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2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D 题（抢渡长江）参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x (t ), y (t )) 以速度 ()(cos ()sin ())u t u t u t θθ=，前进，其中游速大小u 不变。
要求参赛者在流速 )0,()(v t v =给定的情况下控制 θ (t ) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H )，如图1。
这是一个最优控制问题:H T y y t u dt dyL T x x v t u dt dx t s T Min =====+=)(,0)0(),(sin )(,0)0(,)(cos ..θθ可以证明，若 θ (t ) 为连续函数, 则 θ (t ) 等于常数时上述问题有最优解。
证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control , Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。
）1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令 )sin cos ()(θθu u t u ，=，而流速)0,()(v t v =， 其中 u 和 v 为常数, θ 为游泳者和x 轴正向间的夹角。
于是游泳者的路线 (x (t ), y (t )) 满足cos ,(0)0,()sin ,(0)0,()dxu v x x T L dtdy u y y T H dtθθ⎧=+==⎪⎪⎨⎪===⎪⎩ （1） T 是到达终点的时刻。
令θcos =z ，如果 (1) 有解, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=221,1)()(,)()(zTu H t z u t y v uz T L t v uz t x （2） 即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且L T uz v ===+ （3） 若已知L, H, v, T , 由（3）可得zTvTL u vT L H vT L z -=-+-=,)(22 （4） 图1由（3）消去 T 得到)(12v uz H z Lu +=- （5） 给定L, H, u , v 的值，z 满足二次方程02)222222222=-+++u L v H uvz H z u L H （ （6）（6）的解为12z z ==， （7） 方程有实根的条件为22LH H vu +≥ （8）为使（3）表示的T 最小，由于当L, u, v 给定时,0<dzdT， 所以(7) 中z 取较大的根, 即取正号。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）A题 SARS的传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。
前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。
在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。
希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。
1 模型与参数假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。
SARS(严重急性呼吸系统综合征)是一种由SARS冠状病毒引起的传染病，曾在2003年引发全球性的疫情。
在数学建模中，研究SARS的传播规律是一个重要且具有挑战性的课题。
通过数学建模可以更好地理解疫情传播的规律，并为疾病控制和预防提供科学依据。
1. SARS病毒的传播途径SARS病毒主要通过呼吸道飞沫传播，当感染者咳嗽、打喷嚏或说话时，会释放含有病毒的飞沫，健康人在呼吸这些飞沫或接触污染的物体后易受感染。
在数学建模中，需要考虑不同人群之间的接触模式以及感染的概率，这对于评估疫情的传播速度和范围至关重要。
2. SARS病毒的潜伏期和传播特点SARS病毒有较长的潜伏期，患者在潜伏期内可能没有明显症状，但仍然可以传播病毒给他人。
这增加了疫情控制的难度，也需要数学模型来估计患者在潜伏期内的传播能力和传播速度。
3. 数学建模在SARS疫情中的应用数学建模可以帮助我们模拟和预测疫情的传播趋势，包括病毒的传播速度、传播范围以及传播途径。
通过建立传染病传播模型，可以评估不同的干预措施对疫情传播的影响，为政府和卫生部门提供科学依据和决策支持。
总结回顾通过数学建模，我们可以更好地理解SARS疫情传播的规律，评估干预措施的效果，并为未来类似疫情的防控提供经验和启示。
由于SARS 疫情的传播特点复杂多样，数学建模需要考虑到多种因素的影响，是一项具有挑战性和意义重大的工作。
个人观点与理解SARS疫情的发生引起了全球范围内的关注和担忧，数学建模在疫情控制和预防中的应用显得尤为重要。
作为一种强大的工具，数学建模为我们提供了一种全新的视角来认识和理解疫情的传播规律，为疾病防控提供了有力的支持。
希望未来能进一步深入研究传染病传播的数学模型，为应对未知疫情做好充分准备。
在这篇文章中，我从SARS疫情传播的数学建模角度对疫情的传播规律进行了探讨，并共享了个人对于数学建模在疫情防控中的重要性的理解。
希望这篇文章能帮助你更好地理解SARS疫情的传播特点以及数学建模的应用。
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）D 题 抢渡长江“渡江”是武汉城市的一张名片。
1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。
有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。
2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。
2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。
由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。
2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。
据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。
参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。
除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。
假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。
请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。
试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。
如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。
1160m 长江水流方向 终点: 汉阳南岸咀 起点: 武昌汉阳门2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向) ： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(y y y y v游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
2003年美国大学生数学建模竞赛题目问题A: 特技演员影片在拍摄中影片在拍摄中, , , 一个激动人心的动作场景将要摄入镜头一个激动人心的动作场景将要摄入镜头一个激动人心的动作场景将要摄入镜头, , , 而你是特技协而你是特技协调员调员! ! ! 一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象，一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象，随后跌落在借以缓冲的一堆纸箱上一堆纸箱上. . . 你需要保护特技演员你需要保护特技演员你需要保护特技演员,,而且而且, , , 也要使用相对而言较少的纸箱也要使用相对而言较少的纸箱（较低的花费（较低的花费, , , 不能进入镜头不能进入镜头不能进入镜头, , , 等等）。
等等）。
你的工作如下：? 确定所用纸箱的大小确定所用纸箱的大小确定所用纸箱的数目确定所用纸箱的数目? 确定纸箱的堆放办法确定纸箱的堆放办法? 还请确定还请确定还请确定, , , 通过对纸箱的各种调整通过对纸箱的各种调整通过对纸箱的各种调整, , , 是否会有所帮助是否会有所帮助? 请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员 & & & 摩托车）和不同跨越摩托车）和不同跨越高度的情形留心一下留心一下, , , 在影片“明日帝国”中，角色在影片“明日帝国”中，角色James Bond Bond 驾驶着摩托车飞过驾驶着摩托车飞过一架直升机一架直升机. .问题B: Gamma 刀治疗方案立体定位放射外科立体定位放射外科, , , 用单一高剂量离子化射束在用单一高剂量离子化射束在X 光机精确界定下照射颅内的一个小的3D 脑瘤脑瘤, , , 与此同时与此同时与此同时, , , 并没有处方剂量的任何显著份额伤并没有处方剂量的任何显著份额伤及周边的脑组织及周边的脑组织. . . 在这个领域中在这个领域中在这个领域中,,一般有三种形式的射束可以采用，分别是Gamma 刀单元刀单元, , , 带电重粒子射束带电重粒子射束带电重粒子射束, , , 以及来自直线加速器的外用高能光以及来自直线加速器的外用高能光子束子束. .Gamma 刀单元具备的单一高剂量离子化射束刀单元具备的单一高剂量离子化射束, , , 是是201个钴个钴-60-60单位源通过厚重的盔状物发射出来的。
sars的传播2003数学建模题目在2003年，严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndrome，简称SARS）的爆发引起了全球范围内的恐慌。
为了更好地了解SARS的传播特点和控制措施，我们可以应用数学建模的方法来分析SARS的传播规律，并提出相关的应对策略。
1. SARS的传播模型为了探究SARS的传播规律，我们可以采用传染病的基本传播模型——SIR模型。
SIR模型将人群分为三类：易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
根据该模型，我们可以列出如下的微分方程：dS/dt = - βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，S，I和R分别表示易感者、感染者和康复者的数量；β表示传染率；γ表示康复率。
2. 参数估计与模型拟合要对SARS的传播模型进行参数估计和模型拟合，我们需要收集大量的疫情数据。
通过对实际数据进行统计学分析，我们可以获得β和γ的估计值，并将其代入SIR模型方程中进行模型拟合。
通过与实际数据的对比，我们可以评估模型的拟合效果以及参数的准确性。
3. 传播速率和传播方式SARS的传播速率直接影响到其传播范围和传播强度。
在SARS爆发期间，我们可以通过统计病例的增长速率来估计SARS的传播速率。
此外，研究发现，SARS主要通过空气飞沫传播，在密闭环境中飞沫的传播距离较远，因此需要采取相应的防控措施，如戴口罩、保持良好的通风等。
4. 人群的易感性和免疫力SARS的传播过程中，人群的易感性和免疫力起着重要的作用。
通过研究易感者和感染者的流行病学数据，我们可以了解人群的易感性和免疫力对于传播过程的影响。
同时，针对易感者的接种疫苗和提高人群的免疫力也是有效控制SARS传播的策略之一。
5. 社会干预措施的效果评估为了控制SARS的传播，社会干预措施起到了至关重要的作用。
例如，早期的病例隔离、密切接触者的追踪和隔离、社交距离的维持等都可以有效降低SARS的传播风险。
甲题：电站建设为满足甲地区对电能的需求，需建若干个电站，组成一个供电系统。
为使问题简化，只考虑一个目标年，所有电站都新建，且只考虑一个目标年的供电。
依据乙地区某年的负荷曲线（负荷与时间的关系），确定甲地区一个目标年内的电能需求量。
乙地区某年内在时刻t的负荷（电站总输出功率）F(t)（单位：kw）为:数据在文件GDJM0399.dat中，共3000个记录，每个记录有3个数，分别是(1)式中的t、x、f(x)。
负荷持续时间曲线（需求量，即负荷的时间分布）是抛物线。
需建n（n给定）个电站组成供电系统为甲地区供电。
每个电站的费用由固定费用和运行费用构成。
固定费用与装机容量（总供电能力（功率））成正比；单位时间的运行费用与输出功率的平方成正比。
第i 个电站的固定费用和运行费用的（比例）系数分别为。
单位：元／kw.小时请给出总费用最少的供电方案，给出各电站的装机容量（总功率）及其累计运行时间。
（1）按照上例中的数据进行计算，并给出结果；（2）对任意正整数n，推广你的算法；（3）试讨论若给定的数据有误差，如何处理。
GDJM0399.dat记录t x f(x)0 438.3702 458.8721 2.92 875.3721 444.7417 5.84 1309.267 430.0282 8.76 1738.515 414.8021 11.68 2161.597 399.1424 14.6 2577.021 383.136 17.52 2983.327 366.877 20.44 3379.099 350.4653 23.36 3762.963 334.006 26.28 4133.6 317.608 29.2 4489.749 301.3827 32.12 4830.212 285.4431 35.04 5153.858 269.902 37.96 5459.636 254.8707 40.88 5746.563 240.4584 43.8 6013.747 226.7701 46.72 6260.38 213.9053 49.63999 6485.741 201.9578 52.55999 6689.204 191.0133 55.47999 6870.237 181.1494 58.39999 7028.405 172.4344 61.31999 7163.373 164.926 64.23998 7274.904 158.6718 67.15998 7362.863 153.7076 70.07998 7427.216 150.058 72.99998 7468.028 147.7357 75.91998 7485.467 146.7415 78.83998 7479.798 147.0648 81.75997 7451.383 148.6836 84.67997 7400.678 151.5649 87.59997 7328.237 155.6652 90.51997 7234.698 160.9316 93.43996 7120.791 167.302 96.35996 6987.322 174.7067 99.27996 6835.182 183.0687 102.2 6665.334 192.305 105.12 6478.808 202.328 108.04 6276.705 213.046 110.96 6060.176 224.3651 113.88 5830.431 236.1895 116.8 5588.729 248.4233 119.72 5336.365 260.971125.56 4805.015 286.6371 128.48 4528.774 299.577 131.4 4247.347 312.4758 134.32 3962.143 325.2554 137.24 3674.571 337.8433 140.1599 3386.036 350.1726 143.0799 3097.929 362.183 145.9999 2811.627 373.8207 148.9199 2528.48 385.0385 151.8399 2249.804 395.7959 154.7599 1976.886 406.0588 157.6799 1710.961 415.7995 160.5999 1453.222 424.9962 163.5199 1204.8 433.633 166.4399 966.7721 441.699 169.3599 740.1488 449.188 172.2799 525.8718 456.0981 175.1999 324.8053 462.4311 178.1199 137.7393 468.1919 181.0399 34.61954 471.3133 183.9599 191.6461 466.5448 186.8799 332.8072 462.1819 189.7999 457.6562 458.2631 192.7199 565.8391 454.8218 195.6399 657.0946 451.8861 198.5599 731.2555 449.4781 201.4799 788.2493 447.614 204.3999 828.0979 446.3037 207.3199 850.9178 445.5507 210.2399 856.9183 445.3524 213.1599 846.4022 445.6999 216.0799 819.7598 446.5783 218.9999 777.4725 447.9673 221.9199 720.1057 449.8414 224.8399 648.3078 452.1701 227.7599 562.8056 454.9189 230.6799 464.4022 458.0497 233.5999 353.9707 461.5216 236.5199 232.4513 465.291 239.4399 100.8459 469.313 242.3599 39.78739 471.1578 245.2799 188.3392 466.6461 248.1999 343.656 461.8436254.0399 669.768 451.476 256.9599 838.0826 445.9745 259.8799 1008.21 440.3095 262.7999 1178.859 434.522 265.7199 1348.733 428.6561 268.6399 1516.535 422.7593 271.5599 1680.969 416.882 274.48 1840.758 411.0771 277.4 1994.638 405.3995 280.32 2141.374 399.9057 283.24 2279.759 394.6531 286.16 2408.629 389.6994 289.08 2526.858 385.1019 292 2633.372 380.9167 294.9201 2727.152 377.1978 297.8401 2807.243 373.9966 300.7601 2872.75 371.3611 303.6801 2922.851 369.3349 306.6001 2956.798 367.9568 309.5201 2973.924 367.26 312.4401 2973.64 367.2716 315.3602 2955.447 368.0117 318.2802 2918.929 369.4938 321.2002 2863.769 371.7233 324.1202 2789.736 374.6983 327.0402 2696.696 378.409 329.9602 2584.612 382.8377 332.8802 2453.539 387.959 335.8002 2303.634 393.7399 338.7203 2135.149 400.1403 341.6403 1948.422 407.1137 344.5603 1743.903 414.6067 347.4803 1522.115 422.5615 350.4003 1283.687 430.9145 353.3203 1029.333 439.5988 356.2403 759.8394 448.5446 359.1604 476.0951 457.6795 362.0804 179.0474 466.9307 365.0004 130.2746 468.4191 367.9204 450.7633 458.4809 370.8404 781.2678 447.843 373.7604 1120.554 436.5113 376.6804 1467.354 424.4982379.6004 1820.346 411.8238 382.5205 2178.152 398.5164 385.4405 2539.381 384.612 388.3605 2902.598 370.155 391.2805 3266.348 355.1985 394.2005 3629.162 339.8036 397.1205 3989.552 324.0401 400.0405 4346.041 307.9849 402.9606 4697.146 291.7228 405.8806 5041.4 275.345 408.8006 5377.347 258.949 411.7206 5703.563 242.6373 414.6406 6018.647 226.5166 417.5606 6321.242 210.6968 420.4806 6610.03 195.29 423.4007 6883.744 180.4087 426.3207 7141.171 166.1657 429.2407 7381.163 152.6713 432.1607 7602.634 140.0335 435.0807 7804.575 128.3555 438.0007 7986.046 117.7353 440.9207 8146.194 108.2641 443.8408 8284.247 100.0251 446.7608 8399.524 93.09247 449.6808 8491.436 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2534.561 3499.154 345.3748 2537.481 3136.458 360.5942 2540.401 2773.36 375.3537 2543.32 2411.374 389.5932 2546.24 2051.873 403.2658 2549.16 1696.376 416.3263 2552.08 1346.221 428.7436 2555 1002.733 440.4935 2557.92 667.2685 451.5569 2560.84 341.0081 461.92622563.76 25.24869 471.5951 2566.68 278.9438 463.8552 2569.6 570.4498 454.6742 2572.52 848.2957 445.6373 2575.44 1111.593 436.8159 2578.36 1359.417 428.2837 2581.279 1591.058 420.1078 2584.199 1805.812 412.3545 2587.119 2003.114 405.0842 2590.039 2182.467 398.3532 2592.959 2343.428 392.2132 2595.879 2485.748 386.7063 2598.799 2609.154 381.8719 2601.719 2713.59 377.7376 2604.639 2798.988 374.3276 2607.559 2865.447 371.6557 2610.479 2913.136 369.7285 2613.399 2942.304 368.5457 2616.318 2953.332 368.0977 2619.238 2946.655 368.369 2622.158 2922.808 369.3366 2625.078 2882.403 370.9713 2627.998 2826.15 373.2375 2630.918 2754.828 376.0943 2633.838 2669.283 379.4964 2636.758 2570.433 383.3947 2639.678 2459.257 387.7369 2642.598 2336.803 392.4678 2645.518 2204.159 397.5311 2648.438 2062.47 402.8695 2651.358 1912.916 408.4254 2654.277 1756.715 414.1418 2657.197 1595.115 419.9629 2660.117 1429.385 425.8346 2663.037 1260.811 431.7052 2665.957 1090.689 437.5254 2668.877 920.3164 443.2493 2671.797 750.9887 448.834 2674.717 583.9913 454.2403 2677.637 420.5899 459.4324 2680.557 262.0319 464.3784 2683.477 109.5308 469.0496 2686.397 35.73419 471.2798 2689.317 172.6255 467.12712695.156 416.9664 459.5465 2698.076 522.4274 456.2078 2700.996 615.4728 453.2288 2703.916 695.3037 450.6479 2706.836 761.0937 448.5036 2709.756 812.2029 446.827 2712.676 847.9631 445.6483 2715.596 867.8895 444.9895 2718.516 871.4906 444.8703 2721.436 858.4467 445.3019 2724.356 828.4703 446.2914 2727.276 781.4006 447.8386 2730.195 717.1553 449.9374 2733.115 635.7385 452.5758 2736.035 537.2688 455.7347 2738.955 421.9611 459.3892 2741.875 290.0923 463.5097 2744.795 142.0754 468.0597 2747.715 21.63208 471.7037 2750.635 200.4481 466.2748 2753.555 393.716 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159.9614 2867.432 7131.792 166.6888 2870.352 6988.25 174.6555 2873.272 6821.594 183.8115 2876.192 6632.228 194.0932 2879.111 6420.59 205.4306 2882.031 6187.265 217.742 2884.951 5932.917 230.9384 2887.871 5658.323 244.9224 2890.791 5364.305 259.5932 2893.711 5051.76 274.8455 2896.631 4721.724 290.5677 2899.551 4375.279 306.6477 2902.471 4013.612 322.971 2905.391 3637.917 339.4262 2908.311 3249.45 355.9039 2911.231 2849.578 372.2951 2914.151 2439.695 388.4963 2917.07 2021.263 404.4084 2919.99 1595.695 419.9422 2922.91 1164.557 435.0111 2925.83 729.3112 449.5415 2928.75 291.5368 463.4649 2931.67 147.1759 467.9043 2934.59 585.3324 454.1972 2937.51 1021.308 439.869 2940.43 1453.652 424.9811 2943.35 1880.701 409.6116 2946.27 2301.012 393.84032949.19 2713.136 377.7556 2952.11 3115.567 361.4563 2955.029 3506.996 345.0405 2957.949 3885.952 328.6197 2960.869 4251.195 312.3014 2963.789 4601.518 296.1962 2966.709 4935.694 280.4196 2969.629 5252.701 265.0801 2972.549 5551.41 250.2933 2975.469 5830.952 236.1629 2978.389 6090.42 222.7943 2981.309 6329.061 210.2836 2984.229 6546.235 198.7194 2987.149 6741.267 188.1887 2990.068 6913.727 178.7622 2992.988 7063.182 170.506 2995.908 7189.365 163.4725 2998.828 7292.066 157.7055 3001.748 7371.178 153.2369 3004.668 7426.729 150.0857 3007.588 7458.803 148.2611 3010.508 7467.627 147.7586 3013.428 7453.49 148.5636 3016.348 7416.796 150.65 3019.268 7358.036 153.9808 3022.188 7277.811 158.5082 3025.108 7176.767 164.1773 3028.027 7055.699 170.9213 3030.947 6915.41 178.6696 3033.867 6756.863 187.3407 3036.787 6581.002 196.8522 3039.707 6388.925 207.113 3042.627 6181.71 218.0328 3045.547 5960.578 229.5146 3048.467 5726.727 241.4644 3051.387 5481.438 253.786 3054.307 5226.036 266.3844 3057.227 4961.843 279.168 3060.147 4690.237 292.0471 3063.067 4412.624 304.9353 3065.986 4130.378 317.7526 3068.906 3844.935 330.4221 3071.826 3557.659 342.8753 3074.746 3270.009 355.0455。
数学建模是数学与现实问题结合的一门学科，旨在利用数学知识和方法解决实际生活和工程中的问题。
而2003年高教杯数学建模竞赛是我国高校数学建模领域的重要比赛之一，吸引了大量对数学研究和应用感兴趣的学生参与。
其中，B题是竞赛中的一道问题，下面我们将介绍这道题目并给出对应的Matlab代码。
一、B题题目概述B题的题目较为复杂，主要是关于某公司的生产调度问题。
具体来说，题目要求在考虑生产线上各机器时间限制的条件下，设计出最佳的生产调度方案，以最大化生产效率并确保各产品按时完成。
二、问题分析1. 我们需要建立数学模型来描述该生产调度问题。
可以考虑引入作业调度理论中的相关概念，如作业、机器、加工时间等。
2. 需要考虑问题的约束条件，例如各种产品的生产时间限制、各机器的最大工作时间等。
3. 需要确定优化目标，即在满足约束条件的前提下，如何设计出最佳的生产调度方案。
三、Matlab代码实现在解决这一问题时，可以使用Matlab编程来实现数学模型的构建和优化算法的求解。
以下是一个简单的Matlab代码示例，用于对B题中所描述的生产调度问题进行建模和求解。
```matlab假设产品数为n，机器数为mn = 10;m = 5;初始化生产时间矩阵，其中A(i, j)表示第i个产品在第j台机器上的加工时间A = rand(n, m);设定机器的最大工作时间，假设为100machine_time_limit = 100 * ones(1, m);构建优化模型cvx_beginvariables x(n, m) 定义决策变量x(i, j)，表示第i个产品在第j台机器上是否加工maximize(sum(sum(x))) 最大化生产效率subject tofor j = 1:msum(x(:, j).*A(:, j)) <= machine_time_limit(j) 确保每台机器的工作时间不超过限制endsum(x, 2) == ones(n, 1) 确保每个产品都按时完成x >= 0, x <= 1 约束x的取值范围为0到1cvx_end```以上代码利用了Matlab中的cvx工具箱，通过建立数学模型和求解优化问题，可以得到最佳的生产调度方案。
露天矿生产的车辆安排摘要：本文讨论了铁矿运输问题中，在满足卸点产量和品位要求的前提下，针对不同的原则建立一般的最优生产计划的模型。
用LINDO软件求解，速度很快，在实例求解的过程中，迭代次数分别为47次和45次。
与经典的线性规划方法相比，具有一定的优越性。
针对原则一：列出多目标规划模型。
然后将模型简化，分为两阶段求解。
第一阶段为单目标线性规划模型，用LINDO软件求解，得出运输路线及运输次数。
第二阶段采用MATLAB软件求解，用到第一阶段的结果，得出最优生产计划。
结果：需要13辆卡车；7辆电铲，电铲分布在铲点1，2，3，4，8，9，10；总运量为8.57万吨公里。
针对原则二：列出多目标规划模型。
然后分为三阶段来求解，前两阶段为单目标线性规划，第三阶段是分析的过程。
采用LINDO软件求解。
结果：需要20辆卡车；7辆电铲，电铲分布在铲点1，2，3，4，8，9，10；总产量为10.087万吨，其中矿石6.0022万吨，岩石4.0848万吨。
关键词：多目标规划模型化简分阶段求解快速算法一、问题的提出钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿的运输工程的重要性由此可见。
本题要求根据两个原则分别建立模型，在满足卸点的数量和品位的前提下，求解出最优生产计划。
原则一：总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；原则二：利用现有车辆运输，获得最大的产量(岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解)。
生产计划包括：出动几台电铲，分别在那些铲位上；出动几辆卡车，分别在那些路线上各运输多少次；在卡车不等待条件下满足产量和品位要求。
二、问题的假设1.铁矿的运输是周期性的，虽然本题只要求给出一个班次的生产计划，我们仍然把它放在一个周期性的运输过程当中来考虑，卡车完成本班次的运输任务以后仍回到出发点。
2在确定生产计划时，不考虑随机因素的影响，即装车与卸车的时间严格遵守题目所给的时间。
3运输成本不包括铲车的运行费用。
2003年全国大学生数学建模竞赛题目A题SARS的传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome），严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
第 2 页，共 2 页较可行的。
从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。
图中的公布数据截止到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。
按这种估算，北京最终累积病例数将达到3100多。
图1对香港疫情的拟合，图2 对北京疫情的分析，图3是计算的日增病例数。
后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。
这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增几例。
然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。
但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。
至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。
3 结论每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。
病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。
香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。
北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到日增几例。
然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。
而累积总病例数将达到3100多。
但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。
附件（略）。
B题露天矿生产的车辆安排钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。
许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。
提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。
露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。
一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。
每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。
每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。
卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。
从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%±1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。
从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。
卡车的平均卸车时间为3分钟。
所用卡车载重量为154吨，平均时速28hkm。
卡车的耗油量很大，每个班次，每台车消耗近1吨柴油。
发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。
卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。
电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。
卡车每次都是满载运输。
每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。
一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。
一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。
请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。
针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。
某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。
各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。
铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同：1．运输矿石与岩石两种物资； 2．产量大于销量的不平衡运输； 3．在品位约束下矿石要搭配运输； 4．产地、销地均有单位时间的流量限制； 5．运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6．铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。
另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。
于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。
第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：1.卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2.在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3.空载与重载的速度都是28km/h，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4.卡车可提前退出系统。
符号：x ij ~ 从i号铲位到j号卸点的石料运量单位吨；c ij~ 从i号铲位到j号卸点的距离公里；T ij ~ 从i号铲位到j号卸点路线上运行一个周期平均所需时间分；A ij~ 从i号铲位到j号卸点最多能同时运行的卡车数辆；B ij ~ 从i号铲位到j号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数次；p i ~ i号铲位的矿石铁含量。
%p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31)q j~ j 号卸点任务需求 吨q =(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000ck i~ i 号铲位的铁矿石储量 万吨cy i~ i 号铲位的岩石储量万吨f i : ~ 描述第i 号铲位是否使用的0-1开关变量，取1为使用；取0为关闭。
模型建立、算法设计与模型求解：问题一、求运输成本最小的生产计划一．以总运量最小为目标函数求解最佳物流—-第一层规划（1）道路能力约束：一个电铲（卸点）不能同时为两辆卡车服务，一条路线上最多能同时运行的卡车数是有限制的。
卡车从i 号铲位到j 号卸点运行一个周期平均所需时间为53/2＋平均速度＋距离到⨯=j i T ij （分钟）。
由于装车时间5分钟大于卸车时间3分钟，所以这条路线上在卡车不等待条件下最多能同时运行的卡车数为：⎣⎦5/ijij T A =；其中最后开始发车的一辆卡车一个班次中在这条路线上最多可以运行的次数为（其他卡车可能比此数多1次）⎣⎦ij ij ij T A B /)5)1(608(⨯-⨯=－，这里5)1(⨯-ijA 是开始装车时最后一辆车的延时时间。
一个班次中这条固定路线上最多可能运行的总车次大约为：ij ij ijB A L ⨯=，总吨数ijL ⨯154。
（2）电铲能力约束：一台电铲不能同时为两辆卡车服务，所以一台电铲在一个班次中的最大可能产量为8×60/5×154（吨）。
（3）卸点能力约束：卸点的最大吞吐量为每小时60/3=20车次，于是一个卸点在一个班次中的最大可能产量为8×20×154（吨）。
（4）铲位储量约束：铲位的矿石和岩石产量都不能超过相应的储藏量。
（5）产量任务约束：各卸点的产量不小于该卸点的任务要求。
（6）铁含量约束：各矿石卸点的平均品位要求都在指定的范围内。
（7）电铲数量约束：电铲数量约束无法用普通不等式表达，可以引入10个0—1变量来标志各个铲位是否有产量。
（8）整数约束：当把问题作为整数规划模型时，流量x ij 除以154为非负整数。
（9）卡车数量约束：不超过20辆。
得到的一种模型为c xiji j ij ⨯∑∑==10151min （0） s.t.5,,1,10,,1,154 ==⨯≤⨯j i B A x ij ij ij （1）10,,1,1545/60851=⨯⨯⨯≤∑=i f x i j ij （2）5,,1,154208101 =⨯⨯≤∑=j i ij x（3）10,,1,100001000043521 =⨯≤+⨯≤++i cy x x ck x x xii i i i i i （4） 5,,1,101 =≥∑=j q xj i ij （5）5,2,1,0)5.28(0)5.30(101101=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≥-⨯≤-⨯∑∑==j p xp xi i ij i i ij （6）5,,1,10,,1,154154 ===⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢j i x x ij ij . （7） 7101≤∑=i i f（8） 20154,≤⨯∑j i ijij B x（9） 二．对最佳物流的结果进行派车—-第二层规划这是组合优化中的一维背包模型，针对快速算法的要求，用启发式方法求近优解。
