高一数学培优基本不等式

2020年高中数学人教A 版必修第一册 专项培优《 基本不等式》一、选择题1.不等式(x-2y)＋1x －2y≥2成立的条件为( )A.x ≥2y ，当且仅当x-2y=1时取等号B.x>2y ，当且仅当x-2y=1时取等号C.x ≤2y ，当且仅当x-2y=1时取等号D.x<2y ，当且仅当x-2y=1时取等号2.已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.83.若2x ＋2y=1，则x ＋y 的取值范围是( )A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]4.设M=3x ＋3y 2，N=(3)x ＋y，P=3xy(x ，y ＞0，且x ≠y)，则M ，N ，P 大小关系为( )A.M ＜N ＜PB.N ＜P ＜MC.P ＜M ＜ND.P ＜N ＜M5.已知a ，b 都是正数，设M=a b ＋ba，N=a ＋b ，则( )A.M>NB.M<NC.M=ND.M ≥N6.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m7.点P(x ，y)是直线x ＋3y －2=0上的动点，则代数式3x ＋27y有( ) A.最大值8 B.最小值8 C.最小值6 D.最大值68.若x>4，则函数y=x ＋1x －4( )A.有最大值－6B.有最小值6C.有最大值－2D.有最小值29.已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2=4，那么ab( ) A.有最大值2，有最小值－2 B.有最大值2，但无最小值 C.有最小值2，但无最大值 D.有最大值2，有最小值010.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.2311.已知a>0，b>0，2a ＋1b =16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A.8B.7C.6D.512.若实数x ，y 满足xy>0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为( )A ．2- 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4-2 2二、填空题13.已知点P(x ，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为________.14.已知x ≥52，则f(x)=x 2－4x ＋52x －4的最小值为________.15.若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________.16.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6=xy ，则xy 的最小值是________.三、解答题17.已知a ，b 为正实数，且a ＋b=1，求1a ＋2b的最小值.18.已知x ≥52，求f(x)=x 2－4x ＋5x －2的最小值.19.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.20.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.22.已知a>0，b>0，a ＋b=1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.23.已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.答案解析1.答案为：B.解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x-2y>0，即x>2y ，且等号成立时(x-2y)2=1，即x-2y=1，故选B.2.答案为：B ；解析：(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y =1＋ax y ＋y x ＋a ≥1＋2a ＋a=(1＋a)2.由(1＋a)2=9，解得a=4.3.答案为：D.解析：因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y=1，所以22x ＋y ≤1，所以2x ＋y≤14=2－2，所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y)∈(－∞，－2].4.答案为：D.解析：由基本不等式可知3x ＋3y2≥3x 3y =(3)x ＋y =3x ＋y 2≥3xy，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M.5.答案为：D.解析：∵a>0，b>0，∴b>0，a b ＋b ≥2a ，ba＋a ≥2 b.于是a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a ＋2 b.故a b ＋ba ≥a ＋b ，即M ≥N.6.答案为：C.解析：设两直角边分别为a 、b ，直角三角形的框架的周长为l ， 则12ab=2，l=a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab=4＋22≈6.828(m).故选C.7.答案为：C.解析：∵点P(x ，y)在直线x ＋3y －2=0上，∴x ＋3y=2.∴3x＋27y=3x＋33y≥23x·33y=23x ＋3y=232=6.当且仅当x=3y ，即x=1，y=13时，等号成立.∴代数式3x ＋27y有最小值6.8.答案为：B.解析：∵x>4，∴x －4>0，∴y=x ＋1x －4=(x －4)＋1x －4＋4≥2＋4=6. 当且仅当x －4=1x －4，即x=5时，取“=”号.9.答案为： A.这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2=4，a 2＋b 2≥2|ab|，得|ab|≤2， 所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.10.答案为：B ；解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34，当且仅当3x=3-3x ，即x=12时等号成立．11.答案为：C.解析：由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b =1， 所以2a ＋b=6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b)=6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)=54，当且仅当2a b =2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12.答案为：D ； 解析： x x ＋y ＋2y x ＋2y =x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y =1＋x x ＋y -x x ＋2y =1＋xy (x ＋y )(x ＋2y )=1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2=1＋13＋x y ＋2y x，因为xy>0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx≥22， 当且仅当x=2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22=4-2 2.一、填空题13.答案为：42；解析：∵点P(x ，y)在直线AB 上，∴x ＋2y=3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y =22x ＋2y=4 2.14.答案为：1；解析：f(x)=x 2－4x ＋52x －4=x －22＋12x －2=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时等号成立.15.答案为：(－∞，2]；解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立.∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.16.答案为：18；解析：由x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＋6=xy ，得xy ≥2 2xy ＋6(当且仅当2x=y 时，取“=”)，即(xy)2－2 2 xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.二、解答题17.解：1a ＋2b =a ＋b a ＋2a ＋2b b =1＋b a ＋2a b ＋2≥3＋22baab =3＋2 2.当且仅当b a =2ab ，即a=2－1，b=2－2时取“=”.故1a ＋2b 的最小值是3＋2 2.18.解：因为x ≥52，所以x －2＞0.所以f(x)=x 2－4x ＋5x －2=（x －2）2＋1x －2=(x －2)＋1x －2≥2.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时，等号成立.故当x=3时，f(x)min =2.19.证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac =a b ＋c d ＋b a ＋d c =⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2=4，当且仅当a=b 且c=d 时取“=”号，所以ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.20.证明：∵a>0，b>0，c>0，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac. 于是2(a ＋b ＋c)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca.∵a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立，∴a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y=45x ＋180(x －2)＋180·2a=225x ＋360a －360.由已知ax=360，得a=360x ，所以y=225x ＋3602x－360(x ＞0).(2)因为x ＞0，所以225x ＋3602x≥2225×3602=10 800.所以y=225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x=3602x时，等号成立.即当x=24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.22.证明：(1)1a ＋1b ＋1ab =1a ＋1b ＋a ＋b ab =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b=1，a>0，b>0， ∴1a ＋1b =a ＋b a ＋a ＋b b =2＋a b ＋b a ≥2＋2=4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立). (2)法一 ∵a>0，b>0，a ＋b=1，∴1＋1a =1＋a ＋b a =2＋b a ，同理，1＋1b =2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b =5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4=9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a=b=12时等号成立). 法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.23.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c=1， ∴1a －1=1－a a =b ＋c a ≥2bc a ， 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c .∵上述三个不等式两边均为正，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c =8， 当且仅当a=b=c=13时取等号．。

培优点 基本不等式的综合问题利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．例1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x >0，y >0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 答案 (1)233 (2)324(3)3 解析 (1)由(x ＋y )2＝xy ＋1，得(x ＋y )2≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋1，则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22 ≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号， 故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.例2 记max{a ，b }为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y (x －y )的最小值为________．答案 10解析 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y (x －y )，∴2t ≥x 2＋25y (x －y )， 又∵x 2＋25y (x －y )≥x 2＋25⎣⎡⎦⎤y ＋(x －y )22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y (x －y )的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25y (x －y )>0， ∴t 2≥x 2·25y (x －y )， 又∵x 2·25y (x －y )≥x 2·25⎣⎡⎦⎤y ＋(x －y )22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y (x －y )的最小值为10.(1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6， 当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝⎛⎭⎫12<x <52 的最大值是________．答案 2 2解析 y 2＝(2x －1＋5－2x )2＝4＋2(2x －1)(5－2x )≤4＋(2x －1)＋(5－2x )＝8，又y >0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 答案 4解析 因为a >0，b >0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b且a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．。

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的重要概念，它在数学运算中有着重要的作用。

掌握基本不等式的题型及解题方法对于高一学生来说至关重要。

在本文中，我们将对高一基本不等式的常见题型和解题方法进行详细的介绍。

1.绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的重要内容之一。

它常常以形如|ax + b| < c或者|ax + b| > c的形式出现。

解决绝对值不等式的关键在于将其转化为两个普通的不等式，然后求解。

以下是解决绝对值不等式的基本步骤：例题：求不等式|3x - 2| < 7的解集。

解：首先，我们将不等式转化为两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，|3x - 2| = 3x - 2，此时不等式转化为3x - 2 < 7。

2）当3x - 2 < 0时，|3x - 2| = -(3x - 2)，此时不等式转化为-(3x - 2) < 7。

接下来，我们分别求解这两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，可得3x - 2 < 7，解得x < 3。

2）当3x - 2 < 0时，可得-(3x - 2) < 7，解得x > -1。

因此，原不等式的解集为-1 < x < 3。

2.复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式组成的不等式。

解决复合不等式的关键在于找到其交集或并集，然后求解。

以下是解决复合不等式的基本步骤：例题：求解不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集。

解：首先，我们分别求解这两个不等式：1）x + 2 > 0，解得x > -2。

2）3x - 4 < 5，解得x < 3。

然后，我们找出这两个不等式的交集，即-2 < x < 3。

因此，不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集为-2 < x < 3。

吉林省2021年中考化学二模试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017九上·崇明月考) 用于判断镁条在空气中燃烧是化学变化的主要依据是（）A . 发出耀眼的白光B . 放出大量热C . 镁带变短D . 生成白色粉末氧化镁2. （2分）化学实验既要操作规范，更要保障安全．下列实验操作正确的是（）A . 塞紧橡皮塞B . 加热液体C . 取用液体D . 读出液体体积3. （2分）(2019·孝感) 下列对某一主题知识的归纳错误的是（）A．安全与自救①用甲醛溶液浸泡过的水产品不能食用②煤气泄漏先关闭阀门，再开门窗通风B．环保与能源①为增加粮食产量，可任意使用化肥和农药②为治理雾霾，禁止使用化石燃料C．材料与资源①塑料、合成纤维和合成橡胶都属于有机合成材料②目前水资源短缺，因此要节约用水和防治水体污染D．生活与健康①食用加碘盐可预防甲状腺肿大②缺乏维生素C，会引起坏血病A . AB . BC . CD . D4. （2分） (2019九上·砀山月考) 螃蟹作为美食已进入千家万户，蟹肉中的砷（As）元素以有机砷（C5H11AsO2）的形式存在，下列有关说法正确的是（）A . C5H11AsO2由五种元素组成B . C5H11AsO2中有一个氧分子C . 一个C5H11AsO2分子由19个原子构成D . C5H11AsO2中碳、氢元素的质量比为5：115. （2分）在化学方程式：A+3B2=2C +2D中，若参加反应的A的质量为7克，参加反应的B2的质量为24克，生成D的质量为9克，C的相对分子质量为44，则B的相对原子质量为（）A . 16B . 20C . 32D . 366. （2分） (2020九上·南山期末) 逻辑推理是化学学习中常用的思维方法，下列推理正确的是（）A . 燃烧都伴随着发光和放热现象，所以有发光和放热现象的变化都是燃烧B . 化合物是由不同元素组成的纯净物，所以由不同种元素组成的纯净物一定是化合物C . 酸能使紫色石蕊试液变红，CO2也能使紫色石蕊试液变红色，所以CO2是酸D . 活泼金属与稀盐酸反应放出气体，则与稀盐酸反应放出气体的物质一定是活泼金属7. （2分） (2017九上·惠民期末) 推理是学习化学的一种重要方法，下列推理正确的是（）A . 氧化物中含有氧元素，所以含有氧元素的化合物都是氧化物B . 溶液中有晶体析出时，溶质质量减小，所以溶质的质量分数一定减小C . 碱性溶液能使紫色石蕊试液变蓝，所以能使石蕊试液变蓝的溶液一定呈碱性D . 碳酸盐与盐酸反应放出气体，所以与盐酸反应放出气体的物质一定是碳酸盐8. （2分） (2017九上·射阳月考) 下列图像的对应关系表示正确的是（）A . 图甲表示电解水实验从开始到断开电源后这一过程中，产生的气体体积与反应时间的关系（不考虑气体在水中的溶解情况）B . 图乙表示两份完全相同的双氧水在有无MnO2的情况下，产生的O2质量m与反应时间t的关系C . 图丙表示碳在密闭容器内燃烧，容器内物质总质量m与反应时间t的关系D . 图丁表示加热一定质量的高锰酸钾，产生氧气质量m与加热时间t的关系二、填空题 (共3题；共10分)9. （4分） (2019·益阳) 请用化学用语填空：（1）铝合金中铝的元素符号是________，生石灰的化学式是________。

高一基本不等式知识点总结基本不等式是高中数学中的重要内容，它在解决最值问题、证明不等式以及优化问题中有着广泛的应用。

在高一阶段，我们主要学习了以下几种基本不等式：1. 算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意非负实数a和b，有\(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\)，当且仅当a=b时取等号。

这个不等式说明了两个非负数的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。

2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)，有\((a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)\geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2\)。

这个不等式在处理向量和序列问题时非常有用。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有\(|a+b| \leq |a| + |b|\)。

这个不等式说明了两个数的和的绝对值不会超过它们绝对值的和。

4. 绝对值不等式：对于任意实数a和b，有\(|a| - |b| \leq |a-b| \leq |a| + |b|\)。

这个不等式描述了两个数的差的绝对值与它们绝对值之间的关系。

5. 伯努利不等式：对于任意实数x > -1和任意正整数n，有\((1+x)^n \geq 1+nx\)。

当x=0时等号成立。

这个不等式在处理指数增长问题时非常有用。

6. 均值不等式：对于任意正实数a和b，有\(\frac{a+b}{2} \geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a=b时取等号。

这个不等式是AM-GM不等式的特例，但它在处理两个变量的最值问题时更为直观。

掌握这些基本不等式，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

在实际应用中，我们需要注意不等式成立的条件，以及如何灵活运用这些不等式来简化问题。

基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。

专题2.2 基本不等式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．122．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ）A ．18B ．9C ．6D ．3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241x x y x -+=-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．26．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）A ．B ．C ．3D ．27．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ）A ．a v <<B ．v =C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（ ）A ．212()a a a R +>∈；B ．12(,0)x x R x x+≥∈≠； C 2(0)ab≥≠； D ．2211()1x x R x +>∈+. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高一期末（理））若110a b<<，则不等式（1）a b ab +<；（2）a b >；（3）a b <；（4）2b aa b+>中，正确的不等式有__________个．10．（2020·江苏滨湖�辅仁高中高二期中）已知正实数,x y 满足39x y +=是______.11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设a b c >>且11ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的取值范围是__________．12．（2018·浙江高三月考）已知,a b ∈R ，222a b ab +-=，则+a b 的最大值为________，ab 的取值范围是________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； （2）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x＋2y 的最小值.14．（2017·福建高三（理））已知a ，b 为正实数，且11a b+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．15．（2020·上海高三专题练习）已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z=1，求证：（1x-1）（1y -1）（1z-1）＞8． 16．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？专题2.2 基本不等式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．12【答案】D【解析】因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤. 故选：D.2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ）A ．18B ．9C ．6D ．【答案】C【解析】因为90,30a b>>，22a b +=�所以936a b +≥===， 当且仅当233a b =，即1,12a b ==时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤【答案】B【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241x x y x -+=-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】依题意241x x y x -+=-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以411151x x -++≥=-，当且仅当41,31x x x -==-时，等号成立. 故选B.5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立；③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C.6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）A ．B ．C ．3D ．2【答案】B【解析】∵0a >�0b >�11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥2(1)111b a a b ++=++，即a =b =.故选B 7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ）A．a v <<B．v =C2a bv +<<D ．2abv a b=+ 【答案】AD【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b+，22s abv s s a b a b∴==++. 0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+ 另一方面22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++， v a ∴>，则a v <<故选：AD.8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（ ）A ．212()a a a R +>∈；B ．12(,0)x x R x x+≥∈≠； C2(0)ab ≥≠； D ．2211()1x x R x +>∈+. 【答案】ACD【解析】对A 项，当1a =时，212a a +=，则A 错误；对B 项，当0x >时，112x x x x +=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立当0x <时，112x x x x +=-+≥=-，当且仅当1x =-时，等号成立，则B 正确； 对C 项，当0,0a b <<0<，则C 错误； 对D 项，当0x =时，22111x x +=+，则D 错误； 故选：ACD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高一期末（理））若110a b<<，则不等式（1）a b ab +<；（2）a b >；（3）a b <；（4）2b aa b+>中，正确的不等式有__________个． 【答案】2【解析】110a b<<，则0a <，0b <，0ab ∴>. 0a b ab +<<，（1）中的不等式正确； 110ab ab a b⋅<⋅<，则0b a <<，（3）中的不等式错误； a a b b =-<-=，（2）中的不等式错误；0b a ->->，则1b b a a -=>-，由基本不等式可得2b a a b +>=，（4）中的不等式正确.故答案为：2.10．（2020·江苏滨湖�辅仁高中高二期中）已知正实数,x y 满足39x y +=是______.【答案】【解析】正实数,x y ，则39x y +=≥92≤， 2318x y =++≤当93,22x y ==时等号成立.故答案为： 11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设a b c >>且11ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞【解析】因为a ＞b ＞c ，所以a-b ＞0，b-c ＞0，a-c ＞0.又()()()111124b c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c --⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+=-+-+=++≥⎪ ⎪⎣⎦------⎝⎭⎝⎭, 当且仅当b c a ba b b c--=--�即2b=a+c 时等号成立.所以m≤4. 12．（2018·浙江高三月考）已知,a b ∈R ，222a b ab +-=，则+a b 的最大值为________，ab 的取值范围是________．【答案】 2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为,a b ∈R ，222a b ab +-=，所以222()3()4a b a b +=+-．因为22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以223()4()2a b a b ++≥+，解得a b -≤+≤，当且仅当a b ==222a b =+2()3ab a b ab -=+-，所以223()0ab a b =+≥+，2)823(ab a b =+≤+，解得223ab -≤≤，所以ab 的取值范围是2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； （2）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x＋2y 的最小值. 【解析】（1）因为()()2125255255y x xx x x x =-=-=⨯⨯- 已知205x <≤，所以250x ->， 所以()252552512x x x x ⎛⎫+-⨯-≤= ⎪⎝⎭所以15y ≤，当且仅当525x x =-，即15x = 取等号，所以y ＝2x －5x 2的最大值为：15（2）因为8x ＋2y ()⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭8282101018y x x y xy x y ， 当且仅当 x ＋y ＝1，82y x x y =，即21,33x y ==时，取等号，所以 8x ＋2y 的最小值.为18.14．（2017·福建高三（理））已知a ，b 为正实数，且11a b+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b 为正实数，且11a b+=，所以11a b +=≥ab ≥12(当且仅当a ＝b =)．因为2212212a b ab +≥≥⨯=(当且仅当a ＝b =)， 所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为11a b+=，所以a b +=，因为23()4()a b ab -≥，所以23()44()a b ab ab +-≥，即23)44()ab ab -≥，所以(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0，因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.15．（2020·上海高三专题练习）已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z=1，求证：（1x -1）（1y -1）（1z-1）＞8． 【解析】∵x +y +z ＝1，x 、y 、z 是互不相等的正实数，∴（1x -1）（1y -1）（1z -1）y z x z x y x y z y ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞8．∴（1x-1）（1y -1）（1z -1）＞8 16．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数；（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162m m+⨯， ()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.。

高一基本不等式各种解题方法全部
本文将介绍高一基本不等式的各种解题方法，包括基本不等式的证明、绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、特殊不等式等内容。

1. 基本不等式的证明
基本不等式是高中数学中非常重要的一个不等式，它是指对于任意正实数a1、a2、……、an，有如下不等式成立：
(a1+a2+……+an) / n >= √(a1×a2×……×an)
其证明可以通过数学归纳法进行，具体过程可参考相关的数学教材。

2. 绝对值不等式
绝对值不等式是指对于任意实数a和b，有如下不等式成立： |a+b| <= |a|+|b|
该不等式的证明可以通过考虑a和b的正负性，以及绝对值的三角不等式来得到。

3. 平均值不等式
平均值不等式是指对于任意正实数a1、a2、……、an，有如下不等式成立：
(a1+a2+……+an) / n >= (a1×a2×……×an)的1/n 该不等式可以通过对数函数和基本不等式的运用得到。

4. 柯西不等式
柯西不等式是指对于任意实数a1、a2、b1、b2，有如下不等式
成立：
(a1×b1+a2×b2)^2 <= (a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)
该不等式可以通过向量的内积和向量的长度之间的关系来得到。

5. 特殊不等式
在解题中，还会遇到一些特殊的不等式，如均值不等式、威布尔不等式、多项式不等式等。

对于这些不等式，需要根据具体情况选择相应的解题方法。

总之，在高一数学中，不等式是一个非常重要的知识点，掌握不等式的各种解题方法对于提高数学成绩具有重要作用。

高一数学基本不等式有哪几个?
高中数学基本不等式常用的有六个，在以后学习的过程中还要积累一些常见的不等式。

1.基本不等式a^2+b^2≧2ab
对于任意的实数a,b都成立，当且仅当a=b时，等号成立。

证明的过程：因为（a-b）^2≧0，展开的a^2+b^2-2ab≧0，将2ab右移就得到了公式a^2+b^2≧2ab。

它的几何意义就是一个正方形的面积大于等于这个正方形内四个全等的直角三角形的面积和。

2.基本不等式√ab≦(a+b)/2
这个不等式需要a，b均大于0，等式才成立，当且仅当a=b时等号成立。

证明过程：要证(a+b)/2≧√ab，只需要证a+b≧2√ab，只需证（√a-√b）^2≧0，显然（√a-√b）^ 2≧0是成立的。

它的几何意义是圆内的直径大于被弦截后得到直径的两部分的乘积的二倍。

3.b/a+a/b≧2
这个不等式的要求ab＞0，当且仅当a=b时等号成立，也就是说a，b可以同时为正数，也可以同时为负数。

证明的过程：b/a+a/b=(a^2+b^2)/ab≧2，只需证a^2+b^2≧2ab即可。

4.基本不等式的拓展公式：a^3+b^3+c^3≧3abc，a，b，c均为正数。

5.（a+b+c）/3≧³√abc，a，b，c均为正数，当且仅当a=b=c时等号成立。

6.柯西不等式。

基本不等式常用公式高一在咱们高一的数学学习中，基本不等式常用公式那可是相当重要的！就像是我们手中的一把利剑，能帮助我们在数学的战场上冲锋陷阵，解决好多难题。

基本不等式公式主要有两个：对于非负实数 a 和 b ，有\(\sqrt{ab}\leq \frac{a + b}{2}\)，当且仅当 a = b 时，等号成立。

还有一个变形形式：\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，同样当且仅当 a = b 时，等号成立。

咱先来说说这第一个公式\(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}\)。

这就好比是一场拔河比赛，a 和 b 是两边的队伍，\(\sqrt{ab}\)是实力相对较弱的一方，\(\frac{a + b}{2}\)是实力较强的一方。

只有当两边力量相等，也就是 a = b 时，这场拔河比赛才会势均力敌，达到平衡，也就是等号成立。

我给大家举个例子啊。

比如说，咱要建一个矩形的花园，周长已经给定了，要让花园的面积最大，这时候基本不等式就派上用场啦。

假设矩形的长是 a ，宽是 b ，周长是 C 。

因为周长 C = 2(a + b)，所以 a + b = C / 2 。

根据基本不等式\(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}\)，就有\(\sqrt{ab} \leq \frac{C}{4}\)，也就是ab 的最大值是\((\frac{C}{4})^2\)。

当且仅当 a = b 时，面积达到最大值，这个矩形就变成了正方形。

再看第二个公式\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)。

这就好像是比较两个同学的成绩，a 和 b 分别是他们的分数。

\(a^2 + b^2\)是他们成绩的某种综合考量，而 2ab 则是另一种比较方式。

只有当他们成绩相等，也就是 a = b 时，这两种比较方式才会一样好。

比如说，有一家工厂生产两种产品，A 产品的成本是 a 元，利润是x 元；B 产品的成本是 b 元，利润是 y 元。