2019年高考数学(文)高频考点揭秘与仿真测试专题37--数列 等差数列2(含解析)

专题40 数列 数列的求和1（等差等比数列求和）【考点讲解】一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，qa S -=11（2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：； ；；；（3）倒序相加法求和：如果一个数列{}na ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.如{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求的和.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.形如：nn b a +其中，（6）合并求和：如求的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：；.【真题分析】1．【2016年北京】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【解析】本题考点是等差数列的性质与求和.因为{}n a 是等差数列，所以，即40a =，又，所以2d =-，所以．故答案为6． A.80 B.30 C.26 D.16【解析】由2n S =与314n S =可得：当1n =时，112S a ==，314S =..由，得到，因为是正数的等比数列，所以有2q =，所以，答案选B.【答案】B11.【2016全国文Ⅱ，17】等差数列{n a }中，.(Ⅰ)求{n a }的通项公式；(Ⅱ) 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.（Ⅱ）由(Ⅰ)知.当n =1,2,3时，；当n =4,5时，；当n =6,7,8时，；当n =9,10时，.所以数列{}n b 的前10项和为.【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24.12.【2018全国Ⅲ理17题】等比数列{}n a 中，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则.由63m S =得，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21nn S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.。

第 1 页 共 4 页2019年全国高考数学数列部分知识点考查分析一、等差数列及其性质1．（2019年全国Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-2．（2019年全国Ⅲ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105SS = ．3．（2019年全国Ⅲ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若35a =，713a =，则10S = ． 4．（2019年北京理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．5．（2019年江苏）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ．二、等比数列及其性质1．（2019年全国Ⅲ文理）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．22．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S = ．3.（2019年上海秋）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______.三、数列综合1．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a 的n 的取值范围． 2．（2019年全国Ⅱ理）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式． 3．（2019年全国Ⅱ文）已知{}n a 的各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 4．（2019年北京文）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值． 5．（2019年天津文）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．6．（2019年天津理）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式；()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．7．（2019年浙江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c ++⋯+<，*n N ∈． 8．（2019年上海春）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．四、数列创新1．（2019年浙江）设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则( ) A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a >C ．当2b =-时，1010a >D ．当4b =-时，1010a > 2．（2019年北京理）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式． 3．（2019年江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”． （1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．第 3 页 共 4 页4．（2019年上海春）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．21.（2019年上海秋）数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在[],1,1n i a a d i n =+∈-，若ka 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P . （1）若11a =，求4a 可能的值；（2）若{}n a 不为等差数列，求证：{}n a 中存在满足性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为C ，使用,,a d c 表示12100a a a +++.。

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质 例 1：已知数列 a n ， b n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21 ，则 a 5 b 5 _______【答案】 35【解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴ a n b n 也为等差数列，∴ 2 a 3b 3a 1b 1a 5b 5 ，∴ a 5 b 5 2 a 3b 3a 1b 135 ．2．等比数列的性质例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4 a 610 ，则 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 的值为（）A ． 10B ． 20C ． 100D ． 200【答案】 C【解析】 与条件 a 4 a 6 10 联系，可将所求表达式向a 4 ， a 6 靠拢，从而 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 a 7 a 1 2a 7 a 3 a 3a 9a 42 2a 4a 6a 62a 42a 6 ，即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．3．等差、等比综合例 3：设 a n 是等差数列， b n 为等比数列， 其公比 q 1 ，且 b i 0 i 1,2,3,L , n ，若 a 1 b 1 ，a 11b11，则有（ ）A ． a 6 b 6B ． a 6 b 6C ． a 6 b 6D ． a 6 b 6 或 a 6 b 6【答案】 B【解析】 抓住 a 1 ， a 11 和 b 1 ， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．由等差数列性质出发， a 1 b 1 ， a 11 b 11 a 1a11b 1 b 11 ，因为 a 1 a 112a 6 ，而 b n 为等比数列，联想到 b 1 b 11 与 b 6 有关，所以利用均值不等式可得：b 1 b 11 2b 1 b112 b 622b 6 ；（ q 1 故b1b11，均值不等式等号不成立）所以 a1 a11b1 b11 2a6 2b6．即 a6 b6．故选 B．对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6 斤B．7斤C．8 斤D．9 斤【答案】 D【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4 ， a5 2 ，求 a2a3a4的值．由等差数列的性质可知：a2a4a1a1a53 ，a5 6 ， a32则 a2 a3a49 ，即中间三尺共重9 斤．故选 D．2．设 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，若 S540， S9126 ，则 S7（）A． 66B． 68C． 77D． 84【答案】 CS55a340， S99a5126a38【解析】根据等差数列的求和公式，化简得a5，14根据等差数列通项公式得a12d8，解方程组得a12a14d14，d3S7 7a47 a13d72 3 377 ．故选 C．3．已知等比数列a n的前 n 项和为S n，且满足2S n2n1，则的值为（）A． 4B． 2C．2D．4【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643【解析】 根据题意，当 n1时， 2S 1 2a 1 4，故当 n 2 时， a n S n S n 12n 1 ，∵数列 a n 是等比数列，则 a 11，故41 ；解得2 ．故选 C ．24．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 714 ，则 S 11 （）A ． 140B ． 70C ． 154D ． 77【答案】 D【解析】 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7 14 ，∴ S 11a 1 a 1111 a 5 a 71114 77 ．故选 D ．221125．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列， 且 a 1 ，a 3 ，a 2 成等差数列， 则公比 q 的值为（ ）A ． 1B ． 2C ．1 或1D ． 1或12 22【答案】 C【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 a 2 ，∴ 2a 1 q 2 a 1 q a 1 ，即 2q 2q 1 ，∴ q 1 或 q1．故选 C ．26．公比不为 1 的等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 2a 1 ， 1a 2 ， a 3 成等差数列， 若 a 1 1 ，2则 S 4 （）A ． 5B ． 0C ． 5D ． 7【答案】 A【解析】 设 a n 的公比为 q ，由 2a 1 ，1a 2 ， a 3 成等差数列，可得a 22a 1 a 3 ，2若 a 1 1 ，可得 q2 q 2，解得 q21舍去，a 1 1 q 41 2 4则 S 45 ，故选 A ．1q127 ．等比数列 a n 的各项均为正数，且a 5 a 6 a 4 a 7 18 ，则 log 3 a 1log 3 a 2 Llog 3 a 10（ ）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 2 log 3 5【答案】 B【解析】 由等比数列的性质结合题意可知：a 5a 6 a 4a 7 9 ，且 a1 a10a2 a9a3a8a4a7a5a69 ，据此结合对数的运算法则可得：log 3 a1log3 a2L log 3 a10log 3 a1 a2 L a10log3 9510 ．故选 B．8．设公差为2的等差数列a n，如果 a1a4a7 L a97 50 ，那么 a3 a6 a9 L a99等于（）A．182B．78C．148D．82【答案】 D【解析】由两式的性质可知： a3a6a9a99a12d a42d a72d a972d ，则 a3a6 a9a9950 66d82 ．故选 D．9．已知等差数列a n的前 n 项和为S n，且3S1 2S315 ，则数列a n的第三项为（）A． 3B．4C．5D． 6【答案】 C【解析】设等差数列a n的公差为 d，∵ 3S12S315 ，∴3a1 2 a1a2a315 3a16a2，∴ a12d5a3．故选 C．10．等差数列a n的前 n 项和为S n，若2a8 6 a10，则 S11（）A． 27B． 36C． 45D． 66【答案】 D【解析】∵ 2a6 a ，∴ a a6a，∴ a6，∴ S11 a1a1111a66，故6810610101126选 D．11．设a n是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n是其前 n 项的积，且K5 K6，K6 K7 K8，则下列结论错误的是（）．．A． 0q 1B． a71C． K9K5D． K 6与 K 7均为 K n的最大值【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643n n 1【解析】 等比数列 a n a 1q n 1， K n 是其前 n 的 ，所以 K n a 1 nq 2，由此 K 5 K 61 a 1 q 5 ， K 6K 7 1 a 1q 6 ， K 7 K 8 1 a 1q 7所以 a 7 a 1 q 6 1 ，所以 B 正确，由 1 a 1q 5 ，各 正数的等比数列，可知q 1 ，所以 A 正确，n n 1n n 1n n 131 a 1q 6 ， K na 1n q 2 可知 K n a 1n q 2q2，由 0 q 1 ，所以 q x减，n n13 在 n 6 ， 7 取最小 ，2所以 K n 在 n 6 ， 7 取最大 ，所以 D 正确．故 C ．12 ． 定函 数 f x如 下 表 ， 数 列 a n 足 a n 1f a n ， n N ， 若 a 1 2 ，a 1 a 2 a 3 La2018（ ）A ． 7042B ． 7058C ． 7063D ． 7262【答案】 C【解析】 由 知 f 13 ， f 2 5 ， f 34 ， f 4 6 ， f5 1 ， f6 2 ，∵ a 1 2 ， a n 1 f a n ， n N ，∴ a 1 2 ， a 2 f 25 ， a 3f 5 1 ， a 4f 1 3 ， a 5f 3 4 ， a 6f 4 6 ， a 7 f 6 2⋯⋯，∴ a n 是周期6 的周期数列，∵ 2018 336 6 2 ，∴ a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 6 2 5 7063 ，故 C ．二、填空13．已知等差数列a n ，若 a 2a 3 a 7 6 ， a 1a 7 ________【答案】 4【解析】∵ a2 a3 a7 6 ，∴ 3a1 9d 6 ，∴ a1 3d 2 ，∴ a4 2 ，∴ a1a72a4 4 ．故答案为 4．14．已知等比数列a n的前n项和为 S n，若公比 q3 2 ，且 a1 a2a3 1 ，则 S12的值是___________．【答案】 15【解析】已知 a1a2a3a1 1q31，则 S3 1 ，1qa 1q12又 q 3 2代入得 a11q 1 ；∴ S12q115．设n是等差数列a的前n项和，若a5S n a312q 1 1 3 215 ．1 q10，则S9 _______．9S5【答案】 2S 9a99aa15109910【解析】925，又a，代入得S2 ．S555a3a39S5 5 9a5a1216．在等差数列a n中， a1a4a10a16a19100 ，则 a16a19a13的值是 _______．【答案】 20【解析】根据等差数列性质a1a4a10a16a195a10100 ，所以 a10 20 ，根据等差数列性质，a16a19a13a16a13a19a19a10a19a10 20 ．三、解答题17．已知数列a n中，a1 2 ， a n 12a n．（1）求 a n；（2）若 b n n a n，求数列b n的前 5 项的和 S5．【答案】（ 1） a n2n；（ 2）77．【解析】（ 1） a1 2 ， a n 1 2 a n，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643则数列 a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， a n 2 2n 1 2n ；（2） b n n a n n2n ，S 51 2 2 223 234 245 251 23 4 5222 23 24 251 55 2 25 277 ．21 218．设 a n是等差数列， 其前 n 项和为 S n n N * ； b n 是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项和为 T n n N * ．已知 b 1 1， b 3b 2 2 ， b 4 a 3 a 5 ， b 5 a 42a 6 ．（1）求 S n 和 T n ；（2）若 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，求正整数 n 的值．【答案】（ 1） S n n n 1 ， T n 2n 1 ；（ 2） 4．2【解析】（ 1）设等比数列 b n 的公比为 q ，由 b 1 1 ， b 3b 2 2 ，可得 q 2q2 0 ．因为 q0 ，可得 q2 ，故 b n 2 n 1 ．所以 T n 1 2n2n 1 ．1 2 设等差数列 a n 的公差为 d ．由 b 4 a 3 a 5 ，可得 a 1 3d 4 ．由 b 5 a 4 2a 6 得 3a 1 13d 16 ，从而 a 1 1 ， d 1 ，故 an ，所以 Sn n1n．n22 1 n（2）由（ 1），有 T 1 T 2 LT n2122L2nn 2n 2 ．1 n 2n 12由 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，可得 n n12n1n 2 n 2n 1，2整理得 n 23n 4 0 ，解得 n1 （舍），或 n 4．所以 n 的值为 4．。

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培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质例1:已知数列{}n a ,{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=,则55a b +=_______ 【答案】35【解析】∵{}n a ,{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++,∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=,则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200【答案】C【解析】与条件4610a a +=联系,可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，从而()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的值为100．故选C ．3．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=，若11a b =，1111a b =， 则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <【答案】B【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=,而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，所以利用均值不等式可得：11162b b b+>=；（1q≠故111b b≠，均值不等式等号不成立）所以1111116622a ab b a b+=+⇒>．即66a b>．故选B．一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤,长5尺，头部1尺，重4斤,尾部1尺,重2斤，且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6斤B．7斤C．8斤D．9斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a=，52a=,求234a a a++的值．由等差数列的性质可知：24156a a a a+=+=,15332a aa+==,则2349a a a++=，即中间三尺共重9斤．故选D．2．设nS为等差数列{}n a的前n项和，若540S=,9126S=，则7S=（）A．66 B．68 C．77 D．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式53540S a==，959126S a==，化简得35814aa=⎧⎨=⎩，对点增分集训根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩,解方程组得123a d =⎧⎨=⎩，()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为( ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=, ∵数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,5714a a +=，则11S =( ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且1a ，3a ，2a 成等差数列,则公比q 的值为（ ） A ．12- B ．2- C ．1或12-D ．1-或12【答案】C【解析】由题意知:3122a a a =+，∴21112a q a q a =+,即221q q =+， ∴1q =或12q =-．故选C ．6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -,3a 成等差数列,若11a =,则4S =（ ） A ．5- B ．0C ．5D ．7【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，212a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+,若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去， 则()()()44141125112a q S q---===----,故选A ．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知:56479a a a a ==，且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===．故选B ．8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+，那么36999a a a a ++++等于( ）A ．182-B ．78-C ．148-D ．82-【答案】D【解析】由两式的性质可知:36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++, 则36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-．故选D ．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ）A ．27B ．36C ．45D ．66【答案】D【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()1111161111662a a S a +===，故选D ．11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积,且56K K <,678K K K =>, 则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】C【解析】设等比数列11n n a a q -=，n K 是其前n 项的积，所以()121n n nn K a q-=，由此55611K K a q <⇒<,66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>所以6711a a q ==,所以B 正确，由511a q <,各项为正数的等比数列,可知01q <<,所以A 正确，611a q =，()121n n n n K a q-=可知()()113221n n n n n n K a qq--==，由01q <<，所以x q 单调递减，()n n 132-在6n =，7时取最小值，所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =,则1232018a a a a ++++=（ ）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262【答案】C【解析】由题设知()13f =,()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =，∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ,∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==，()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=⨯+， ∴()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=，故选C ．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________ 【答案】4【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若公比q 且1231a a a ++=,则12S 的值是___________． 【答案】15【解析】已知1231a a a ++=,则()313111a q S q-==-，又q 11a q =-;∴()()()12121121111511q a q S qq---===--．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若53109a a =,则95SS =_______． 【答案】2【解析】()()19955315992552a a S a S a a a+==+，又53109a a =，代入得95910259S S =⨯=． 16．在等差数列{}n a 中,14101619100a a a a a ++++=,则161913a a a -+的值是_______．【答案】20【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =, 根据等差数列性质,1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．三、解答题17．已知数列{}n a 中,12a =，12n n a a +=． （1）求n a ;(2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】(1）2n n a =；（2)77． 【解析】（1）12a =,12n n a a +=,则数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列，1222n n n a -=⨯=; （2）2n n n b n a n =+=+，()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-．18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N ;{}n b 是等比数列，公比大于0,其前n 项和为()*n T n ∈N ．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ； （2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+，求正整数n 的值．【答案】（1)()12n n n S +=，21n n T =-；（2）4．【解析】（1)设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+,可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112n n n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12n n n S +=．（2）由（1），有()()112122122221222n n n nn T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---．由()124n n n n S T T T a b ++++=+,可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-(舍)，或4n =． 所以n 的值为4．。

专题36 数列 等差数列1【考点讲解】一、具本目标：等差数列 （1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等差数列与一次函数的关系. 二、知识概述： 一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；.说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA += . a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：.5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 二）方法规律：1．等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列{}n a ，若()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列；(2) 等差中项：对于数列{}n a ，若()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列;(3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔ {}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5) {}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.【答案】134.古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意为：有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一月织了九匹三丈，问每天比前一天多织多少吃布？已知1匹＝40尺，1丈＝10尺，若一月按30天算，则每天织布的增加量为（ ） A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺【分析】首先判断该数列为等差数列，进一步利用等差数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要 点：等差数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转 化能力.5.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5＝15，a 6＝1l ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间（2m +1，22m +1）内的项的个数记为{b m }，记数列{b m }的前m 项和S m ，求使得S m ＞2018的最小整数m ；（3）若n ∈N *，使不等式a n +na 1≤（2n +1）λ≤a n +1+11 n a 成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）推导出，从而b m ＝22m ﹣2m ，m ∈N *，进而S m ＝（22+24+26+...+22m ）﹣（2+22+23+ (2)）＝．令＞2018，能求出最小整数m ．（3），从而，记A n＝，B n＝，n ∈N *，由A n +1﹣A n＝，能求出实数λ的范围．（2）对任意m∈N*，若2m+1＜2n﹣1＜22m+1，则，∴b m＝22m﹣2m，m∈N*，S m＝（22+24+26+…+22m）﹣（2+22+23+…+2m）＝＝．令＞2018，解得m＞，∴所求的最小整数m为6．（3），记A n＝，B n＝，n∈N*，由A n+1﹣A n＝，知A1＝A2，且从第二项起，{A n}递增，即A1＝A2，A3＜A4＜…＜A n，∵B n＝B n＝递减，∴实数λ的范围为[A1，B1]，即[]．。

1．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a ＋a ＋…＋a 等于( )2122n A ．(2n －1)2 B. 2n －1 23C ．4n －1 D.4n －13【解析】设S n 为{a n }的前n 项和，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，a n ＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，a ＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以2n a ＋a ＋…＋a ＝＝.2122n 1－4n1－44n －13【答案】D2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3,2a 2成等差数列，则＝( )12a 9＋a 10a 7＋a 8A ．1＋B ．1－22C ．3＋2D ．3－222【答案】C3．设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝( )a 22A ．－2B ．8C ．10D ．14【解析】依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8，选B.【答案】B4．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )an ＋1an A ．29B ．210C ．211D ．212【解析】由b n ＝，且a 1＝2，得an ＋1an b 1＝＝，a 2＝2b 1；b 2＝，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21a 2a 1a 22a 3a 2a 4a 3＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.【答案】C5．已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则等于( )a 2＋a 3a 1A ．4 B ．6C ．8D ．10【解析】设数列{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以＝＝＝8，选C.a 2＋a 3a 12a 1＋3d a 18a 1a 1＝＝12 2n －1 a1＋a2n －112 2n －1 b1＋b2n －1 A2n －1B2n －1＝＝7 2n －1 ＋45 2n －1 ＋314n ＋382n ＋2＝＝7＋ (n ∈N *)，7n ＋19n ＋112n ＋1故n ＝1,2,3,5,11时，为整数.an bn 即正整数n 的个数是5.【答案】D12.已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，则S 5等于( )A.31B.63C.16D.127【答案】A13.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A.n (3n －1)B.n (n ＋3)2C.n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【答案】C【解析】依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝＝n (n ＋1).n (2＋2n )214.数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019等于( )11－an 11－an －1A. B. C. D.12 01912 018 2 0182 019 2 0172 018【答案】C【解析】∵数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，11－an 11－an －1∴＝1，11－a 1∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，{11－an }∴＝1＋(n －1)＝n ，11－an ∴＝2 019，解得a 2 019＝.11－a 2 019 2 0182 01915.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有＋＋…＋<t ，则t 的取值范围1a 11a 21an 为( )A. B.(13，＋∞)[13，＋∞)C. D.(23，＋∞)[23，＋∞)【答案】D16.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A.210B.211C.224D.225【答案】B【解析】当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1＝a n ＋2，n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝2，n ≥2.∴数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋×14＝211.2＋28217.设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A.2X ＋Z ＝3YB.4X ＋Z ＝4YC.2X ＋3Z ＝7YD.8X ＋Z ＝6Y【答案】D【解析】根据等差数列的性质X ，Y －X ，S 3n －Y ，Z －S 3n 成等差数列，∴S 3n ＝3Y －3X ，又2(S 3n －Y )＝(Y －X )＋(Z －S 3n )，∴4Y －6X ＝Y －X ＋Z －3Y ＋3X ，∴8X ＋Z ＝6Y .【答案】324.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【答案】.－925.公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.答案 22【解析】根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋5d)，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.26.设函数f(x)＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f(0)＝，数列{a n }满足f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通12项公式为________.答案 a n ＝1n n ＋1【解析】由f(0)＝，得a 1＝，1212由f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得＝，an an －1n －1n ＋1所以a n ＝a 1×××…×a2a1a3a2an an －1＝××××…×＝，12132435n －1n ＋11n n ＋1 显然a 1＝也符合.12即{a n }的通项公式为a n ＝.1n n ＋1 27.若f(n)为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f 1(n)＝f(n)，f 2(n)＝f(f 1(n))，…，f k ＋1(n)＝f(f k (n))，k ∈N *，则f 2016(4)＝________.【答案】528.数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋5，则a n ＝__________.1212212312n 【答案】a n ＝Error!【解析】∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ＋5.①1212212n ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(n －1)＋5.②1212212n －1由①－②得a n ＝2，∴a n ＝2n ＋1 (n≥2).12n 又∵a 1＝2＋5，∴a 1＝14.12解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去).故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝.54所以b n ＝b 1·q n －1＝·2n －1＝5·2n －3，54即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.33．在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{b n }满足b n ＋1＝2b n －1，且b 1＝3.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列的前n 项和为S n ，试比较S n 与1－的大小．{2an ·an ＋1}1bn 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d .因为a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列，所以a ＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )，2所以d 2－2d ＝0，解得d ＝2(d ＝0不合要求，舍去)．所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n －1，所以b n ＋1－1＝2(b n －1)．所以{b n －1}是首项为b 1－1＝2，公比为2的等比数列．所以b n －1＝2×2n －1＝2n .所以b n ＝2n ＋1.(2)因为＝＝－，2an ·an ＋12 2n －1 2n ＋1 12n －112n ＋1所以S n ＝＋＋…＋＝1－，(11－13)(13－15)(12n －1－12n ＋1)12n ＋1于是S n －＝1－－1＋＝－＝.(1－1bn )12n ＋112n ＋112n ＋112n ＋12n －2n 2n ＋1 2n ＋1 所以当n ＝1,2时，2n ＝2n ，S n ＝1－；1bn 当n ≥3时，2n <2n ，S n <1－.1bn 34．已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．35．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sin B＝6sin C.(1)求cos A的值；(2)求cos2A－π6的值．解：(1)在△ABC中，由bsin B＝csin C，及sin B＝6sin C，可得b＝6c.由a－c＝66b，得a＝2c.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cos A＝64，可得sin A＝104.于是cos 2A＝2cos2A－1＝－14，sin 2A＝2sin A•cos A＝154.所以cos2A－π6＝cos 2A•cosπ6＋sin 2A•sinπ6＝15－38.36．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝33.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝23，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝33，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－13.因为D∈(0，π)，所以sin D＝1－cos2D＝223.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD•CD•sin D＝12×1×3×223＝2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD•DC•cos D＝12，所以AC＝23.因为BC＝23，ACsin B＝ABsin∠ACB，所以23sin B ＝ABsin π－2B ＝ABsin 2B ＝AB2sin Bcos B ＝AB233sin B ，所以AB ＝4.37.对于正项数列{a n }，定义H n ＝为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋nan H n ＝，则数列{a n }的通项公式为________.2n ＋2【答案】a n ＝(n ∈N *)2n ＋12n。

第3讲等差数列、等比数列高考统计·定方向题型1等差(比)数列的基本运算■核心知识储备·1．等差数列的通项公式及前n项和公式a n＝a1＋(n－1)d；S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；S n ＝⎩⎨⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1).■高考考法示例·【例1】 (1)(2018·哈尔滨模拟)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 为其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( )A ．9B ．15C ．18D ．30(2)(2018·北京模拟)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 2＝2，S 9＝9，则a 8＝________.(1)D (2)0 [(1)由2S 3＝8a 1＋3a 2得6a 1＋a 2－2a 3＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(6＋q －2q 2)＝0a 1q 3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.因此S 4＝2(1－24)1－2＝30.(2)由题意知⎩⎨⎧a 2＝a 1＋d ＝2，S 9＝9a 1＋9×82d ＝9，解得d ＝－13，a 1＝73. 所以a 8＝a 1＋7d ＝0.](3)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] ①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[方法归纳] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量a 1和公差d (公比q ).(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，求出a 1和d (q )后代入相应的公式计算.(3)注意整体思想，如在与等比数列前n 项和有关的计算中，两式相除就是常用的计算方法，整体运算可以有效简化运算.■对点即时训练·1．(2018·合肥模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72C [由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.故选C.]2．(2018·邵阳模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36B [设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2a 3＝2a 1，所以a 21q 3＝2a 1， ①因为a 4与2a 7的等差中项为54，所以a 4＋2a 7＝52，即a 1q 3＋2a 1q 6＝52，② 联立①②可解得a 1＝16，q ＝12， 所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31.]题型2 等差(比)数列的基本性质■核心知识储备·1．若m ，n ，p ，q ，k ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .2．若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列，其中m ，k 为常数．3．若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m为常数，m ≠0)，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 仍为等比数列． 4．(1)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k .(2)等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d .5．若A 2n －1，B 2n －1分别为等差数列{a n }，{b n }的前2n －1项的和，则a n b n ＝A 2n －1B 2n －1.■高考考法示例·【例2】 (1)(2018·长春模拟)已知等差数列{a n }满足：a 2＝2，S n －S n －3＝54(n ＞3)，S n ＝100，则n 等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2018·福州五校联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4(3)(2018·昆明模拟)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50(1)D (2)A (3)B [(1)由S n －S n －3＝54得a n －2＋a n －1＋a n ＝54. 即3a n －1＝54，所以a n －1＝18.所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2＝10n ＝100.因此n ＝10.(2)∵a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∴a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∵{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∴a 9＞0，∴a 9＝a 3a 15＝23，∴a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.(3)由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，所以S 9－S 6＝16，S 12－S 9＝32，所以S 12＝(S 12－S 9)＋(S 9－S 6)＋(S 6－S 3)＋S 3＝32＋16＋8＋4＝60，故选B.][方法归纳] 等差、等比数列性质的应用策略(1)项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题.(2)整体代入：计算时要注意整体思想，如求S n 可以将与a 1＋a n 相等的式子整体代入，不一定非要求出具体的项。

2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试【考点讲解】一、具本目标：等比数列（1） 理解等比数列的概念.（2） 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等比数列与指数函数的关系. 二、知识概述： 1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q 表示 ( 0q ≠)．（2）等比数列的通项公式为11n n a a q-=，它与指数函数x y a =有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．（3）如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且2G ab =， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，．（4）等比数列的前n 项和的公式为或 , 等比数列中没有“0”的项。

用等比数列求和公式解题时，注意1q ≠与1q =两个不同的条件． 2、等比数列的性质（1）在等比数列{}n a 中，n kn k a a q-=（*,n k N ∈）（2）在等比数列{}n a 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（），则．（3）在等比数列{}n a 中，依次k 个项之和仍组成一个等比数列，即k S 是前k 项之和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…，(1)mk m k S S --，…，也是等比数列．（4）对于正项等比数列{}n a ，取lg n n b a =，则{}n b 即为等差数列。

所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比．（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则.②若C 是D 的子集，则.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令，则E φ≠，F φ≠，EF φ=.于是，，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则.由（2）知，1E k S a +<，于是，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而，故，所以，即.综合①②③得，.【模拟考场】1.设等比数列{}n a的前n项和为n S.若，则数列的公比q的值为 .2.在数列{a n}中，a1＝﹣1，a2＝2，a4＝8，S n为数列{a n}的前n项和，若{S n+λ}为等比数列，则λ＝．【分析】S1+λ＝λ﹣1，S2+λ＝1+λ，S3+λ＝1+a3+λ，S4+λ＝9+a3+λ，根据{S n+λ}为等比数列，可得1+a3+λ＝，9+a3+λ＝，联立解得即可得出．【解析】S1+λ＝λ﹣1，S2+λ＝1+λ，S3+λ＝1+a3+λ，S4+λ＝9+a3+λ，∵{S n+λ}为等比数列，∴1+a3+λ＝，9+a3+λ＝，相减化为：4（λ﹣1）2＝（λ+1）2，解得：λ＝或3．【答案】或3．3．已知数列{a n}的首项为1，数列{b n}b10•b11＝2，则b7b14＝，a21＝．【分析】根据所给的关系式，依次令n＝1、2、…、20列出20个式子，再将20个式子相乘化简，根据等比数列的性质和条件求出a21的值．【答案】：2，1024．4．设S n是等比数列{a n}的前n＝．【分析】设该等比数列的公比为q，案．【解析】设等比数列{a n}的公比为q ，则，所以，．【答案】5．等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为．【分析】等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，可得a3＝40，S3＝70．方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，通过分类讨论画出图形即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力【答案】2006．设S n是等比数列{a n}的前n＝．q5＝2，再根据求和公式计算即可，本题考查等比数列的求和公式，考查了运算求解能力.【解析】设S 是等比数列{a}的前n 项和，，10，∴，即∴，【答案】7．等比数列{a n}前n项的和为2n﹣1，则数列{}2n a前n项的和为．【分析】先求出等比数列的前2项，从而求得首项和公比，从而得到数列{}2n a的首项和公比，再由等比数列的前n项和公式求出结果．【答案】8.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n . 若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．【解析】∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.【答案】3n －19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋1，其中n ∈N *，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.【解析】当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝S n ＋1，a n ＝S n －1＋1，得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，又因为当n ＝1时，a 2＝1＋1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1.【答案】2n －110.已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和， ，其中q>0，*n N ∈ .（Ⅰ）若成等差数列，求{}n a 的通项公式；的离心率为n e，证明：.【分析】（Ⅰ）已知n S 的递推式，一般是写出当2n ≥时，，两式相减，利用，得出数列{}n a 的递推式，从而证明{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由解出q 的值，要证明2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和，但数列{}n e 的和不可求，因此我们利用放缩法得1n n e q->，从而有，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边．最后利用等比数列的求和公式计算证明.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 的离心率．由解得因为，所以.于是，故.。