立体几何的证明

立体几何证明
立体几何证明是指通过几何推理和定理证明立体几何问题的方法。

常见的立体几何证明包括证明两个立体图形是否全等、相似，以
及证明立体图形的性质等。

在立体几何证明中，常常使用的方法有以下几种：
1. 使用平行投影：通过平行投影将立体图形映射到二维平面上，
简化问题的处理。

例如，证明两个立方体全等时，可以将它们分
别投影到一个平面上，然后比较二维平面上的对应边和角是否相等。

2. 使用剖分方法：通过将立体图形剖分成若干个简单的形状，例
如三角形、矩形等，然后证明这些简单形状的性质，最终得出整
个立体图形的性质。

例如，证明一个四面体的四个侧面都是等边
三角形时，可以将四面体剖分成四个等边三角形，然后证明每个
等边三角形的性质。

3. 使用向量分析：通过使用向量的性质和运算，证明立体图形的
性质。

例如，证明两个平行六面体的面中心连线垂直时，可以使
用向量的内积来证明两个向量垂直。

4. 使用几何推理：通过运用几何定理，例如平行线定理、垂直定
理等，进行证明。

例如，证明两个平行四面体相似时，可以运用
平行线定理来证明它们的对应边与对应面的关系。

需要注意的是，在立体几何证明中，使用准确的定义和恰当的假
设是非常重要的，同时还需要运用合适的定理和推理方法进行证明。

此外，需要有一定的空间想象力和几何直觉，以便更好地理
解和分析立体图形的性质。

高考立体几何证明知识点立体几何是数学中的一个重要分支，旨在研究空间中的图形和物体的性质及其相互关系。

在高考中，立体几何是一个重要的考点，其中涉及到很多证明题。

本文将介绍几个高考常见的立体几何证明知识点，帮助考生更好地理解和掌握这些内容。

一、平行关系证明在立体几何中，平行关系是经常需要证明的一个知识点。

首先，我们需要了解平行的定义：若两条直线在同一个平面内，且不相交，则称这两条直线平行。

为了证明两条直线平行，我们可以利用以下几个常见的方法：1.同位角相等法：如果两条直线被平行线所截，那么可以利用同位角的性质来确定这两条直线平行。

同位角是指两条直线被平行线所截时，对应角或内错角两对角，它们的度数相等。

在证明过程中，我们需要找到直线间的对应角或内错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。

2.共线错角相等法：如果两条直线被平行线所截，可以利用共线错角相等的性质来确定这两条直线平行。

共线错角是指两条直线被平行线所截时，同侧的内错角，它们的度数相等。

在证明过程中，我们需要找到两条直线间的共线错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。

二、相似三角形证明相似三角形是立体几何中另一个重要的证明知识点。

首先，我们需要了解相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

证明相似三角形的方法主要有以下几个：1.对应边成比例法：若两个三角形的两对对应边成比例，那么可以证明这两个三角形相似。

在证明过程中，我们需要找到两个三角形中对应的边，并运用对应边成比例的性质来证明它们相似。

2.三角形内相等角法：若两个三角形中，其中一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相等，那么可以证明这两个三角形相似。

在证明过程中，我们需要找到这两个相等的角，并证明它们与其他角的关系，从而得出两个三角形相似的结论。

三、垂直关系证明垂直关系也是立体几何中常见的一个证明知识点。

首先，我们需要了解垂直的定义：两条直线或线段在平面或空间中互相垂直，即两条直线或线段相交且相交的角度为90度。

立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。

二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。

(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

立体几何证明的原理是什么立体几何证明的原理是通过运用公理和定理来推导和证明几何问题。

立体几何主要研究三维空间中的几何关系和性质，包括点、线、面、体等几何元素之间的关系。

立体几何证明的原理主要包括以下几个方面。

首先，立体几何证明的基础是公理系统。

公理是基本不可证明的命题，是几何证明的起点。

公理系统是一组相互独立且互不矛盾的公理，通过这些公理可以推导出其他命题。

公理系统提供了确定的基本规则和几何概念，使得立体几何证明具有一定的严谨性和逻辑正确性。

其次，立体几何证明的原理是通过应用一系列已知的几何定理和性质来推导出结论。

几何定理是基于公理和先前证明出的定理，用来描述几何元素之间的关系。

通过运用定理，可以将一个复杂的立体几何问题转化为一系列较简单的几何关系，并逐步推导出所需的结论。

第三，立体几何证明的原理是基于逻辑推理。

在证明过程中，需要运用严谨的逻辑推理，严格的推理步骤和推理规则来进行推导。

逻辑推理是基于公理和定理，通过假设、推理规则和推论来建立命题之间的逻辑联系。

通过合理的逻辑推理，可以建立几何命题之间的推导链，从而证明出所需的结论。

第四，立体几何证明的原理是通过构造和演绎来进行证明。

构造是指根据问题的要求和给定的条件，利用尺规作图和其他几何方法来建立几何关系或构造几何形状。

通过适当的构造，可以将复杂的几何问题简化为易于分析和推导的形式。

演绎是指由事实出发，通过推理和逻辑规则，由一系列已知的几何命题推导出所需的结论。

构造和演绎是立体几何证明中常常使用的重要方法。

最后，立体几何证明的原理还包括数学归纳法和反证法。

数学归纳法是一种通过先证明基础情况，再从基础情况推导出一般情况的证明方法。

在立体几何证明中，可以通过数学归纳法来证明一类几何问题或一系列几何命题。

反证法是一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。

在立体几何证明中，可以通过反证法来证明某些几何问题或命题的正确性。

立体几何证明定理及性质总结立体几何是研究空间内物体形态、结构和性质的一门数学学科。

其研究对象一般为立体物体，如点、线、平面等的延伸形成的三维空间中的实体。

立体几何的核心是几何定理和性质的证明，这些定理和性质为我们理解和应用立体几何提供了重要的基础。

1.直线与平面之间的关系(1)平面穿过一条直线，分割直线成两段，这两段相互垂直。

(2)平面与两条垂直直线的交线是水平的。

(3)平面的两条相交线分别与直线的其中一直线相交，则这两条直线在该平面上相交。

(4)平面的两条交线都与直线的其中一直线相交，则两交线在该平面上相交。

(5)平面的两个不同交线都与直线的其中一直线相交，则交线的交点在该平面上。

2.平面之间的关系(1)平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则它也与另一个平面相交。

(2)两平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则另一平面上的相交线平行于两给定平面。

(3)平面与两个平行平面相交，交点的连线垂直于两个平行平面。

(4)平面分割直线，则直线在平面上的两个截点在直线的同一侧。

3.空间图形的性质(1)圆柱的轴线与底面圆的圆心在同一直线上，底面平行，生成的侧面平行四边形的对角线相等。

(2)圆锥的轴线垂直于底面，底面与轴线连线的斜率相等，生成的侧面是一个等腰三角形。

(3)球的所有直径相等且是最长的，球面上任意两点相连的线段都在球内。

4.空间多面体的性质(1)正方体的近似球半径与边长之比约为1：1.633(2)正四面体的顶点到底面边心的距离与底面边长之比约为1：1.5(3)正八面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.707(4)正十二面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.612以上只是立体几何中的一部分重要定理和性质，我们通过对这些定理和性质的研究和证明，可以更好地理解和应用立体几何的知识。

在解决实际问题时，我们可以利用这些定理和性质快速推导出结论，同时也可以通过反证法等方法，从不同的角度来理解和证明这些定理和性质。

高三立体几何证明知识点立体几何是高中数学中的重要部分，它研究的是三维空间中的几何图形及其性质。

在高三阶段，同学们需要掌握并运用一些立体几何的证明知识点。

本文将介绍一些常见的高三立体几何证明知识点，并探讨它们的证明方法和应用。

一、平行关系的证明在立体几何中，平行关系的证明是十分常见的。

平行关系的证明方法有多种，下面我们将介绍两种常用的方法。

1. 使用平行线性质在平面几何中，我们学过平行线的性质，这些性质同样适用于立体几何中的平行关系。

例如，当两个平面分别与第三个平面垂直时，它们之间的交线就是平行于第三个平面的直线。

通过运用平行线的性质，我们可以进行平行关系的证明。

2. 使用对称性对称性是立体几何中常用的证明方法之一。

当我们需要证明两条线段平行时，可以通过构造一条第三条线段，并证明这三条线段关于某个轴线的对称性。

通过利用对称性，我们可以得出两条线段平行的结论。

二、相似关系的证明相似关系是立体几何中另一个重要的概念。

相似关系的证明方法也有多种，下面我们将介绍两种常用的方法。

1. 利用比例关系相似三角形的三个对应边的比例相等。

根据这个性质，我们可以通过计算两个三角形的对应边之间的比值来证明它们的相似关系。

具体而言，我们可以利用距离比例和角度比例来求解相似三角形之间的比例关系，并进而得出它们相似的结论。

2. 使用旋转和平移旋转和平移是几何中常用的操作方法。

在证明相似关系时，我们可以通过将一个图形旋转或平移后与另一个图形重合，来证明它们的相似关系。

通过旋转和平移，我们可以使得两个图形具有相同的形状，从而得出它们相似的结论。

三、垂直关系的证明垂直关系是立体几何中常见的关系之一。

证明两条线段垂直的方法有多种，下面我们将介绍两种常用的方法。

1. 使用垂直线性质在几何中，我们学过垂直线的性质，例如，垂直线的斜率乘积为-1。

当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过计算它们的斜率，并验证乘积是否为-1。

通过运用垂直线的性质，我们可以得出两条线段垂直的结论。

立体几何证明8条定理立体几何是几何学的一个分支，研究的是在三维空间中的图形和体的性质。

在立体几何中有许多定理，其中一些重要的定理包括平行线定理、垂直线定理、欧拉定理、等角定理、切线定理、割线定理、同位角定理和三角形内角和定理等。

下面将详细讨论这些定理：1.平行线定理：如果两条平行线被一组平行线截断，那么它们的对应线段成比例。

这个定理可以用于证明两条线平行。

2.垂直线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交处的四个角都是直角。

这个定理可以用于证明两条线垂直。

3.欧拉定理：在任意一个凸多面体中，顶点数、棱数和面数之间存在一个关系：顶点数加上面数等于棱数加上2、这个定理被应用于立体几何中的多面体的计算。

4.等角定理：如果两条线分别与一条平行线相交，且其中一对内错角（相对于平行线的两条线之间的两个角）或一个内错角和一个外错角（与平行线的两条线相交形成的一对内角和一对外角）相等，那么这两条线是平行线。

这个定理可以用于证明平行线。

5.切线定理：给定一个圆和一个与圆相切且通过切点的直线，那么切线的切点与切线所跨越的弦的两个端点之间的角是直角。

这个定理可以用于证明圆的性质。

6.割线定理：给定一个圆和一个与圆相交的直线，那么直线与圆的切线所跨越的弦的两个端点之间的角相等。

这个定理也可以用于证明圆的性质。

7.同位角定理：如果两条平行线被一条截线截断，那么同位角（相对于平行线的两条线的每一对内角）相等。

这个定理可以用于证明平行线。

8.三角形内角和定理：三角形的三个内角的度数之和等于180度。

这个定理是三角形的基本性质，可以用于证明其他三角形的性质。

这些定理是立体几何中的一些基本定理，通过运用它们可以推导出其他一些更复杂的定理。

这些定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在物理学、工程学等其他学科中也有广泛的应用。

① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。

求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。

（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。

A 1C _ H_ G_ D_ A_ B_ CEFGPABCDFEA B C D EF例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。

求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。

求证：//PAD MN 平面PABCDMN③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11AB D ．A BCDEF③比例关系是PB 、BC 上的点，且NCBN PMBM =,例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

立体几何常见证明方法在几何学中，立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小、位置和相互关系的分支。

在证明一个立体几何问题时，我们通常需要运用一些常见的证明方法来得出结论。

本文将介绍几种常见的立体几何证明方法。

一、平行四边形面积证明法平行四边形面积证明法是一种常见的证明方法。

对于一个平行四边形，我们可以通过证明它的底边乘以高得到的面积与对角线的乘积相等来验证其正确性。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出平行四边形的底边和高线；2. 证明底边乘以高得到的面积等于对角线的乘积。

可以通过运用三角形的面积公式和勾股定理进行证明。

二、等腰三角形证明法等腰三角形证明法是另一种常见的证明方法。

对于一个等腰三角形，我们可以通过证明其底边上的两个角相等来验证其正确性。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出等腰三角形；2. 证明底边上的两个角相等。

可以通过等腰三角形的定义进行证明，即等腰三角形的两边相等，所以其对应的两个角也相等。

三、垂直证明法垂直证明法是证明两条线垂直的常见方法。

它通常基于垂直线的特性，如垂直线的斜率之积为-1等。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两条线段；2. 证明两条线段所在的直线的斜率之积为-1。

可以通过计算两条线段的斜率，然后对其进行运算得出结论。

四、相似三角形证明法相似三角形证明法常用于证明两个或多个三角形之间的相似关系。

它基于相似三角形的一些性质，如对应角相等、对应边成比例等。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两个或多个三角形；2. 证明对应角相等或对应边成比例，以确定两个或多个三角形之间的相似关系。

五、共面证明法共面证明法常用于证明多个点是否处于同一个平面上。

它基于共面点的一些性质，如共线的三个点必然共面等。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定多个点的坐标或描述；2. 证明这些点共面。

可以通过计算这些点的坐标或应用共线点的条件来证明。

立体几何证明方法总结及典例例1：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

线面平行的证明方法：面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥． 同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则①212121z z y y x x b a ++=⋅；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<夹角公式：.||||cos 2121n n n n ⋅⋅-=θ距离公式：||||||n n AB CD d ⋅== 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P到平面QAD 的距离22PQ d==n n．立体几何证明经典习题平行题目1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.求证：AF//平面PEC；垂直题目3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD向量法解立体几何题目5、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．立体几何证明经典习题答案1、证明：如图，连结AC 交BD 于点O . ∵ABCD 是平行四边形，∴A O =O C.连结O Q ，则O Q 在平面BDQ 内， 且O Q 是△APC 的中位线， ∴PC ∥O Q.∵PC 在平面BDQ 外， ∴PC ∥平面BDQ.2、证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC3、证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． ∵平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交 于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =， ∴CFAB ⊥．∵AD BD =，（等腰三角形三线合一）∴DF AB ⊥． 又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BEAB B =，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、31022c ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=。