2013高三数学总复习同步练习：9-6空间向量及其运算(理)

第七章 第6讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. 已知AB →＝(2,4,5)， CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( ) A. x ＝6，y ＝15 B. x ＝3，y ＝152C. x ＝3，y ＝15D. x ＝6，y ＝152答案：D解析：∵32＝x 4＝y5，∴x ＝6，y ＝152，选D 项．2. [2013·长沙模拟]已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析：设l 与α所成的角为θ， ∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.3. [2013·西安质检]已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A. a 2B. 12a 2C. 14a 2D.34a 2 答案：C解析：AE →·A F →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2. 故选C.4. 已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A. P (2,3,3)B. P (－2,0,1)C. P (－4,4,0)D. P (3，－3,4)答案：A解析：由于n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直，只有在选项A 中， MP →＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，MP →·n ＝(1,4,1)·(6，－3，6)＝0，所以选项A 中的点P 在平面α内．5. [2013·威海模拟]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )A. x ＝1，y ＝1B. x ＝1，y ＝12C. x ＝12，y ＝12D. x ＝12，y ＝1答案：C解析：如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A B →＋A D →)．6. [2013·济宁模拟]在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 不确定答案：B解析：选取不共面的向量AB →，AC →，AD →为基底，则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB → ＝0. 二、填空题7. [2013·广东模拟]若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.答案：2解析：c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·(2b )＝－2 得(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2， 即2(1－x )＝－2，解得x ＝2.8. [2013·泰安模拟]已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ， OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →＝________.答案：12(b ＋c －a )解析：如图，MN →＝12(M B →＋M C →)＝12[(OB →－O M →)＋(OC →－O M →)] ＝12(OB →＋OC →－2O M →) ＝12(OB →＋OC →－OA →)＝12(b ＋c －a )．9. [2013·江西模拟]已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案：60°解析：由题意得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b ·c ＝－10， 又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 三、解答题10. [2013·丰台区模拟]如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点．求AD 与GF 所成角的余弦值.解：以C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz ，A (0,2,0)，B (2,0,0)，D (0,0,2)，G (1,0,0)，F (0,2,1)，∴AD→＝(0，－2,2)，G F →＝(－1,2,1)，|AD →|＝22，|G F →|＝6，AD →·G F →＝－2，cos 〈AD →，G F →〉＝AD →·GF →| AD →|| GF →|＝－36.故AD 与GF 所成角的余弦值为36. 11. [2013·南京月考]如图，在四棱锥M －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB 、AD的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝A B →，b ＝AD →，c ＝A M →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．解：∵BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12C M →＝AD →＋12(A M →－A C →)＝AD →＋12[A M →－(AD →＋A B →)]＝－12A B →＋12AD →＋12A M →，∴BN →＝－12a ＋12b ＋12c ，|BN →|2＝BN →2＝(－12a ＋12b ＋12c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a ·b －2a ·c ＋2b ·c ) ＝174， ∴|BN →|＝172，即BN 的长为172. 12. [2011·陕西]如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值． 解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB . 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC . ∵AD ⊂平面ABD ，∴平面ADB ⊥平面BDC .(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以DB →，DC →， DA →所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，32，0)， ∴AE →＝(12，32，－3)，DB →＝(1,0,0)，∴AE →与DB →夹角的余弦值为cos 〈AE →，DB →〉＝AE →·DB→| AE →|·| DB →|＝121×224＝2222.。

第6节 空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算1.（2015四川理14）如图所示，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为AB ，BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 .1.解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，()()0,,101My y 剟，则11,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,12EM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于异面直线所成的角的范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以cos θ==21y -()2222214181cos 1545545y y y y y θ-+⎛⎫+=⋅=- ⎪++⎝⎭，令81y t +=，19t 剟，则281161,1814552y y t t+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦+-，所以24cos0,25θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ的最大值为25，此时0y =.2.（2015浙江理13） 如图，三棱锥A BCD -中 3,2AB AC BD CD AD BC ======， 点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．MQPFE DCBA2.解析 解法一: 连接ND ，取ND 中点E ，连接,ME CE ，如图（1）所示，则CME ∠即是,AN CM 所成的角.ME =CM =，CE=所以7cos 8CME ∠==.评注 本题也可用向量法来求. 如图（2）所示，把A BCD -放入一个长方体中，然后建立空间直角坐标系，利用cos ,AN CM AN CM AN CM⋅=⋅来计算.ENMDCB Ay图（1） 图（2）题型98 空间角的计算1.（2013山东理4）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）.NMDCB ABFCDAP1B A.5π12 B.π3 C. π4 D.π62.（2013辽宁理18）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若211AB AC PA ===，，，求证：二面角--C PB A 的余弦值.ACB3．(2013湖南理19）如图5，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,BAD ∠=,AC BD ⊥1,BC =1 3.AD AA ==（1）证明：1ACB D ⊥；（2）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.4. (2013重庆理19）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，2BC CD ==，4AC =，π3ACB ACD ∠=∠=，F 为PC 的中点，AF PB ⊥.（1）求PA 的长；（2）求二面角--B AF D 的正弦值.OABCDC1A1B1D1ED 1C 1B 1A 1DCBA5.(2013天津理17）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中．侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．(1) 证明：11B C CE ⊥；(2) 求二面角11B CE C －－的正弦值；(3) 设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．6.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：GH AB ∥；（2）求二面角D GH E --的余弦值. 7. (2013陕西理18）如图，四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD，1AB AA ==（1）证明：1AC ⊥平面11BB D D ；（2）求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.8. (2013福建理19）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，1//,1,3,AB DC AA AB k ==4,5,6,(0)AD k BC k DC k k ===>（1）求证：⊥CD 平面11A ADD（2）若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为76，求k 的值 （3）现将与四棱柱1111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为)(k f ，写出)(k f 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.9. (2013安徽理19）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为225.，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60. （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠.10．（2013四川理19）如图，在三棱柱11ABC A B C-中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l⊥BP1A C ABB 1C 1D 1A 1P A DC平面11ADD A ；（2）设（1）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．11.（2013广东理18）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=.(1) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(2) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.12. (2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱111-ABC A B C中，D E ，分别是1AB BB ，的中点，12AA AC CB AB ===. （1）证明：1BC ∥平面11ACD ； （2）求二面角1--D AC E 的正弦值.13.（2013江西理19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中. C O B D EA C DOBE'A图1 图2点，DAB DCB △≌△，1EA EB AB ===，32PA =，连接CE 并延长交AD 于F ．(1) 求证：AD ⊥平面CFG ；(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．14.（2014 新课标2理11）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）.A.110 B.25C.10D.215.（2014 四川理 8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

9-6空间向量及其运算(理)基础巩固强化1.(2011·芜湖模拟)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15[答案] B[解析] ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ， ∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.2．(2011·日照模拟)若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.48585B.6985C ．－1515D ．0[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515.3．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直[答案] B[解析] AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， AB →＝－3CD →，又BC →＝(5,3，－5)，AB →∥\'BC →， ∴AB ∥CD .4．(2011·天津模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657[答案] D[解析] 由于a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ， 即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.5．(2011·济宁月考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216a B.66a C.156a D.153a [答案] A[解析] MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→＝AB →＋BN →－13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋AA 1→＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a . 6.(2012·丽水调研)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(1,1，12)C ．(1,1，32)D ．(1,1,2)[答案] A[解析] 由题意知A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0,2m )(m >0)，则E (1,1，m )，∴AE →＝(－1,1，m )，DP →＝(0,0,2m )，∴|AE →|＝2＋m 2，|DP →|＝4m 2，AE →·DP →＝2m 2，∵cos 〈DP →，AB →〉＝33，∴2m 22＋m 2·4m 2＝33， 解之得m ＝1，故选A.7．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝______.[答案] 2[解析] ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.8．若a ＝(3x ，－5,4)与b ＝(x,2x ，－2)之间夹角为钝角，则x 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4[解析] ∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，∴3x 2－10x －8<0，∴－23<x <4，又当a 与b 方向相反时，a ·b <0， ∴存在λ<0，使a ＝λb ，∴(3x ，－5,4)＝(λx,2λx ，－2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝λx ，－5＝2λx ，4＝－2λ，此方程组无解，∴这样的λ不存在，综上知－23<x <4.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 分别在直线AA 1和BD 1上运动．当M 、N 在何位置时，|MN |最小，且|MN |的最小值是________．[答案]22[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设M (1,0，t )，BN →＝λBD 1→，则0≤t ≤1,0≤λ≤1，设N (x 0，y 0，z 0)，则(x 0－1，y 0－1，z 0)＝λ(－1，－1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－1＝－λ，y 0－1＝－λ，z 0＝λ，∴N (1－λ，1－λ，λ)，∴MN →＝(－λ，1－λ，λ－t )，|MN →|2＝λ2＋(1－λ)2＋(λ－t )2＝2λ2－2λ＋1＋(λ－t )2＝2(λ－12)2＋(λ－t )2＋12，当且仅当λ＝12＝t 时，|MN →|2取到最小值12，∴|MN →|的最小值为22.10．(2011·福州模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)． (1)因为cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32.所以S ＝|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. 即以AB →、AC →为边的平行四边形面积为7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.所以a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).能力拓展提升11.三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，已知CA ＝CB ＝CC 1，AC ⊥BC ，E 、F 分别是A 1C 1、B 1C 1的中点．则AE 与CF 所成角的余弦值等于( )A.45B.1213C.35D.513[答案] A[解析] 以C 为原点，CA →、CB →、CC 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC ＝1，则A (1,0,0)，B 1(0,1,1)，C (0,0,0)，C 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，∵E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点，∴E (12，0,1)，F (0，12，1)，∴AE →＝(－12，0,1)，CF →＝(0，12，1)，∴cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →|·|CF →|＝152×52＝45，故选A.12．(2011·天津模拟)正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 的长为( )A ．1 B.52 C. 2 D ．2[答案] C[解析] EF →＝EA →＋AF →＝－12(AB →＋AC →)＋12AD →，由条件知|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝2，AB →·AC →＝AB →·AD →＝AC →·AD →＝2，∴|EF →|2＝14[|AD →|2＋|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →－2AB →·AD →－2AC →·AD →]＝2，∴|EF →|＝ 2.13．(2012·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c [答案] A[解析] BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(－AB →＋AD →)＝c －12a ＋12b ，故选A.14．(2011·泰安模拟)如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于________．[答案] －23a ＋12b ＋12c[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . [点评] 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．15．(2011·东营期末)若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .(3)以坐标原点O 为起点作向量OA →＝a ，OB →＝b ，求O 到直线AB 的距离． [解析] k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0. 解得k ＝1063.(3)由条件知A (1,5，－1)，B (－2,3,5)， ∴AO →＝(－1，－5,1)，AB →＝(－3，－2,6)，AO →·AB →＝19，|AB →|＝7，∴O 到直线AB 的距离d ＝|AO →·AB →||AB →|＝197.16.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . [解析]由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .(1)设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )，F (0,0,2c )．所以，GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上，则GH 綊BC ， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由题设知，F (0,0,2c )，所以 EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →， 又C ∉EF ，H ∈FD ，故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )， 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0，CH →·AD →＝0， 即CH ⊥AE ，CH ⊥AD ，又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE .故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ， 所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG ，及∠BAG ＝90°知四边形ABEG 是正方形， 故BG ⊥EA .由题设知，FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ，因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，∴BG ⊥ED .又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .1．(2011·郑州一中月考)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( )A ．0 B.32 C ．1D ．无法确定[答案] A[解析] AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(BD →－BC →)＋(BC →－BA →)·DB →＋(BD →－BA →)·BC →＝AB →·BD →－AB →·BC →＋BC →·DB →－BA →·DB →＋BD →·BC →－BA →·BC →＝0，故选A.3．已知斜三棱柱ABC －A ′B ′C ′，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c ，在面对角线AC ′和棱BC 上分别取点M 、N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)，求证：三向量MN →、a 、c 共面．[解析] AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k (AC →－AB →)＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，AM →＝kAC ′→＝k (AA ′→＋AC →)＝k b ＋k c ， MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a －k c .∵向量a 和c 不共线，∴MN →、a 、c 共面．。

空间向量及其运算习题答案空间向量及其运算习题答案引言：空间向量是三维空间中的一种数学概念，它可以用来描述物体在空间中的位置、方向和运动状态。

空间向量的运算是空间几何中的重要内容，掌握空间向量的运算方法对于解决实际问题具有重要意义。

本文将通过一些典型的空间向量运算习题，来讲解空间向量的运算方法和答案。

一、向量的加法和减法1. 已知向量A(1, 2, 3)和向量B(4, -1, 2)，求向量A + 向量B的结果。

答案：向量A + 向量B = (1+4, 2+(-1), 3+2) = (5, 1, 5)2. 已知向量C(2, -3, 1)和向量D(-1, 4, -2)，求向量C - 向量D的结果。

答案：向量C - 向量D = (2-(-1), -3-4, 1-(-2)) = (3, -7, 3)二、向量的数量积和夹角3. 已知向量E(1, 2, 3)和向量F(4, -1, 2)，求向量E和向量F的数量积。

答案：向量E·向量F = 1*4 + 2*(-1) + 3*2 = 4 - 2 + 6 = 84. 已知向量G(2, -3, 1)和向量H(-1, 4, -2)，求向量G和向量H的夹角的余弦值。

答案：向量G·向量H = 2*(-1) + (-3)*4 + 1*(-2) = -2 - 12 - 2 = -16|向量G| = √(2^2 + (-3)^2 + 1^2) = √(4 + 9 + 1) = √14|向量H| = √((-1)^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(1 + 16 + 4) = √21cosθ = (向量G·向量H) / (|向量G| * |向量H|) = -16 / (√14 * √21)三、向量的向量积和平面方程5. 已知向量I(1, 2, 3)和向量J(4, -1, 2)，求向量I和向量J的向量积。

答案：向量I × 向量J = (2*2 - (-1)*3, 3*4 - 1*2, 1*(-1) - 2*4) = (4 + 3, 12 - 2, -1 - 8) = (7, 10, -9)6. 已知平面P过点(1, 2, 3)，且平面P的法向量为向量K(2, -1, 3)，求平面P的方程。

空间向量及其运算(习题及答案)例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值分别为（）。

解析：由于E为上底面A1B1C1D1的中心，所以AE的长度为A1E的长度的一半，即AE=1/2A1E。

又因为A1E的方向向量为1/2(AB+AD)，所以AE=1/2(AA1+AB+AD)。

将AE=AA1+xAB+yAD代入，得到x=1/2，y=1/2，故选D。

例2：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，则AC1·BD1=（）。

解析：由于AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，所以它们构成一组正交基底。

设AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1=AB+BC1+CA1=a+b/2+c/2，BD1=BD=AD+DC1+CB1=b+a/2+c/2.将AC1·BD1代入，得到AC1·BD1=(a+b/2+c/2)·(b+a/2+c/2)=ab+ac/2+bc/2+a^2/4+b^2/4+c^2/4+ac/4+bc/4，化简得到AC1·BD1=ab+ac+bc+1/4(a^2+b^2+c^2)，代入数值计算得到AC1·BD1=5/2，故选B。

例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值。

解析：以DA，DC。

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B(1，1，0)，E(1，1/2，1)，D(0，0，0)，F(0，1/2，1)。

由于BE的方向向量为(0,-1,1)，DF的方向向量为(0,1,1)，所以BE·DF=0*(-1)+(-1)*1+1*1=0，即BE与DF所成角的余弦值为0，故选A。

1.在三棱锥O-ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN=1/2√(2a^2+2b^2-2c^2)。

高考数学复习空间向量及其运算理专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模。

以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。

一、填空题1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面2.(2019济南调研)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.其中不正确的命题是________(填序号).[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.[答案]3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)[解析] =-=(+)-=b+c-a.[答案] b+c-a4.(2019上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)(a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc).[解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.[答案] (4)5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________.[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-.[答案] -6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.[解析] 由已知得==，解得=-2或=.[答案] -2或7.(2019徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是________.[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(，，2)，则=(1-，2-，3-2)，=(2-，1-，2-2)，=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=62-.当=时，取得最小值-.此时=.[答案]图768.如图76所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.[解析] 设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0，即〈〉=，所以cos〈，〉=0.[答案] 0二、解答题9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，(1)求以，为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，cos〈，〉===，sin〈，〉=，以，为边的平行四边形的面积为S=2||||sin〈，〉=14=7.(2)设a=(x，y，z)，由题意得解得或向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).图7710.(2019张家港调研)如图77，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线;(2)试证：A1C平面BC1D.[证明] (1)=++=++，可以证明：=(++)=，∥，即A1，G，C三点共线.(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，且ab=bc=ca=0，=a+b+c，=c-a，=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BDBC1=B，A1C平面BC1D.要练说，得练看。