数学建模 练习题1

数学建模试题1、新工人的学习曲线在电冰箱、电视机、汽车等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动。

在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间，随着不断的工作，新工人的熟练程度逐步提高，生产单位产品所需的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度以后，生产单位产品所需要的劳动时间就会稳定在一个定值。

纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。

观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布以后，工人织每匹布需要用16小时；当累计织完64匹布时，工人织每匹布用10小时.已知熟练工人织每匹布用8小时，是确定出新工人的学习曲线，并计算新工人用多少时间才能达到熟练工人的程度。

2、乙酸回收的最好效果在,A B 两种物质的溶液中，我们想提取出物质A ，可以采取这样的方法：在,A B 的溶液中加入第三种物质C ，而C 与B 不互溶，利用A 在C 中的溶解度较大的特点，将A 提取出来。

这种方法就是化工中的萃取过程。

现有稀水溶液的乙酸，利用苯作为溶剂，设苯的总体积为m 。

进行3次萃取来回收乙酸.问每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取的乙酸最多？3、陈酒出售的最佳时机某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入050R =万元，如果窖藏起来待来日（第n 年）按陈旧价格出售，第n 年末可得总收入为0R R =元。

而银行利率为0.05r =。

试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。

4、电子游戏中的数学近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。

对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。

在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。

玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。

数学建模练习题数学建模是运用数学工具和方法来解决实际问题的一种综合能力。

它不仅培养了学生的逻辑思维能力，还提高了他们的问题解决能力和实践操作能力。

为了巩固数学建模的理论知识和应用能力，以下是一系列数学建模练习题，帮助大家提升数学建模水平。

题目一: 财务规划假设你是一家公司的财务经理，现需要为公司制定一份财务规划报告。

请根据以下信息，回答相应问题：1. 公司现有资金500万元，年利率为2%；2. 公司每月开支为30万元；3. 公司每季度向银行贷款100万元，年利率为3%；4. 公司每年收入为800万元。

请回答以下问题：1. 请计算公司一年的利润是多少？2. 如果公司每年的开支增加到40万元，一年的利润会有何变化？3. 如果公司每个季度向银行贷款300万元，一年的利润会有何变化？4. 请提出一些建议，如何优化财务规划，提高公司的利润。

题目二: 交通流量某城市的交通局需要对城市道路的交通流量进行研究和预测。

请根据以下信息，回答相应问题：1. 城市拥有5条主要道路，分别为A、B、C、D、E；2. 每条道路的通行能力为100辆/小时；3. 每条道路的通行时间为8小时/天；4. 城市每天的交通流量为3000辆。

请回答以下问题：1. 请计算城市每条道路的日平均通行量是多少？2. 如果城市每天的交通流量增加到5000辆，每条道路的通行能力是否足够？3. 如果城市每条道路的通行时间减少到6小时/天，每天的交通流量不变，城市每条道路的日平均通行量会有何变化？4. 请提出一些建议，如何应对城市交通流量的持续增加。

题目三: 人口预测某国家正进行人口统计和预测工作。

请根据以下信息，回答相应问题：1. 该国家近年来人口增长率为2%；2. 该国家现有人口为1亿；3. 该国家每年有200万人出生，80万人死亡；4. 该国家每年有30万人移民。

请回答以下问题：1. 请计算该国家5年后的预计人口数量是多少？2. 如果该国家每年有150万人出生，100万人死亡，预计人口增长率会有何变化？3. 如果该国家每年有50万人移民，预计人口增长率会有何变化？4. 请提出一些建议，如何应对人口增长带来的社会问题。

大学生数学建模练习题一、线性规划问题假设你是一家制造公司的经理，公司生产两种产品A和B。

生产一个产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。

公司每天有24小时的机器时间和40小时的人工时间可用。

如果产品A的销售价格是50元，产品B是80元，如何安排生产计划以最大化利润？二、排队论问题一家银行有3个服务窗口，平均每天接待200名顾客。

每名顾客的平均服务时间是5分钟。

假设顾客到达银行是随机的，服从泊松分布，服务时间服从指数分布。

请计算银行的平均排队长度和顾客的平均等待时间。

三、库存管理问题一家零售商销售一种季节性产品，该产品的需求量在一年中波动很大。

产品的成本是每个20元，存储成本是每个每年2元，缺货成本是每个10元。

如果零售商希望在一年内保持至少95%的服务水平，应该如何确定最优的订货量和订货频率？四、网络流问题在一个供水系统中，有四个水库和五个城市。

水库1和2可以向城市A 供水，水库2和3可以向城市B供水，水库3和4可以向城市C和D供水。

每个水库的供水能力不同，每个城市的需求也不同。

如果需要确保所有城市的需求都得到满足，如何确定最优的供水方案？五、预测问题给定一个公司过去5年的季度销售额数据，使用时间序列分析方法预测下个季度的销售额。

请考虑季节性因素和趋势，并给出预测的置信区间。

六、优化问题一个农场主有一块矩形土地，打算围成一个矩形的牧场。

如果围栏的总长度是固定的，比如400米，如何确定牧场的长和宽，使得牧场的面积最大？七、多目标决策问题一家公司需要在多个项目中做出选择，每个项目都有不同的预期收益、风险和实施时间。

如果公司需要在风险和收益之间做出权衡，并且希望项目尽快完成，如何使用多目标决策方法来选择最合适的项目组合？通过解决这些练习题，大学生可以加深对数学建模的理解，提高分析和解决实际问题的能力。

希望这些练习题能够帮助学生在数学建模的道路上更进一步。

数学建模基础练习一及参考答案数学建模基础练习一及参考答案练习1matlab练习一、矩阵及数组操作：1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）,然后将正态分布矩阵中大于1的元素变为1，将小于1的元素变为0。

2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。

3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。

4．随机生成10阶的矩阵，要求元素值介于0~1000之间，并统计元素中奇数的个数、素数的个数。

二、绘图：5．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像，要求改变线型和标记：y1=2x+5；y2=x^2-3x+1，并且用legend标注。

6．画出下列函数的曲面及等高线：z=sinxcosyexp(-sqrt(x^2+y^2))．7．在同一个图形中绘制一行三列的子图，分别画出向量x=[158101253]的三维饼图、柱状图、条形图。

三、程序设计：8．编写程序计算（x在[-8，8]，间隔0.5）先新建的，在那上输好，保存，在命令窗口代数；9．用两种方法求数列：前15项的和。

10．编写程序产生20个两位随机整数，输出其中小于平均数的偶数。

11．试找出100以内的所有素数。

12．当时，四、数据处理与拟合初步：13.随机产生由10个两位随机数的行向量A,将A中元素按降序排列为B,再将B重排为A。

14．通过测量得到一组数据：t12345678910y4.8424.3623.7543.3683.1693.0383.0343.0163.0123.005分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出散点及两条拟合曲线对比拟合效果。

15．计算下列定积分：16．（1）微分方程组当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并画出相空间轨道图像。

优化作业(1)1.（本题只写模型不求解）某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季度末交60台，第三季度末交80台。

工厂的最大生产能力为每季度100台，每季度的生产费用是22.050)(x x x f +=元，其中x 为该季度生产发动机的台数。

若工厂生产得多，多余的发动机可移到下季度向用户交货，这样，工厂就需要支付存储费用，每台发动机每季度的存储费用为4元。

问该厂每季度生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）？2.（本题只写模型不求解）某市为方便小学生上学，拟在新建的8个居民小区821,,,A A A 增设若干所小学，经过论证知备选校址有621,,,B B B ，它们能够覆盖的居民小区如下表所列，试建立一个数学模型，确定出最小个数的建校地址，使其能覆盖所有的居民小区。

备选校址B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 覆盖小区 A 1,A 5,A 7 A 1,A 2,A 5,A 8 A 1,A 3,A 5 A 2,A 4,A 8 A 3,A 6 A 4,A 6,A 83.写出下面LINGO 程序所对应的完整数学模型。

SETS: HANG/1..3/:B; LIE/1..4/:X,C; XISHU(HANG,LIE):A;ENDSETSDATA:A= 1 2 3 12 5 1 23 1 6 -2;B=4 5 7;C=1 3 4 5;ENDDATAmin=@sum(LIE(I):C(I)*X(I));@FOR(HANG(I):@SUM(LIE(J):A(I,J)*X(J))>B(I));4.根据下面LINGO 程序的集合段和模型段写出其所对应的数学模型。

SETS: HANG/1..3/:A;LIE/1..4/:B;XISHU(HANG,LIE):C,X;ENDSETSmin=@sum(XISHU(I,J):C(I,J)*X(I,J));@FOR(HANG(I):@SUM(LIE(J):X(I,J))=A(I));@FOR(LIE(J):@SUM(HANG(I):X(I,J))=B(J));5.某校篮球队准备从十名预备队员中选择五名作为正式队员，队员的各种情况如下表：队员号码身高（厘米）技术分位置1 185 8.6 中锋2 186 9 中锋3 193 8.4 中锋4 190 9.5 中锋5 182 9.1 前锋6 184 9 前锋7 188 8.1 前锋8 186 7.8 后卫9 190 8.2 后卫10 192 9.2 后卫队员的挑选要满足下面条件：（1）至少补充一名前锋。

入门级数学建模练习题2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。

再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？3. 一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00从B下山，晚18：00到A。

问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4. 如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。

已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。

分析半小时后，狗在何处？6. 甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。

用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？7. 设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。

8. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10端小孔的面积为0.59. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡，计算这种情下的刹车距离。

如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。

包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。

为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

:顶=1：a:b，选坐v>0,而设语雨速L,v≤x vv+1),v>x.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x的函数，则它应满足其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性问题得X=70[1-e?t]由于当∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。

3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f,即t时刻走的距离为f;同样设从B点到A点的路程为函数g。

数学建模题(共13页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《数学建模课程》练习题一一、填空题1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为;)()0(,00rt e x t x x x rx dtdx =⇒== 。

2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 80 。

3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .2090,19**=≈Q T 。

4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 图中奇点个数为0或2. .5.设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 .)1(1)()0(),1(00rtm m m e x x x t x x x x x rx dt dx --+=⇒=-= .6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：（1）参加展览会的人数n ； （2）气温T 超过C 10； （3）冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 ),10(,/)10(0C T P T Kn N ≥-= K 是比例常数 .7、若银行的年利率是x %，则需要 %)1ln(/2ln x + 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走 42 km.. A9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在，t 时刻产品量为)(t x ，则)(t x =0.1()100;t x t e = .10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是802,Q p p =-是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 25p = .二、分析判断题1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

《数学建模入门》练习题练习题1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。

为什么哥伦布能做到呢？有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。

练习题2：棋盘问题有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。

问能否用这些骨牌盖住这62个方格？不能，如图所示。

图中共有32个黄格,30个红格,而每张骨牌必定盖住一红一黄两格,那么最后两个黄格用一个骨牌无论如何也盖不上.练习题3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。

最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。

为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？答：决定先放。

第一枚硬币放在桌子中心，随后自己放置的硬币总与对方上次放置的硬币成中心对称，如果对方能放得下，那么己方的硬币必然可以放下。

所以己方放置的硬币必然为最后一枚。

练习题4：高速问题一个人从A 地出发，以每小时30公里的速度到达B 地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？解：设A,B两地距离为S，则有：2S/（t+T）=60.t为从A地到B地的时间，T为从B地到A地的时间。

即有○12S/（t+T）=60○2S=30t得出：T=0.即速度v=+∞但是这是不可能达到的速度。

所以此题无解。

练习题5：登山问题某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。

问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？答：可以看做在一天，两人同时于八点分别从山顶山脚出发，，在五点到达。

看途中是否能遇到。

设f(t)为上山时的时间与位移表达式，g(t)为下山是的位移表达式，h(t)=f(t)-g(t) 为合位移，总位移为S，规定上山为正方向。

当h(t)=0，两人相遇。

以山脚为位移原点，则山脚处位移为0，山顶为S。

建模练习题第一套参考答案一．水厂设立 如图，设（公里）2.312540,22≈-==AD x AC ，则AC 的费用为400x ，BC 的费用为()222.3125600x -+，此问题的数学模型为 min S = 400x + ()222.3125600x -+ 2.310≤≤x模型的求解： ()()222.31252.31600400x x dx ds -+--= ， 令dxds = 0 ，得到驻点 x 0≈8.8 由实际意义或求二阶导数可说明驻点x 0是最小值点，最小费用为（元）0.23676≈S ( 答略).二．截割方案设1米长的钢材截27厘米的x 根,15厘米的y 根.则此问题的数学模型为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤++=Zy x y x yx t s y x ,,0,1001527..1001527max λ模型的求解: 方法1: 在区域115.027.0,0,0≤+≥≥y x y x 内确定出与直线115.027.0:=+y x l 最近的格点；方法2: 由1527100x y -=穷举. 方法3: 用Lindo 数学软件.求解结果: 3,2==y x .最高利用率： %99100315227max =⨯+⨯=λ. 三．投资决策投资生产A 、B 两产品的利润分别为4200100010)4.02006.01000(=-⨯⨯-⨯=A R （万元）132040010)4.0206.0300(=-⨯⨯-⨯=B R （万元）投资回报率分别为 3.34001320,2.410004200====B A λλ. 故应对A 产品进行投资, 投资回报率将最大.四．生产安排设安排生产甲产品x 件，乙产品y 件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为Zy x y x y x y x y x t s yx S ∈≥≥≤+≤+≤++=,,0,020002424006140032..65max模型的求解：方法一：图解法.可行域为：由直线,0200024:24006:140032:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及 组成的凸五边形区域.直线C y x l =+65:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过31l l 与的交点时，S 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+200024140032y x y x 解得：200,400==y x320020064005max =⨯+⨯=S （千元）(答略)方法二：用Lindo 软件或Maple 软件求解.五.最优联网以村（包括乡政府）为顶点，可直接联网的两村则连边，联网费用作为边上的权，得到一个赋权连通图G 如下：由破圈法或避圈法求得G 的最优树T （上图波浪线），最优联网方案为SD 、DC 、DE 、DB 、BA 、AF 或SD 、BC 、DE 、DB 、BA 、AF最小联网费用为千元）(6.1856.33322min =+++++=s六、最佳存款设存款分n 次进行，每次的存期分别为1x ,.,,2n x x 这里1≤n ≤6，∑==ni i x 16，存期集合为S ＝{1,2,3,5}.存期为i x 时，对应度年利率为i r当i x =1时，i r =0.0225；当i x =2时，i r =0.0243；当i x =3时，i r =0.0270；当i x =5时，i r =0.0288；设将一万元分n 次进行，每次存期分别为1x ,.,,2n x x 所得的收益为()n x x x f ,,,21 .则此问题当数学模型为()()∏=+=n i i i n r x x x x f 1421110,,,max s.t. ∑==n i i x 16. 1≤n ≤6 ，S x i ∈易知函数()n x x x f ,,,21 的值与1x ,.,,2n x x 的顺序无关.不妨设n x x x ≤≤≤ 21.则（1x ,.,,2n x x ）的所有取值为（1，1，1，1，1，1），（1，1，1，1，2）,（1，1，2，2），（1，1，1，3）， （1，2，3），（1，5），（2，2，2），（3，3）现计算()n x x x f ,,,21 的值如下：()()25.114280225.01101,1,1,1,1,164≈+=f ()()()07.114620243.0210225.01102,1,1,1,144≈⨯++=f ()()()99.114950243.0210225.01102,2,1,1224≈⨯++=f ()()()22.115560270.0310225.01103,1,1,134≈⨯++=f ()()()()41.115900270.0310243.0210225.01103,2,14≈⨯+⨯++=f()()()4.116970288.0510225.01105,14≈⨯++=f()()01.115300243.021102,2,234≈⨯+=f ()()61.116850270.031103,324≈⨯+=f 故最佳存款方案为：先存一年期再存一个五年期，所得的最大收益为11697.4元.。