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全国2009年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a ={-1，-3，4}与x 轴正向的夹角α满足（ ）A. 0<1<α<2πB. α=2π C. 2π<α<π D. α=π2. 设函数f (x , y )=x +y, 则点（0，0）是f (x ,y )的（ ）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分⎰⎰D ydxdy 的值（ ） A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数 4. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 设无穷级数∑∞=1n p n收敛，则在下列数值中p 的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a ={3，0，-1}和b ={1，-2，1} 则a -3b =___________.7. 设函数z =2x 2+y 2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D 由y =x , x =1及y =0所围成，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________. 9. 微分方程y ″+3y =6x 的一个特解y *=___________.10. 无穷级数14332232323232+++++n nΛ+…的和为___________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11. 求过点（-1，-2，3）并且与直线223-=-=z y x 垂直的平面方程. 12. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点（1，1，1）处的切线方程.13. 求函数f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2在点P （1，2，1）处的梯度.14. 设方程e z -x 2y +z =3确定函数z =z (x , y ), 求xz ∂∂. 15. 计算二重积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤2. 16. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中积分区域Ω是由x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成.17. 计算对坐标的曲线积分⎰++C dy x y xdx )(, 其中C 为从点（1，0）到点（2，1）的直线段.18. 计算对面积的曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0). 19. 求微分方程(1+x )dx -(1+y )dy =0的通解.20. 求微分方程y ″+ y ′-12y =0的通解.21. 判断级数∑∞=+⋅13)1(2n n n n 的敛散性. 22. 求幂级数∑∞=12n n n x 的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23. 求函数f (x , y )=x 3+3xy 2-15x -12y 的极值点.24. 求曲面z=22y x +(0≤z ≤1)的面积.25. 将函数f (x )=ln(1+x )展开为x 的幂级数.。
2019年10月全国自考高等数学(工本)00023试题及其详解一、单项选择题：本大题共5小题。
每小题3分。
共l5分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.在空间直角坐标系中，点(0,0,2)-在A.x 轴上B.y 轴上C.z 轴上D.Oxy 平面上解：答案是C2.函数(,)f x y =(0,0)处A.连续B.间断C.偏导数存在D.可微解：答案是B.3.已知cos cos sin sin x ydx x ydy -是某个函数(,)u x y 的全微分，则(,)u x y =A. sin cos y xB. sin sin x yC. sin cos x y -D. sin cos x y 解：D 选项，d(sinxcosy)=cosxcosydx-sinxsinydy.答案是D.4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是A.3()ydy x y dx =+B.2(2)xdy x y dx =+C.sin 19dy x y dx -=D.29dy xy dx += 解：B 选项，对2(2)xdy x y dx =+变形，得2dy y x dx x-=.答案是B. 5.下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是 A. 11(1)3n n n -∞=-∑ B. 1(1)2n n n ∞=-∑ C. 1(1)n n n ∞=-∑ D. 1(1)21n n n n ∞=-+∑ 解：答案是A.二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。
6.与向量{2,0,α=同方向的单位向量是 .解：{1=,0,222αα=⎨⎪⎪⎩⎭.答案是22⎨⎪⎪⎩⎭. 7.设函数22(,)f x y x y x y +-=+，则(,)f x y = .解：令u=x+y,v=x-y,则2222(,).222u v u v u v f u v +-+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以(,)f x y =222x y +.答案是222x y +.8.设积分区域22:9D x y +≤，则二重积分22()D f x y dxdy +⎰⎰在极坐标下的二次积分为 .解：答案是23200()d f r rdr πθ⎰⎰. 9.微分方程(1)612y x y y '''+-+=的特解*y = .解：简化微分方程，令0y ''=，则(1)612x y y '-+=，解得 y=6611121dx dx x x e e C x ---⎡⎤⎰⎰+⎢⎥-⎣⎦⎰=6661161212(1)1(1)dx dx x x e e C x C x x ---⎡⎤⎰⎰⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎰=62(1)C x +-. 因为0y ''=，所以C=0.故取特解*y =2.答案是2. 10.设函数()f x 是周期为2π的周期函数，傅里叶级数为11(1)sin 2n n nx n π-∞=-+∑，，则()f x 的傅里叶系数0a = .解：0a =π.答案是π.三、计算题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。
全国2008年4月高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设函数f (x ,y )在(x 0,y 0)处偏导数存在，则f x (x 0,y 0)=（ A ）A ．0lim →∆x x y x f y x x f ∆-∆+),(),(0000B ．0lim →∆x xy x f y x x f ∆-∆+),(),(00 C ．0lim →∆x xy x f y x x f ∆-∆+),(),( D ．0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00 2．设函数f (x ,y )=(4x -x 2) (6y -y 2),则f (x ,y )的一个驻点是（ ）A ．(2，6)B ．（4，3）C ．（0，6）D ．（0，3）3．设f (u )是连续函数，区域D :x 2+y 2≤1，则二重积分⎰⎰D f （22y x +）dxdy =（ ） A ．2⎰01πf (r 2)dr B ．2⎰01πrf (r )dr C ．2⎰01πf (r )dr D ．4⎰01πrf (r )dr 4．微分方程y ''-5y '+6y =x 2e 3x 的一个特解y *可设为（ ）A ．（b 0x 2+b 1x ）e 3xB ．(b 0x 2+b 1x )xe 3xC ．(b 0x 2+b 1x +b 2)e 3xD ．(b 0x 2+b 1x +b 2)xe 3x 5．若∞→n lim u n ≠0,k 是常数，则级数∑∞=1n n ku （ ）A ．收敛B ．条件收敛C ．发散D ．敛散性与k 值有关 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.在空间直角坐标系中，Oxz 平面上的曲线⎩⎨⎧==022y x z 绕z 轴旋转的旋转曲面方程为______________. 7.设函数z=e -x sin2y,则x z ∂∂|（0，4π）=____________. 8.设∑为上半球面x 2+y 2+z 2=1(z ≥0)，则对面积的曲面积分⎰⎰∑dS =______________. 9.微分方程y ''+4y=0的通解y=______________.10.当|x|＜1时，无穷级数∑∞=+-01)1(n n n x 的和函数为______________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求与点P 1(3,-1,2)和点P 2(5,0,-1)的距离都相等的动点轨迹方程.12.设函数z=2y xe-,求yx z ∂∂∂2.13.设函数z=f(x,xy),其中f 是可微函数，求xz ∂∂和y z ∂∂.14.求函数f(x,y)=xy 在点（2，3）处沿从点（2，3）到点（3，3+3）的方向的方向导数.15.求曲面x 2+2y 2-3z =0在点（2，1，2）处的法线方程.16.计算二重积分I=⎰⎰D ydxdy ，其中D 是顶点分别为(0,0)(1,1)(2,0)的三角形闭区域.17.计算三重积分I=⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )(，其中Ω是由平面x=2,y=2,z=2及坐标面所围成的闭区域.18.计算对弧长的曲线积分⎰L （2x -y +1）ds ,其中L 是直线y =x -1上点（0，-1）到点（1，0）的直线段.19.计算对坐标的曲线积分⎰-L xdy ydx ，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(a ＞0)，沿逆时针方向.20.求微分方程dx dy +x x y n 1=x x n 12的通解.21.判断级数[]∑∞=-+-111)n(1)1(n n n n 是否收敛.如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？22.设函数f (x )=x (0≤x ≤π)展开成正弦级数为∑∞=1sin n n nx b，求系数b 7.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.求函数f (x ,y )=x 3+y 3-3xy 的极值.24.求曲面z =x 2+2y 2及曲面z =6-2x 2-y 2所围成的立体体积.25.将函数f (x )=21x 展开成（x +2）的幂级数.全国2008年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
2004年下半年高等教育自学考试福建省统一命题考试高等数学（工本） 试题课程代码：0023一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分） 1.函数f(x)=xxx +-11lg1的定义域是（ ） A.-1<x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.0<|x|<1 2.设函数f(x)=3x ，则f[f(x)]=（ ） A.9x B.6x 2 C. 3x3 D. 3x33.极限+∞→x limxarctgx=（ ） A.0 B.1C.+∞D.不存在4.当x→0时，下列表达式不正确的是（ ） A. e x -1~x B.sinx~x C.ln(1+x)~x 2D.x x 21~11-+ 5.曲线y=x 3在点（0，0）处的切线方程为（ ） A.x=0 B.y=0 C.x=y D.不存在 6.设函数y=sec 2xtgx ，则dxdy=（ ） A.sec 2x(3tg 2x - 1) B.3sec 4x - 2sec 2x C.2sec 4xtgx D.2sec 2xtgx+21sec xx+ 7.函数f(x)=(5-x)x 32的临界点的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.曲线y=3ln -x x（ ） A.有一条渐近线 B.有二条渐近线 C.有三条渐近线 D.不存在渐近线 9.若⎰+=C x F dx x f )()(,则dx e f ex x)(--⎰=（ ）A. F(e x)+C B. -F(e x-)+C C. F(x)+C D. -F(x)+C10.设函数f(x)在[-a,a]上连续，则下列正确的结论是（ ） A. ⎰-aa dx x f )(=⎰--aadx x f )( B.⎰-aa dx x f )(=⎰--adx x f x f 0)]()([C.⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)( D.⎰-aadx x f )(=011.下列广义积分收敛的是（ ） A.dx xx ⎰+∞1ln 1B. dx x ⎰101C.dx x ⎰-22)2(1D.dx x⎰+∞+021112.设向量a=2i+3k ，b=i+j-k ，则a×b=（ ） A.-3i+5j+2k B.-3i-5j+2k C.-3i+2j-k D.-113.曲面394222=++z y x 在（-2，3，-1）处的切平面方程是（ ） A. x-32y+2z=0 B.3x-2y+6z+18=0 C.x+32y+2z+2=0 D.3x-2y-6z+6=014.极限22200)sin(lim x y x y x →→=（ ） A.0 B.1C.9D.不存在 15.设u=222z y x ++,则（ ）A.x u ∂∂ +y u ∂∂+z u∂∂=1 B. 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22zu ∂∂=1 C. 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=0 D. （x u ∂∂）2+（y u ∂∂）2+（zu ∂∂）2=116.已知B:y=x,y=0及y=22x a -(x≥0)所围成的第一象限区域，则⎰⎰Bd σ=（ ）A.281a π B. 241a πC. 283a π D. 221a π17.下列各组函数中，哪组是线性相关的（ ） A.e x,sinx B.x,x-3 C.ex 3cos4x,ex3sin4x D. )1ln(),1ln(22x x x x -+++18.微分方程yy ’=y ’2的通解是（ ） A.y= e Cx B.y=C 1exC 2C.y=C 1x+C 2D.y=C 1+ e xC 219.下列级数中，收敛的级数是（ ）A.∑∞=11.01n nB. ∑∞=11sin n nnC. ∑∞=178n n nD.∑∞=11.01n n 20.幂级数n n n nx ∑∞=-+1])3(21[的收敛半径是（ ）A.31 B. 21C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
2008年1月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学（工本） 试卷课程代码 0023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设函数f(x,y)=y x yx －＋,则f(y 1,x 1)=（ ）A. y x y x －＋B. x y yx －＋C. y x yx ＋－ D. y x xy ＋－ 2. 设函数f (x,y) =22y x ＋,则点(0,0)是f ( x,y )的（ ）A.间断点B.连续点C.极大值点D.驻点3.设D 是由直线x+y+1=0与坐标轴所围成的区域,则二重积分=（）A.0B.1C.2D.44.微分方程y ′=2y 的通解是（ ）A.y=Ce xB.y=e 2x +CC.y=2e CxD.y=Ce 2x5.幂级数的和函数为（ ）A.-e -x -1B.1-e -xC.e -x -1D.1+e -x二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设向量α={a,b,c}，β={1,-1,1},则α×β=___________.7.设函数z = sin(x 2+y 2),则=___________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.设平面π1：x-4y+z-4=0和平面π2：2x-2y-z-1=0求π1与π2的夹角.12.设函数z = xy+2xy ,求全微分dz. 13.设方程e xy +ysinx+z 2-2z=1确定函数z=z (x,y),求.14.求函数f (x,y) =cos ( xy ) +x 2-y 的梯度grad f (1,0). 15.求曲面x 2+2y 2+z 2=7在点(2,-1,1)处的法线方程．16.计算二重积分I=,其中D 是顶点分别为(0,0),(-1,0)(-1,-1)的三角形闭区域. 17.计算三重积分I=,其中 是旋转抛物面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域. 18.计算对弧长的曲线积分,其中L 是右半圆x 2 + y 2 = 1(x ≥0). 19.求对坐标的曲线积分,其中Ｌ是闭区域Ｄ：x 2 +y 2≤2x,y ≥0的正向边界曲线．20.设函数f (x)满足f ″(x)+5 f ′(x)+6 f (x)=6，求函数f (x).21.求无穷级数的和．22. 设函数f(x)=x 2sinx 的马克劳林级数为,求系数a 9. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.欲做容积为４m 3的无盖长方体盒,如何选取长、宽和高，才能使用料最省？24.求曲面z =2x 2 +y 2和z =6-x 2-2y 2所围立体的体积.25.设f (x)是以2π为周期的周期函数,它在[-π, π)上的表达式为求f (x)的傅里叶级数展开式。
2019年10月全国自考高等数学工本00023真题试题（含详解）2019年10月全国自考高等数学(工本)00023试题及其详解一、单项选择题：本大题共5小题。
每小题3分。
共l5分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.在空间直角坐标系中，点(0,0,2)-在A.x 轴上B.y 轴上C.z 轴上D.Oxy 平面上解：答案是C2.函数(,)f x y =(0,0)处A.连续B.间断C.偏导数存在D.可微解：答案是B.3.已知cos cos sin sin x ydx x ydy -是某个函数(,)u x y 的全微分，则(,)u x y =A. sin cos y xB. sin sin x yC. sin cos x y -D. sin cos x y 解：D 选项，d(sinxcosy)=cosxcosydx-sinxsinydy.答案是D.4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是A.3()ydy x y dx =+B.2(2)xdy x y dx =+C.sin 19dy x y dx -=D.29dy xy dx += 解：B 选项，对2(2)xdy x y dx =+变形，得2dy y x dx x-=.答案是B. 5.下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是 A. 11(1)3n n n -∞=-∑ B. 1(1)2n n n ∞=-∑ C. 1(1)n n n ∞=-∑ D. 1(1)21n n n n ∞=-+∑ 解：答案是A.二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。
6.与向量{2,0,α=同方向的单位向量是 .解：{1=,0,222αα=.答案是22. 7.设函数22(,)f x y x y x y +-=+，则(,)f x y = .解：令u=x+y,v=x-y,则2222(,).222u v u v u v f u v +-+=+= ? ? 所以(,)f x y =222x y +.答案是222x y +.8.设积分区域22:9D x y +≤，则二重积分22()D f x y dxdy +??在极坐标下的二次积分为 .解：答案是23200()d f r rdr πθ??. 9.微分方程(1)612y x y y '''+-+=的特解*y = .解：简化微分方程，令0y ''=，则(1)612x y y '-+=，解得y=6611121dx dx x x e e C x ---+??-???=6661161212(1)1(1)dx dx x x e e C x C x x ---+=-+????--???=62(1)C x +-. 因为0y ''=，所以C=0.故取特解*y =2.答案是2. 10.设函数()f x 是周期为2π的周期函数，傅里叶级数为11(1)sin 2n n nx n π-∞=-+∑，，则()f x 的傅里叶系数0a = .解：0a =π.答案是π.三、计算题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。
高等数学(工本)历年试题及参考答案 自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y xf )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f dr d θD ．⎰⎰⎰π102)(Rdz r f rdrd θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y5．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n nuB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nuD ．∑∞=+1)1(n nu二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________. 7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x yf __________.8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程. 12．设函数22ln y x z +=，求yx z∂∂∂2.13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求xz ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2.17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰Cds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆.19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-Cdy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解. 21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(x yz ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数.证明：0=∂∂+∂∂y zy x z x24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为xyx -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. 25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。
