江西省高安中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(文)试卷 (Wo

绝密★启用前【百强校】2014-2015年江西高安中学高一下创新班期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：161分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、数列满足，则的整数部分是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：，所以所以：，试卷第2页，共17页，累加得：所以根据已知，所以根据递推公式得：，，，所以，那么那么的整数部分是．考点：1．递推数列；2．累加法．2、在△ABC 中，若，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：根据二倍角公式降幂后得到，又根据，所以，代入后化简为，所以，即，等腰三角形．考点：1．三角函数的化简；2．判定三角形的形状．3、若直线2ax ＋by －2＝0（）平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则的最小值是（ ）A ．1B ．5C ．4D ．3＋2【答案】D 【解析】试题分析：圆的标准方程是：，直线平分圆，所以过圆心，那么，即，所以，所以原式的最小值是．考点：1．圆的性质；2．基本不等式求最值．4、若实数x 、y 满足不等式组，则的取值范围是（ ）A ．[－1，]B ．[－，]C ．[－，＋∞）D ．[－，1）【答案】D 【解析】试题分析：先画可行域，然后求可行域内的点到连线的斜率的取值范围，即夹在直线与直线之间，所以，，所以，所以的取值范围是[－，1）．试卷第4页，共17页考点：1．线性规划；2．直线的斜率 5、在等比数列{a n }中，，是方程3x 2—11x+9=0的两个根，则=（ ）A ．B ．C ．D ．以上皆非【答案】C 【解析】试题分析：根据韦达定理：，而，因为，所以．考点：1．等比数列的性质；2．韦达定理． 6、连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为，记向量的夹角为，则的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 试题分析：，即，点数的组合共有种情况，其中相等的有组，剩下的组，占组，所以组，那么概率就是．考点:古典概型7、已知等差数列{a n }满足=28，则其前10项之和为（ ）A ．140B ．280C ．168D ．56【答案】A 【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，所以，考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前项和8、某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下一组数据：若与之间的关系符合回归直线方程，则的值是（ ） A ．17．5 B ．27．5 C ．17 D ．14【答案】A 【解析】试题分析：，，样本中心点在回归直线上，所以．考点：1．回归直线方程；2．样本中心点．试卷第6页，共17页9、运行下图所示的程序，如果输出结果为sum ＝1320，那么判断框中应填（ ）A ．i≥9B ．i≥10C ．i≤9D ．i≤10【答案】B 【解析】试题分析：此程序框图是求从12开始的，递减的正整数的成绩，因为输出的是，而，所以只有3次进入循环结构，那么判定框应填入考点：1．程序框图的应用；2．条件结构；3．循环结构．10、不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：原不等式等价于，变形为，且，所以根据穿线法，得到解集：考点：1．分式不等式的解法；2．高次不等式的解法．11、已知实数x 、y 满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．B ．>C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：，是减函数，所以当时，，所以当时，只有成立，而当时，不能确定与的大小，以及与的大小．考点：不等式的性质12、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）． A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【答案】C 【解析】试题分析：因为三个学段学生的视力情况有较大的差异，所以应按照学段分层抽样． 考点：分层抽样试卷第8页，共17页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、数列{a n }的前n 项和是，若数列{a n }的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，，…，，，……有如下运算和结论：①a 23＝；②S 11＝；③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列；④数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和＝；⑤若存在正整数k ，使＜10，≥10，则＝．在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________．【答案】②④⑤ 【解析】试题分析：此数列重新分组得到：，那么根据数列的特点：，①错，②正确；数列的项是：，是等差数列，不是等比数列，③错，数列的通项公式是，此数列的前项和为④正确；根据④正确，判断：解得，所以能够满足，成立的，应该在第6组，所以，那么满足条件的和是，，所以：．考点：1．数列的综合应用；2．分组转化．14、在△ABC 中，，BC=AC ，则角B 的大小为________．【答案】【解析】试题分析：根据，所以原式整理为：，，根据正弦定理：，所以两式相结合得到：，即，，或，即，或，当时，，舍，所以．考点：1．三角函数的化简；2．正弦定理．15、若不等式（a －2）x 2＋2（a －2）x －4＜0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】【解析】试题分析：当时，恒成立，等，解得：，所以，实数的取值范围是．考点：1．二次函数的图像；2．二次不等式恒成立．16、已知A 船在灯塔C 的正东方向，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为 km ．试卷第10页，共17页【答案】【解析】 试题分析：，所以中，根据余弦定理：，所以，所以解得：．考点：1．余弦定理；2．解斜三角形．三、解答题（题型注释）17、（12分）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．（1）若数列的前项和为，证明：数列是“数列”； （2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析【解析】试题分析：（1）第一步，根据已知数列的前项和，求通项，第二步，求和，比较和与通项，得到所证的结果；（2）根据等差数列求数列的和和通项，表示，根据赋值，令，表示，如果有值满足，满足，则是“”函数；（3）第一步，先将数列和设为等差数列，并且能表示，第二步，存在，并且满足是“”数列，第三步，存在，并且满足是“”数列，第四步，根据以上所得到的值，说明存在值使和是“”数列．试题解析：解：（1）当时，当时， ∴时，，当时，∴是“数列”（2）对，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴（3）设的公差为令，对，，对， 则，且、为等差数列的前项和，令，则当时；当时当时，由于与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为数列的前项和，令，则∵对，是非负偶数，∴即对，都可找到，使得成立，即为数列因此命题得证． 18、（12分）在中，已知，记角的对边依次为．（1）求角的大小； （2）若，且是锐角三角形，求的取值范围．试卷第12页，共17页【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据两角和的正切公式化简为，再根据，化简求角；（2）第一步，根据正弦定理，，将边化为角，再将，第二步，根据二倍角的降幂公式进行化简，展开合并同类项，化简为；第三步，根据锐角三角形，求角的范围，再求值域．试题解析：（1）依题意：，即，又，∴ ，∴ ，（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得得，=∵，∴，∴ 即．考点：1．两角和的正切公式；2．正弦定理；3．三角函数的化简． 19、（12分）已知数列是公差为d 的等差数列，是公比为q （，）的等比数列．若，．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列对任意自然数n 均有，求的值．【答案】（1）；；（2）．【解析】试题分析：（1）分别根据等差数列的性质，求公差，和根据等比数列的性质，，求公比，代入后知道首项，分别写通项；（2）根据所给式子，看成是已知数列的前项和，求通项，所以第一步，令，求，第二步，当，令，然后两式相减，可以求的通项，，令，得到通项是，采用错位相减法求和．试题解析：解:（1）∵，∴，解得 d =2．∴，∴．∵，∴．∵，∴． 又，∴．（2）由题设知，∴．当时，，，两式相减，得．∴（适合）．设T=，∴试卷第14页，共17页两式相减，得===．∴．考点：1．等比，等差数列的性质和通项；2．错位相减法求和；3．已知数列的前项和，求通项．20、（12分）已知函数，（1）若，解关于x 的不等式；（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）第一步，分解因式；第二步，讨论比较两根的大小，组合写解集；（2）首先将恒成立的不等式变形为恒成立，然后反解为恒成立，最后求的最小值．试题解析：解：（1）∵不等式，当时，有，∴不等式的解集为；当时，有，∴不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（2）任意，恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，，所以考点：1．解含参二次不等式；2．含参恒成立；3．基本不等式求最值．21、（10分）在中，分别是角的对边，且．（1）求角B 的大小； （2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当出现有边又有角的等式的时候，可以根据正弦定理，将边化为角，即，然后交叉相乘化简，根据两角和的正弦公式合并或展开，最后得到，求角；或是根据余弦定理，将角化为边，再进行整理；最后根据余弦定理，求角；（2）第一步，根据余弦定理，第二步，根据，求解，最后求面积．试题解析：解：（1）法一：由正弦定理得将上式代入已知 即即∵试卷第16页，共17页∵B 为三角形的内角，∴．法二：由余弦定理得将上式代入整理得 ， ∴∵B 为三角形内角，∴（2）将代入余弦定理得，∴，∴．考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．三角函数的化简；4．三角形面积公式． 22、（12分）已知关于x 的一次函数，（1）设集合P ＝{－2，－1，1，2，3}和Q ＝{－2，0，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数是增函数的概率；（2）实数a ，b 满足条件求函数的图象经过二、三、四象限的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）随机取出的所有组合共种方法，其中满足的共有种，相除就是概率；（2）此问是几何概型，首先求出不等式组所表示的平面区域的面积，然后满足函数经过二、三、四象限的条件是斜率是负数，纵截距是负数，即所表示的平面区域，两个面积相除就是概率．试题解析：解：（1）由已知，设A 事件为：函数是增函数，则（2）线性约束条件所表示的区域面积S=，要使函数的图象经过二、三、四象限，则实数a ，b 必须满足条件其面积为=1，所求的概率为=．考点：1．古典概型；2．几何概型；3．不等式组表示的平面区域．。

江西省高安中学2014-2015学年度下学期期中考试高一年级重点班数学试题一．选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1． 2015cos()3π的值等于（ ） A ．12B ．12-C ．32 D ．32- 2.扇形的半径是6 cm ，圆心角为15°,则扇形面积是( ) A.22cm πB. 23cmπC ．2cm πD ．232cm π3.函数12sin y x =-的值域是（ ）A.[]2,1-B.[]1,3-C.[]0,1D.[]2,3-4．在△ABC 中，若0CA CB ⋅=，则△ABC 是（ ）A 锐角三角形；B 钝角三角形；C 直角三角形；D 等腰三角形 5.已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（ ） A ．(3,6)- B.(6,2) C ． (2,0)D.(2,0)-6. 如图,在ABC ∆中，,AB c =AC b =若 点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B.5233c b - C.2133c b - D.2233b c + 7. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③0a λ= (λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5()3f π的值为（ ）A. 12-B.32C.32-D.129.右图是函数sin()(0,0,)2y A x A πωϕωϕ=+>>≤图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点( )A.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.B.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.10．已知向量a ，b 的夹角为4π，且4=a ，1()(23)122+⋅-=a b a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A ．2B ．3C ．42D ．111.已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有)2015()()(11+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小正值为（ ）A. 20151B. 40301C. 2015πD. 4030π12.如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是 （ ） A ．62,62⎡-⎣ B ．[]6,6- C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【关键字】数学江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则集合中元素个数为（）2.设，，那么的取值范围是（）3.设角的终边过点则的值是（）4.设等差数列的前项和为，若，则等于（）5.在的角，，所对的边分别为，，，若，则角为（）6.已知等比数列满足，，则（）7.已知向量与满足，，且，则（）8.如图，在中，，，与交于点,设，，，则为（）9.已知函数的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到的新函数的解析式为( )10.已知数列是等差数列，其前项和为，满足，给出下列结论(1)；（2）；(3)最小；(4). 其中正确结论的个数是（）11.在关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的取值范围是( ). . . .12.在中，，若，则的最大值为( )二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.已知，，则_________．14.已知数列满足，且，，则__________.15.给出下列命题：（1）存在实数，使；（2）若、都是第一象限角，且，则；（3）函数是偶函数；（4）函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像；（5）若，则.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知是坐标原点，动点在圆：上，对该坐标平面的点和，若，则的取值范围是____________.三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17（10分）已知，与的夹角为，若.(1)求；（2）求.18（12分）已知函数；(1)求在上的最大值及最小值；(2)若，，求的值.19（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项；(2)若，求数列的前项和.20（12分）已知的角，，所对的边分别为，，，设向量，,.(1)若，求的值；(2)若，边长，，求的面积．21（12分）如图，中，，，点在边上，且，.(1)求；(2)求、的长22（12分）已知数列、的前项和分别为、，，且，各项均为正数的数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的最小值．江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案BB A A DC A A C CD A二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）.13. 14. 15.(3)(5) 16.三、解答题:(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅b b a b b a b a b 4||=⇒b ；（2）5744|2|22=+⋅+=+b b a a b a19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f 当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n；(2)13-=n n bn S n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121， 20.证明 ∵b A b B a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故 21sin sin ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有 4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)．因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3. 21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7. 22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列， 因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2. 于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1， 所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2）， 所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n ＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ， 则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）. 设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）. 因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43. 又因为A n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

江西省高安中学2019-2020学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ） 6.πA 3.πB65.πC 32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ） 2.A 1.B 2.C 4.D 8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图3π-23π6π22-像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2(Y --C .]4,3(D .]4,3()1,2[Y --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <；（3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像；（5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，若2=+=+OM ，则||的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=，与的夹角为ο120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=； (1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b 2=⋅，求cb的值； (2)若⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．AB CD江西省高安中学2019-2020学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. 13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅ο4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-. （2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n b ΘnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故 21sin sin ==C B c b(2)解 由⊥得·＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）. 设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）. 因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3.因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。

江西省高安中学2019-2020学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ） 6.πA 3.πB65.πC 32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ） 2.A 1.B 2.C 4.D 8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图3π-23π6π22-像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2(Y --C .]4,3(D .]4,3()1,2[Y --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <；（3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像；（5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，若2=+=+OM ，则||的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=，与的夹角为ο120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=； (1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b 2=⋅，求cb的值； (2)若⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．AB CD江西省高安中学2019-2020学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. 13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅ο4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-. （2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n b ΘnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故 21sin sin ==C B c b(2)解 由⊥得·＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）. 设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）. 因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3.因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。

江西省高安中学2017-2018学年度下学期期末考试高一年级文科数学试题一．选择题 （本大题共12小题，每小题５分，共60分） 1.cos()3π-=( ) A. 12 B. 12-2.观察数列1，3，7，15，……的通项公式是（ ）A.12-nB.12-nC.n 2D.12+n3.若向量(2,3)a =， (,9)b x =-，且//b a ,则实数x ＝（ ）A ．－6B ． 6C ．－3D ．34. 设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ）A.ac bc >B.11a b< C ．22a b > D ．33a b > 5. 在正项等比数列{}n a 中，21014a a =，则6a 等于 ( )． A.12 B.14 C ．116 D ．1122-或6. sin()cos()παπα--+=sin 2α=( ) A ．23- B ．29- C ．29 D ．237. 地上画了一个角∠BDA=60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点B ，则B 与D 之间的距离为（ ）米。

A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米8.已知不等式))(3(b ax x +->0的解集为(1,3)-) A ．3 B.13- C ．-1D ．1 9. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若1,,3a c C π===，则A =（ ）A ．3πB ．6πC ．6π或65πD ．3π或 32π 10.已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<，=β ( ) A.4π B.6π C.3π D.π125 11. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到 小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤12．在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AD BC ∥，22AB BC AD ===，E ，F 分别为BC ，CD的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若BF AE AP μλ+=其中λ，R μ∈，则6λμ+的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．2,⎡⎣C ．D ．1,⎡⎣ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省高安中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题 理（重点班）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上）1.若11<<0a b，则下列结论正确的是 ( )A.22a b > B.2ab b > C.0a b <- D.||a b a b =＋＋2．已知角θ的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线2(0)y x x =>上，则cos 2θ=( ) A.53-B.54C.35D 45-. 3.已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k 的值为（） A.2 B.3 C.4 D.5 4.在ABC ∆中，已知角B=45，22=c ，334=b ，则角C=（ ） A ．60 B ．30 C ．120 D ．60或1205.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13(1)n n a S n +=≥，则5a 等于( ) A.334⋅ B.434⋅ C.44 D.546.设0,0a b >>3a与3b的等比中项,则11a b+的最小值为( )A.8B.4C.1D.147．已知函数)2,0,0,)(sin()(πϕωϕω<>>∈+=A R x x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式是（ ）A.)()6sin(2)(R x x x f ∈+=ππB ．)()62sin(2)(R x x x f ∈+=ππ C ．)()3sin(2)(R x x x f ∈+=ππD ．)()32sin(2)(R x x x f ∈+=ππ 8.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定9．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，有下列五个说法：①6S 为n S 的最大值，②110S >，③120S <，④130S <，⑤850S S ->，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知0,22ππαβπ<<<<，1cos()43πα+=，sin()24βπ+=，则cos()2βα-=（）A．11.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338D ．23912. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，502a 的“理想数”为2012，那么数列10，1a ，2a ，…，502a 的“理想数”为 （ ）A ．2016B ．2018C ．2020D ．2022二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．当0x >时，函数224x x y x++=的最小值为 ．14．在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C 的值为 ．15．如图，在等腰直角ABC ∆中，2==AC AB ，E D ,是线段BC 上的点（包括端点），且BC DE 31=，则AD AE ⋅的取值范围是________．16．已知数列{}n a 的首项为2,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若1112·2b b =,则23a ＝.三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知tan()2πα+=，求下列各式的值：（1）)23sin(3)sin()2sin()2cos(2απαπαπαπ+++++-; （2）()()ααααsin cos cos 3sin 1--．18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列1{}2nn a -的前n 项和.19.（本小题满分12分） 已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-且[0,]2x π∈. （1）求a b ⋅及a b +；（2）若()3sin f x a b a b x =⋅-+，求()f x 的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知22()2f x x abx a =-+.(1)当3b =时,①若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]时,求实数a 的值； ②求不等式()0f x <的解集；(2)若(2)0f >在[1,2]a ∈]上恒成立,求实数b 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，ABC ∆的面积2224a b c S +-=且3sin 5A =.（1）求sin B ；（2）若边5c =，求ABC ∆的面积S .22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2,a a ==且点()1,n n S S +在直线1y tx =+上. (1)求n S 及n a ； (2)若数列{}n b 满足131nn n n n a b a a a +=-+()2n ≥，11b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当2n ≥时，2n T <.江西省高安中学2015-2016学年度下学期期末考试高一年级数学（理重）答案一．选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 6 ．14． 14-．15． ．16． 4096 ．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）由已知得tan 2α=．∴2cos()sin()2sin cos 2tan 12213sin 3cos tan 3sin()3sin()2ππαααααπαααπαα-++++===-----+++．（2）()()αααααααααα2222sin cos 3cos sin 4cos sin sin cos cos 3sin 1--+=-- 5tan 3tan 41tan 22=--+=ααα 18.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由已知条件得11021210a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =-.(2)设数列1{}2nn a -的前n 项和为n S , 11222n n n a n---=， 2110121222n n n S ---∴=++++①则231110132222222n n n n n S ----=+++++② ①-②得2311111112121()1(1)222222222n n n n n n n n nS ----=-++++-=---=，12n n nS -∴=19.解：（1）33cos cos sin (sin )cos 22222x x x xa b x ⋅=⋅+⋅-=22cos a b +=+=[0,]2x π∈cos 0x ∴≥∴2cos a b x +=（2）由（1）知：()cos22cos sin f x x x x =⋅cos 222cos(2)3x x x π==+[0,]2x π∈42[,]333x πππ∴+∈1cos(2)[1,]32x π∴+∈-min 2()233x x f x πππ∴+===-当即时，max 2=0()133x x f x ππ+==当即时，20.解:(1)22()2f x x abx a =-+.①由已知可得1,2是方程22320x ax a -+=的两根,所以2123122a a+=⎧⎨⨯=⎩ 解得1a =.②因为22320x ax a -+<,所以()(2)0x a x a --<.所以0a >时,此不等式解集为{2}x a x a <<；0a =时,此不等式解集为空集；0a <时,此不等式解集为{2}x a x a <<.(2)2(2)4220f ab a =-+>在[1,2]a ∈上恒成立, 即2b a a<+在[1,2]a ∈上恒成立.又因为2a a +≥= 当且仅当2a a=，即a =.所以b <，即实数b的取值范围是(-∞.21. 解：（1）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos a b c ab C +-=则222cos 42a b c ab C S +-==，又1sin 2S ab C = 所以cos sin ,C C =tan 1,C =在ABC 中4C π=…………………………4分3sin 5A =<ABC 中04A π<<或34A ππ<<，但ABC π++= 所以04A π<<所以4cos 5A ==………………………6分43sin sin sin cos cos sin 44455B A A A πππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭…………8分（2）由正弦定理有sin sin c bC B =，又5c =，所以5sin 4π=得7b =……10分 11321sin 572252S cb A ==⨯⨯⨯=……12分22. 解：（1）点()1,n n S S +在直线1y tx =+上，则11n n S tS +=+当1n =时，211S tS =+，又121,2,a a ==则有31,2t t =+=……………2分121n n S S +=+①当2n ≥时，有121n n S S -=+② 由①－②得12,n n a a +=所以12n n a a +=()2n ≥，又212aa = 所以数列{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列…………4分故12n n a -=()11212n n S ⨯-=-即21n n S =-…………6分（2）由（1）及131nn n n n a b a a a +=-+()2n ≥所以()()()()11111121212112232121212121n n n n n n n n n n n b ---------===-⨯-⨯+----…………9分12233411111111112121212121212121n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1111122212121n n +-=-<---…………12分。

江西省宜春市高安中学创新班2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样2．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y33．不等式≥0的解集为（）A．{x|x≥3或﹣1≤x≤1} B．{x|x≥3或﹣1＜x≤1}C．{x|x≤﹣3或﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}4．运行如图所示的程序，如果输出结果为sum=1320，那么判断框中应填（）A．i≥9 B．i≥10 C．i≤9 D．i≤105．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下一组数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70若y与x之间的关系符合回归直线方程，则a的值是（）A．17.5 B．27.5 C．17 D．146．已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A ． 140B ． 280C ． 168D ． 567．掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 5a 6a 7=（ ）A ． 3B ．C ． ±3D ． 以上皆非9．实数x ，y 满足不等式组，则ω=的取值范围是（ ）A ． [﹣，]B ． [﹣1，]C ． [﹣1，1）D ． [﹣，1）10．若直线2ax+by ﹣2=0（a ，b ∈R +）平分圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣6=0，则+的最小值是（ ） A ． 1 B ． 5C ． 4D ． 3+211．在△ABC 中，若sinBsinC=cos 2，则△ABC 是（ ）A ． 等腰三角形B ． 直角三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形12．数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n 2﹣a n +1（n ∈N *），则m=的整数部分是（ ） A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知A 船在灯塔C 的正东方向，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西30°处，A ，B 两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为 km ．14．不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．15．在△ABC 中，sin （A ﹣B ）+sinC=，BC=AC ，则角B 的大小为 ．16．数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①a24=；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为T n=；④若存在正整数k，使S k＜10，S k+1≥10，则a k=．其中正确的结论是．（将你认为正确的结论序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．已知关于x的一次函数y=ax+b，（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=ax+b是增函数的概率；（2）实数a，b满足条件求函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限的概率．19．已知函数f（x）=x2﹣（a+）x+1，（1）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若对于任意x∈（1，3），f（x）+x＞﹣3恒成立，求a的取值范围．20．已知数列{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q∈R，q≠1，q≠0）的等比数列．若a1=（d﹣2）2，a3=d2，b1=（q﹣2）2，b3=q2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意自然数n均有，求c1+c3+c5+…+c2n的值．﹣121．△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．22．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．江西省宜春市高安中学创新班2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样考点：分层抽样方法．专题：阅读型．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．2．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解答：解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，故选：D．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．3．不等式≥0的解集为（）A．{x|x≥3或﹣1≤x≤1} B．{x|x≥3或﹣1＜x≤1}C．{x|x≤﹣3或﹣1≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或﹣1＜x≤1}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：要解的不等式即≤0，用穿根法求得此不等式的解集．解答：解：不等式≥0，即≤0，如图，用穿根法求得此不等式的解集为{x|x≤﹣3 或﹣1＜x≤1}，故选：D．点评：本题主要考查用穿根法求分式不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．4．运行如图所示的程序，如果输出结果为sum=1320，那么判断框中应填（）A．i≥9 B．i≥10 C．i≤9 D．i≤10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序判断框中应填的是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的结果是计算sum=12×11×10×…×（i﹣1）；输出结果sum=1320时，sum=12×11×10，∴判断框中应填i≤9．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案来，是基础题．5．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下一组数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70若y与x之间的关系符合回归直线方程，则a的值是（）A．17.5 B．27.5 C．17 D．14考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用线性回归方程恒过样本中心点，代入样本中心点求出a的值．解答：解：由表格得=5，=50．∵y关于x的线性回归方程为y=6.5x+a，∴50=6.5×5+a，∴a=17.5．故选A．点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点．6．已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质a5+a6=a1+a10，代入等差数列前n项和公式进行运算．解答：解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为：==140．点评：本题考查等差数列的性质、等差数列前n项和公式．7．掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由已知掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记为（m，n），共有36种可能，而由数量积则θ∈（0，]的，n范围是m﹣n≥0并且m+n≠0，由几何概型公式得到所求．解答：解：解：连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件若θ∈（0，]，则m≥n，则满足条件的（m，n）有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2）（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3）（6，4），（6，5），（6，6），共21个基本事件则P=；故选C．点评：本题主要考查古典概型概率求法，用到了用两个向量的数量积表示两个向量的夹角；解答本题的关键是明确概率模型，分别求出所有事件以及满足条件的事件个数，利用公式解答．8．在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）A．3B．C．±3D．以上皆非考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可．解答：解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=，a3+a9=＞0，∵a3a9=（a6）2，则a6=±则a5a6a7=（a6）2a6=±3，故选：C点评：本题主要考查等比数列性质的应用，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．9．实数x，y满足不等式组，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣，1）考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）与点（﹣1，1）连线的斜率，由图可知的取值范围是，故选D．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．10．若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．1 B．5 C．4D．3+2考点：直线与圆的位置关系．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．解答：解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，即圆心为（1，2），∵直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，∴直线过圆心，即2a+2b﹣2=0，∴a+b=1，则+=（+）（a+b）=2+1+，当且仅当，即a=时取等号，故+的最小值是3+，故选：D．点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用直线和圆的位置关系得到a+b=1是解决本题的关键．11．在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．解答：解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选A．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．12．数列{a n}满足a1=，a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），则m=的整数部分是（）A．3 B．2 C．1 D．0考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：由题设知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），故，累加得==2﹣．由a n+1﹣a n=（a n﹣1）2≥0，知a2010≥a2009≥a2008≥a3＞2，，故1＜m＜2，所以m的整数部分为1．解答：解：由题设知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴，通过累加，得==2﹣．由a n+1﹣a n=（a n﹣1）2≥0，即a n+1≥a n，由，得，得a3=．∴a2010≥a2009≥a2008≥a3＞2，∴，∴1＜m＜2，所以m的整数部分为1．故选C．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知A船在灯塔C的正东方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西30°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为﹣1km．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：先确定|AC|、|BC|和∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|AB|的值解答：解：解：由题意可知|AC|=2，|AB|=3，∠ACB=90°+30°=120°在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB=4+x2﹣2•2x•（﹣）=9，整理得x2+2x﹣5=0，解得x=，（﹣1＜0舍去）∴|BC|=﹣1（km）．故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能力．14．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣2，2]．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：计算题．分析：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立，当a≠2时利用二次函数的性质列出a满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围．解答：解：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立①当a≠2时，则须即∴﹣2＜a＜2②由①②得实数a的取值范围是（﹣2，2]故答案为：（﹣2，2]点评：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质．注意对二次项系数是否为0进行讨论．15．在△ABC中，sin（A﹣B）+sinC=，BC=AC，则角B的大小为．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得sin2B的值，可得角B的大小．解答：解：△ABC中，∵sin（A﹣B）+sinC=，∴sin（A﹣B）+sin（A+B）=，∴2sinAcosB=，∴cosB＞，∴0＜B＜．又BC=AC，∴sinA=sinB，∴2sinBcosB=，∴sin2B=．∴2B=，∴B=．故答案为：．点评：本题主要考查诱导公式、正弦定理、两角和差的正弦公式，属于基础题．16．数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①a24=；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为T n=；④若存在正整数k，使S k＜10，S k+1≥10，则a k=．其中正确的结论是①③④．（将你认为正确的结论序号都填上）考点：数列与不等式的综合；命题的真假判断与应用；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题．分析：①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，，，，…，，，，故a24=；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，…，由等差数列定义知：数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=；④由③知S k＜10，S k+1≥10，即：，，故a k=．解答：解：①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，，，，…，，，，∴a24=，故①正确；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，…，由等差数列定义=（常数）所以数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列，故②不正确．③∵数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=，故③正确；④由③知S k＜10，S k+1≥10，即：，，∴k=7，a k=．故④正确．故答案为：①③④．点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．解答：解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．利用正弦定理表示出a，b及c是第一问的突破点．18．已知关于x的一次函数y=ax+b，（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=ax+b是增函数的概率；（2）实数a，b满足条件求函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限的概率．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：（1）是古典概型，只要求出所有事件个数以及满足条件的事件个数，利用古典概型公式解答；（2）是几何概型，分别求出已知区域的面积以及满足条件的区域面积，利用面积比求概率．解答：解：（1）由已知a≠0，集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，所有事件有5×3=15个，设A事件为：函数y=ax+b是增函数的3×3=9个，由古典概型的概率公式得到，；（2）线性约束条件所表示的区域面积S=，要使函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，则实数a，b必须满足条件，如图阴影部分，其面积为S1=1，所求的概率为P==．点评：本题考查了古典概型和几何概型的概率求法；关键是明确概率模型，利用公式解答．19．已知函数f（x）=x2﹣（a+）x+1，（1）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若对于任意x∈（1，3），f（x）+x＞﹣3恒成立，求a的取值范围．考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为，x∈（1，3），求出函数的最小值即可．解答：解：（1）∵不等式，a＞0，当0＜a＜1时，有，∴不等式的解集为；当a＞1时，有，∴不等式的解集为；当a=1时，不等式的解集为x∈{1}．（2）任意x∈（1，3），＞﹣3恒成立，即x2﹣ax+4＞0恒成立，即恒成立，所以，x∈（1，3），所以a＜4．点评：本题考查了二次函数的性质，考查不等式的解法，函数恒成立问题，是一道中档题．20．已知数列{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q（q∈R，q≠1，q≠0）的等比数列．若a1=（d﹣2）2，a3=d2，b1=（q﹣2）2，b3=q2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意自然数n均有，求c1+c3+c5+…+c2n的值．﹣1考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用a3﹣a1=2d，计算可知d=2，进而可知a n=2（n﹣1）；利用，计算可知q=3，进而可知；（2）通过与作差可知（c1=b1a2=2适合），问题转化为求T=c1+c3+c5+…+c2n﹣1，利用错位相减法计算即得结论．解答：解：（1）∵a3﹣a1=2d，∴d2﹣（d﹣2）2=2d，解得d=2．∴a1=0，∴a n=2（n﹣1）．∵，∴．∵q≠0，q≠1，∴q=3．又b1=1，∴．（2）由题设知，∴c1=a2b1=2．当n≥2时，，，两式相减，得．∴（c1=b1a2=2适合）．设T=c1+c3+c5+…+c2n﹣1，∴T=2+6•32+10•34+…+（4n﹣2）•32n﹣2，32T=2•32+6•34+10•36+…+（4n﹣6）•32n﹣2+（4n﹣2）•32n，两式相减，得﹣8T=2+4•32+4•34+…+4•32n﹣2﹣（4n﹣2）•32n===．∴．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．考点：解三角形；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：（1）由已知中，变形可得，由两角和的正切公式，我们易得到A+B的值，进而求出∠C的大小；（2）由c=2，且△ABC是锐角三角形，再由正弦定理，我们可以将a2+b2转化为一个只含A的三角函数式，根据正弦型函数的性质，我们易求出a2+b2的取值范围．解答：解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即点评：本题考查的知识点是解三角形及两角和与差的正切函数，熟练掌握两角和（差）的正弦、余弦、正切函数式及其变形，是解答本题的关键．22．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d ＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．点评：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。

江西省高安中学201X-201X 学年度下学期期末考试高一年级文科数学试题一．选择题 （本大题共12小题，每小题５分，共60分） 1.不等式0)2(≥+x x 的解集为（ ）A ．}20|{-≤≥x x x 或B ．}02|{≤≤-x xC ． }20|{≤≤x xD ．}20|{≥≤x x x 或2. 数列5791,,,,....81524--的一个通项公式是( ) A. 1221(1)()n n n a n N n n ++-=-∈+ B.1221(1)()3n nn a n N n n -+-=-∈+ C. 1221(1)()2n n n a n N n n ++-=-∈+ D. 1221(1)()2n n n a n N n n-++=-∈+ 3. 设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ） A.ac bc > B.11a b< C ．22a b > D ．33a b > 4. 在等差数列{}n a 中，210,a a 是方程2270x x --=的两根，则6a 等于 ( )． A.12 B.14 C ．－72 D ．－745. sin cos αα+=则sin 2α=( ) A ．23- B ．29-C ．29 D ．236. 在等比数列中，a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．67.的解集为(1,3)-( )A ．3B .13-C ．-1D ．18.若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan 2α= ( )A. 34 B ．34- C .35- D ．359. 在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b 且2A B =，4sin 5B =，则ab的值是（ ） A ．35B ．65 C ．43 D ．8510. 已知数列{}n a 的通项公式1()2n n a n N n ++=∈+，设{}n a 的前n 项积为n s ，则使132n s <成立的自然数n ( )A ．有最大值62B ．有最小值63C ．有最大值62D ．有最小值31 11.已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<，=β ( ) A.4πB.6π C.3π D.π125 12.已知数列{}n a 满足1(1)21,nn n a a n ++-=-则{}n a 的前60项和为( )A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2014-2015学年江西省宜春市高安中学高一（下）期中数学试卷（创新班）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）sin（）的值等于（）A．B．C．D．2．（5分）已知点M（5，﹣6）和向量=（1，﹣2），若=﹣3，则点N的坐标为（）A．（﹣3，6）B．（2，0）C．（6，2）D．（﹣2，0）3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．4．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）A．B．C．5D．5．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6．（5分）已知{b n}是正项等比数列，且log2b1+log2b2+…+log2b2015=2015，则b3•b2013的值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知向量，的夹角为，且||=4，（+）•（2﹣3）=12，则向量在向量方向上的投影是（）A．B．4C．4D．18．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x1使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x1+2015）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．B．[﹣6，6]C．D．[﹣4，4]11．（5分）已知函数，若数列{a n}满足a n=f（n）（n ∈N）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（a m﹣a n）＞0，+那么实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）12．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐为（n，0）（n≥2，n∈N），+记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则=（）A．9×213B．9×214﹣32C．9×214﹣24D．9×213+24二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＞0，若a1+a2+…+a2015=2015a m（m∈N+），则m=．14．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的两个相邻最值点为（，2），（，﹣2），则这个函数的解析式为y=．15．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．16．（5分）在△AOB中，G为△AOB的重心，且．若，则的最小值是．三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．18．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，（1）若，且，求向量的坐标．（2）若⊥，求的最小值．19．（12分）已知△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式的解集是空集．（1）求角C的最大值；（2）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．20．（12分）已知f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a﹣c）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围．21．（12分）某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．2014-2015学年江西省宜春市高安中学高一（下）期中数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）sin（）的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin（）=sin（）=sin（）=﹣sin=﹣．故选：D．2．（5分）已知点M（5，﹣6）和向量=（1，﹣2），若=﹣3，则点N的坐标为（）A．（﹣3，6）B．（2，0）C．（6，2）D．（﹣2，0）【解答】解：设点N的坐标为（x，y），故=（x﹣5，y+6）=﹣3=（﹣3，6）故，解得所以点N的坐标为（2，0），故选：B．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．【解答】解：由题意可得=====故选：A．4．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）A．B．C．5D．【解答】解：向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，可得：sinθ=﹣2cosθ．==5．故选：C．5．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选：A．6．（5分）已知{b n}是正项等比数列，且log2b1+log2b2+…+log2b2015=2015，则b3•b2013的值是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵log2b1+log2b2+…+log2b2015=2015，∴b1b2…b2015=22015，∴b3•b2013=4，故选：B．7．（5分）已知向量，的夹角为，且||=4，（+）•（2﹣3）=12，则向量在向量方向上的投影是（）A．B．4C．4D．1【解答】解：∵向量，的夹角为，且||=4，∴==．∵（+）•（2﹣3）=12，∴﹣=12，化为，解得=．则向量在向量方向上的投影===1．故选：D．8．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C．D．【解答】解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x1使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x1+2015）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：显然要使结论成立，只需保证区间[x1，x1+2015]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，又∵f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0），则2015≥•，∴ω≥，则ω的最小值为：，故选：A．10．（5分）如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．B．[﹣6，6]C．D．[﹣4，4]【解答】解：因为圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2，所以|ME|=，|OM|==3，，==，∵，∴，∴=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，的取值范围是[﹣6，6]．故选：B．11．（5分）已知函数，若数列{a n}满足a n=f（n）（n ）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（a m﹣a n）＞0，∈N+那么实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【解答】解：∵对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（a m﹣a n）＞0，∴数列{a n}是递增数列，又∵f（x）=，a n=f（n）（n∈N*），∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）∴7（3﹣a）﹣3＜a2解得a＜﹣9，或a＞2故实数a的取值范围是（2，3）故选：C．12．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在），函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐为（n，0）（n≥2，n∈N+记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则=（）A．9×213B．9×214﹣32C．9×214﹣24D．9×213+24【解答】解：由题意，∵C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，），且点B n的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N+∴C n的纵坐标为n+，D n的横坐标为，∴矩形A n B n C n D n的一条边长为n+，另一条边长为n﹣，∴矩形A n B n C n D n的周长为a n=2（n++n﹣）=4n；∴a2•+a3•+a4•+…+a10•=4×2•22+4×3•23+4×4•24+…+4×10•210 =4×（2•22+3•23+4•24+…+10•210）；设S=2•22+3•23+4•24+…+10•210，则2S=2•23+3•24+4•25+…+10•211，∴S=2S﹣S=﹣2•22﹣23﹣24﹣25﹣…﹣210+10•211=﹣22﹣（22+23+24+..+210）+10•211=﹣22﹣+10•211=﹣22+22﹣211+10•211=9•211；∴=4×9•211=9×213．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＞0，若a1+a2+…+a2015=2015a m（m∈N+），则m=1008．【解答】解：∵等差数列{a n}中，∴a1+a2+…+a2015=2015a1008，∵a1+a2+…+a2015=2015a m，∴m=1008．故答案为：1008．14．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的两个相邻最值点为（，2），（，﹣2），则这个函数的解析式为y=2sin（2x+）．【解答】解：A=2，相邻最值点相距半个周期，即=，∴T=π⇒ω=2，则函数解析式为y=2sin（2x+φ），点（，2）在函数图象上，∴2=2sin（+φ）⇒+φ=2kπ+得φ=2kπ+，k∈Z∴函数的解析式为y=2sin（2x+）．故答案为：y=2sin（2x+）．15．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在区间（﹣∞，0）上也单调递增．∵，∴，当A为锐角时，cosA＞0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（），0＜cosA＜，＜A＜当A为直角时，cosA=0，而奇函数满足f（0）=0，∴A为直角不成立．当A为钝角时，cosA＜0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（﹣），cosA＜﹣，＜A＜π综上，A的取值范围为故答案为16．（5分）在△AOB中，G为△AOB的重心，且．若，则的最小值是2．【解答】解：如图所示，D为AB的中点．∵，，∴=6，即=12．∴=，∴==4，∴≥2，当且仅当==2时取等号．故答案为：2．三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=5S1+1，解得a1=﹣．…（2分）又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，﹣a n=5a n+1，…（4分）∴a n+1∴=﹣，∴数列{a n}是首项为a1=﹣，公比为q=﹣的等比数列，∴a n=（﹣）n．…（6分）（Ⅱ）解：b n=log4|（﹣）n|=﹣n，…（8分）∴==，…（10分）∴T n===．…（12分）18．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，（1）若，且，求向量的坐标．（2）若⊥，求的最小值．【解答】解：（1）由已知得=（cosθ﹣1，t），又∥，∴2t﹣cosθ+1=0，∴cosθ﹣1=2t．①又∵||=，∴（cosθ﹣1）2+t2=5．②由①②得，5t2=5，∴t2=1．即t=±1．当t=1时，cosθ=3（舍去），当t=﹣1时，cosθ=﹣1，∴B（﹣1，﹣1），则=（﹣1，﹣1）；（2）由⊥可知t=2﹣2cosθ，∴y=cos2θ﹣cosθ+==，∴当cos时，．19．（12分）已知△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式的解集是空集．（1）求角C的最大值；（2）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．【解答】解：（1）∵的解集是空集．注意到二次项系数cosC＞0，∴，即2cos2C+3cosC﹣2≥0，即（cosC+2）（2cosC﹣1）≥0，∴cosC，…..（4分）所以0＜C，…..（5分）即C的最大值为．…（6分）（2）∵=，…（7分）∴得ab=6，…（8分）由余弦定理得：，从而得，则．…（12分）20．（12分）已知f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a﹣c）cosB=bcosC，则求角B的大小以及f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（π+ωx）sin（﹣ωx）﹣cos2ωx，=sinωxcosωx﹣cos2ωx，=sin2ωx﹣cos2ωx﹣，=sin（2ωx﹣）﹣∴函数f（x）的最小正周期为T=π．即：=π，得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（）=sin（2×﹣）=sin﹣=﹣1，（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由正弦定理可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴B=，∵A+C=π﹣B=，∴A∈（0，），∴2A﹣∈（﹣，），∴sin（2A﹣）∈（﹣，1]，∴f（A）=sin（2A﹣）∈（﹣1，]，21．（12分）某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．【解答】解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°，∴EF═=，∴即．当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．故此函数的定义域为（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，，设sinα+cosα=t，则，∴由t=sinα+cosα=，又，得，∴，从而，当，即BE=25时，，所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．【解答】（1）解：∵a n+12=2an2+ana n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．。