例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。

四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。

反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。

因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。

综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。

反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。

因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。

证明根号2是无理数的8种方法
嘿，你知道吗，要证明根号 2 是无理数居然有 8 种方法呢！
第一种方法，反证法呀！假如根号 2 是有理数，那岂不是就和我们熟知的那些整数、分数一样了？哎呀，这怎么可能呢，感觉就不对劲嘛！就好比说狗怎么能和猫是同一种动物呢。

第二种，用奇偶性来分析。

想想看，如果根号 2 能表示成两个整数的比，那这两个数的奇偶性得有多奇怪呀，这不是很荒谬吗？就像说白天突然变成黑夜一样不可思议。

第三种，可以从无限不循环小数的角度切入呀。

有理数都是能循环的，可根号 2 它就是那么特别，就是不循环，咋就这么倔强呢，哈哈！好比一个特立独行的人不愿意随大流。

第四种，利用一些数学定理。

哎呀，那些定理就像是我们的秘密武器，来揭示根号 2 的无理本质，这多厉害呀！就好像侦探用各种线索破案一样。

第五种，代数的方法也能上呀。

通过一些代数运算，能发现根号 2 就是无法被有理数的规则所束缚，这不是很牛吗？就像一只鸟怎么也关不进笼子里。

第六种，几何的角度也能试试看呢。

把根号 2 放到几何图形里，一下子就看出它的特别之处了，这可真有趣！跟在一幅画里突然发现一个隐藏的宝贝一样。

第七种，分析它的近似值。

怎么找都找不到一个精确的有理数来表示根号 2 呀，这不就说明了问题吗？就好像怎么都找不到完全一样的两片树叶。

第八种，用极限的思想呀。

哎呀呀，发现根号 2 就是不会被有理数的极限所框住，厉害吧！就像一个超爱自由的人怎么也不愿意被束缚。

我觉得呀，这么多种方法都表明了根号 2 就是无理数，这是毫无疑问的呀！。

数论中的证明方法与技巧数论作为数学的一个重要分支，主要研究整数及其性质。

在数论中，证明是一项重要的工作，通过证明可以推导出一系列的结论，揭示整数之间的奇妙关系。

本文将介绍数论中一些常用的证明方法和技巧。

I. 直接证明法直接证明法是数论中最基本的证明方法之一。

该方法借助逻辑推理直接证明数论命题的真实性。

示例1：证明一个数是偶数定理：如果整数n是偶数，则存在整数k，使得n = 2k。

证明：由于n是偶数，根据偶数的定义，n可以写成2的倍数。

设k为某个整数，使得n = 2k，则：n = 2k该等式说明n可以被2整除，即n是偶数。

II. 反证法反证法是数论中常用的证明方法之一。

该方法通过假设命题的否定，推导出与已知事实或条件矛盾的结论，从而证明原命题为真。

示例2：证明根号2是无理数定理：根号2是无理数，即根号2不能被表示为两个整数的比例。

证明：假设根号2是有理数，则可以表示为p/q，其中p和q为互质的整数，并且q ≠ 0。

我们可以假设p和q的最小公因数为d，则p = dx，q = dy（其中x和y互质）。

将p/q带入根号2的表达式中得：根号2 = p/q即 2 = (p^2)/(q^2)则 p^2 = 2q^2根据等式左边的p^2为偶数可知，p必为偶数。

设p = 2k，则：(2k)^2 = 2q^24k^2 = 2q^22k^2 = q^2根据等式右边的q^2为偶数可知，q也必为偶数。

然而，这与我们一开始的假设矛盾，因为我们假设p和q是互质的。

所以，假设根号2是有理数的假设不成立，根号2是无理数。

III. 数学归纳法数学归纳法是数论中常用的证明方法之一。

该方法基于当命题在某个特定的整数上成立，并证明在连续的整数上也成立，从而证明命题在所有正整数上成立。

示例3：证明所有正整数的和公式定理：对于任意正整数n，其前n个正整数的和可以表示为(n(n+1))/2。

证明：（1）当n = 1时，显然等式成立。

（2）假设当n = k时等式成立，即1+2+...+k = (k(k+1))/2。

什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。

无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。

他以几何方法证明无法用整数及分数表示。

而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。

但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。

除了无限不循环小数以外的数统称有理数。

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。

把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。

证明无理数的方法
无理数是啥玩意儿？就是不能表示为两个整数之比的数呗！那咋证明一个数是无理数呢？嘿，这可有招儿！
先说说一种常见方法，反证法。

咱就假设要证明的那个数是有理数，那它就能写成两个整数之比的形式。

然后一顿操作猛如虎，推出矛盾来。

这矛盾一出来，那不就说明咱假设错了嘛，那这个数自然就是无理数啦！这就好比你以为一条路能走通，走啊走，结果撞墙上了，那肯定这条路不对呀！注意啥呢？可得仔细推导，别哪一步弄错了，不然全盘皆输。

这过程安全不？那必须安全啊！只要你逻辑清晰，一步一步来，不会出啥岔子。

稳定不？老稳定了！只要基础的数学知识掌握扎实，这方法就妥妥的。

那这方法啥应用场景呢？当你遇到一些奇奇怪怪的数，想知道它是不是无理数的时候，就可以用这招。

优势在哪呢？简单直接啊！就跟直拳出击一样，直奔目标。

举个例子，咱来证明根号2 是无理数。

假设根号2 是有理数，能写成p/q 的形式，p 和q 互质。

然后一顿推导，最后得出矛盾。

看，这不就证明了根号2 是无理数嘛！这效果杠杠的！
所以啊，证明无理数的方法还是很有用的。

用反证法，只要细心推导，
就能准确判断一个数是不是无理数。

√2 為無理數的證明蔡聰明數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。

—B. Russell—√2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派的偉大發現, 是歸謬證法的典範。

一方面,它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次危機。

另一方面, 它也讓古希臘人發現到連續統(continuum) 並且直接面對到「無窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。

對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25證道法門。

換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。

對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。

在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 =1 +2 + 4 + 7 + 14)。

這些證法牽涉到數學各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統合在一起。

一、奇偶論證法√2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。

不是有理數就叫做無理數(irrational number)。

因此, 我們立下正、反兩個假說:H1 : √2為有理數;H2 : √2為無理數。

到底是哪一個成立呢? 如何證明?欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所以改由H1 切入。

換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。

第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2可以寫成√2 =ab(1)其中a 與b 為兩個自然數並且互質。

將上式平方得a2 = 2b2 (2)12√2 為無理數的證明13所以a2 為偶數, 從而a 亦為偶數。

令a = 2m其中m 為某一自然數, 於是2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2或者b2 = 2m2因此, b2 為偶數, 故b 亦為偶數。

怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

数学中常见的证明方法与技巧数学是一门既有理论性又有实用性的学科，证明在数学中起着至关重要的作用。

证明方法和技巧的运用不仅能够加深对数学原理的理解，还能够培养逻辑思维和解决问题的能力。

本文将介绍数学中常见的证明方法与技巧，以帮助读者更好地掌握数学知识。

一、直接证明法直接证明法是一种常见的数学证明方法，通常用于证明一些简单的命题或定理。

该方法的基本思路是根据已知条件和数学推理规则，逐步推导出结论。

以证明一个简单的数学定理为例：【这里以一个具体的例子来进行说明，如：平行四边形对角线相等定理】。

定理：平行四边形的对角线相等。

证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD。

由于平行四边形的定义，可得AD // BC和AB // CD。

由平行线性质可知，∠ACB = ∠BDC，∠ABC = ∠CDA。

又由同位角性质可知，∠CDA = ∠ACB，∠ABC = ∠BDC。

根据三角形的对应角相等性质可知，△ABC ≌△CDA。

由全等三角形的性质可知，AC = BD。

所以，证明了平行四边形的对角线相等。

从上述证明过程可以看出，直接证明法通过逻辑推理和几何性质的运用，从已知条件出发逐步推导出了对角线相等的结论。

二、反证法反证法是一种常见的数学证明方法，通常用于证明否定命题或猜想的逆否命题。

以证明一个简单的数学定理为例：【这里以一个具体的例子来进行说明，如：根号2是无理数的证明】。

定理：根号2是无理数。

证明：假设根号2是有理数，即可表示为根号2 = m/n，其中m、n为整数，且m、n互质。

由此得出2 = (m/n)^2，经过变形可得2n^2 = m^2。

由于m^2是偶数，根据偶数的性质可知，m也是偶数，即可表示为m = 2k，其中k为整数。

代入原式可得2n^2 = (2k)^2，化简可得n^2 = 2k^2。

由此可知n^2也是偶数，从而得出n也是偶数。

这与m、n互质的前提相矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。

从上述证明过程可以看出，反证法通过假设命题的反命题，并通过逻辑推理得出矛盾，从而证明了原命题的正确性。

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学中一种重要的证明方法，它通常在解决数学问题时发挥着重要的作用。

在初中数学中，我们经常会遇到一些需要用到反证法才能解决的问题，比如证明某个命题的真假，或者推导出一些结论。

在本文中，我们将对反证法在初中数学解题中的运用进行分析，并举例说明其具体运用。

让我们简单了解一下什么是反证法。

反证法是一种证明方法，它采用反证的思路来证明一个命题的真假。

通常，当我们试图证明一个命题时，如果直接使用证明方法无法得出结论，我们可以尝试采用反证法。

反证法的基本思路是，假设命题的否定是成立的，然后通过推导出矛盾的结论，从而得出命题的原命题是成立的结论。

让我们来看一个简单的例子，证明根号2是无理数。

要证明根号2是无理数，首先我们可以假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n，其中m和n 是整数，并且它们没有公因数。

然后我们对等式根号2 = m/n 进行平方，可以得到 2 =m^2/n^2。

接着我们可以得到 m^2 = 2n^2。

这时我们可以观察到m^2是2的倍数，那么m一定也是2的倍数，即m=2k。

代入m=2k，我们可以得到 (2k)^2 = 2n^2，简化后得到 4k^2 = 2n^2，再简化得到 2k^2 = n^2。

这说明n^2也是2的倍数，那么n也一定是2的倍数。

所以m和n同时都是2的倍数，这与我们假设的m和n互质相矛盾。

所以我们可以得出结论，假设根号2是有理数，会导致矛盾，所以根号2是无理数。

在这个例子中，我们使用了反证法来证明根号2是无理数。

我们假设根号2是有理数，然后通过四则运算推导出矛盾的结论，从而得出结论，根号2是无理数。

另外一个例子，我们来看一个关于方程的例子，证明方程 x^2 + 5x + 6 = 0 的根不是有理数。

要证明方程的根不是有理数，我们可以采用反证法。

首先我们假设方程有有理数根，即可以表示为p/q，其中p和q是整数，并且它们没有公因数。

无理数存在的证明说到无理数，相信大多数人都听说过，但说实话，很多人还是摸不着头脑。

你看，大家都知道什么是整数、分数，甚至小数。

但一提到无理数，脑袋里立马就冒出了一堆问号。

好像这些数字就像从天上掉下来的一颗颗外星石头，谁也摸不着它们的边儿。

无理数一点也不神秘，也不是数学家的专利，它们就像你我生活中的那些细碎却难以捉摸的小细节，藏在我们身边，悄无声息。

到底什么是无理数呢？简单来说，就是那些不能用两个整数相除得到的数。

大家耳熟能详的例子，就是圆周率π和根号2。

你想，π不就一个让你头大得想掀桌子的数字吗？它既不终结，也不重复，总是无限延续下去，像是永远也看不完的电影。

它不是“好”数字，也不是“坏”数字，反正就是“乱糟糟”的。

就像你吃泡面，面饼被撕开后，锅里没完没了地沸腾着。

试图给它找一个简单的、清晰的分数表达，结果发现“哎，这不行，没法做分数。

”那这事儿怎么证明的呢？咱们换个角度想，想象你在厨房做饭，突然发现锅里蒸汽腾腾，结果掉进了一个做饭的“迷思”——有一些东西，我们永远也找不到一个完美的分数来描述它。

比如说，根号2，打个比方，它就像是从一个看不见的箱子里蹦出来的。

我们从来不能把它写成一个完美的“a/b”形式，其中a和b是整数，尽管我们拼尽全力去尝试。

于是，有了证明。

根号2是个“调皮捣蛋”的家伙，一直隐藏在我们最不经意的地方，躲得远远的，搞得你一看就晕。

这个证明其实挺有意思的。

来，想象一下，如果根号2真能表示成一个分数，像“a/b”那样，那么这俩数a和b肯定是最简的，也就是说，它们的最大公约数是1。

否则，不然怎么能说是最简呢？那么你就得用反证法了。

假设根号2能写成“a/b”的样子，接着你就开始掰扯。

先假设a²/b² = 2，于是a² = 2b²。

哎，这时候，你就会发现a²是偶数，因为2b²肯定是偶数。

那么根据偶数的性质，a也必须是偶数。

你看到没，开始有点儿线索了。

五种⽅法证明根号2是⽆理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。

单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。

于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。

换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。

中学课程中安排了⼀段反证法。

当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。

直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。

那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。

我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。

证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。

p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。

这样，p也是偶数，q 也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。

根号2是⽆理数，我们证明到了。

根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是⽆理数。

但Theodorus企图证明17的平⽅根是⽆理数时却没有继续证下去了。

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，基本思想是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。

下面将以一般步骤为题，列举10个反证法的例子。

一、证明1不是素数假设1是素数，根据素数的定义，素数只能被1和自身整除。

但是1只能被1整除，与素数的定义矛盾。

因此，假设不成立，1不是素数。

二、证明平方根2是无理数假设平方根2是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，平方根2是无理数。

三、证明根号2的立方根是无理数假设根号2的立方根是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设∛2=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边立方得2=a^3/b^3，即2b^3=a^3。

左边是偶数，右边是奇数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2的立方根是无理数。

四、证明根号2和根号3是无理数假设根号2和根号3都是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2=a/b，√3=c/d，其中a、b、c、d为互质整数。

将等式两边平方得2=a^2/b^2，3=c^2/d^2。

再将两个等式相加得2+3=a^2/b^2+c^2/d^2，即5=a^2/b^2+c^2/d^2。

左边是奇数，右边是偶数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3是无理数。

五、证明根号2和根号3的和是无理数假设根号2和根号3的和是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

设√2+√3=a/b，其中a、b为互质整数。

将等式两边平方得2+2√6+3=a^2/b^2，即5+2√6=a^2/b^2。

移项得2√6=a^2/b^2-5，即2√6=(a^2-5b^2)/b^2。

左边是无理数，右边是有理数，矛盾。

因此，假设不成立，根号2和根号3的和是无理数。

六、证明根号2和根号3的积是无理数假设根号2和根号3的积是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。